CC BY
26
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 11-01-00-645, № 11-01-00-626), Министерства образования и науки РФ (ГК № 14.132.21.1348, проект № 1.1877.2011).
Bulgakov A.I., Grigorenko A.A. DISTURBANCES OF A CONVEX-VALUED VOLTERRA INCLUSION BY A VOLTERRA OPERATOR NOT NECESSARILY CONVEX- OR CLOSEDVALUED
The article is concerned with an inclusion the right-hand side of which is the sum of the values of a convex-valued Volterra operator and those of the superposition of a single-valued Volterra map and a multi-valued map with decomposable images in the space of integrable functions. For such an inclusion, there are formulated theorems about solvability and extendability of solutions and there is derived an important property of quasi-solutions. There is also studied an inclusion depending on a parameter from some metric space.
Key words: disturbances of Volterra operators; local solvability; extendability of solutions; a-priori boundedness; quasi-solution.
УДК 517.911, 517.968
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОПЕРАТОРОМ НЕМЫЦКОГО
© А. И. Булгаков, А. И. Коробко, Е. В. Малютина, О. В. Филиппова
Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; импульсные воздействия; оператор Немыцкого; вольтерров по А.Н. Тихонову оператор.
Рассматриваются достаточные условия априорной ограниченности множества решений функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями, порожденного оператором Немыцкого, и достаточные условия выполнения "бэнг-бэнг" принципа этих включений.
Пусть еошр[Мп] — множество всех непустых компактов п -мерного векторного пространства Мп с нормой | • |; Н[-; ■] — расстояние по Хаусдорфу между множествами в пространстве Мп; Ъп[а,Ь] (Ъ1^0[а,Ь] ) — пространство суммируемых по Лебегу (измеримых, ограниченных в существенном) функций х :[а,Ь] ^ Мп с нормой ||ж||£,п[а,ь] = 1х^)^в
( ||х||ь£,\а,ъ\ = vraisup{|x(£)| : £ € [а,Ь]}) ; Б[Ьп[а, Ь]] — множество всех непустых, ограниченных, замкнутых, выпуклых по переключению (см. [1-3]) подмножеств пространства Ьп[а,Ь] ; ео X — выпуклая оболочка множества X; Со X = ео X; ех1 X — замыкание множества крайних точек множества X.
Пусть € [а,Ь] (а < £1 < ... <£р <Ь) — конечный набор точек. Обозначим О [а, Ь] — множество всех непрерывных на каждом из интервалов [а, £1], (£1, £2], •••, (£Р,Ь] ограниченных функций х : [а, Ь] ^ Мп, имеющих пределы справа в точках Ьк, к = 1, 2,...,р, с
нормой ||х||с" ащ =йир{|х(£)|: £ € [а,Ь]}; С+[а,Ь] — множество неотрицательных функций пространства С [а, Ь].
Определим отображение е : [а, Ь] [а, Ь] равенством
(Ех)(£) = уга1вир ^(т )| (1)
т&[а,Ь]
и непрерывное (см. [4]) отображение Z : Сп[а,Ь] ^ С! +[а,Ь] равенством
(2х)(£) = (2)
Определение 1. Будем говорить, что непрерывный вольтерров по А.Н. Тихонову оператор (см. [5]) Т: Сп[а,Ь] ^ Ь™[а,Ь] обладает свойством $, если найдутся такие неотрицательные константы а, в, что при каждом х € Сп[а,Ь] при почти всех £ € [а,Ь] выполняется неравенство
Е^(Тх))(£) ^ а(Е^х))(£) + в, (3)
где ^ператор Е: Ь^а, Ь] ^ Ь^а, Ь] задан равенством (1), а отображение Z : Сп[а,Ь] ^ ^ С + [а,Ь] соотношением (2).
Рассмотрим задачу для функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями
х(£) € ^(£, (Тх)(£)), £ € [а,Ь]
Ах(гк ) = 1к (х(гк)), к = 1,2,...,р, (4)
х(а) = х0,
где отображение ^: [а, Ь]хМт ^ еошр[Мп] удовлетворяет условиям Каратеодори (см. [6-8]), непрерывный вольтерров по А.Н. Тихонову оператор Т: Сп[а, Ь] ^ Ь™[а, Ь] обладает свойством $; Ах(£к) = х(£к + 0) — х(£к), к = 1, 2,...,р, отображения 1к : Мп ^ Мп, к = 1, 2,...,р, непрерывны.
