CC BY
48
УДК 524.354
Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2006, вып. 1
В. М. Бакулев
ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ
Введение. В течение 10 лет после открытия первой вращающейся не вокруг Солнца планеты [1] были обнаружены более сотни экзопланет, в том числе несколько планетных систем. (Постоянный подсчет вновь открытых экзопланет и их параметров ведется на сайте [2].) Такое количество уже позволяет проводить статистическую оценку их параметров для сравнения с аналогичными параметрами планет нашей Солнечной системы. Сравнительный анализ необходим для проверки правильности гипотез о формировании планетных систем, в свое время созданных на основе знания структуры единственной тогда известной планетной системы и для оценки вероятности нахождения звезд с планетами земного типа.
Существует точка зрения, что планетные системы, подобные Солнечной, имеются в изобилии, но пока не открыты из-за технических трудностей в обнаружении планет с малой массой [3, 4]. Однако в работе [5] по наблюдаемым распределениям эксцентриситетов и больших полуосей экзопланет был сделан вывод о том, что наша Солнечная система является сильно атипичной по отношению к большинству планетных систем, наблюдаемых в Галактике. На первый взгляд, Солнечная система действительно может быть уникальна с точки зрения распределения межпланетных расстояний, угловых моментов и масс планет. Если в регулярном распределении планетных орбит («закон Тициуса-Боде») угадывается математическая закономерность [6], то это никак нельзя сказать о распределении вещества и момента количества движения планет [7].
Подавляющая масса системы сосредоточена в Солнце, а его удельный момент составляет менее 1% всего удельного момента системы. Девять планет системы разделены Поясом астероидов на две сильно неравные по массе группы, и практически весь орбитальный угловой момент системы сосредоточен в одной планете (Юпитере). Однако удельные (на единицу массы) моменты количества движения планет плавно возрастают по мере удаленности планет от Солнца [7], что дает надежду на то, что это может быть общим правилом при формировании планетных систем. В работе [8] были использованы наблюдаемые регулярности в изменениях планетных расстояний и удельных угловых моментов планет для выявления новых математических закономерностей в Солнечной системе. Было показано, что если орбиты планет рассматривать как одночастичные уровни, то энергия и орбитальный угловой момент частицы на данном уровне могут быть представлены как определенные комбинации двух дискретных вероятностных распределений случайной целочисленной величины - номера орбиты. Одно из этих распределений аналогично распределению уровней энергии электрона в водоро-доподобных атомах и описывает движение в центрально-симметричном гравитационном поле, другое является целочисленным аналогом частотного распределения энергии теплового излучения и характеризует тепловые движения частиц. Настоящая работа является продолжением [8]. В рамках указанных представлений масса планет рассматривается как величина, пропорциональная заселенности одночастичных уровней, и соответственно описывается теми же распределениями.
Параметры планетных орбит в одночастичном представлении. В небулярных теориях образования Солнечной системы предполагается, что Солнце и планеты образовались из сколлапсировавшего под действием собственной гравитации облака газа и пыли («небулы»). Процесс эволюции небулы обусловливается диссипацией ее полной энергии [7, 9]. В течение значительного времени эволюции Солнечной системы
© В. М. Бакулев, 2006
Планета п еп ап ■ Ю-10, Еп ■ 1018, ¿п-Ю12, Мп/М0 Е1п • 1018, Ь? • 1012,
м Дж Дж-с Дж Дж-с
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Меркурий 1 0,206 5,791 -1,918 4,54 1,59-Ю"7 -1,874 4,73
Венера 2 0,007 10,821 -1,026 6,34 2,45-10"® -1,049 6,35
Земля 3 0,017 14,960 -0,742 7,46 3,01-10"6 -0,763 7,37
Марс 4 0,093 22,79 -0,487 9,16 3,22-Ю"7 -0,480 9,08
Пояс астероидов 5 0,079 41,39 -0,268 12,4 1,00-Ю"9 -0,268 12,2
Юпитер 6 0,049 77,83 -0,143 17,0 9,56-Ю"4 -0,141 17,2
Сатурн 7 0,056 142,8 -0,078 23,0 2,86-Ю"4 -0,074 24,0
Уран 8 0,047 287,2 -0,039 32,6 4,37-Ю-5 -0,041 31,7
Нептун 9 0,009 449,8 -0,025 40,9 5,18-Ю"5 -0,025 39,1
Плутон 10 0,249 591,0 -0,019 45,4 6,4910"9 -0,018 45,5
Примечание. Значения ап, еп и Мп - из справочника [11]; Ьп и Еп - частицы на п-й орбите рассчитаны по уравнениям (1), (2) при условиях то = 1,67 • Ю-27 кг; Мо = 1,989-Ю30 кг; Е^ - по (3), - по (4). Величины аь и считаются такими же, как у самого крупного астероида - Цереры. Оценка всей массы Пояса астероидов приведена из [7].
