Функции Грина обыкновенных дифференциальных уравнений II и III порядков и применение к одной задаче на собственные значения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517-958:52/59; 519-711-3

ФУНКЦИИ ГРИНА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ II И III ПОРЯДКОВ И ПРИМЕНЕНИЕ К ОДНОЙ ЗАДАЧЕ

НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

GREEN'S FUNCTIONS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS II AND III ORDERS AND APPLY TO ONE TASK

EIGENVALUES

Н.А. Чеканов 1, И.Н. Беляева 1, Б.М. Башкатов 1, Н.Н. Чеканова 2, В.Е. Богачев 3, И.С. Кузнецова 4

N.A. Chekanov, I.N. Belyaeva, B.M. Bashkatov, N.N. Chekanova, V.E. Bogachev, I.S. Kuznetsova

1 Белгородский государственный национальный исследовательский университет,

Россия, 308015, г.Белгород, ул. Победы, 85 Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia

2 Харьковский институт банковского дела Университета банковского дела НБУ,

Украина, 61174, г. Харьков, прт. Победы, 55

Kharkov Institute of Banking of National University of Banking, 55 av. Pobedy, Kharkov, 61174, Ukraine

3 Белгородский университет кооперации, экономики и права, Россия, 308007, г.Белгород, ул. Садовая, 116 А

Belgorod University of Cooperation, Economics and Law, 116 A Sadovaya St, Belgorod, 308007, Russia

4 Алексеевский филиал Белгородского государственного национального исследовательского университета,

Alexeevka branch of Belgorod research university

E-mail: [email protected];[email protected]; [email protected]

Аннотация. В работе описаны алгоритмы символьно-численного построения функций Грина краевой задачи для дифференциальных уравнений второго и третьего порядков. Получены собственные значения для конусообразного стержня и найдена величина внешней нагрузки, при которой стержень теряет устойчивость. Показано что полученные результаты хорошо согласуются с аналогичными величинами, имеющимися в литературе.

Resume. The paper describes algorithms for symbolic - numerical construction of the Green's function of the boundary value problems for differential equations of the second and third orders . Eigenvalue problem for the tapered rod is considered and the value of the external load , in which the rod loses stability is found. It is shown that the results are in good agreement with those values available in the literature.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, функция Грина, краевая задача, задача на собственное значение, компьютерное моделирование.

Key words: ordinary differential equations, Green's function, boundary value problem, eigenvalue problem, computer modeling.

Постановка проблемы

Пусть дано линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ):

d" d"-] d"-1

кУ(к)(а) +ЕД' ЛУ(к)(Ь) = 0 2 +»2 ^ 1 1 «к + А к ф 0

и граничные условия к к , .

В общей теории дифференциальных уравнений доказано, что функция Грина существует и единственна при условии, что однородные ОДУ имеют только тривиальное решение х) = х) . Это соответствует тому, что при рассмотрении задачи на собственные значения имеется собственное значение равное нулю ^ = 0 . Нетривиальные решения уравнения х) = х) , которые находятся из граничных условий для функции Грина, соответствуют собственным значениям

^^ 0 . Так как функция Грина строится при помощи всех линейно независимых решений соответствующего дифференциального уравнения, то возникает задача их поиска, что представляет собой достаточно сложную задачу, как и построение функции Грина. Поэтому возникает проблема построения функции Грина с применением современных компьютерных систем. Важнейшим понятием в теории дифференциальных уравнений является функция Грина [1-3]. Однако универсальных методов построения функции Грина не существует.

Целью статьи является разработка алгоритма и составление компьютерной программы для символьно-численного построения функции Грина в том числе в виде степенных рядов и применение ее для исследования устойчивости конусообразного стержня при наличии внешней осевой нагрузки.

Рассмотрим следующую краевую задачу

Р0(х) у" + Р\(х) у' + Р2( х) У = 0, (2а)

с граничными условиями

«1 ,0 У(а) + «1 дУ '(а) + А ,0 У(Ь) + А дУ '(Ь) = 0

«2 ,0 У(а) + «2 ,1У '(а) + р2 , 0 У(Ь) + р2 дУ '(Ь) = 0 (2б)

где Р0 (х) , Р1 (х), Р2 (х) есть непрерывные функции вместе с их производными на отрезке , а

«1 0 «1 1 «2 0 «2 1 А 0 А 1 02 0 021

1 ' 0, 1 ' 1, 2 , 2 л, , ' 1, , ^ - заданные числа. Предположим, что в классе непрерывных решений вместе с производными данная задача на отрезке имеет только тривиальное решение. Однако, если ослабить требование непрерывности первой производной, например, в точке х = Е, а Ь, то для краевой задачи (2) существует

ненулевое решение, которое называется функцией Грина. Обозначим ее как x, Е) Функция Грина имеет следующие свойства [1, 3-5]:

■ч " X = Е

1) является непрерывной вместе со своими производными в точке ' ;

■ч X = Е

2) ее производная в точке ' терпит разрыв равный

д С( х,Е) _ д С( х,Е) _ 1 5 х х=е+0 д х х=Е-0 Р0(Е).

3) удовлетворяет дифференциальному уравнению (2а);

4) удовлетворяет граничным условиям (2б).

При условии, что краевая задача (2) имеет только тривиальное решение у(х) _ 0, то существует, как указано выше, одна и только одна функция Грина [4].

Пусть У1(х), У2 (х) есть два линейно независимых решения исходного дифференциального уравнения II порядка (2), в этом случае функцию Грина ищем в виде

О (х,#), а < х <#< Ь

О( х,4) = ■

Ок (х,4), а <#< х < Ь

(3)

где

Оь (х,#) = £( Л(%) + ук (х)

к=1

вК (х,$) = £( Л(#) - Б(& )• ук (х)

к=1

(4а)

(4б)

Здесь функция Грина на отрезке а < хЬ обозначается

О (х,Е) а<£<х<Ь

,ьа на отрезке ь

Оя (х,£).

