Функция абстрактная модель гносеологического познания мира Текст научной статьи по специальности «Математика»

— ФИЛОСОФИЯ —

УДК 1:001+001.8 Н. М. Охлопков

ФУНКЦИЯ - АБСТРАКТНАЯ МОДЕЛЬ ГНОСЕОЛОГИчЕСКОГО ПОЗНАНИЯ МИРА

В статье функция рассматривается как предмет мышления в его абстрактном выражении. В историческом плане наиболее привлекательной и исследованной является задача решения алгебраических уравнений. Теоретические, аналитические и численные методы исследования (решения) алгебраических уравнений могут служить моделью системы научного знания вообще. Поэтому функция представляет собой наиболее важный абстрактный математический объект, который интерпретируется как абстрактная математическая модель гносеологического познания мира.

Ключевые слова: функция, переменная величина, функциональная зависимость, устойчивость, предел, математическая модель, прямая задача, обратная задача, вычислительный эксперимент, алгебраическое уравнение, метод итераций, точное решение, приближенное решение.

Под мощным нажимом запросов естествознания, выдвинувшего на передний план изучение движения, изменения, процессов, а не только состояний, введено понятие переменной величины. Введенное новое понятие не укладывалось в формы, выработанные всем ходом развития математики постоянных величин, требовало для своего выражения новых форм. Такими новыми формами, более адекватно выражающими эти понятия, явились буквенная алгебра и аналитическая геометрия Р. Декарта. В буквенных обозначениях, могущих принимать любые числовые значения, нашли свое символическое выражение переменные. Р. Декарту удалось установить тесную взаимную связь геометрии и алгебры, прерванную со времен древнегреческой математики.

В связи с бурным развитием буквенной алгебры и метода координат ученые все чаще стали использовать этот математический аппарат для выражения зависимостей между величинами. Для описания законов природы стали использовать не только алгебраические, но и тригонометрические зависимости. В работах П. Ферма и Р. Декарта выражена идея функциональной зависимости величин у и х в геометрической (графической) форме. В геометрическом и механическом виде имеются понятия функциональной зависимости и у И. Ньютона. Впервые термин «функция» появляется в 1692 году у Г. Лейбница [1], но не совсем в современном его понимании.

Геометрическое, механическое, кинематическое понимание переменной величины, будучи полуинтуитивным и в определенном смысле ограниченным, оказалось тем не менее весьма подходящим для дальнейшего развития

ОхЛОПКОВ Николай Михайлович - к.ф. - м.н., доцент кафедры прикладной математики ИМиИ СВФУ

E-mail: math - [email protected]

математических методов в естественных науках. Появившиеся в ХУН-ХУШ веках на базе переменной величины новые понятия, такие как непрерывность, производная, интеграл, предел оказали сильное влияние на формирование математического анализа как раздела математики. Над определением, уточнением и расширением понятия функции работали многие крупные математики XVII-XIX веков (Р. Декарт, И. Ньютон, И. Бернулли, Л. Эйлер, Ж. Даламбер, Ж. Лагранж, Д. Бернулли, С. Лакруа, Ж. Фурье, Н. И. Лобачевский, Л. Дирихле и другие).

Введение переменной величины позволило открыть общие закономерности изменения в различных математических процессах. Переменная выражает количественную и качественную стороны процесса изменения. Количественная сторона содержит отдельные численные значения переменной; качественной характеристикой является прерывистость и непрерывность, закон ее изменения - функция. Единство количественной и качественной сторон переменной величины достигается в пределе переменной величины. По этому поводу Н. Н. Лузин писал: «Как общее правило переменная величина в самое последнее мгновенье своего изменения утрачивает смысл, по крайней мере, во всех сколько-нибудь серьезных и ценных случаях, ради которых, собственно, и возникали оба исчисления. Ибо, если бы это не так, то интересующая величина предела прямо получалась бы вычислением или измерением переменной величины в этот заключительный момент, и тогда не было бы никакой необходимости ни в изменении переменной величины, ни в стремлении ее к пределу, ни вообще в каких-либо новых теориях и исчислениях» [2, с. 63]. Отсюда видно, что переменная величина выступает как величина диалектически противоречивая.