концентрация газа достаточно низкая, чтобы считать газ идеальным. При расчете полной энергии идеального газа можно не учитывать межмолекулярное взаимодействие из-за его малости. В этом случае полная энергия системы будет равна сумме энергий отдельных частиц газа. Если полные энергии частиц одинаковы, то, установив их и зная количество частиц в системе, можно определить энергию всей системы (одночас-тичпое представление).
Будем считать, что начальные тепловые энергии и моменты количества движения частиц в процессе эволюции перешли в орбитальные движения сформировавшихся из них планет, или, иначе, хаотическое движение частиц стало регулярным. Полная механическая энергия (Еп) движения частицы в поле тяготения Солнца и ее орбитальный угловой момент (Ьп) на любой планетарной орбите можно рассчитать из наблюдаемых значений большой полуоси (ап) и эксцентриситета (еп):
СМ0т0
Ьп =---> (-и
2ап
Ьп = т0^<7М0ап(1 -е2), (2)
где С = б, 672- 10-11м3/кг-с2 - гравитационная постоянная; М0 = 1, 989- Ю30 кг - масса Солнца; п = 1, 2,..., 10 - номера орбит планет, начинал от ближайшей к Солнцу планеты Меркурий и считая Пояс астероидов несостоявшейся или развалившейся планетой. Рассчитанные по этим уравнениям значения Еп и Ьп проявляют монотонную зависимость от номера орбиты (см. колонки 5 и б таблицы) и, как показано в работе [8], могут быть охарактеризованы с помощью дискретных вероятностных распределений случайной величины п.
Энергии Еп хорошо описываются формулой полной вероятности события \¥п для равновероятностной двухурновой схемы [10], которая состоит из равновероятного по-
явления случайной величины п или в распределении или в распределении И7п2
(колонка 8 таблицы):
Еп = ЕШп = Е{\ц>п1 + ^п2), (3)
где 1¥П1 и И^П2 представляют собой вероятностные распределения, используемые в квантовой физике при описании дискретных уровней энергии частицы в центрально-симметричном поле (И^х) и набора квантовых осцилляторов с энергиями Ку = ЬкТх п(1¥п2):
1
Жп1 =
[/п2 6 1
-
Е 7п2 * п
71=1
3 3
/ехр(Ьп) - 1 П /ехр(Ьп) - 1 156"
71=1 * ' ' £ ехр(02;) — I
Здесь Е и Ь - параметры, определяемые подгонкой экспериментальных и теоретических результатов.
В работе [8] были рассчитаны значения данных параметров: Ь = 1,283 ± 0,013 и Е = -(4,88±0,09) • Ю-18 Дж; последнее по определению является суммой всех величин Еп при п —»■ оо. Оказалось, что полученное значение Е чуть больше суммы первых десяти наблюдаемых значений энергии (—4,745 • Ю-18 Дж). Поэтому основной вклад в энергию орбитального движения частицы в гравитационном поле Солнца дают первые уровни. Формулы для вычисления ап через вероятности получаем простой заменой Еп в уравнении (1) их значениями, рассчитанными по (3).
Величины Ьп также были получены по выражению, связанному с теорией вероятности (колонка 9 таблицы):
Ьп = Ьпш + Ьш > 1 = <4>73 ± °'07) ■ 10-12 Дж •с> (4)
И7«! + \¥п3 Шщ + №п3
П /ехр(Ьп) - 1 П /ехр(Ьп) - 1 б3 п2
^тг2/ ч , 7 Х4х 2,402 ехр(Ьп) — 1
/ехр(оп) - 1 J ехр(Ьж)-1
гг=1 О
Здесь отношения
являются условными вероятностями, вычисленными по формуле Байеса [10], так же как и в уравнении (3) для равновероятностной двухурновой схемы. Рассчитанный методом наименьших квадратов параметр Ь = 1,277 ±0,021 в пределах погрешности совпал с полученным в выражении для энергии (уравнение (3)). В работе [8] также было вычислено теоретическое значение параметра Ь = 1,294 в предположении, что распределения ШП2 и Шп3 описывают энергию и заселенность уровней дискретного набора квантовых осцилляторов с энергиями ки = ЪкТ • п, где п = 1, 2, 3,----
Наблюдаемые (•) и теоретические (о) заселенности орбитальных уровней в Солнечной системе.