Из выражений (4) видно, что для построения функции Грина необходимо определить функции

Лк ), Вк ). Для их определения используем свойства функции Грина, в частности, ее непре-

х = Е

рывность и скачок первой производной по х в точке ' . В результате получаем уравнения:

' 2

X Вк (#) Ук (#) = 0

к=1

2 1

X Вк (#) Ук (#) = -^-77

к=1 2 ро(^

(5)

или в развернутом виде

1

Определитель

В^) л(#) + Вг(#) УгОИ) = 0 В^)У (#) + Вг(#)У2 (#) = -Ж (£) = У1( х) у2 (х) - У2( х) у1( х)

(6)

(7)

неоднородной системы (6) не равен нулю, так как он есть вронскиан двух линейно независимых У1 (х), У2 (х). Поэтому система (6) определена и имеет единственное решение В1 , , из которой находим эти решения.

решений

Вг(£)

4(£К МО

Для определения коэффициентов-функций 1 и результате получаем следующую систему уравнений:

используем краевые условия (2б). В

A (О) [«1,0 У (a) + «1Д У (a) + A,o y (6) + 0ц У (6)] +

A (О) [«1,0 У2 (a) + «1,1 У 2 (a) + A,0 У2 (6) + А,1У2 (6) ] = B1 (О) [«1,0 У1 (a) + «1,1 У1 (a) - Д,о У1 (6) - Дд У (6) ] + B2 (О) [«1,0У2 (a) + «1,1У2 (a) - А,0У2 (6) - 01,1 у2 (6)]

A (О) [«2,0 У1 (a) + «2ДУ1 (a) + 02,0 У1 (6) + Д2ДУ1' (6)] + A (О) [«2,0У2 (a) + «2,1У2 (a) + 02,0У2 (6) + 02,1 У2 (6)] : В1 (О) [«2,0 У1 (a) + «2,1 У1 (a) - 02,0 У1 (6) - 02,1 У (6) ] + B2 (О) [«2,0У2 (a) + «2,1У2 (a) - 02,0У2 (6) - 02,1 У2 (6)]

(8)

Отметим, что если краевая задача (2) является самосопряженной, то есть выполняются условия [6]:

Ро(6)

«1,0 «1,1 «2,0 «2,1

«2,0 «2,1 «1,0 «1,1

(9)

= Po(a)

тогда функция Грина является симметричной G(^ ~ G(О, x) .

Подставляя найденные коэффициенты функции , , Щ^), B2.(°) в выражение (5)

находим функцию Грина в аналитическом виде. Если У1 (x), У2 (x) представляют собой степенные ряды, то и функция Грина будет представлена в виде степенных рядов. В соответствии с приведенными выше формулами (3 - 9) был разработан алгоритм и составлена программа GRESA для символьно-численного построения функции Грина в среде Maple.

Алгоритм построения функции Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений II порядка Ввод:

р0(x) ф 0, p (x), Р2 (x) - коэффициенты-функции в заданном дифференциальном уравнении второго порядка (2);

a , 6 - граничные точки отрезка 6], на котором ищется функция Грина.

коэффициенты в граничных условиях (2б) для кон-

«1,0 «1,1 «2,0 «2,1 01,0 01,1 02,0 02\

кретной краевой задачи. Вывод:

У1(х), У 2(х) - фундаментальная система решений заданного дифференциального уравнения (2а);

О_1еЯх,Е) - Оь(х,Е), функция Грина на отрезке а ^ х Е Ь ;

С_ПёЫ(х,Е) - Ок(х,Е), функция Грина на отрезке аЕх^Ь . Описание шагов алгоритма:

1. Нахождения двух линейно независимых решений заданного дифференциального уравнения второго порядка (2а).

2. Ввод матрицы начальных условий и вычисление ее ранга (2б).

3. Проверка краевой задачи на самосопряженность (9).

4. Вычисление и проверка коэффициентов-функций , В2(^, исходя из системы уравнений (6).

5. Вычисление и проверка коэффициентов-функций А1(^), А2(<?), исходя из заданных граничных условий (8).

6. Проверка существования функции Грина, то есть неравенство нулю детерминанта системы (8).

7. Построение функции Грина °(°Ь(х>^, а < х<£<Ь ) и °-(°Я(х'^,

а<%<х<Ь

).

8. Проверка всех свойств функции Грина ^(х' ^.

Рассмотрим следующую краевую задачу на собственные значения

dx

(1 + ах)4 ^

dx

+ Я2 у = 0

(10)

с однородными краевыми условиями у(0) = 0, у(Ц = 0 .

Эта задача описывает продольный изгиб стержня, имеющего форму усеченного конуса [7]. В этой задаче необходимо определить наименьшую критическую силу, при которой стержень теряет устойчивость. Из теории сопротивления материалов известно, что критическая сила равна произведению модуля Юнга на наименьшее собственное число. Параметр а определяет различие диаметров усеченного конуса.

С помощью разработанной программы по описанному выше алгоритму была построена функция Грина и решена задача на собственные значения (10).