В математическом анализе фундаментальными формами выражения диалектики переменной величины являются прерывность и непрерывность. Непрерывность как форма бесконечности имеет принципиальное значение в математике, например, в виде континуума. Непрерывность характеризует единство отдельных значений переменной, которое проявляется во взаимосвязи этих значений. Противоречивый характер тесной связи непрерывности и бесконечности обнаруживаем, например, в таком явлении, как непрерывный отрезок прямой линии содержит бесконечное множество отдельных точек. Выяснение связи между качественно разными переменными дает возможность исследовать отношения между разными математическими процессами. Простейшим, но очень важным примером связи переменных является функциональная зависимость между качественно различными переменными: у=Дх). Функциональная зависимость выражает общее, т. е. закон изменения процессов и, следовательно, связь между всеми членами процессов. Функциональная зависимость выражает одновременно устойчивость и изменчивость отношения между переменными величинами, т. е. устойчивость означает, что если при малом изменении аргумента функции ее значение мало изменяется (имеет место непрерывная зависимость функции от ее аргумента), при этом изменчивость означает, что при изменении аргумента функция также изменяется, принимая соответствующие значения при соответствующих значениях аргумента, т. е. у=Дх). Устойчивость и изменчивость следует рассматривать в качестве атрибутов материи, ибо материя в одно и то же время устойчива и изменчива. Метафизики абсолютизировали устойчивость и поэтому не могли научно раскрыть значение изменчивости и, следовательно, движения и развития. Для диалектического метода важно рассмотрение изменчивости при учете ее тесной связи с устойчивостью. Функция выражает общее в математических процессах - закон изменения. Так как переменные принимают бесконечно много значений, то для определения закона изменения нужно найти меру изменения. Зная количественные границы меры, например, фиксированные значения функций у1 и у2 и фиксированные значения аргумента х1 и х2 теперь уже можно перейти к пределу в разностном отношении Ау. В результате такой операции определяется то, как изменяется функция в зависимости от конкретных особенностей отдельных значений переменной. Рассматриваемый процесс есть процесс дифференцирования функции. Дифференцирование является эффективным средством превращения одной функции в другую, получения все новых и новых функций. Исходную функцию можно восстановить, осуществив противоположный дифференцированию процесс интегрирования. Таким образом, в математическом анализе содержится возможность диалектического перехода исходной функции к новой функции.

Символ ^означает, что в разностном отношении со-йх ^у ,■ Ау

вершена операция перехода к предел, т. е. ^Х _ А^т0 АХ.

Поэто^ ^У в качестве оперативного символа нельзя разделить подобно обычной дроби, но рассматривая производную как качественно новую функцию, с ней можно обращаться как с обычной дробью, ибо есть определение новой функции, но в бесконечно малой области. Таким образом, дифференцирование является изучением функции в бесконечно малом, т. е. нахождение границ функции и, соответственно, получение качественно новых функций - новых закономерностей.

В качестве модели предмета исследования возьмем математическую функцию, ибо функция служит абстрактной моделью любого предмета. В общем плане функцию задаем в виде равенства:

Ах = у, (1)

которое может быть истолковано как задание функции А от аргумента х со значением у, не отличающейся по своей структуре от функции у=Дх) в обычном понимании.

Основной моделью математического естествознания, описывающей любые реальные и абстрактные объекты, является функция [3]. Функции описывают пространственные (геометрические) формы, процессы, протекающие во времени, свойства, отношения, законы природы. С ее помощью ставятся научные задачи и разрабатываются методы их решения. Поэтому функция предстает перед нами как предмет мышления в его наиболее абстрактном выражении. В силу этих обстоятельств функция представляет собой наиболее важный абстрактный математический объект, которая интерпретируется как абстрактная математическая модель мира.

