Фурье- и вейвлет-анализ в задачах о работе твердотопливной регулируемой двигательной установки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.7:533.6

ФУРЬЕ- И ВЕИВЛЕТ-АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ О РАБОТЕ ТВЕРДОТОПЛИВНОМ РЕГУЛИРУЕМОЙ ДВИГАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

МИЩЕНКОВА О.В., ЧЕРЕПОВ ИВ.

Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова, 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7

АННОТАЦИЯ. Рассматривается методика анализа энергии и частоты колебаний, возникающих в камере сгорания двигательной установки. Методика основана на решении термогазодинамической задачи в объеме камеры сгорания в нестационарной постановке с последующим частотным анализом результатов расчетов.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: твердотопливная двигательная установка, внутрикамерные процессы, колебания термогазодинамических величин, Фурье-анализ, вейвлет-анализ.

Задача об определении частот колебаний динамической системы является важной при анализе качества ее функционирования. Одним из методов решения этой задачи является Фурье-анализ, при котором функциональные зависимости, соответствующие решению, представляются в виде тригонометрического ряда. При этом удается выделить гармоники, которые несут наибольшие энергии колебаний [1]. Если на исследуемую динамическую систему не воздействуют внешние периодические возмущения, то частоты колебаний с наибольшей энергией могут быть отнесены к собственным колебаниям.

При построении Фурье-спектров динамически изменяющейся функции ft) справедливыми считаются следующие утверждения:

— если некоторая периодическая функция ft) с периодом 2п определена на интервале (-п, п), непрерывна и интегрируема на этом интервале, то для всех значений аргумента t справедливо разложение

a ¥

f (t)=-0+£ acos kt+bksin kt);

2 k=1

— если записанный ряд сходится к ft) равномерно, то для коэффициентов ряда справедливы формулы Фурье

1 p

а0 = — Í f (t) dt,

Р Р

—p

1 p

ak = — Í f (t) cos kt dt,

P —p -p

1p

bk = — Í f (t) sin kt dt.

k

P P -p

Представление функции в записанной выше форме называется разложением функции в ряд Фурье, определенные формулами числа ак, Ък называются коэффициентами

Фурье функции Величину к называют частотой, а выражение Лк ак2 + Ък2 -

мощностью частоты к.

На практике используется преобразование, которое обеспечивает разложение в ряд Фурье функции, заданной в произвольном промежутке времени (-т, т) (или (0, т)).

Фурье-анализ динамической системы позволяет установить какие частоты колебаний в наибольшей степени характерны исследуемой системе, однако они не позволяют установить в какие моменты времени ее работы проявляются те или иные частоты

колебаний. Тем не менее, на практике для правильной организации работы динамической системы, такая информация необходима.

Привлекательность вейвлет-анализа в сравнении с Фурье-анализом состоит в том, что этот метод позволяет не только установить наличие тех или иных гармоник в составе произвольной функции /(I'), но также определить в какие моменты времени и в каких точках пространства эти гармоники проявляются.

Основы теории вейвлетов изложены, например, в [2]. Как и в преобразованиях Фурье при использовании вейвлет-преобразования функция / (г) представляется в виде суммы ряда. Базисные функции в этом разложении - это не тригонометрические функции, а, так называемые, вейвлет-образующие функции. Каждая из функций этого базиса характеризует определенную частоту и ее локализацию во времени. Вейвлет-образующие функции могут быть локализованы в некоторой ограниченной области своего аргумента, а вдали от нее равны нулю или ничтожно малы. Их можно понимать, как способ усиления изучаемого эффекта в некоторой окрестности аргумента функции.

На практике используется несколько десятков различных вейвлет-образующих функций. Ниже используется МИЛТ-вейвлет р, иногда называемый «мексиканской шляпой»

2 г2

( = (1 —т )ехр( 2~).

Вейвлет-спектр произвольной функции / (г) может рассматриваться в таких формах:

г—Ь

1 тах

у (а, Ь) =--— | / (г) р

г — г •

тах т1п ?тп 1 Ьтах

У(а,г) =--— | /(г) р

Ь — Ь ,

тах гот Ьтп

1 атах

У(Ь, г)=-| /(г) р

п —п •>

а

( г-Ь Ь а

\ЫЬ,

а — а

тах т1п атп

| Ыа.