В этой задаче два линейно независимых У1 (х), У2 (х)

решения имеют вид:

у (х) = а С08

У2 (х) = -а 8т

Если значения параметра Я не равны собственным значениям, определяемых равенством нулю

Я

Я

а(1 + ах)

Я ' а(1 + ах)

1 + ах

-81П

Я

Я

+--С08

1 + ах

а (1 +а х) Я

а (1 +а х )

(11а)

(11б)

следующего определителя

и =

У1(0) у2(0) Ут У2(Ь)

Ф 0

то получена функция Грина в следующем виде:

\вь(х,Е), 0<х<е<ь

о (х,Е) = <

|т„|Г /-1 I I < < V < /

(13а)

О(х,Е), 0<Е<х<ь

где

8Ш[21 (х, л)] • 8Ш[ 12 (Е,(«2 + «3х - «2х[21 (х,Л)]Л + Л2)

ОЬ (x, Е) = ТГ^-^-т-тГ •

8т[ 1(ь, л)](1 + « Е) (1 + «х) л3 («2 + «3ь - «Аь ^[ 1(ь, Л)] л + л2)

(«2 + «Зь+е«3 + Е«4 £ - «2 ь ^ [ г2(Е,л)]л+«2Е^ [ г2 (Е, л)] л+л2)

V ' (13б)

8Ш [ 11(Е,л)\ вШ [ 12( х, л)](«2 +Е«3 -«2Е^ [ 21,л)\л + л )

ок (х, Е) =---—-—г

8Ш [ 1(ь, л)](1 + « Е) (1 + « х) л3 («2 + «3ь - «2 ь ctg [ 1(ь, л)] л + л2)

л О /1 О О О \

« +« ь + ха + х« ь-« ьctg[г2(х,л)]л + « х^[г2(х,л)]л+л )

2 2 , (13в)

<т оч ль лх 7 л(-Е +ь) 1(ь,л) = --- 11 (х, л) = -- 12 (Е, л) = -

где 1+«ь 1+«х ' (1+«ь)(1+«е)

Если детерминант (12) не равен нулю, то существуют собственные значения л, которые определяются из решения следующего трансцендентного уравнения:

л2-«2|л + «2 +«3ь = 0

V1 + «ь) . (14)

В книге [7] приведена приближенная формула (в случае ') для вычисления наименьшего собственного значения краевой задачи (10) в виде:

1 = ь 4 Г1 - — «)

л4 Г 90 45 ), (15)

которая дает отклонение от точного значения меньше, чем на 5%.

Для конкретных значений параметров ь =1 и « = 001 нами было проведено сравнение значения наименьшего собственного значения, полученного по точной формуле (14) с результатами, следующими из формулы Михлина (15). По формуле (14) была получена величина собственного значения равная л = 317, а по формуле (15) - л = 311, которые отличаются менее, чем на 2%. Для наглядности на рис. 1 приведены графики двух функций

,2 2 3Г У2(л) = -«2 ьс1§ (г^и /х(л) = л +« +«ь Г1+«ь)

из точек пересечения которых можно также найти величины первых собственных значений, которые согласуются с полученными выше результатами.

Рис 1. Графики функций (16) Fig 1. Graphs of functions (16)

(17а)

Рассмотрим дифференциальное уравнения II порядка вида

Р0 (х) У" + Р1(х) У' + Р2 (х) У = 0

с граничными условиями

У(а) = У(Ь) = 0. (17б)

В случае, если дифференциальное уравнение (17) не содержит регулярных особых точек в окрестности точки х х°, то линейно независимые решения У1 и У2 могут быть представлены виде сте-

пенных рядов:

Л(х) = 1+Х cf(x-x0)k k=2 ,

У2(х) = (х-х0) + X 42)(х-Xo)k k=2

(18а)

(18б)

c(1) С(2) Коэффициенты k , k

определяются посредством подстановки рядов (18) в уравнение (17а) и приравниванием коэффициентов при различных степенях независимой переменной.

При наличии полюсов не выше второго порядка в точке х = х<0 решение уравнения (17) ищется в

виде

У( х) = (х - хо)РХ ck (х - хо/, (co * 0), k=0

Р

где показатель находится из определяющего уравнения

р(р-1) + аоР + bo = 0

(19)

(20)

a0 b0

а коэффициенты 0 , 0 из разложений:

ж

ю

X аи(х - х0)* I Ьк(х - х0> Р1(х) _ к=0 р2(х) к=0_

к

р0(х) х - х0 р0(х) (х - х0)

(21)

Если корни определяющего уравнения (20) различны (Р ~ Р2), но их разность Р Р2 не равна целому положительному числу, то линейно независимые решения имеют вид:

ю

У1(х) = (х-х0)Р1 I с^х-х0)к, (С01) Ф 0),

к=0 ю

У2(х) = (х-х0)Р2 I Ск2)(х-х0)к, (с02) Ф 0) к=0

(22а)

(22б)

С(1) С(2)

в которых коэффициенты 0 и 0 остаются произвольными.

Если разность (Р Р2) - целое положительное число, то одно решение, соответствующее корню Р1

, по-прежнему имеет вид

ю

У1(х) = (х-х0)Р1 I с® • (х-х0)к, (с01) = 1)

к=0 , (23)

а второе линейно независимое решение определяется рядом, содержащим логарифмический член:

ю

У2(х) = (х-х0)Р2 I ск ) • (х-х0) + ПУ1(х)• 1п(х-х^

к=0 . (24)

Если случится, что п = 0, то второе линейно независимое решение будет иметь вид обобщенного степенного ряда.

В случае равенства Р Р2 = 0 одно частное решение уравнения (17а) имеет вид (23), а второе -

п Ф 0

вид (24), в котором коэффициент ' .

Из общего вида решений дифференциального уравнения (17а) следует, что линейно независимые решения У1°х), У2(х) удовлетворяют условиям:

Г У1°х0) = 1 Г У2 (х0 ) = 0

У1( х): \ У2 (х): \

IУ1" (х0) = 0 IУ2" (х0) = 1

(23)

Тогда общее решение дифференциального уравнения (17а) можно записать в виде

У(х) = С1 • У1(х) + С2 • У2(х). (24)

Зная общее решение (24) и основные свойства функции Грина (см. раздел 3.1), построим функцию Грина для дифференциального уравнения (17а) с однородными граничными условиями (17б) следующим образом. Из общего решения (24) находим частные решения щ (х) и Щ2 (х), которые удо-

щ (а) = 0 и 2 (Ь) = 0 п

влетворяют однородным краевым условиям 14 ' и . Легко видеть, что такими част-

ными решениями являются функции

ю

«1(х) = У2( х)

?