Штриховой линией показано нормальное распределение с параметрами, определенными в уравнении (6).
Таким образом, в Солнечной системе на ранних этапах ее эволюции существовал набор дискретных уровней с определенными величинами энергий и моментов количества движения, на которых преимущественно группировались частицы газа и пыли облака, впоследствии сформировавшие планеты и Пояс астероидов.
Реальная заселенность уровней (количество частиц на одном уровне) в Солнечной системе не может быть установлена точно, так как точно не известен химический состав планет. Однако из научных данных с большой долей вероятности можно считать, что состав четырех больших планет (Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун) идентичен составу Солнца, который на 90% состоит из водорода, а химический состав внутренних малых планет и Плутона гораздо более сложный и состоит из более тяжелых элементов [7]. Предполагая, что распределение масс в Солнечной системе обусловлено в основном гравитационными силами, в качестве первого приближения под частицами будем понимать нуклоны (протоны и нейтроны). Тогда их количество на каждом уровне можно определить, разделив массу каждой планеты (и Солнца - для нулевого уровня) на то = 1,67 • 10~27 кг, которое с точностью до третьего знака равно массе как протона, так и нейтрона и атома водорода. На рисунке отложен логарифм доли числа нуклонов на каждой планете и на Солнце от количества всех нуклонов в Солнечной системе (в предположении, что вся масса системы сосредоточена в планетах и самом Солнце) от номера планеты (для Солнца п = 0), т. е. отображено распределение вероятности нахождения частиц (нуклонов) на планетарных уровнях в полулогарифмическом масштабе (для удобства восприятия). Как ни странно, но эти вероятности можно также определить из тех же распределений случайной величины п, что и для полной орбитальной энергии, и орбитального момента количества движения частицы в поле притяжения Солнца.
Найдем распределение вероятности выпадения случайной величины п в результате одновременного проявления двух независимых событий: выпадение п в распределении \Упх и выпадение п в распределении Шпз. По определению, такое распределение будет пропорционально произведению И^з [10]:
0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20
гг
о
"1 I-1-1-г
о
о
/
/
1п(Л/л/Л/о)
8 . 10 п
Я •
О
IV ^ ч ■ ■ 2
^п = п=00п1 = С(^п1И/п3) = г (5)
п= 1
где С = 3,557 при Ь = 1,283. Это распределение (в полулогарифмическом масштабе) изображено на рисунке в сравнении с реальными заселенностями уровней в Солнечной системе. Как видно, часть точек реальных заселенностей, а именно вероятности с шестого по девятый уровень (соответствующие большим планетам), хорошо описываются распределением ИЛуп, тогда как все остальные резко отличаются, не говоря уже о том, что по распределению \Умп на нулевом уровне вообще не должно быть частиц. Однако этому расхождению можно найти объяснение. Заметим, что суммарная масса планет земной группы и Пояса астероидов составляет 5,9 -10~~6 солнечной массы. Поэтому реальная заселенность первых пяти уровней очень мала по сравнению с тем, что должно быть по распределению WNn, т. е. данные уровни можно считать практически пустыми. Общая доля частиц на уровнях с первого по пятый по распределению должна составлять 0,9987 от всех частиц в Солнечной системе, а на последующих четырех -только 0,001257, т. е. всего 0,126% от суммы вероятностей заселенности первых пяти уровней. Если считать, что в результате некоего физического процесса практически все частицы с первых пяти уровней перешли на нулевой, то отношение масс четырех больших планет к массе Солнца должно соответствовать этому соотношению, что и наблюдается в действительности (реальное отношение равно 0, 134%).
В распределении остатков частиц на первых пяти уровнях также можно увидеть зависимость, имеющую отношение к вероятностным процессам. Заселенность первых пяти уровней (планеты земной группы и Пояс астероидов) хорошо соответствует распределению Гаусса, которое широко используется для описания флуктуаций [10]:
~ 1 ехр(^-^£), п = 1,2, 3,4, 5, (6)
2Д2
где N 1_б - количество нуклонов на первых пяти уровнях, определенное как Л^-б = = 7,06 • 1051; Л^п - количество нуклонов на п-м уровне; Д = 0,620 ± 0,014; по = 2,578 ± 0,022.
Конкретные физические процессы, приводящие к нормальному распределению и уходу основной массы частиц с первых пяти уровней на нулевой, не являются предметом данной работы, в которой рассматривается структура Солнечной системы с точки зрения двухурновой схемы вероятности.
Обсуждение результатов. В чем заключен физический смысл двухурновой схемы в образовании структуры Солнечной системы можно попытаться понять из оснований статистической физики.
