Функция влияния дифференциальной модели четвертого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517

ФУНКЦИЯ ВЛИЯНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ МОДЕЛИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

А.Д. Баев, С.А. Шабров, Ф.В. Головачёва, Меач Мон

В работе доказывается существование и единственность функции влияния одной граничной задачи, которая возникает при моделировании малых деформаций стержневой системы с особенностью, приводящей к потере гладкости у решения и при анализе математической модели колебаний стержня. При изучении возможности обращения задачи мы используем поточечный подход, предложенный Ю.В. Покорный в 1999 году и показавший свою эффективности при анализе не только линейных краевых задач второго порядка (удалось создать точную параллель классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, вплоть до осцилляционных теорем), но и нелинейных задач.

Ключевые слова: математическая модель, стержневая система, производная по мере, граничная задача.

Введение. В работе изучается функция влияния математической модели четвертого порядка, при этом мы вводим ее, отталкиваясь не от аксиоматического подхода, а используя подход, предложенный Ю. В. Покорным в [1]; доказывается ее существование и единственность в классе непрерывных функций, исследуются ее свойства.

Изучаемая ниже математическая модель возникает при описании малых деформаций стержневой системы, имеющей внутренние особенности и помещенной во внешнюю среду с локализованными особенностями типа пружины. Мы используем поточечный подход (см. [1]), показавший свою эффективность (см., например, [2]—[10]). Также отметим работы [11]—[15].

Основной результат. Математическая модель

Lu = ( P^ L - (rux )a + uQa = Fa ,

lu = 0 (j = і, 2,3,4),

(1)

где Ifi = м(0), l2u = и (0), 1ъи = и (£), l4u = u(f) ,

Баев А.Д., доктор физ.-мат. наук, проф.,

Воронежский государственный университет,

Россия, г. Воронеж;

Шабров С.А., канд. физ.-мат. наук, доц.

Воронежский государственный университет,

Россия, г. Воронеж;

Голованёва Ф.В., канд. физ.-мат. наук, преподаватель, Воронежский государственный университет,

Россия, г. Воронеж;

Меач Мон, аспирант,

Воронежский государственный университет,

Россия, г .Воронеж;

e-mail: [email protected]

© Баев А.Д., Шабров С.А., Голованева Ф.В., Меач Мон

возникает при описании малых деформаций системы, состоящей из стержней соединенных шарнирно, помещенной во внешнюю среду с локализованными особенностями типа пружины, и закрепленной на концах (см. [9]).

Решение математической модели ищется в классе Е абсолютно непрерывных на [0; £] функций, первая производная которых /л -абсолютно непрерывна на |0: < \. рихп (х) - абсолютно непрерывна на [0; £\ и (рих/1) (х) - а -абсолютно непрерывна на [0; £\.

Функция <у(х) , порождающая на [0;£] меру а, содержит все особенности системы: и точки шарнирного соединения стержней, и точки в которых приложены сосредоточенные силы, и особенности внешней среды. Функция /л(х) соизмерима с наблюдаемым процессом.

На коэффициенты р(х), г(х), Q(x), Г(х) мы накладываем вполне физические условия: 1) все они а -абсолютно непрерывны; 2) іпГ р(х) > 0: 3)

г(х) > 0 ; 4) ()(х) не убывает на [0; £\.

Уравнение в (1) определено на специальном расширении |0: (\1Т отрезка [0; б], которое строится следующим образом. Пусть £ (а) множество точек разрыва функции а(х). На = [0;а]\ 5(а) введем

метрику р(х; у) =| а(х) -а(у) |.

Очевидно, что (3а ;р) не является полным.

Стандартное пополнение {За; р) приводит к [0; £]3. В этом множестве точка % из £(ст) заменена собственными элементами % - 0; % + 0. Множество

[0;а=[0;^иад.

Определение 1. Функцией влияния матема-

тической модели (1) будем называть непрерывную по совокупности переменных х, s (на квадрате

[0;f]sx[0;f]s) функцию G(x,s), позволяющую получить решение (1) в виде

и(х) = J G(x, s)Fa (s) da(s) (2)

0

для любой а -абсолютной непрерывной функции

F (х).

Следующая теорема дает достаточные условия существования функции влияния.

Теорема 1. Пусть модель (1) невырождена. Тогда функция влияния (1) существует и единственна. Доказательство. Пусть (х)}'=4 - фундаменталь-

ная система решений однородного уравнения Ьы = 0, такая, что ї^і = 8І, где 3/ - символ Кро-некера, равный 1, если і = ], и нулю в противном случае. Такая система существует в силу невырожденности модели.