Определение 2. Решением задачи (4) будем называть функцию х € С п[а, Ь], для
которой существует такая измеримая функция V : [а, Ь] ^ Мп, что при почти всех £ € [а, Ь]
выполняется включение
v(£) € ^(£, (Тх)(£)), и при всех £ € [а, Ь] справедливо представление
р
х(£) = (Щ(£) + ^2 Х(гк ,ъ\1к (х(£к)),
к=1
где непрерывный интегральный оператор Л : Ьп[а, Ь] Сп[а, Ь] определен соотношением
(Лг)(£) = х0 + 1 г(в)й8. (5)
а
Пусть т € (а,Ь]. Определим отображение Пт : Сп[а,т] Сп[а,Ь] равенством
(Птх)(£) = { х{£)' если £€ 1'а'т) (6)
\ х(т), если £ € (т,Ь).
Отметим, что, согласно определению отображения Пт : Сп[а,т] ^ Сп[а,Ь], оператор
Пщ : Сп[а, Ь] Сп[а, Ь] является тождественным.
Определение 3. Решением задачи (4) на отрезке [а, т ] называется функция х € Сп[а,Ь], для которой существует измеримая функция V :[а,т] ^ Мп, удовлетворяющая при почти всех £ € [а, т] включению
v(£) € ^(£, (Т(Птх))(£)),
для которой справедливо для любого і Є [а, т] представление
(і) = (лУ)(і) + ^2 Х(ьк ,ь\1к (х(ік)). (7)
к: €[а,т\
Обозначим Н(хо,т) — множество всех решений включения (4) на отрезке [а,т], (т Є (а,Ь]).
Определение 4. Будем говорить, что множество решений включения (4) априорно ограничено, если существует такое число Л > 0, что для любого т Є (а, Ь] не существует решения х Є Н(хо,т), для которого справедливо соотношение
НХНс"[а,т] > Л
Обозначим отображения Гсо : [а, Ь] х Мт ^ еошр[Мп], : [а, Ь] х Мт ^ еошр[Мп] равен-
ствами
(і,х)=ео(Г (і,х)); (8)
Рехі(і,х) = ехі(ЄоГ (і,х)). (9)
Определим оператор Немыцкого (см. [9]) N: Ъ™[а,Ь] ^ Б\Ьп[а, Ь]], порожденный отоб-
ражением Г : [а, Ь] х Мт еошр[Мп], равенством
N (х) = {у Є 1,п[а,Ь] : у (і) Є Г (і,х(х)) при почти всех і Є [а, Ь]}. (10)
Аналогично определим операторы Немыцкого Мсо: Ь^а, Ь] ^ Б [Ьп[а, Ь]], Мехь: Ь™[а, Ь] ^
^ Б^Ь^а, Ь]], порожденные отображениями ^со : [а, Ь] х Мт ^еошр[Мп], ^е^: [а, Ь] х Мт ^
еошр[Мп].
Рассмотрим следующие функционально-дифференциальные включения:
х € 1х + ЛМ(Т(х)); (11)
х € 1х + Шехь(Т(х)); (12)
х € 1х + ЛМсо(Т(х)), (13)
где непрерывное отображение I: Сп[а,Ь] ^ Сп[а,Ь] при всех £ € [а,Ь] определено равенством
(1х)(і) = ^2 Х(ьк ,ь\(і)Ік (х(ік)), (14)
к=1
в котором отображения 1к : Мп ^ Мп, к = 1,...,р, непрерывны, непрерывный интегральный оператор Л: Ьп[а,Ь] ^ Сп[а,Ь] определен соотношением (5).
Обозначим Н(х0,т), НеХ1(х0,т), Нсо(х0,т), (т € (а,Ь]) — множество решений включений (11), (12), (13) на отрезке [а, т] соответственно.
Отметим, что если множество решений включения (13) априорно ограничено, то и множество решений включения (11) априорно ограничено. Верно и обратное утверждение, если множество решений включения (11) априорно ограничено, то и множество решений включения (13) также априорно ограничено.