Способы задания функций выражаются аналитическим выражением, наглядно-практическим (графическим), отвлеченно практическим (табличным) способами. Все эти способы связаны друг с другом, и в некотором смысле они эквивалентны, из любого описания можем получить два других. Для вычисления значения аналитически заданной функции с ее именем соотносится вполне определенный вычислительный алгоритм.

Задача табулирования функции сводится к многократному решению прямой задачи:

Ах = у, у = ? (2)

В виде таблиц обычно записываются результаты экспериментального исследования каких-либо процессов и явлений. Отсюда, используя те или иные приемы, можно получить математическую модель процесса, проведя структурную и параметрическую идентификацию. От табличного способа представления функции легко перейти к ее пространственно-графическому представлению, называемому графиком. Тем самым по аналитическому представлению функции можем воссоздать ее в число-

вой субстанции (материи) и пространственной форме.

Корни функции А ищутся в процессе анализа как решение обратной задачи Ах=0, х=?, т. е. как решение уравнения Ах=0 с неизвестным х. Таким образом, анализ функции, заданной аналитическим выражением, сводится к поиску корней функции и корней ее производных: Дх)=0, Г(х)=0, Г'(х)=0 и т. д., т. е. к решению обратных задач. В результате анализа функции исследуются ее свойства, неявно заключенные в ее аналитическом выражении: корни функции (Дх)=0, х=?), точки перегибов ее графика (Г'(х)=0), точки экстремумов (Г(х)=0), точки разрывов (асимптоты). Исследование аналитически заданной функции позволяет мысленно собрать, синтезировать ее свойства в целостное пространственное (геометрическое) представление. График функции не дает возможности точного определения численных значений х и у, но он наглядно отражает качественное поведение функции (непрерывность, монотонность, максимумы и минимумы, точки перегибов и т. д.) и поэтому является важным средством исследования функции. Аналитическое (символическое) представление функции есть объект теоретический, а графическое представление функции является геометрическим, пространственным образом некоторого фрагмента физической реальности, есть объект реальный и практический. Численный анализ является основой практического анализа теоретически заданной функции. Анализ и синтез могут выступать этапами вычислительного эксперимента, представляющего собой диалог человека с ЭВМ, в котором ЭВМ механически решает прямую задачу, а человек - интуитивно - обратную задачу.

В историческом плане наиболее привлекательной и исследованной является задача решения алгебраических уравнений. Поэтому теоретические, аналитические и численные методы исследования (решения) алгебраических уравнений могут служить моделью системы научного знания вообще. Упомянутая теория исследует вопросы разрешимости и решения уравнений вида:

Рп(х) = а0 + а1х +... + апхп = 0. (3)

Коэффициенты а;, 1 = 0, п уравнения (3) могут принимать любые числовые значения. Задача вычисления значения полинома является прямой задачей (Р (х)=у, у=?), а нахождение корней уравнения (3) представляет обратную задачу (Р (х)=0, х=?). Значение полинома вычисляется схемой Горнера:

рп(х) = а0 + х(а1 + х (а2 +... + х(ап-1 +ха п ))..)

которая является более экономичным и устойчивым алгоритмом. Коэффициенты полинома известны, поэтому они относятся к его явлению, а корни полинома неизвестны и потому относятся к его скрытой, невидимой сущности. Зная корни полинома, легко можно вычислить его коэффициенты. Корни полинома, согласно теории

Галуа, в общем случае невозможно выразить через его коэффициенты посредством арифметических операций и извлечения корня. Поэтому приходится прибегать к численным и приближенным методам решения алгебраических уравнений. Задача точного аналитического поиска решения уравнения, как арифметической функции его коэффициентов, является теоретической, а задача численного решения, представляющего корни в числовой форме, является эмпирической. Таким образом, одна задача рассматривается как две задачи (в рамках абстрактной и прикладной математики), которые используют различающиеся методы и критерии решения. Здесь отнесение первых к теории (теоретической математике), а вторых к эмпирии (прикладной математике) оправдано не только логически, но и исторически. Из теории Абеля и Галуа известно, что алгебраические уравнения выше четвертой степени в общем случае не имеют точного аналитического решения. Это говорит о том, что теория алгебраических уравнений неполна относительно аналитического решения. Эту неполноту преодолевают «практически» на вычислительном уровне, образованном численными методами решения уравнений.