а )

Из последних формул следует, что вейвлет-спектр у является функцией трех аргументов, один из которых - время процесса. Имеется некоторая свобода в выборе аргументов а и Ь. В частности, для нестационарных процессов в качестве аргумента а может использоваться величина г*, характеризующая период колебаний. В этом случае частота

колебаний N будет определяться формулой N = — . Физический смысл параметра Ь может

г *

г—Ь (г—Ь ^

быть связан с величиной фазового сдвига р =- или р = агс^

г*

у г*

. Результаты расчетов

вейвлет-функций у представляются в виде линий уровня на плоскостях (а,Ь), (а,г), (Ь,г) и др.

В качестве примера частотного анализа динамической системы будем рассматривать твердотопливную регулируемую двигательную установку (ТРДУ), схема которой представлена на рис. 1 [3]. Работа ТРДУ начинается с момента включения воспламенительного устройства 3, продукты сгорания которого прогревают топливный заряд 1 и воспламеняют его. Истечение продуктов сгорания организуется через сопловые блоки 4. Регулирование расходных характеристик ТРДУ обеспечивается регулятором расхода 5, работающего по программе, управляющей рулевым приводом.

При построении математической модели внутрикамерных процессов во внутреннем объеме двигательной установки принимаются следующие основные допущения [4, 5]:

- расходные характеристики из корпуса воспламенительного устройства (ВУ) устанавливаются решением задачи о процессах в корпусе ВУ в термодинамической постановке;

- во внутреннем объеме двигательной установки размещается химически нереагирующая смесь воздуха, продуктов сгорания воспламенительной навески, продуктов сгорания твердого топлива, термодинамическое состояние которых определяется в усредненной по объему камеры постановке;

- теплообмен между продуктами сгорания и поверхностями твердого топлива, корпуса устанавливается с использованием критериальных соотношений;

- зажигание твердого топлива происходит при нагреве его поверхностного слоя до заданного критического (по температуре) значения.

1 - топливный заряд; 2 - корпус камеры; 3 - воспламенительное устройство; 4 - сопловой блок; 5 - регулятор расхода продуктов сгорания с рулевым приводом; 6 - газоход

Рис. 1. Конструктивная схема регулируемого газогенератора

Обыкновенные дифференциальные уравнения, определяющие процессы в ТРДУ, могут быть записаны в виде

£ - *, ')■

(1)

Здесь у, F - соответственно, вектор дифференцируемых переменных и правые части дифференциальных уравнений:

У

( W } рМ раМ РапМ рМЕ

2

(Т - Тп)2

^ м 0'

(т - Т0)2

^ п 0'

V Р . ,

V тт у

F =

ип $п0 Орв + Орп - Ос

Ор - О а

рв с в

ОР - О а

рп с п

ОЕв + ОЕп - кОсЕ

2

с р 1

мг м м 2

Сп рп^п

Ы я

\яп\я,

Ф(Р - Рпр )

и

в

е

В системе уравнений (1) записаны обыкновенные дифференциальные уравнения для изменения величины объема камеры сгорания Ж, суммарной массы продуктов, размещенных в объеме камеры сгорания (р - плотность продуктов сгорания), массы продуктов горения

воспламенительного состава и топлива (массовые концентрации соответственно (( ,(т), энергии Е (к - показатель адиабаты), относительного свода горения г таблеток воспламенительного состава (г изменяется в интервале от 0,0 до 1,0; етах - максимальный свод горения), температуры на поверхности твердого топлива Тт и на поверхности материала корпуса Тм (Т0 - начальная температура в камере ТРДУ), изменения площади минимального сечения ^т1п сопловых блоков по командам регулятора расхода (по разности фактического давления р в камере и его программного значения рпр ). В системе уравнений обозначено: ив, ит - скорости горения воспламенительного состава и топлива, (Орв, Орт) и (0Ев, 0Ет) -массо- и энергоприход от навески воспламенительного состава и от твердого топлива, Ос - расход продуктов сгорания из камеры в окружающую среду, см, рм,1м и ст, рт,1т -удельная теплоемкость, плотность и коэффициент теплопроводности для материала корпуса ТРДУ и для твердого топлива, , qт - тепловые потоки от продуктов сгорания в материал корпуса и в твердое топливо.