Определение 5. Будем говорить, что функция ш : [а, Ь] х [0, то) ^ [0, то) обладает свойством &, если выполняются условия:
1) при каждом х € [0, то) функция ш(-,х) измерима;
2) при почти всех £ € [а,Ь] функция ш(£, ■) непрерывна и не убывает;
3) для каждого ограниченного и С [0, то) существует суммируемая функция уц : [а, Ь] ^ [0, то), что при почти всех £ € [а,Ь] выполняется неравенство
\\ш(£,и)|| ^ уц(£).
Определение 6. Будем говорить, что отображение Г: [а, Ь] х Мт еошр[Мп], удовлетворяющее условиям Каратеодори, непрерывный вольтерров по А.Н. Тихонову оператор Т: Сп[а,Ь] Ьт [а,Ь] и непрерывные импульсные функции 1к : Мп Мп, к = 1, 2,...,р, об-
ладают свойством Я, если выполняются условия:
1) существует такая функция ш : [а, Ь] х [0, то) ^ [0, то), удовлетворяющая условию £}, что для любых х € Кт, при почти всех £ € [а, Ь] выполняется оценка
||Г(£,х)\\ < ш(£, |х|); (15)
2) непрерывный вольтерров по А.Н. Тихонову оператор Т : Сп[а,Ь] ^ Ь1^[а,Ь] обладает свойством $';
3) для каждого к = 1, 2,... ,р найдется непрерывное отображение 1'к : [0, то) ^ [0, то), что для любого х € Кп выполняется оценка
11к(х)1 < 1'к (|х|); (16)
4) множество решений задачи
у(£) = ш(£,а ■ у(£)+ в), Ау(£к )= Гк (У(£ к )), (17)
к = 1,2,... ,р, у(а) = |хо|,
где х0 - начальное условие, а константы а, в € [0, то) удовлетворяют неравенству (3), априорно ограничено.
Теорема 1. Пусть отображение Г :[а,Ь] х Мт ^ еошр[Мп], удовлетворяющее условиям Каратеодори, непрерывный вольтерров по А.Н. Тихонову оператор Т: Сп[а, Ь] ^ ^ Ь^[а,Ь], и непрерывные импульсные функции 1к : Мп ^ Мп, к = 1, 2,... ,р, обладают
свойством я. Тогда множество решений задачи (4) априорно ограничено.
Определение 7. Будем говорить, что отображение Г : [а,Ь] х Мт еошр[Мп], удовлетворяющее условиям Каратеодори обладает свойством А, если существует такая функция ш : [а, Ь] х [0, то) ^ [0, то), удовлетворяющая условию £}, что для любых х,у € Мт
при почти всех £ € [а, Ь] выполняется соотношение
Н[Г(£, х); Г(£, у)} ^ ш(£, ^ - у\). (18)
Определение 8. Будем говорить, что вольтерров по А.Н. Тихонову оператор Т: Сп[а, Ь] ^ Ь™[а, Ь] удовлетворяет условию Липшица, если существует константа ф ^ 0, что для любых х,у € Сп[а, Ь] при почти всех £ € [а, Ь] выполняется неравенство
(Т(х) - Т(у)))(£) < (х - у))(£), (19)
где^отображение Е: Ь^а, Ь] ^ Ь^а, Ь] задано формулой (1), непрерывное отображение Z : Сп[а, Ь] ^ С\[а, Ь] равенством (2).
Определение 9. Будем говорить, что отображение Г : [а,Ь] х Мт еошр[Мп], удовлетворяющее условиям Каратеодори, непрерывный вольтерров по А.Н. Тихонову оператор Т: Сп[а,Ь] ^ Ь^[а,Ь], импульсный оператор I: Сп[а,Ь] ^ Сп[а,Ь], определенный равенством (14) обладают свойством т, если они удовлетворяют условиям:
1) отображение Г :[а,Ь] х Мт ^ еошр[Мп] обладает свойством А;
2) отображение Т: Сп[а,Ь] Ь^а^} удовлетворяет условию Липшица (см. (19));
3) для импульсного непрерывного оператора I: Сп[а, Ь] ^ Сп[а, Ь], определенного равенством (14), найдется непрерывное изотонное вольтеррово отображение I: С\[a, Ь\ ^
^ С+[а,Ь], удовлетворяющее равенству I(0) = 0, что для любых х,у € Сп[а,Ь] справедливо соотношение
\\1(х) - 3(у)\\£„м< ||1 (?(х - у))\\с + м;
4) задача
у(£) = ш(£,фу(£)), у (а) = 0, (20)
на каждом отрезке [а,т] (т € [а,Ь]) имеет единственное нулевое решение, где функция ш :[а,Ь] х [0, то) ^ [0, то), число ф ^ 0 удовлетворяют неравенствам (18), (19), соответственно.