На множестве [0; £]sx[0;^]s определим функцию

K (x, s) = -

Pi(s) $2(s) ?3(s) Я4 (s')

1 Я x(s) Я2 x(s) Яз x(s) Я4 x(s)

(PW )(s) (PVl xfc)(s) (PV2 xfc)(s) (PЯз xfc)(s) (PЯ4 J(s)

Яі( x) Я2 (x) Яз( x) Я4 ( x)

(3)

Формулу (3) перепишем в виде

І4

K (x, s) =

( PW )(s)

X (-!)'« (s)ft(x),

(4)

где а (я) - минор к элементу ^ (х), стоящему на пересечении четвертой строки и і -го столбца определителя в правой части (3).

Покажем, что у функций а (я) (' = 1,2,3,4),

Д« (s) = «(s + О) - «(s - О) = -

определенных на [0; 1\3 , нет ненулевых скачков, и, следовательно, могут быть доопределены по непрерывности в точках множества £ (а). Рассуждения

проведем для а (5). Для а2 (5), а3 (5) и аА (5) рассуждения аналогичны. Так как <р( (х) и РЯ1ХЦ] (х) -непрерывны, то

?2(s)

Яз^)

Pa(s)

Д$2 x(s) Дфз x(s) Д?4 x(s)

P?2 xfc (s) ( P<P3 J (s) ( P% xfc (s)

(5)

і=1

Если 5 точка непрерывности производной <ріх (я), т. е. 5 не принадлежит £ (и) (с 5 (а)), то А^. (я) = 0, и поэтому Да (я) = 0 . Если же 5 принадлежит множеству 5(и), то в определении (5) вторая и третья строки пропорциональны, так как

(РФі и (я) = Р(я) 'іЩ~. Таким образом, непрерывность а (я) доказана.

Из (4) и непрерывности а (я) непосредственно следуют следующие свойства К(х, я):

1. К(х, я) непрерывна по совокупности переменных и для всех ^ К (я, я) = 0.

2. Производная К (х, я), определенная на [0;^]хх[0;^]х, при каждом і является ц-абсолютно непрерывной на 10; і |лї)). функцией (по х); г(х)К (х,я) - а -абсолютно непрерывна на

ІМІ5; кх(«,«) = о.

3. Вторая производная К (х, я) такова, что

р(х)К (х,я) - абсолютно непрерывна на |0; ( \ по переменной х при каждом фиксированном я и р(я)КхМ(я,я) = 0 .

4. Третья производная (р(х)К )х(х,я), определенная на [0;і]ях[0;і] а -абсолютно непрерывная на [0;^]х по переменной х при каждом і , и (р{в)Кхц\{в,в)= 1.

5. При каждом я и почти каждом х существуют а -производные (рКхм ] (х,я) и (гКх (х,я),

и при х Ф я функция К(х, я) удовлетворяет однородному условию.

На множестве [0; £]х определим функцию

х

у( х) =| К (х, (я) (6)

0

Из первого свойства К(х, я) следует отсутствие ненулевых скачков у у(х). Доопределим ее по непрерывности во всех точках отрезка [0; 1\.

Продолженную функцию будем, для простоты, обозначать также как и исходную.

Используя (4), равенство (6) позволяет перезапись в виде

1 4 х

у(х) = (рЕТ)(0) Е^щ(х)1а(5)ра5йа(5) (7)

так как (рЖ) (5) есть константа.

Найдем производную функции у(х). Для

г(х+е)-г(х+0) /\

этого рассмотрим отношение ———- при е> 0.

Как нетрудно видеть, его можно представить в виде суммы

v(x + є)-v(x + О) 1 ^ Яі(x + є)-я(x + 0) f .4,

------------------= / n^/mX (-1) -------------------'- I «(s)Fr(s) dr(s) +

є (PW)(0) t- є 0

г+є (8)

+ T~^ X-І)' } «(s)Fr (s) dr (s').

(pw)(0) t- є x+0

Так как %(х+е) % (*+0) — %(х + 0) и

х+8 ++0

| а,. (5) йо(5) — | а,. (8)¥а (5) йо(5) при

0 0

е —— +0, то первая сумма в (8) стремится к

4 х+0

, Е(-1)%х(х+0) | а(5)К(5)йа(5) =

(рЖ)(0) х~- *

О

^£ (-1У Ъ^+1 У а(5)Г(5) йа(5) =

(рж т ^1 е ■>+0

л х+8

= - [ К(х + 0,5) йГ(5).

