Функции ограниченной вариации Текст научной статьи по специальности «Математика»

I FUNCTIONS OF BOUNDED VARIATION

Chmeleva Galina Alexeevna, PhD ofPhysico-Mathematical sciences, Associate Professor, North-Caucasian Humanitarian-Technical Institute, Stavropol

Kokoreva Valentina Vladimirovna, PhDofPhysico-Mathematical sciences, Associate Professor, Stavropol State Pedagogical Institute, Stavropol

The article considers the functions ofbounded variation and their properties.

Keywords: functions of bounded variation; finite variation; theorem Jordan; Cantor-like stairs; Cantor set.

УДК 517.518.242 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ

© ЧмелеваГ.А.,2014 © КокореваВ.В., 2014

62

Встатьерассмотреныфункцииограниченнойвариациииихсвойства.

Ключевые слова: функции ограниченной вариации; конечная вариация; теорема Жордана; канторова лестница; канторовомножество.

При описании различных физических систем в большинстве случаев не приходится рассчитывать на предварительную гладкость связей и, более того, довольно часто рассматриваемые связи не являются непрерывными. Типичным примером таких ситуаций являются импульсные и другие внешние воздействия, при которых у производных могут быть скачки и другие аномалии. В таких случаях удается провести анализ системы, если вместо непрерывности предполагать ограниченность их вариации, другими словами, ограниченность их полного изменения. Важнейшим примером таких зависимостей являются монотонные функции.

Функция f (х), определенная на отрезке [а;Ъ], называется функцией ограниченной вариации (или конечной вариации), если существует такая постоянная С, что каково бы ни было разбиение отрезка [а;Ъ] точками а = ха < х <... < хп = Ъ выполнено неравенство:

Я f (х+1)- f (xk )|^ C. (1)

k=0

В этом случае точная верхняя грань сумм (1) по всевозможным конечным разбиениям отрезка [а;Ъ] называется полной вариацией функции f на отрезке [а;Ъ] и обозначается через Уъа (f):

уа (f)=sup я f (xk+i)- f (xk )|

k=0

ЧМЕЛЕВА Галина Алексеевна, кандидат физико-математических наук, доцент, Северо-Кавказский гуманитарно-технический институт, Ставрополь

КОКОРЕВА Валентина Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент, Ставропольский государст в енный педагогический институт,

Ставрополь

Простейший пример функции ограниченной вариации - это монотонная на [а;Ъ] функция. Каждая функция с конечным на [а;Ъ] изменением ограничена на этом отрезке.

Отметим, что функции ограниченной вариации образуют линейное пространство, которое обычно обозначают ВУ[а;Ъ] (или просто BV, если ясно о каком отрезке идет речь).

Между монотонными функциями и функциями ограниченной вариации существует тесная связь, а именно справедлива Теорема Жордана. Всякая функция ограниченной вариации может быть представлена как разность двух неубывающих функций.

Множество S(f) точек разрыва функции f ограниченной вариации не более чем счетно.

Всякая функция ограниченной вариации имеет почти всюду конечную производную. Всякая непрерывная функция ограниченной вариации представима в виде разности двух непрерывных неубывающих функций.

Теорема. Всякую функцию ограниченной вариации можно представить в виде суммы функции скачков и непрерывной функции ограниченной вариации.

Множество A с[а,Ъ] назовем множеством меры нуль, если для произвольного є > 0 найдется система интервалов |(ак,Ък)| такая, что и(ак,Ък)з A и Х(Ък -ак)<є.

к к

Будем говорить, что некоторое свойство выполняется почти всюду на [а;Ъ], если оно справедливо для всех точек, кроме некоторого множества меры нуль.

Теорема Лебега. Монотонная функция f, определенная на [а;Ъ], имеет почти всюду на этом отрезке конечную производную.

Определение. Функция f, заданная на некотором отрезке [а;Ъ], называется абсолютно непрерывной на нем, если для любого є > 0 существует такое S> 0, что, какова бы ни была конечная система попарно непересекающихся интервалов |(ак,Ък)Щ такая, что

Y,(K- ак )<5,

к=i

выполнено неравенство

XIf (Ък)- f (ак )|

к=0

<є.