По определению, в данном объеме идеального газа появления частицы с заданным импульсом или с заданными координатами являются статистически независимыми событиями [12]. Поэтому вероятность нахождения частицы на некотором уровне энергии, т. е. с конкретными координатами и импульсом, будет равна произведению вероятности обладания частицей определенным импульсом на вероятность нахождения частицы в данной точке координатного пространства. Количество частиц на конкретном уровне энергии получается умножением данной вероятности на полное количество частиц в системе. Вероятности из уравнения (6), совпадающие с распределением час-
тиц по орбитальным уровням, также являются произведением двух вероятностей. По
аналогии можно предположить, что одно из распределений является распределением случайной величины п в пространстве координат, а другое - в пространстве импульсов. Тогда сразу возникает вопрос: какое из них относится к координатному пространству, а какое - к импульсному? Зависимость от п характерна для квантового распределения энергии частицы в потенциальном поле кулоновского типа (к которому относится и ньютоновское гравитационное поле). Распределение является дискретным аналогом распределения Планка для плотности энергии квантовых осцилляторов, соответственно ШП2 представляет собой заселенность уровней квантовых осцилляторов. Энергия частицы в поле кулоновского типа определяется ее положением относительно центра действующих сил, а энергия квантового осциллятора (кванта) - полностью его импульсом. Поэтому вполне разумно предположить, что распределение У/п\ относится к координатному пространству, а распределения И^з и соответственно ШП2 - к импульсному.
Такая интерпретация согласуется с выражением для полной энергии частицы в потенциальном поле тяготения Солнца в виде полной вероятности, состоящей из суммы двух членов (уравнение (3)). Как известно, полная энергия частицы в потенциальном поле является суммой потенциальной энергии, зависящей только от координат, и кинетической энергии, зависящей лишь от импульса частицы. Поэтому вероятности, принадлежащие разным пространствам (координатному и импульсному), в уравнении (3) оказались разделены. Тогда можно считать, что одна из частей представляет собой потенциальную энергию частицы, а другая - кинетическую. Однако такая трактовка уравнения (3), на первый взгляд, противоречит некоторым физическим постулатам. Как известно, потенциальная энергия тела в ньютоновском поле тяготения - величина отрицательная, тогда как кинетическая энергия, по определению, положительная. Кроме того, по вириальной теореме средняя потенциальная энергия тела в ньютоновском поле тяготения должна быть по модулю ровно в два раза больше его средней кинетической энергии [13]. Но в выражении (3) перед каждой из двух частей стоит знак минус, и просуммированные по п обе части оказываются равны друг другу. Оба противоречия можно снять, если воспользоваться следствием вириальной теоремы для самогравитирующего облака частиц (гравитационный звездный коллапс) [9], из которого следует, что в процессе медленного сжатия звезды только половина выделившейся гравитационной энергии пойдет на увеличение ее кинетической энергии (не обязательно в виде тепловой энергии, но и как упорядоченное движение частиц). Другая половина выделившейся энергии обязательно должна покинуть звезду в форме излучения. Если начальные размеры облака много больше конечных, то можно считать внутреннюю энергию облака (а также кинетическую и гравитационную) в начальном состоянии равной нулю, так как Евп ~ и ~ 1/Я —»■ 0 при Я —>■ оо. Тогда на конечной стадии гравитационного коллапса звезды запас ее кинетической энергии будет равен количеству излученной за время эволюции энергии и по абсолютной величине вдвое меньше ее гравитационной энергии. Если считать звезду на стадии гравитационного коллапса облаком идеального газа, то это правило в среднем можно применять к каждой частице, так как полная энергия идеального газа равна сумме полных энергий составляющих его частиц. С учетом следствия из вириальной теоремы количество излученной каждой частицей энергии (Етл) должно быть одинаковым и равно количеству имеющейся у нее кинетической энергии (К), а внутренняя энергия частицы должна быть равна половине ее гравитационной энергии ([/). С учетом всего вышеизложенного отрицательный вклад \¥П2 в орбитальную энергию частицы (уравнение (3)) следует понимать как количество излученной частицей энергии. Из (3) видно, что последнее неодинаково
для каждого уровня. Однако энергия частицы на одном уровне - это только один из возможных исходов, а полная энергия частицы будет суммой всех возможных исходов. То же можно сказать и об излученной частицей энергии. По уравнению (3) сумма энергий частицы (нуклона) по всем орбитальным уровням Е = —(4,88 ± 0,09) • 10_18Дж, что можно представить так:
Е —Е —Е —Е Е=Евп — Еи3л = —--— — и + К — Еизл = Ь Н—----—,
^изл = к = ~ = Еви = = (2,44 ± 0,05) • Ю-18.