8 х+0

Заметим, что последний интеграл существует по Риману-Стильтьеса, так как К(х + 0,5) не-

x+О

| Kx (x + 0, s)Fr(s) dr(s).

Покажем, что вторая сумма в правой части (8) стремится к нулю. Так как

Х+8 Х+8

| а(5)йсг(5) = | а(5)йГ(5) (см., например,

хО 00

[2]), то для второй суммы в правой части (8) мы имеем

Тогда (обозначая К = к™ -%(х + 0))

прерывна и Е(х) имеет конечное на [(); £\3 изменение.

Так как % (5) - % (х) = | %х (г) Л, то при не-

х

котором к(-, принадлежащем

inf Я ItX suP Яіх(t)

Я (s) -Я (x) = k(1)(s - x).

При этом к(1 — %х(х + 0) при е — +0 ввиду су-

ществования предела ср1х(т) при всех т из 10; (.

x+є x+є

- IK (x + 0, s) dF(s) = I

( pW )(0)є

K,

K2 K3 K4

s - x

(pW )(0) -є

Я, x(s) Я2 x(s) Яз x(s) Я4x(s)

(PA xfc)(s) (Pi2 xfc)(s) (PЯз xfc)(s) (Pi4 xfc)(s)

Я (x + 0) я (x + 0) я (x + 0) я (x + 0)

Я- x( x + 0) Я2 x( x + 0) Яз x( x + 0) Я4 x( x + 0)

Я1 x(s) Я2 x(s) Яз x(s) Я4 x(s)

dF(s) +

(PA xfc)(s) (Pi2 xfc)(s) (PЯз xfc)(s) (Pi4 xfc)(s)

Я (x + 0) я (x + 0) я (x + 0) Я (x + 0)

(9)

dF (s).

Оба слагаемых в правой части равенства (9) стремятся к нулю. В самом деле, для первого из них мы

имеем оценку (так как при всех 5 , принадлежащих отрезку [х; х + е], справедливо неравенство 5-х < 1)

О

x+є

+

К! К2 Кз К4

х+е р 5 — х А № А2 х(5) Аз х(^ А А х(^ й¥ (5)

РА2 хм(*) РАз хМ(*) РА4 хм(*) <

1 (рШ )(0)е РА*/5)

А 1 (х + 0) А2 (х + 0) Аз( х + 0) Аа( х + 0)

х+е К К2 Кз К4

V(р) х+0 Бир А х(5) Аг х(5) Аз х(5) А А х (5)

■ I (РШ)(0) I х<5<х+е РАХМ(5) РА2 х^(5) РАз х^(5) РАа хм(5)

Ах( х + 0) Аг( х + 0) Аз( х + 0) Аа( х + 0)

х+е

причем супремум конечен и V (Р) — 0 при е —— +0.

х+0

Для второго слагаемого последовательно находим

(рШ )(0)е

■ Бир

А х( х + 0) р2 х( х + 0) Аз х( х + 0) А а х( х + 0)

А1 А2 х(5) Аз х(5) А4 х(5)

РР ^ РА РА хМ(5) РА х№

А (х + 0) а (х + 0) а (х + 0) а (х + 0)

А (х + 0) а (х + 0) а (х + 0) А (х + 0) р^) Аг(^) А(я) А(я)

РА! хи(!:) РА2 хи(!:) РАз х«(з) РА4 х«(з)

йР (5)

А (х + 0) а (х + 0) А (х + 0) А (х + 0)

V (р)

(РШ)(0) |

0

<

х+0<5<х+е

при е — +0, так как супремум конечен и V (Р) стремится к нулю при е — +0. Таким образом

х+0

х

у'(х)=|^(х,5-)^(5-)й?Сг(5-) (хе[0/]5). (10)

о

Равенство (10) мы доказали для правых производных, для левых - рассуждения проводятся аналогично. Покажем, что справедливо равенство

М*)= (хе[0;^). (11)

п

ТТ V х (х+е) —V' х (х+0)

Для этого отношение ц(х+1_и х'+01 представим в виде суммы

V' х (х + е) — V' х (х + 0) /л( х + е) — ц( х + 0)

= | Кх(КК К(х + К— К(х + 0,5) ^аа(5) + Г К| + 0,с1ах

•> /// -у* 4- с \ — /// -V- -I-11» ^ •> ^

/и(х + е) — /и(х + 0)

х+е

+ | ----Кх (х + 0, 5)-----р (Я) аа(8у (12)