Исторически первый «практический» метод решения задачи (3) заключается в случайном подборе числа х. Трудно угадать, какое значение х будет удовлетворять уравнению (3), но такой подход оказался более удачным в методологическом плане. Метод случайного подбора постепенно так усовершенствовали, что он стал исключительно эффективным численным методом решения уравнений. С этой целью исходную задачу (3) заменяют задачей вида:

Рп(х) - 0,х = ? (4)

Требование нахождения точного решения уравнения

(3) является теоретическим, т. е. задачей абстрактной математики. В рамках вычислительной и прикладной математики требование точного нахождения корня делает задачу практически неразрешимой. Так как входные данные задачи задаются приближенно и используются для решения уравнения приближенные численные методы, которые всегда допускают вычислительные погрешности. По этим причинам в эмпирической задаче (4) не ищется единственное решение, как в теоретической задаче (3).

Прикладная (эмпирическая) задача имеет бесконечно много решений, заполняющих числовой интервал, величина которого определяется практическими интересами исследователя (точностью задания входных данных). Любое из этих решений он рассматривает как решение задачи (4).

С точки зрения прикладника (эмпирика), задача (3) представляется некорректной (нереализуемой), и он заменяет ее адекватной задачей (4), которая является некорректной (нет единственности решения) уже с точки зрения теоретика. Возникшее противоречие между тео-

ретической и прикладной математикой преодолевается диалектикой мышления - компромиссом.

Метод простого подбора превращается в систематический, эффективный метод (метод итераций) решения широкого круга сложных математических задач. Это достигается преобразованием оператора (функции) задачи Рп в алгебраический оператор ф, осуществляющий сжимающее отображение числового интервала в себя. Первое «приближение» х0 эмпирической (прикладной) задачи выбирается произвольно из области определения корня, и этот произвол указывает на происхождение метода итераций от «метода» подбора. Исходное уравнение

(4) преобразуется к виду:

х = ф (х), х е [а,Ь], ф(х),е [а,Ь]. (5)

Подставив в правую часть уравнения (5) начальное приближение х0, получим х1 = ф(х0). Аналогичным образом имеем:

х2 =ф(х1 )=ф(ф(х0 ))=ф2 (х0 хк =фк (х0 )

Метод итераций связывает «выход» (хк) машины ф с ее «входом» (х0) обратной связью. В силу указанного свойства оператора (функции) ф числовая последовательность

хк =ф(хк-1 ) к = 1,2,... (6)

стремится, по мере роста номера к, к решению задачи (3). Иными словами бесконечная числовая последовательность х0,х1,...,хк,... является сходящейся к точному решению х=£ или слева или справа, или с двух сторон, которые символически можно представить равенством х = ф”(х0 ). Вычислитель (прикладник) может прервать процесс последовательных приближений, на любом к=п, зависящем от требуемой точности решения, конечном шаге итераций п, и считать значение хп решением вычислительной (прикладной) задачи (4).