Для замыкания системы уравнений (1) дополнительно следует записать алгебраические соотношения, позволяющие вычислить правые части уравнений (1) -уравнения для термодинамических и теплофизических характеристик смеси. Перечисленные величины могут быть приняты в соответствии с [5].

Уравнения (1) формулируются как задача Коши, и это предполагает задание для всех интегрируемых переменных начальных условий. Решение сформулированной задачи о развитии процессов в камере регулируемого двигателя осуществляется в соответствии с [6, 7].

Наличие в ТРДУ узла регулирования уровня давления в камере сгорания в соответствии с его программным заданием предполагает появление колебаний термогазодинамических величин на переходных режимах работы двигателя. Продолжительность колебаний может быть незначительной по времени, если частоты колебаний существенно отличаются от собственных колебаний ТРДУ. Если возникающие частоты колебаний близки к значениям собственных колебаний ТРДУ, то их затухание на стационарном режиме работы будет длительным.

Ниже приводятся результаты расчета малогабаритной ТРДУ (рис. 1) при следующих исходных данных [6, 7]:

- начальные условия газодинамических параметров во внутреннем объеме двигателя соответствуют параметрам стандартной атмосферы;

- масса навески воспламенительного состава ВУ составляет 0,05 кг;

- плотность твердого топлива 1600 кг/м , а температура зажигания топлива 650 К;

- внутренний объем камеры ТРДУ - 1,9 дм3, площадь поверхности горения заряда твердого топлива 0,08 м .

На рис. 2 представлены зависимости давления в камере, соответствующие программным значениям (ступенчатая зависимость) и построенная по результатам выполненных расчетов работы ТРДУ в соответствии с уравнениями (1) и принятыми начальными и исходными данными. Расчеты выполнены с учетом воздействия на процессы в ТРДУ случайных возмущений давления с максимальной амплитудой до 4 % от программного значения давления по методикам, изложенным в [8 - 10]. На рис. 2 также представлен тренд Ар .

ги

с

а>

V

а?

3

Рис. 2. Зависимости давления от времени для регулируемой ДУ (воздействуют случайные возмущения с максимальной амплитудой 4 %)

Результаты применения Фурье-анализа (анализ выполнен для зависимости p(t)) на этапе работы ТРДУ от 0 до 50,0 с представлены на рис. 3.

На рис. 3 приводится зависимость, связывающая мощность A и частоту колебаний к. Анализ показывает, что основные колебания давления в камере регулируемой двигательной установки соответствуют частотам от 0 до 15 Гц. Максимальная энергия колебаний соответствует частотам колебаний 5 - 8 Гц, что хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Применение вейвлет-анализа в рассматриваемой задаче предполагает проведение вычислений в два этапа. На первом этапе решаются уравнения (1), при этом устанавливается зависимость p(t) и тренд Dp = p(t) - рпр (t), которые на втором этапе подвергаются обработке с

использованием вейвлет-функций.

30 40

Частота, Гц

Рис. 3. Зависимости энергии акустических колебаний от частоты

На рис. 4 приводятся результаты вейвлет-анализа зависимости Ар(V) (рис. 2), которые дополняют Фурье-анализ важной информацией. На рисунке представлены зависимости вейвлет-функции (изолинии) от времени процесса (продольная координата на рисунке) и от частоты колебаний (ордината на рисунке). Анализ показывает, что на этапах работы ТРДУ, соответствующих моментам времени V от 0 до 12,0 с, от 18,0 до 25,0 с, от 30,0 до 35,0 с и от 42,0 до 47,0 с, в камере сгорания проявляются акустические колебания, частота которых находится в интервале от 0 до 11 Гц. Наибольшая мощность колебаний при широком спектре частот наблюдается на начальном этапе работе ТРДУ (на интервале до 12,0 с) и далее на переходных режимах работы двигательной установки. Начальный период соответствует наименьшим значениям свободного объема камеры, поэтому полученные результаты в полной мере согласуются с физическими соображениями о протекающих процессах. В период времени от 30,0 до 35,0 с мощность колебаний заметно снижается, что обусловлено работой ТРДУ на невысоких уровнях давления.