х+0 ц(х + е) — М(х + 0) ^ ' w

Выражение в квадратных скобках первого слагаемого в правой части (12) равно

Кх(X + е,*) — Кх(Х + °,*) — (х + 0,5) ±(—1Уа,{*) ( + е)-<р1х{х + 0) —А (х + 0)\

/л(х + е) — /л(х + 0) Х>1 (рШ)(0) ^ /л(х + е) — //(х + 0) ,х^ )

Откуда следует, что Ку'(^+е)К^(х+щ) сходится равномерно к Кх/1(х + 0,5-) на |0; (| при е—>+0. Тогда, первое слагаемое в (12) стремится к нулю при е — +0.

Второе слагаемое, очевидно, неограниченно приближается при е ^+0 к | Кхм (х + 0, (я) Са(я) .

Введя обозначение р.(я) = )еу^Х+° , для третьего слагаемого мы последовательно находим

K (x + 0, s) t(x + є) -1(x + 0)

x + є

F„(s) da(s) = J

1

(pW )(0)

Ai(s) A2(s) Аз(s) A.S

Ai(s) A2(s') Аз(і') A4(s')

PAi xt(s) PA2 Xt(s) (s) (t x £ P PA, xt(s)

Ai( x + 0) Аг( x + 0) Аз( x + 0) A,( x + 0)

Fa(s) dcr(s),

откуда, в силу равенства

справедливого при некотором

А

x(s) - Я x(x + 0) = J Я x/t) dt(t) = k(2) (t(s) -1(x + 0)),

k(2)

jf<,A(t), sup it

x+'0<t<x+є x+О^^+є

следует (K(2) = k(2) - я Xu(x + 0))

Kx (x + 0, s)

x+01(x + є) -1(x + 0) x+f t(s) -1(x + 0)

Fc (s) dc(s) =

x

x+0 (t(x + є) -t(x + 0))(pW)(0) x+ t(s) -t(x + 0)

x+0 (t(x + є) -t(x + 0))(pW)(0)

ii(s) i2(s) i3(s) ii(s)

A xt(x + 0) І2 xt(x + 0) A xt(x + 0) я4 xt(x + 0) PA t(S) Pi2 t(S) Pi3 xt(S) Pi4 xt(S)

A x( x + 0) І2 x( x + 0) Аз x( x + 0) A. x( x + 0)

Ai(s) A2(S) A3(s) A,(s)

K f Kw K<p Kf

PAi ts) PA2 Js) (s) (t x Яз P PA, ts)

Ai x( x + 0) A2 x( x + 0) Аз x(x + 0) A.4 x(x + 0)

Fc (s) dc(s) +

Fc (s) dc(s).

(13)

Проводя рассуждения, аналогичные проведенным для (9), делаем вывод, что оба слагаемых в правой части (13) стремятся к нулю, следовательно,

К'х (х + 0, я)

lm f

є^+0 J

M+° x+0 м(x + є) -t(x + 0)

Fc (s) dc(s) = 0.

Тогда, переходя к пределу е ^ +0 в равенстве (12) будем иметь

х +0

(х + 0) = | Кхм (х + 0, (я) Са(я).

0

Аналогично доказывается равенство (14) для левых производных.

Для точек х, принадлежащих множеству 5(р), последовательно имеем

х+0 х-0

Аух(х) = у'х(х + 0) - Vх(х-0) = | К'х(х + 0,Са(я) - | К'х(х-0,Са(я) ■■

0 0

х+0

= | ДКХ (х, я)^ (я) Са(я) + Кх (х - 0, x)AF(х).

0

Но Кх (х - 0, х) = 0, поэтому, последнее равенство принимает вид

.х+0 0-0

Д^ (х) = | ДК (х, (я) с1а(я) = | ДК (х, (я) с1а(я).

(14)

(15)

x

(PvxJ)' x(x) = J (PKxJ)x (x> s)Fa(s) dais), (17)

0

Равенства (14) и (15) вместе дают

Ухр(х) = 1 Кр(х, я)Жа (я) Ла(я) (16)

0

при всех хе[0;|]^, причем в случае когда х е ^(р), интегрирование может производится как в пределах от 0 до х - 0, так и в пределах от 0 до х + 0.

Проводя аналогичное рассуждение для отношения

7((Рухр)(х + е)-(Рухр)(х + 0)) мы придем к равенству

которое справедливо не только для правых производных, но и для левых.