«2(х) = У (х) • У2(Ь) -У1(Ь) • У2(х)

Тогда в соответствии с общими правилами [4] функция Грина строится следующим образом

'«1(х)Ы2(Е)

О (х,Е) = 1

(25а)

(25б)

ж (Е) Р0(Е) "1(Е) "2( х)

ж (Е) Р0(Е)

, а < х <Е< Ь, , а <Е< х < Ь,

(26)

где

Ж (Е) - Ж [М1, Ы2 ] =

"1(Е) и2 (Е) «1 (Е) "2 (Е)

функциональный определитель Вронского. Для краевой задачи

У"-У = 0

с граничными условиями

У(х = 0) = 0 У(х = 1) = 0

(27)

(28а) (28б)

известна точная функция Грина в виде [4]

О( х,Е) = 1

Оь(х,Е), 0<х<Е< 1, ок(х,Е), 0<Е<х< 1,

(29а)

где

8Ш]1 (х) 8Щ]1 (Е-1) siпh(Е)siпh( х -1)

Оь =-ГГТГТа- ОЯ =~

Si

iпh (1)

sinh(1)

. (29б)

С использованием разработанной программы нами была получена функция Грина для этой краевой задачи в виде обобщенных степенных рядов.

о[|5)=

175194229827984272546525518233600000

(1307674368000 -

+х14 +217945728000 х2 +10897286400х4 +259459200х6 +3603600х8 + +32760х10 +210х12)(-133973896036466681395200 --66986948018233340697600Е2 -5582245668186111724800Е4 --186074855606203724160Е6 - 3322765278682209360Е8 --36919614207580104Е10 --279694047027122Е12 -1536780478171Е14 + +175912452831694715136000Е + 29318742138615785856000Е3 + +1465937106930789292800Е5 +34903264450733078400Е7 + +484767561815737200Е9 +4406977834688520Е11 +

+28249857914670Е13 +134523132927Е15 )

(30а)

С(!5) =-Е-(- 1536780478171х14 -

к 175194229827984272546525518233600000

-133973896036466681395200 - 66986948018233340697600х2 --5582245668186111724800х4 -186074855606203724160х6 --3322765278682209360х8 -36919614207580104х10 - 279694047027122х12 + +175912452831694715136000х + 29318742138615785856000х3 + +1465937106930789292800х5 +34903264450733078400х7 + +484767561815737200х9 ++4406977834688520 х11 + 28249857914670х13 + +134523132927х15)(1307674368000+217945728000Е2 +10897286400Е4 +

+259459200Е6 + 3603600Е8 + 32760Е10 + 210Е12 + Е14) (зоб)

На рис. 2.1-2.3 представлено сравнение результатов расчета значений точной функции Грина (29) и вычисленной по нашей программе (30).

Рис. 2.1. Теоретическая (сплошная) и практически вычисленная (точки) функция Грина для О 025 (слева),

Е = 0.5, , Е = 0.75, , n = 15

(центр) и (справа) при

Fig. 2.1. Theoretical (solid) and calculated (point) Green function for О 0 25 (left), (center) and (right)

Рис. 2.2. Абсолютная погрешность вычислений tfaor prac для О 0 25 (слева), Е 0 5 (центр) ]

О = 0.75, , n = 15

(справа) при

Fig. 2.1. Absolute error calculations for Л = Gtheor ~ Gprac for О = 0 25 (left), О = 0 5 (center) и О = 0 75

(right) when n 15

Р ООП £ = А / Gtheor-100% 4 = 0.25 г ,4 = 0.5 г , 4 = 0.75

Рис. 2.3. Относительная погрешность theor для 3 (слева), ^ (центр) и 3

(справа) при n =15

Fig. 2.3. The relative error^ ^^Gtheor 100%for 4 = 0 25 (left), 4 = 05 (center) and 4 = 075 (right) when

n = 15

Из рис. 2.2 видно, что точная функция Грина и ее приближение совпадают с абсолютной точно-

я 1П_11 стью менее чем 8'10 .

Дифференциальные уравнения зго порядка В науке и технике чаще всего используется дифференциальные уравнения второго и четвертого порядков [2] вместе с краевыми условиями. Однако, в некоторых случаях необходимо знать решения и функцию Грина для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка [8, 9, 10]. Обзоры работ, относящихся к этому уравнению имеются в работах [11, 12]. Это нелинейное уравнение второго порядка впервые было введено в работе киевского профессора В.П. Ермакова в 1880 году [13] Найти решение нелинейного уравнения является сложной задачей, однако, иногда их решение можно найти рассматривая линейное обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка, как например, это сделано в работах [3, 9]. Рассмотрим следующую краевую задачу

p0 (x) y" + p (x) y" + p2 (x) y' + p3 (x) y = 0, (31)

с граничными условиями

«1,0 y(a) + «цУ'(a) + «1,2 y"(a) + Д,0 y(b) + Ад/(Ь) + y"(b) = 0 «2,0 y(a) + «2дУ ' (a) + «2,2 у " (a) + $2,0 y(b) + РцУ ' (b) + £2,2 y " (b) = 0

«3,0 y(a) + «3,1У '(a) + «3,2 y " (a) + A,0 y(b) + АдУ '(b) + A,2 y " (b) = 0 (32)

где p0(x) , p1(x), p2(x) , p3(x) есть непрерывные функции на этом отрезке b]. Предположим, что в классе непрерывных решений вместе с первой и второй производными дан-

1ения.

x = 4

ная задача на отрезке Ь] имеет только тривиальное решение и не существует другого решения

Однако, если ослабить требования непрерывности второй производной, например в точке

а<Е <Ь, то для краевой задачи (31), (32) существует ненулевое решение, которое называется

функцией Грина. Обозначим как О( х Е).