Тогда для просуммированных по п энергиям будет выполняться следствие из вири-альной теоремы о равенстве накопленной кинетической и излученной энергий частиц. А полная накопленная внутренняя энергия одной частицы (Е) во всех конечных состояниях определяется с учетом потерянной (излученной) частицей энергии при переходе в эти состояния.
Почему Орбитальные угловые моменты частиц Ьп вычисляются не по формулам полной вероятности, как для энергий Еп, можно попытаться объяснить следующим образом. Как видно из уравнения (3), энергия частицы на уровне п получается умножением вероятностей 1УП1 и 1УП2 на одно и то же значение энергии. Поэтому при вычислении энергии неважно, из какого распределения получается п, и вероятности просто суммируются. Для орбитального углового момента частицы Ьп ситуация иная. Вклад от I¥П2 определяется одним квантом действия Ь, тогда как вклад от И7п1 -п квантами (см. (4)). Поэтому для определения Ьп необходимо знать, из какой урны (пространства) выбирается случайная величина п. Вычисление условных вероятностей по формулам Байеса [10] как раз и позволяет это определить.
Заключение. По представленным выше формулам (см. (3)-(5)) видно, что основные физические характеристики движения частицы в поле тяготения Солнца (полная орбитальная энергия и орбитальный угловой момент), а также первоначальная заселенность орбитальных уровней нуклонами могут быть описаны с помощью одних и тех же двух дискретных вероятностных распределений случайной величины п в различных комбинациях. Случайная величина п - это номер орбитального планетарного уровня. Энергия частицы на данном уровне п выражается через формулу полной вероятности (см. (3)), угловой момент - через условные вероятности по формуле Байеса (см. (4)), населенности уровней - как вероятность двух одновременно независимых событий выпадения п в одной и другой урнах (уравнение (5)). На основе физических аналогий показано, что двумя урнами в данном случае являются координатное и импульсное пространства, что обусловлено взаимодействием двух видов полей: гравитационного, зависящего только от положения частицы, и поля излучения (теплового движения), обусловленного импульсами частиц.
В данной работе выявлены новые математические закономерности в планетарной структуре Солнечной системы, однако не представлен физический механизм их реализации. Особенно интересен вопрос о причинах столь крупномасштабного квантования. При полной энергии нуклонов в гравитационном поле Солнца (Е = —(4,88 ± 0,09) ■ Ю-18 Дж), сравнимой с энергией электрона в кулоновском поле протона (Ее = -2,178 • Ю-18 Дж - для атома водорода), величины квантов действия различаются на
много порядков (Л/27г = 1,054- 10~34Дж-с, Ь = (4, 73 ± 0,07) • 10~12 Дж-с, Ь = у^!?)-
Автор надеется, что дальнейшие исследования внесут ясность в решение данных проблем.
Summary
Bakulev V. М. Probabilistic distributions in the Solar system.
The dependences of planetary distances, angular momentums and masses of planets on planet's number in the Solar system axe considered as one-particle functions. It is shown that each of them can be represented as composite distribution of probabilistic value n (1 /те2, discrete distribution of Planck, normal distribution), where n is the planet's number.
Литература
1. Mayor M., Queloz D. // Nature. 1995. Vol. 378. P. 355-359. 2. California & Carnegie Planet Search // http://exoplanets.org. 3. Lineweaver С. H., Grether D. // Astrophys. J. 2003. Vol. 598. P. 1350-1360. 4. Tabachnick S., Tremaine S. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2002. Vol. 335, N 1. P. 151-157. 5. Beer M. E., King A. Ft., Livio M., Pringle J. E.// Mon. Not. R. Astron. Soc. 2004. Vol. 354, N 3. P. 763-768. 6. Нъето M. M. Закон Тициуса-Боде. История и теория / Пер. с англ. Ю. А. Рябова. М., 1976. 7. Альвен X., Аррениус Г. Эволюция Солнечной системы / Пер. с англ.; Под ред. Г. И. Петрова. М., 1979. 8. Бакулев В. М. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2004. Вып. 3. С. 77-82. 9. Шкловский И. С. Звезды: их рождение, жизнь и смерть. М., 1984. 10. Вентцелъ Е. С. Теория вероятностей. М., 1999. 11. Григорьев И. С., Мейлихов Е. 3. Физические величины: Справочник. М., 1991. 12. Ансельм А. И. Основы статистической физики и термодинамики. М., 1973. 13. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 1. Механика. М., 1988.
Статья поступила в редакцию 26 апреля 2005 г.