0 Ег I г! ]Аж

0 10 20 30 40 I С

Рис. 4. Вейвлет-спектр энергии акустических колебаний давления

По итогам выполненного анализа можно сделать следующие выводы:

- на всех этапах работы ТРДУ продукты сгорания испытывают возмущающие воздействия, которые с течением времени могут усиливаться или ослабевать;

- усиление возмущений происходит в окрестности частот, значения которых приближаются к значениям частот собственных колебаний камеры сгорания;

- вейвлет-анализ как инструмент исследования волновой картины протекающих процессов позволяет установить частоты колебаний, которые соответствуют максимальным энергиям возмущающих факторов, и моменты времени, которые соответствуют проявлению этих колебаний, что выгодно отличает этот метод от Фурье-анализа;

- для исследованного ТРДУ показано, что усиление возмущающих факторов соответствует высоким давлениям в камере сгорания, при этом в наибольшей степени проявляются колебания с частотой от 3 до 6 Гц.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хемминг Р.В. Численные методы. М. : Мир, 1972. 400 с.

2. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 464 с.

3. Твердотопливные регулируемые двигательные установки. Справочная библиотека разработчика-исследователя. Т. 9 / Соломонов Ю.С., Липанов А.М., Алиев А.В. и др. М. : Машиностроение, 2011. 416 с.

4. Алиев А.В., Черепов В.И., Лошкарев А.Н. Математическая модель работы регулируемого РДТТ // Химическая физика и мезоскопия. 2006. Т. 8, № 3. С. 311-320.

5. Алиев А.В., Перемысловская А.Г., Черепова Е.В. Особенности функционирования ТРДУ на начальном этапе работы // Интеллектуальные системы в производстве. 2008. № 1(11). С. 10-16.

6. Численный эксперимент в теории РДТТ / Липанов А.М., Бобрышев В.П., Алиев А.В. и др. Екатеринбург : УИФ «Наука», 1994. 304 с.

7. Алиев А.В., Мищенкова О.В. Математическое моделирование в технике. М.-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2012. 476 с.

8. Алиев А.В., Мищенкова О.В., Черепов В.И., Лошкарев А.Н. Моделирование работы РДТТ с учетом воздействия случайных факторов // Интеллектуальные системы в производстве. 2007. № 2(10). С. 5-12.

9. Алиев А.В., Мищенкова О.В., Сарабьев В.И., Бабин В.И. Моделирование начального участка работы РДТТ с учетом стохастического характера исходной информации // Химическая физика и мезоскопия. 2006. Т. 8, № 3. С. 304-310.

10. Алиев А. В., Мищенкова О. В. О применении метода линеаризации при решении некоторых задач внутренней баллистики // Вестник Тихоокеанского государственного университета. 2007. № 4(7). С. 25-38.

FOURIER AND WAVELET ANALYSIS IN PROBLEMS ABOUT WORK OF REGULABLE SOLID-PROPELLANT ROCKET ENGINES

Mishchenkova O.V., Cherepov I.V.

Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russia

SUMMARY. The technique of analysis the energy and the frequency oscillation sarising in the combustion chamber of a rocket engine is considered. The technique is based on the solution interior ballistics problems in non-stationary statement with the sub sequent frequency analysis in results of calculations.

KEYWORDS: solid propellant rocket engine, intrachamber processes, oscillations of thermodynamic values, Fourier-analysis, Wavelet-analysis.

Мищенкова Ольга Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент, начальник отдела аспирантуры и докторантуры ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, тел. 8-912-7544826, e-mail: [email protected]

Черепов Илья Владимирович, аспирант ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, тел. 8-916-8206030, e-mail: [email protected]