Пусть теперь х - точка в которой существуют а -производные (р% хр)ха (х) , (г% х)<у(х) (г = 1,2,3,4), Ж а (х) и (х) .

(РУхр)х (х+е)-(.Р''хрУ(х+0")

Отношение %(х+е)-а(ХР)----- предстаВим ввиде

суммы:

(PVxj)x (x + S) - (PVxj)’ x( x + 0) Т (PKxj )x (x + S, s) - ( PKxj ) ' x( x + 0 s) F (s) dcr(s) +

a( x + s) -a( x + 0) J a( x + s) -a( x + 0) a

;+{{pkJ(x+o,s) - i (18)

+ j -------ч—;—m Fas) da(s) + —,---------:—;—^ j Fas) d°(s)-

+ a(x + s) - a(x + 0) a(x + s) - a(x + 0) +

Также как и при доказательстве (11) устанавливается равномерная сходимость

( РКхр')х ( х+е,и')-( РКхр'У х(х+0,я') „ /-Ь-ЧО/'.ПЧ

------а(х+е)-а(Х+0)- к (РКхр) ха(х + 0,я) ^и

е ^+0. Тогда, первое слагаемое в (18) в пределе нам дает

1 (РКхрУха(х + 0 я)Жа(я)

0

Для второго последовательно находим (через цц (я) мы обозначили разность

(РЯ Рх(х + 0) - (РР,Х р) ’ х(я))

xjs (pKxj) x (x + 0, s) -1^ x+0 a(x + s) -a(x + 0) ° s) a( s) =

V>1(s) m2(s) m3(s) m4 (s)

x+s i = f 1 m x(s) m2 x(s) m3 x(s) V4 x(s)

xJ0 (PW)(0) pm xj(s) Pm Js) (s) x P PV4 J(s)

Yi (s) (s) Уъ (s) Y (s)

Fa (S)

a(x + s) -a(x + 0)

da( s).

Правую часть последнего равенства можно представить в виде

7 (РК’’хр)’ х(х + 0, я) -1

a( x + s) -a( x + 0)

J— i

L (PW )(0) ii

x+0

x+s

-F' a(s) da(s) =

^ (pm. )' (x + 0) - (pm )'(s)

i (-1)‘ai(s)( P<P‘x\ A 0 Kfmx»' F' a(s) da(s).

a( x + s) -a( x + 0)

(19)

Так

k(3)

как

(Pm xu)'' (x + 0) - (P m xu)'' (sx = '' (a(x + 0) - a(s))

f( pmJ' x(t), sup (pmJ' x (0

то из равенства (19) следует оценка

при

некотором

1

- i swp I a,(s) I sup I(Pm Jx(s) I • V (F),

x+s (pK"J (x + 0, s) -1

j --------------------F' a(s) da (s') ^ x

xJ0 a(x + s)-a(x + 0) 1 (PW)(0) |/=i s

x+s

но сумма в правой части последнего неравенства ограничена и V (F) ^ 0 при s ^ +0. Поэтому

второе слагаемое в равенстве (18) стремиться к нулю при е ^ +0. Для последнего слагаемого в правой части (18), мы имеем 1

J F (s)da(s) = F (x + 0), так как x - точка, в которой производная F (x)

а(х + е) -а(х + 0) х+0

х+0

существует. Таким образом, (рухм )хгт(х + 0) = 1 (рКх/1 )хгт(х + 0, я) Ж (я) Ла(я) + Ж (х + 0). Аналогично

0

равенство для левых производных. Пусть теперь х е 5(а).

Тогда

х+0

А( Р^р1 (х) = (РЛ^хр) х (х + 0) - ( Р^хр) х (х - 0) = 1 [(РКхр)х (х + 0 я) - ( РКхр) х (х - 0 ^а (я) Ла(я) +

0

х+0 х+0

+ 1 (рКхр)х (х - 0, я)Жа (я) Ла(я) = 1 Д( рКхр)х (х, я)Жа (я) Л а (я) + (рКхр) х (х - 0, х)АЖ (х).