Реализация метода последовательных приближений идет по схеме: входные данные

^ Ах = у ^ х = ф1 (х)(х е [а,Ь], ф(х)е [а,Ь]) ^ ^ х0 е [а,Ь],£> 0 ^ хк+1 =ф(хк) к = 0,1,2,... ^ ||Ахк — у < е • || Ахц — у||

если да, то выход (хп — ^, к = п), в противном случае к:=к+1, и цикл повторяется снова. Работающая таким образом эмпирическая (вычислительная) машина (алгоритм), реализующая метод итераций, требует для своей остановки вмешательства субъекта (задания точности вычисления е>0 и критерия остановки машины). Только после остановки «машины» ф она дает результат хп = х = Е,. Количество итераций к=п определяется самим субъектом, исходя из внетеоретических (практических) соображений, а машина руководствуется теоре-

тическими критериями. Таким образом, решение достигнутое, численными методами, имеет и субъективный, и объективный (теоретический) источники и может быть названо синтетическим. В силу неполноты теории относительно эмпирических (прикладных) задач и неполноты эмпирии (вычислений) относительно теоретических задач знания, полученные этими методами, не тождественны, но они вместе дополняют друг друга.

В конкретных науках теоретической задачей называют задачу вычисления реальной величины по ее косвенным проявлениям, а эмпирической (экспериментальной) задачей - прямое измерение этой же величины с помощью эксперимента. В задаче (3) можно считать теоретической задачу точного решения уравнения методом аналитических преобразований, а эмпирической (вычислительной) - задачу приближенного решения уравнения методом итераций. Точное аналитическое решение уравнения (3), ввиду «запрета Галуа», возможно для немногих уравнений. Численное (синтетическое) решение возможно для всех уравнений (3), но оно неточно. Возможные точные решения уравнения (3) могут служить для независимой проверки синтетических (численных) методов. Это обстоятельство дает нам основание доверять эмпирическим (численным) решениям там, где невозможны аналитические (точные) решения.

Решение прямой задачи особых усилий от исследователя не требует, носит преимущественно механический характер вычислений по известному алгоритму, поэтому она не является исследовательской задачей. В полном смысле слова задачей является обратная задача, требующая для своего решения нестандартного мышления, изобретательности, в результате которого открывается алгоритм, дающий возможность единообразно решать задачи из данного класса подобных ей задач [4, 5, 6, 7]. После открытия алгоритма решения обратных задач, она по существу становится прямой задачей, ибо решать обратную задачу - значит свести ее к решению последовательности прямых задач (х = ф(х)^ хк+1 = ф(хк )).

Универсальным методом такого сведения является метод проб. Этим методом можно решать обратную задачу, когда теоретический (аналитический) метод ее —ешенЕЯ не существует или неизвестен. В том случае, когда операт0 р А обратной задачи (4) необратим, тогда решение может быть найдено методом подгонки, т.е. путем многократного решения прямой задачи (2). Контроль правильности или применимости решения обратной задачи Ах=у, х=? осуществляется путем решения соответствующей прямой задачи (2).

Л и т е р а т у р а

1. Виленкин Н. Я. Функция в природе и технике. М.: Просвещение, 1985. 192 с.

2. Лузин Н. Н. Ньютонова теория пределов. // Исаак Нью-

тон. М.: 1943. С. 63.

3. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю.В.Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1988, 847 с.

4. Тихонов А. Н., Ареснин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974, 222 с.

5. Антаков С. М. Прямая и обратная задача в структуре научного исследования. Авторефер. дисс. ...канд. философ. наук.

Нижний Новгород, 1994. 20 с.

6. Охлопков Н. М., Охлопков Г. Н. Численные методы решения некорректных задач: Учебное пособие. - Якутск, 2002. 72 с.

7. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Едитори-ал УРСС, 2004, 480 с.

Okhlopkov N. M.

Function is an abstract model of epistemological comprehension of the world

The author considers function as a subject of thinking in its abstract terms. The problem of algebraic equations solution has been the most attractive and it has always been investigated. Theoretical, analytical and numerical methods for the study (decision) equations can serve as a model system of scientific knowledge in general. Therefore, the function is the most important abstract mathematical object, which is interpreted as an abstract mathematical model of epistemological knowledge world.

Key words: function, variable, functional, stability, limit, a mathematical model, a direct problem, inverse problem, numerical experiment, an algebraic equation, the method of iterations, the exact solution, approximate solution.