Т е о р е м а 2. Пусть множество решений задачи (4) априорно ограничено и пусть отображения Г : [а,Ь] х Мт ^ еошр[Мп], непрерывный вольтерров по А.Н. Тихонову оператор Т : Сп[а, Ь] ^ Ь™[а, Ь], импульсный оператор I: Сп[а, Ь] ^ Сп[а, Ь], определенный 'равенством (14), обладают свойством Ш'. Тогда справедливы равенства
Н (хо,Ь) = Нехь(хо,Ь) = Нсо(хо,Ь), (21)
где Н(х0,Ь), Нехь(хо,Ь), Нсо(х0,Ь) — множество решений включений (11), (12) и (13) соответственно; Н(хо,Ь), НеХ1(хо,Ь) - соответственно замыкание множества Н(хо,Ь), Нехь(хо,Ь) в пространстве Сп[а,Ь].
Следствие 1. Пусть отображения Г: [а, Ь] х Мт еошр[Мп], непрерывный вольтер-ров_по А.Н. Тихонову оператор Т : Сп[а, Ь] ^ Ь^[а, Ь], импульсный оператор I: Сп[а, Ь] ^ ^ Сп[а,Ь], определенный равенством (14), обладают свойствами Я, Ш'. Тогда справедливо равенство (21).
Определение 10. Будем говорить, что отображение Г: [а, Ь] х Мт еошр[Мп], обладающее условием Каратеодори, удовлетворяет условию Липшица, если существует такая суммируемая функция а : [а, Ь] ^ [0, то), что для любых х,у € Мт при почти всех £ € [а, Ь] выполняется оценка
Н[Г(£, х); Г(£,у)] ^ а(£^х - у1 (22)
Определение 11. Будем говорить, импульсный оператор I: С п[а, Ь] ^ С п[а, Ь] удовлетворяет условию Липшица, если для каждой импульсной функции 1к : Мп ^ Мп, к = 1, 2,... ,р, определяющей импульсный оператор I: Сп[а, Ь] ^ Сп[а, Ь], найдется такое число д ^ 0, что для любого к = 1, 2,...,р и для любых х,у € Мт выполняется неравенство
^к(х) - 1к(у) < д^ - у1 (23)
Следствие 2. Пусть отображения Г: [а, Ь] х Мт еошр[Мп ], обладающие условиями Каратеодори, непрерывный вольтерров по А.Н. Тихонову оператор Т : Сп[а,Ь] ^ Ь™[а,Ь], импульсный оператор I: Сп[а, Ь] ^ Сп[а, Ь], определенный равенством (14), удовлетворяют условиям Липшица. Тогда справедливо равенство (21).
ЛИТЕРАТУРА
1. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения. I, II, III // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 3. С. 371-379; Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 4. С. 566-571; Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 5. С. 739-746.
2. Булгаков А.И., Коробко А.И., Филиппова О.В. К теории функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск, 2008. Вып. 2. С. 23-26.
3. Булгаков А.И., Коробко А.И., Филиппова О.В. Некоторые вопросы функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2007. Т. 12. Вып. 4. С. 414-418.
4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.
5. Тихонов А.Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюл. Моск. ун-та. Секция А. 1938. Т. 1. № 8. С. 1-25.
6. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. 2005. 216 с.
7. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.
8. Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986. 296 с.
9. Финогенко И.А. О дифференциальных уравнениях с разрывной правой частью // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. Иркутск, 2000. Т. 3. № 2. С. 88-102.
Поступила в редакцию 10 ноября 2012 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 11-01-00-645, № 11-01-00-626), Министерства образования и науки РФ (ГК № 14.132.21.1348, проект № 1.1877.2011).
Bulgakov A.I., Korobko A.I., Malyutina E.V., Filippova O.V. FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL INCLUSIONS WITH IMPULSES GENERATED BY NEMYTSKI OPERATOR
The article deals with sufficient conditions of a-priori boundedness of the solutions set to a functional-differential inclusion with impulses generated by the Nemytski operator as well as sufficient conditions to perform the "bang-bang" principle.
Key words: functional-differential inclusion; impulses; Nemytski operator; A.N. Tikhonov’s Volterra operator.