доказывается

Из свойств К (х, я) следует, что (рКхм )х (х - 0, х) = (рКхм )х (х + 0, х) = 1. Поэтому

х+0

Д(Р^р )х (х) = 1 Дх (РКхр )х (Х, ^ Жа (я) Ла(я) + ДЖ(х),

0

причем интеграл может быть взят в пределах от 0

до х -0, так как (рКхм)х(х-0,х) = (рКхм)х(х+0,х). Таким образом,

х

(Рухр )ха (х) = 1 (РКхр )ха (х я)Жа (я) Ла(я) + Жа (х) (20)

ДЛЯ ВСЯКОГО хе[0;^](7, для которого существуют производные (Р<Р,Хр)ха(х) (г = 1,2,3,4), Жа (х) и (х). Аналогично устанавливается равенство

х

(™ха хх = 1 ххха ^хЖа (я) Ла(я). (21)

0

Равенства (20), (21) и (6) вместе показывают, что функция у(х) удовлетворяет неоднородному уравнению

(Pvxt )xa (x) - (rvx )a (x) + vQa (x) = Fa (x).

Положим

i( X) = vX X) + Е с я, X x),

(22)

(23)

где С - произвольные постоянные; {я(х)}‘1=4, напомним, является фундаментальной системой решений однородного уравнения, функция у(х) определяется равенством (6). Пусть

0, если 0 < х < я < £,

[К(х,я), если 0 < 5 < х < £.

Тогда (6) можно записать в виде

g X X s) =

4х) = j g(.x,s)Fl7(s)da(s).

(24)

Функция и (х), определяемая равенством (23), как нетрудно видеть, является общим решением неоднородного уравнения Ьи = Ж. Подберем константы С так, чтобы и (х) удовлетворяла граничным условиям, т. е. ^и = 0 (]' = 1,2,3,4), для этого необходимо и достаточно, чтобы

ljv+Е с hi- °.

(25)

Последняя система имеет единственное решение в силу невырожденности математической модели, более того, в силу выбора системы {^ (х)} будем иметь I V + С. = 0, откуда следует С. = .

Таким образом,

и о)=j g(x, s)K (s) dcr(s) - X a (xVi (v)• (26)

0 i=1

Так так l непрерывный функционал на пространстве решений, то интеграл и функционал lj можно поменять местами:

h О) = jl, (g(-> S))K О) da(s), (27)

0

где точка означает по какому аргументу применяется функционал.

Равенство (26) перепишем в виде

<х) = j

g(x, s) - Е cpt (х)/,. (g(-, s))

Fa Xs) daXs).

Тогда функция влияния 0(х, я) математической модели (1) имеет вид

4

0(х, я) = g(х, я) - £ я (х)1,■ ^(-, я)). (28)

1=1

Существование функции влияния доказано.

Покажем её единственность. Предположим противное: существуют две различные функции

X-0

4

i=1

О

i=1

О

О

влияния ^ (х, я) и (х, я). Так как они различны, то найдётся такая внутренняя точка (х0, я0), что ^ (х0, я0) - G2 (х0, я0) ф 0, причём без ограничения общности можно считать, что

^ (х0, я0) - G2 (х0, я0) > 0 . Из непрерывности вытекает существование окрестности Ц (х0, я0) точки (х0, я0) такой, что для всех (х, я) из Ц (х0, я0) справедливо неравенство ^ (х, я) - (х, я) >щ> 0

при некоторой щ.

В равенство | [Д (х, л) - С2 (х, л)|/'^ (л) с! а = О

0

, которое справедливо для любой а -абсолютно непрерывной функции Ж(х), подставим функцию

F (x) -

О

a(x) -a(s0 -s)

a(s0 +s) -a(s0 -s) 1

если x < s0 - s, если s0 - s < x < s0 + s, если x > s0 + s,

a -абсолютная непрерывность которой очевидна, будем иметь

-J

s0 -^ +

Тогда 0 - |

О = } [Ц (х, s) - G2 (х, s)]Fr(s) da(s) = Gj X x, s) - G2 X x, s)

aX+s) -aX-° -s) G-Xx, s) - G2Xx, s)

daXs).

daXs) >Ц0> 0 для

a(s0 +s) -a(s0 -s)

Библиографический список

1. Покорный, Ю.В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях / Ю.В. Покорный // ДАН. - 1999. - Т. 364 - № 2. - С. 167-169.

2. Покорный, Ю.В. Осцилляционная теория Штурма-Лиувилля для импульсных задач / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Успехи математических наук. - 2008. - Т. 63 -Вып. 1. (379). - С. 98-141.

3. Осцилляционный метод Штурма в спектральных задачах / Покорный Ю.В. и др. - М.: Физматлит, 2009. - 192 с.

4. Покорный, Ю.В. О нерегулярном расширении осцилля-ционной теории спектральной задачи Штурма-Лиувилля / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, А.С. Ищенко, С.А. Шабров // Математические заметки. - 2007. - Т. 82. - N° 4. - С. 578-582.