Вначале приведем основные свойства функции Грина:

и х = Е

1) является непрерывной вместе со своей первой производной в точке ' ;

х = Е

2) ее вторая производная в точке

а2 G( х,О)

8 х2

а2 G( х,О)

8 х2

терпит разрыв равный 1

х=О-0

Р0(О)

х=О+0

;

3) удовлетворяет дифференциальному уравнению (31);

4) удовлетворяет граничным условиям (32).

Таким образом, если краевая задача (31), (32) имеет только тривиальное решение у(х) _ 0, то существует одна и только одна функция Грина.

Пусть краевая задача (31), (32) такова, что система Maple позволяет получить в явном аналитическом виде три линейно независимых решения У1 (х), У2 (х), Уз (х) исходного дифференциального уравнения третьего порядка (31).

Тогда в разработанной нами программе (см. Приложение Д) функция Грина ищется в виде

\Gl (х,О), a < х <О< 6,

G( х,О) = -

Gr (х,О), a <О< х < 6,

(33)

где

Gl (х,О) = £[ + В(&]-Ук (х) к=1 ,

3

Gr (х,О) = АО) - В(О)] - Ук (х) к=1

(34а)

. (34б)

Например, из выражений (34) видно, что для построения функции Грина необходимо определить

функции Ак (Е), Вк (Е). Для их определения используем вышеуказанные свойства функции Грина. Из ее свойств 1), 2) и 4) в результате получаем систему алгебраических уравнений для определения

коэффициентов В (Е), В (Е), Вз (Е) .

з

х Вк (Е) Ук (Е) = 0, к=1 з

X Вк (Е) Ук (Е) = 0, к 1

з 1

X Вк (Е) Ук (Е) = к=1 2 Р0(Е)

Определитель этой системы

W(4) - W[Л,y2,y3] =

y1 y2 y3 y1 y2 y3

y1 y2 y3

(36)

Л(х) У2(х) У3(х)

не равен нулю, так как он есть вронскиан трех линеино независимых решении

B (4) B (4) B (4)

Поэтому система (35) определена и имеет единственное решение 1(4), 2(4 ', 3(4).

B (4) b (4)

Затем из граничных условий (32) при уже известных коэффициентах-функциях 1(4), 2(4),

в3(4) „ , Aj(4) A2(4) a3(4)

3 ' находим, если они существуют, коэффициенты-функции , , из системы

уравнений (37):

А1 (4) [«1,0 У (a) + «1,1 У (a) + Д,0 У (b) + А,1У1 (b)] +

А2 (4) [«1,0 У2 (a) + «1,1 У2 (a) + Д,0 У2 (b) + А ,1У2 (b)] +

A3 (4) [«1,0 У2 (a) + «1,1У2 (a) + А ,0 У2 (b) + А,1У2 (b)] =

B1 (4) [«1,0У1 (a) + «1,1 У (a) - Д,0У1 (b) - АдУ (b)] +

B 2 (4) [«1,0 У2 (a) + «1,1 У2 (a) - Д,0 У2 (b) - А,1 У2 (b) ] +

B3 (4) [«1,0У2 (a) + «1,1У2 (a) - Д,0У2 (b) - Д ,1У2 (b)] ( ^

A1 (4)[«2,0 У1 (a) + «2,1 У1 (a) + Д2,0 У1 (b) + ДцУ 1 (b)] + A2 (4)[«2,0 У2(a) + «2,1 у' 2(a) + Д2,0 У2(Ь) + РцУ 2(b)] + A3 (4)[«2,0У2 (a) + «2,1 У 2 (a) + Д2,0У2 (b) + ДцУ 2 (b)] = B1 (4)[«2,0 У1 (a) + «2,1 У1 (a) - Д2,0 У1 (b) - Рц У1 (b)] + B2 (4)[«2,0M2(a) + «2,1У2 (a) - Д2,0y2(b) - Д2,1 У'2(b)] + b3 (4)[«2,0У2 (a) + «2,1 У 2 (a) - д2,0У2 (b) - д2,1У 2 (b)]

A1 (4) [«3,0У1 (a) + «3,1 У (a) + А3,0У1 (b) + У (b) ] +

A2 (4) [«3,0 У2 (a) + «3,1 у2 (a) + Д,0 У2 (b) + А3ДУ2 (b)] +

A3(4) [«3,0 У2(a) + «3,1У2 (a) + Д3,0 У2(b) + Д3,1 У2 (b) ] =

B1 (4) [«3,0У1 (a) + «3,1 У (a) - Д3,0У (b) - АдУ (b)] +

B2 (4) [«3,0У2 (a) + «3,1 У2 (a) - Д3,0У2 (b) - Д3,1 У2 (b)] +

B3 (4) [«3,0У2 (a) + «3,1У2 (a) - Д3,0У2 (b) - Д3,1У2 (b)] ^

Подставляя найденные коэффициенты-функции A(4), A2 (4), А3 (4) , В(4), В (4), В3 (4) в выражение (34), находим функцию Грина в аналитическом виде.

В соответствии с приведенными выше формулами (33)-(37) был разработан алгоритм и составлена программа GRETA для символьно-численного построения функции Грина в среде Maple. Текст этой программы приведен в Приложении Д.