Всякая абсолютно непрерывная функция равномерно непрерывна. Обратное, вообще говоря, неверно. В качестве примера приведем функцию, называемую "канторовой лестницей". Для этого рассмотрим на отрезке [0;1] канторово множество F, которое строится

следующим образом. Обозначим через F0 от-

резок [0;1]. Исключим из него интервал

1,21, 3 3 )'

а оставшееся замкнутое множество обозначим

F. Затем исключим из F интервалы

1 2

9,9

и

7 8 3

I, а оставшееся замкнутое множество

(состоящее из четырех отрезков) обозначим F . В каждом из этих четырех отрезков исключим

средний интервал длины

и т.д. Продол-

жая этот процесс, получим убывающую последовательность замкнутых множеств Fn. Положим F = П Fn. Множество F называется канто-

n=0

ровым множеством. Множеству F принадле-

1 2 1 2 7 8

жат, очевидно, точки 0,1,-,-,-,-,-,-,..., назы-

ваемые точками первого рода (эти точки являются концами выбрасываемых интервалов). Остальные точки множества F называются точками второго рода. Определим "канторо-ву лестницу" f сначала на смежных интерва- ^ лах канторова множества, положив О

fw=42.к=w,..,2"-1,

на k-м смежном интервале n-го ранга (включая и его концы)

f (x ) = т

1

2

при

-< x <-

3

3

■ Ом

,( ч 1 К ^2

f (x) = 4 пРи 9 < x < 9

3 7 8

f (x) = 4 пРи 9 < x < 9

и т.д.

I---------

Таким образом, f определена на отрезке [0;1] всюду, кроме точек второго рода "канторова множества". Доопределим теперь f в этих оставшихся точках следующим образом. Пусть t* - одна из таких точек, и пусть [tn} -сходящаяся к ней возрастающая последовательность точек первого рода. Тогда существует предел lim f (tn); аналогично, существует и предел lim f it' ), если \tn\ - убывающая последовательность точек первого рода, сходящаяся к t*, причем эти пределы равны между собой. Приняв это общее значение за f (t*), получим монотонную функцию, непрерывную на всем отрезке [0;1]. Построенная функция не является абсолютно непрерывной функцией.

Отметим, что всякая абсолютно непрерывная функция является функцией ограниченной вариации, следовательно, почти всюду имеет производную. Кроме того, справедлива следующая теорема.

Теорема. Если производная абсолютно непрерывной функции f (x) почти всюду равна нулю, то f (x) тождественно равна константе.

Множество абсолютно непрерывных функций в пространстве функций ограниченной вариации образуют линейное подпространство в BV.

I

63

Литература:

1. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Дан-форд, Дж. Шварц- М.: Издательство иностранная литература, 1962.-895 с.

2. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - М.: Наука, 1981. - 543 с.

□

г

о

г

г

о

fc^3

I-

о

(1)

I-

о

ш

64

3. Канторович Л.В. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах / Г.П.Акилов, Л.В. Канторович. - М.: Физ-матгиз, 1959. — 684 с.

4. Кокорева В.В.Развитие метода функции влияния в задачах математического моделирования стилтьесовской струны: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. / В.В. Кокорева. — Ставрополь, 2005. — 111 с.

5. Курант Р., ГильбертД. Методы математической физики / Р.Ку-рант, Д. Гильберт — М.: Гостехиздат. — Т. 1, 1933. — 476 с.

6. Натансон И.П. Теория функции вещественной переменной / И.П. Натансон — М.: Наука, 1974. — 474 с.

7. Чмелева Г.А. Математическое моделирование сетеподобных податливых систем на основе теории полуупорядоченных

пространств: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. / Г.А. Чмелева. — Ставрополь, 2005.— 100 с.

8. Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл, мера и производная. Общая теория / Г.Е.Шилов, Б.Л.Гуревич — М.: Наука. — 1967.

9. Чмелева Г.А., Кокорева В.В. Методы теории полуупорядоченных пространств в анализе одного класса нестандартных моделей податливых систем / Г.А. Чмелева, В.В. Кокорева. — Ставрополь: Ставролит, 2013. — 72 с.

10. Кокорева В.В., Чмелева Г.А. Однозначная разрешимость одной нестандартной краевой задачи (задачи о струне) / Г.А. Чмелева, В.В. Кокорева // KANT. — Ставрополь: Ставролит, 2013. — С. 58-60.