5. Pokornyi, Yu.V. An Irregular Extension of the Oscillation Theory of the Sturm-Liouville Spectral Problem / Yu.V. Pokornyi, M.B. Zvereva, S.A. Shabrov, A.S. Ishchenko // Mathematical Notes. -2007. - Т. 82. - № 3-4. - С. 518-521.

6. Pokornyi, Yu.V. Toward a Sturm-Liouville Theory for an Equation with Generalized Coefficients / Yu.V. Pokornyi, S.A. Shabrov // Journal of Mathematical Sciences. - 2004. - Т. 119. - № 6.

- С. 769-787.

7. Давыдова, М.Б. О числе решений нелинейной краевой задачи с интегралом Стилтьеса / М.Б. Давыдова, С.А. Шабров // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2011. - Т. 11. - № 4. - С. 13-17.

8. Давыдова, М.Б. О нелинейных теоремах сравнения для дифференциальных уравнений второго порядка с производными Радона-Никодима / М.Б. Давыдова, С.А. Шабров // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2013. - № 1. - С. 155-160.

всех х е [х0 - е, х0 + е]. Полученное противоречие и доказывает единственность функции влияния. Теорема доказана.

Замечание 1. При доказательстве теоремы мы брали фундаментальную систему {ф.(х)}4=1,

биортогональную к функционалам {1] }4=1, т. е.

= 5^, где 5/ - символ Кронекера, равный 1, если г = ], и 0, если г ф ]. В качестве Жх)} можно брать произвольную фундаментальную систему. В этом случае формула (28) принимает вид

g (х, я) я( х) ф2( х) Жз( х) у>4( х)

G(x, s) - — A

l—( g (■, s)) l2( g (■,s)) h( g (■,s)) lA(. g (■,s))

liAi llA2 llA3 llA4

lA l2-2 l2-3 l2-4

l3Ai l3-2 l3-3 l3-4

hi l4-2 l4-3 l4A4

lj ы ц и атри ма l|4 I k j-1.

Замечание 2. Найдя I ^(-, я)), формулу (28) можно записать в виде

0(х, я) = g(x, я) - 1з (g(■, я))Жз (х) -14 (g(■, я))у>4 (х), так как /^0, я)) = 0 и ^0, я)) = 0.

Заключение. Наличие функции влияния позволяет применять к анализу математической модели теорию вполне непрерывных операторов. Последнее позволяет показать, что спектр соответствующей спектральной задачи (когда Ж = ^ти ) состоит только из собственных значений.

References

1. Pokornyiy, Yu.V. Integral Stiltesa i proizvodnyie po mere v obyiknovennyih differentsialnyih uravneniyah / Yu.V. Pokornyiy // DAN. - 1999. - T. 364 - №2. - S. 167-169.

2. Pokornyiy, Yu.V. Ostsillyatsionnaya teoriya Shturma-Liuvillya dlya impulsnyih zadach / Yu.V. Pokornyiy, M.B. Zvereva, S.A. Shabrov // Uspehi matematicheskih nauk. - 2008. - T. 63 -Vyip. 1. (379). - S. 98-141.

3. Ostsillyatsionnyiy metod Shturma v spektralnyih zadachah / Pokornyiy Yu.V. i dr. - M.: Fizmatlit, 2009. - 192 s.

4. Pokornyiy, Yu.V. O neregulyarnom rasshirenii ostsillyatsionnoy teorii spektralnoy zadachi Shturma-Liuvillya / Yu.V. Pokornyiy, M.B. Zvereva, A.S. Ischenko, S.A. Shabrov // Matematicheskie zametki. - 2007. - T. 82. - №4. - S. 578-582.

5. Pokornyi, Yu.V. An Irregular Extension of the Oscillation Theory of the Sturm-Liouville Spectral Problem / Yu.V. Pokornyi, M.B. Zvereva, S.A. Shabrov, A.S. Ishchenko // Mathematical Notes. - 2007. - T. 82. - №3-4. - S. 518-521.

6. Pokornyi, Yu.V. Toward a Sturm-Liouville Theory for an Equation with Generalized Coefficients / Yu.V. Pokornyi, S.A. Shabrov // Journal of Mathematical Sciences. - 2004. - T. 119. -№6. - S. 769-787.

7. Davyidova, M.B. O chisle resheniy nelineynoy kraevoy zadachi s integralom Stiltesa / M.B. Davyidova, S.A. Shabrov // Izvestiya Saratovskogo universiteta. Novaya seriya. Seriya: Matematika. Mehanika. Informatika. - 2011. - T. 11. - №4. - S. 1317.