В разработанной программе GRETA в явном аналитическом виде вычисляется функция Грина G_left(x¿) (Gl (x,4)) и G_right(x,E) (Gr (x,4))

Для граничной задачи

y" + 4xy + 2 y = 0

y(0) = 0 y(1) = 0 y '(0) - y '(1) = 0 - , „

с краевыми условиями ' , Jy' , ' v ' J v' была получена функция Грина:

где

где

Ai Bi

G( x,4) =

Gl (x,4), 1 < x <4< 2, [Gr (x,4), 1 <4< x < 2,

Gl (x,4) =

229491 Ai (-£)- 10723 Bi (-4)

V ' / ППАТ1 v ^/

30645

20022

62270( Ai (-4)Bi (1, -4) - Ai (1, -4)Bi (-4))"

38501 Ai (-4) Bi2 (-x)- 37778Ai (-4) Ai (-x) Bi (- x )-23373 v ; 13241 v ; v ; v ;

20042 Ai (-x) Bi (-x) Bi (-4) + 37273 Ai2 (-x) Bi (-4)-12167 V ' V 7 V ' 13064 V ' V '

1

10000000000

Bi (-4) Bi2 (-x)

22949

Gr (x,4) = --

(10723 , , 3187 Л

I-B/ (-x)--A/ (-x)

l20022 ' 30645 ')

62270( Ai (-4)Bi (1, -4) - Ai (1, -4)Bi (-4))

78585 47707

37273

Bi (-x) Bi (-4) Ai (-4) - 37273 Bi (-x) Ai2 (-4) -

13064

1 ч„.2, „ч 20042

10000000000 37273

Bi (-x)Bi¿ (-4) - 20042A (-x) b 2 (-4)+

+-

13064

Ai (-x) Bi (-4) Ai (-4)+

1

23255813953

Ai (-x) Ai2(-4)

линейно независимые функции Эйри [14].

(38)

(39)

(40а)

(40б)

Рассмотрим дифференциальное уравнение третьего порядка

Р0 (х) У'" + Р1 (х) У" + Р2 (х) У + Рз (х) У = 0

с граничными условиями

«1,0 У(а) + ^'(а) + «1,2 У "(а) + 01,0 у(Ь) + 01дУ'(Ь) + 01,2 У "(Ь) = 0

«2,0 У(а) + «2ДУ ' (а) + «2,2 У " (а) + 02,0 У(Ь) + 02ДУ ' (Ь) + 02,2 У " (Ь) = 0

«3,0 У(а) + «з,1У '(а) + «3,2 У " (а) + 03,0 У(Ь) + 05ДУ '(Ь) + 03,2 У "(Ь) = 0

(41)

(42)

2

где Р0 (х) , Р1 (х), Р2 (х) , Рз (х) есть непрерывные функции вместе с непрерывными производны-

[а, Ь] «1,0 «1,1 «1,2 «2,0 «2,1 «2,2 «3,0 «3,1 «3,2

ми первого и второго порядков на отрезке 0,0 01,1 0,2 02,0 02,1 02,2 03,0 03,1 03,2

- коэффициенты в граничных условиях (42) для

ХХ«2 * 0 ХХ02 * 0

__...__Лк

конкретной краевой задачи, ' к , ' к , г =1,2,3, к = 0,1,2.

Для построения функции Грина краевой задачи (41-42) вначале, решая задачу Коши в точке х0, находим линейно независимые решения для уравнения (41) в виде рядов:

Л(х) = 1+Х с^ • (х-х0)к

к=3 ,

У2 (х) = (х - х0) + X с(и) • (х - х0)'

к=3

Уз(х) = (х-хэ) /2 +Хск • (х-х0> к=3

(43а) (43б) (43в)

(44а)

(44б)

с(1) с(2) с(3)

где к , к , к - числовые коэффициенты. Функцию Грина ищем в виде

О(х,Е) = |Оь(хЕ), а<х<Е<Ь О (х,Е), а <Е< х < Ь^

где

3

Оь (х,Е) = Х[ А (Е)+Вк (Е)]^ Ук (х) к =1 ,

3

ок (х,Е) = Х[ Ак (Е) - Вк (Е)]^ Ук (х)

к=1 . (44в)

Используя свойства функции Грина, приведенные в разделе 4.1, и в соответствии с теорией, изложенной в этом же разделе, находим коэффициенты-функции Ак (Е), Вк (Е) и с их помощью строим функцию Грина по формулам (44). Так как линейно независимые решения (43) представлены степенными рядами, то и функция Грина также находится в виде степенных рядов. Рассмотрим следующую краевую задачу

У'"-6У" + ПУ- 6У = 0 (45а)

с граничными условиями

У(0) = 0, У(1) = 0, у" (0) = 0. (45б)

Для уравнения (45а) решения

У1 = ех, У 2 = е2х, Уз = е3х (46)

составляют фундаментальную систему решений. Согласно предыдущему разделу 4.1. функция Грина О (х,Е) может быть построена из общих решений по формулам:

а( х,4) =

\Оь(х,4), а < х<4<Ъ, [Ок (х,4), а <4< х < Ъ,

где

(47)

(48а)

Оь(х,4) = £[А(4) + В(4)]- ук(х)

к=1 ,

3

Ок(х,4) = £[А(4) -В(4)\ук(х)

к=1 . (486)

Из условий непрерывности функции Грина, ее первой производной, а также скачка второй производной получаем систему для определения коэффициентов функций В(4), В (4), Вз (4) :

В (4) У1 (4) + В2 (4) У2 (4) + Вз (4) Уз (4) = 0, <В1 (4) У (4)+В2 (4) у2 (4)+Вз (4) Уз (4) = о,

В (4) У'(4)+В2 (4) у2 (4)+Вз (4) Уз (4) = -1/(2Р0(4)) (49)

Система (49) всегда разрешима и имеет единственное решение, так как Р0(4) ^ 0, а, следователь-

^ [ у1, у2, уз 1

но, главный определитель этой системы есть вронскиан 1 1 2 з -1, который не равен нулю. Из системы (49) находим решения:

Вх(4) = В2(4) = V24 Вз(4) = --е~Ъ4

4 , 2

Для нахождения коэффициентов-функций 4 (4), (г _ ^ ^ з ми (456) и в результате получаем систему

, 4 . (50)

), воспользуемся граничными условия-

4 (4) + Л (4) + Аз (4) = -В1 (4) - В2 (4) - Вз (4), 4 (4) + 4 А2 (4) + 9 Аз (4) = -В (4) - 4В2 (4) - 9Вз (4), 4 (4)+еА2 (4) + е2 Аз (4) = В (4)+еВ2 (4) + е2 Вз (4).

Из этой системы находим решения:

4(4) =--^-(-20е1+4 + 5е24 + 10е2 + 8е1-24 -зе2+4е~з4

4(зе2 - 8е + 5)у '

42(4)=■

1-(-8е1+4 + 8е24 + 8е2 -5е4 -зе2+4)

-з4

2(зе2 - 8е + 5)

(51)

(52а) (526)

Аз(4) =---1-(-12е1+4 - 5 + 6е24 + зе2 + 8е)е_з4

4(зе2 - 8е +5)1 ' . (52в)

А (4) В (4) ¿- — 194

Подставляя найденные выражения для к (4 ), к (4), (к ~1,2, з), в формулы (4.6.2), находим точную функцию Грина для краевой задачи (45) в виде:

\оь(х,4), о<х<4< 1,

0( х,4) Ч

оК(х,4), о<4<х< 1,

где

е

ех(-5/2е-Е + 5е1-2Е -5/2е2-3Е) е2х(4е-Е -8е1-2Е + 4е2-3Е)

Оь (х,Е) = ^-2-'-+—^-2-

3е2 - 8е + 5 3е2 - 8е + 5

е3х (-3/2е-Е+ 3е1-2Е- 3/2е2-зЕ +--

3е2 - 8е + 5 , , ,

, (54а)

ех (3 / 2 е2-Е - 4 е1-Е + 5 е1-2Е - 5/2 е2-3Е) е2х (4 е-Е - 3 е2-2Е - 5 е-2Е + 4 е2-3Е)

ок (х,Е)=—^--' ■ 1 ' ■

3е2 -8е + 5 3е2-8е + 5

е3х (-3/2е-Е+ 3е1-2Е+ 5/2е-3Е- 4е1-3Е) +--- '

3е2 -8е + 5 , _

. (54б)

С помощью разработанной программы GRETSA для краевой задачи (45) была получена приближенная функция Грина

Оь(х,Е), 0<х<Е< 1,

О( х,Е) = 1

ок(х,Е), 0<Е<х< 1,

где

^(7) 19663 82489 308167 „2 216293 3 1059601 „3 907379 ^ 98315 4

О}') =-х--хЕ +-хЕ--х3--хЕ +-х Е--х4

ь 35489 35489 70978 212934 212934 212934 70978

3462703 „4 3389837 3„2 412445 л 4699457 5 10969609 „5 11655611 3„3

+-хЕ4--хЕ +-х4Е--х5--хЕ +-хЕ

851736 425868 70978 4258680 4258680 1277604

1540835 4„2 19714871 = 137641 6 46783051 „6 38089733 3„4 5298005 4„3

--х4Е2 +-х Е--х6 +-хЕ--х3Е4 +-х4Е3

141956 4258680 212934 12776040 5110416 425868

73651913 5„2 577423 * 7783739 7 120665699 3„5 17313515 4„4

--х Е +-х Е--х +-х Е--х4Е4

8517360 212934 25552080 25552080 1703472

253244639 5„3 2157169 6„2 228577019 н 514613561 3„6 10969609 4„5

+-х Е--х6Е2 +-х Е--х Е +-х Е

25552080 425868 178864560 76656240 1703472

827586017 5„4 7417207 6„3 853930757 7„ 2 46783051 л„6 2621736551 5 „5

--х5Е4 +-х6Е3--х Е--х4Е6 +-х Е

102208320 1277604 357729120 5110416 511041600

24238921 6„4 2936154371 7„3 11181149189 5„6 76787263 6„5 9595150013 7„4

-х Е +-х Е--х Е +-х Е--х Е

5110416 1073187360 1533124800 25552080 4292749440

327481357 6„6 4342398077 7„5 18519404903 7„6

-х Е +--х Е--х Е

76656240 3066249600 9198748800 , (5ба)

О%) = 19663х +1 / 2^2 _ !!Z^Z8хЕ +1 / 2х2 - Е + х^2 _ 3х2^ —х3 + 25^4

к 35489 35489 70978 212934 24

324471 £з 25 о 2 3359 , 292555 4 , .,-5 6656713 ,4 2е3

--хЕ +— х Е +-х Е--х4 - 3/4Е5 +-хЕ4 -15/2х Е

35489 4 35489 851736 851736

195827 3„2 292555 1505447 5 301 6 3608633 „5 301 2„4 54079 о 3

--х Е +-х4Е--х5 +—Е--хЕ +— х2Е4 +-х Е

425868 141956 4258680 720 709780 48 70978

7807831 4„2 1505447 « 5834731 6 31962119 „6 161 о 5 3807359 о 4

--х4Е2 +-х Е--х0 +-хЕ--х Е--х3Е4

1703472 709780 25552080 6388020 40 5110416

1627427 4„3 39369539 с 2 5834731 ^ 2886257 7 605 2„6 2218579 3 „5

+-х4Е3--х5Е2 +-х Е--х +— х Е +-х Е

283912 8517360 4258680 25552080 144 4258680

(55)

100407955 4„4 8105023 5„3 30301211 6„2 2886257 п 26994701 3 „6 x 4 +-x543--x642 +-x'4--x 4

20441664 1419560 10220832 4258680 76656240 . (5бб)

На рис. 3 представлены графики функции Грина и ее производных.