8. Davyidova, M.B. O nelineynyih teoremah sravneniya dlya differentsialnyih uravneniy vtorogo poryadka s proizvodnyimi Radona-Nikodima / M.B. Davyidova, S.A. Shabrov // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Fizika.

9. Шабров, С.А. Об одной математической модели малых деформаций стержневой системы с внутренними особенностями / С.А. Шабров // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2013. - № 1. - С.232-250.

10. Баев, А.Д. О единственности решения математической модели вынужденных колебаний струны с особенностями / А.Д. Баев, С.А. Шабров, Меач Мон // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2014. - N°

1. - С. 50-55.

11. Абдурагимов, Г.Э. О существовании и единственности положительного решения краевой задачи типа Штурма-Лиувилля для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка / Г.Э. Абдурагимов // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2012. - № 1. - С. 77-80.

12. Поляков, Д.М. Спектральные свойства дифференциального оператора четвертого порядка / Д.М. Поляков // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2012. - № 1. - С. 179-181.

13. Саакян, Г.Г. Об осцилляционных свойствах решений некоторых систем однородных дифференциальных уравнений / Г.Г. Саакян // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2010. - № 2. - С. 139-141.

14. Гриценко, А.В. Об исследование квазистатического изгиба консольного стержня при комбинированном внешнем воздействии / А.В. Гриценко // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2010. - № 1. -С. 94-96.

15. Исраилов, С.В. Краевая задача общей структуры для системы ОДУ / С.В. Исраилов, А.А. Сагитов // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2010. - № 1. - С. 107-111.

Matematika. - 2013. - М-1. - S. 155-160.

9. Shabrov, S.A. Ob odnoy matematicheskoy modeli malyih deformatsiy sterzhnevoy sistemyi s vnutrennimi osobennostyami I S.A. Shabrov II Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika. - 2013.

- Х1. - S.232-250.

10. Baev, A.D. O edinstvennosti resheniya matematicheskoy modeli vyinuzhdennyih kolebaniy strunyi s osobennostyami I A.D. Baev, S.A. Shabrov, Meach Mon II Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika. - 2014. - Х1. - S. 50-55.

11. Abduragimov, G.E. O suschestvovanii i edinstvennosti polozhitelnogo resheniya kraevoy zadachi tipa Shturma-Liuvillya dlya odnogo nelineynogo funktsionalno-differentsialnogo uravneniya vtorogo poryadka I G.E. Abduragimov II Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika. - 2012. - Х1. - C. 77-80.

12. Polyakov, D.M. Spektralnyie svoystva differentsialnogo operatora chetvertogo poryadka I D.M. Polyakov II Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika. - 2012. - Х1. - C. 179-181.

13. Saakyan, G.G. Ob ostsillyatsionnyih svoystvah resheniy nekotoryih sistem odnorodnyih differentsialnyih uravneniy I G.G. Saakyan II Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika. - 2010. - N° 2. - C. 139141.

14. Gritsenko, A.V. Ob issledovanie kvazistaticheskogo izgiba konsolnogo sterzhnya pri kombinirovannom vneshnem vozdeystvii I A.V. Gritsenko II Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika. - 2010.

- Х 1. - C. 94-96.

15. Israilov, S.V. Kraevaya zadacha obschey strukturyi dlya sistemyi ODU I S.V. Israilov, A.A. Sagitov II Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika. - 2010. - Х 1. - C. 107-111.

THE FUNCTION OF THE DIFFERENTIAL IMPACT MODEL FOURTH ORDER

Baev A.D., Doctor of physico-mathematical sciences, professor;

Voronezh State University;

Shabrov S.A., Candidate of physico-mathematical sciences,

Associate Professor;

Voronezh State University;

Golovaneva F.V., Candidate of physico-mathematical sciences,

Voronezh State University;

Meach Mon, graduate student,

Voronezh State University; e-mail: [email protected]

We prove the existence and uniqueness of the impact a boundary value problem that arises in the modeling of small deformations of the rod system with a feature that leads to the loss of smoothness of the solution, and the analysis of the mathematical model of a rod. In studying the possibility of applying the problem we use the pointwise approach proposed Yu.V. Pokorny in 1999 and has shown its effectiveness in analyzing not only the linear boundary value problems of second order (able to create an exact parallel to the classical theory of ordinary differential equations, up to oscillation theorems), but also non-linear problems.

Keywords: mathematical model, rod system, as derivative, boundary value problem.