Рис. 3. Трехмерные графики функции Грина (56) (слева), ее первой производной (в центре) и ее второй

производной (справа)

Fig. 3. Three-dimensional plots of the green function (56) (left), its first derivative (middle) and its second derivative

(right)

Было проведено численное сравнение точной функции Грина (54) и ее приближенного значения (56), которое приведено на рис. 4.1-4.2.

Рис. 4.1. Теоретически (54) (сплошная) и практически (56) вычисленные (точки) функции Грина для 4 0 25

(слева), 4 0 5 (центр) и 4 0 75 (справа) при n ~13 Fig. 4.1. Theoretically (54) (solid) and (56) are computed (dots) Green's functions for 4 ~ 0 25 (left), 4 ~ 0 5

(center) and 4 ~ 0 75 (right) when n ~ 13

Абсолютная погрешность А при 4 = 025 , 4 = 05, 4 = 075 менее 8 '10 7, 1,5 '10 , 0,00015 , соот-

А = \°гкеог -°са1с\ О £ 4 = 0.25 4 = 0.5 4 = 0.75

ветственно. 1 тео' са1с. Относительная погрешность £ при 5 , ' , 5 ме-

нее 0,0з8%, з%, 1,з%, соответственно. £ = А'°*еог '100%

Рис. 4.2. Теоретически (54) (сплошная) и практически (56) вычисленные (точки) функции Грина для 4 °.25 (слева), 4 0 5 (центр) и 4 0 75 (справа) при n =16 Fig. 4.2. Theoretically (54) (solid) and (56) are computed (dots) Green's functions for 4 = 0 25 (left), 4 = 0 5

(center) and 4 0.75 (right) n 16

Абсолютная погрешность А при 4 0 25, 4 0 5, 4 0 75 менее 6 '10 , 8 '10 , 6 '10 , соот-

А = Gtheor - Gcak\ о £ 4 = 0.25 4 = 0.5 4 = 0.75

ветственно. 1 theor caic. Относительная погрешность £ при 5 , ' , 5 ме-

нее 4 '10-5%, 0,003%, 6-10-3%, соответственно. £ = А ' Gtheor '100%

Из приведенных расчетов следует, что полученная нами приближенная функция Грина (56) отличается от точной (54) на 1,3% и 6 '10 % при n = 13 и n = 16, соответственно.

Выводы

В работе разработаны алгоритмы для символьно-численного построения функции Грина дифференциальных уравнений второго и третьего порядка, согласно которому составлены программы для символьно-численного построения функции Грина, с помощью функции Грина дифференциального уравнения второго порядка исследована задача на устойчивость конусообразного стержня при наличии внешней нагрузки. В этой задаче найдены собственные значения и величина критической нагрузки, при которой стержень теряет устойчивость - происходит выпучивание стержня. Полученные результат хорошо согласуются с известными из текущей литературы. Исследованы также некоторые задачи, которые описываются дифференциальными уравнениями третьего порядка.

В дальнейшем планируется решение других задач на собственные значения.

Список литературы

1. Сансоне Дж. 1953. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том 1 - М.: Изд-во иностранной литературы: 346.

Sansone J. 1953. Ordinary differential equations. V.1. , М.: Izdatelstvo inostrannoi literatury: 346.

2. Сансоне Дж. 1954. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том 2. М.: ИЛ: 416.

Sansone J. 1954. Ordinary differential equations. V.2. - М.: Izdatelstvo inostrannoi literatury: 416.

3. Трикоми Ф. 1962. Дифференциальные уравнения, М.: ИЛ: 352. Tricomi F. 1961. Differential equations. Turin: Blackie & son limited: 348.

4. Краснов М.Л. 1976. Интегральные уравнения, М.: Наука: 216. Krasnov M.L. 1976. Integral equation.M.: Nauka: 216.

5. Филиппов А.Ф. 2005. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М. Ижевск: НИЦ РХД: 176.

Filippov A.F. 2005. Sbornik zadach po differential equftions, M.: Izhevsk, RCD: 176.

6. Привалов И.И. 1937. Интегральные уравнения, М.-Л.: ОНТИ: 248. Privalov I.I. 1937. Integral equation.M. - L.: ONTI: 248.

7. Михлин С.Г. 1947. Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики, daматематической физики и техники, М., Л.: ОГИЗ изд. тех.-теор. лит.: 304.

Mikhlin S.G. 1947. Applications of Integral equations to some problems of mechanics, M.-L.: 304.

8. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. 1980. Дифференциальные уравнения, М.: Наука: 232.

Tikhronov A.N. Vasilieva A.B. , Sveshnikov A.G. Differential equations,. M.: Nauka: 232.

9. Смирнов В.И. 1953. Курс высшей математики в 5-ти т. , М.: ГИТТЛ, Т. 4: 804.

Smirnov V.I. 1953. Kurs vyschey matematiki. M.: Izdatelstvo techniko-technicheskoi literatury: 804.

10. Lewis H.R. 1967. Class of Exact Invariants for Classical and Quantum Time-Dependent Harmonic Oscillators. Journ. of math. Phys, Vol. 9, num. 11: 1976-1986.

11. Камке Э. 1965. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М.: Наука:

704.

Kamke E. 1965. Spravochnik po ordinary differential equations, M.: Nauka: 704.

12. Соловьев Е.А. 1984. Уравнение Милна и высшие порядки ВКБ приближения. Письма в ЖЭТФ, Т.39, Вып. 2: 84-86.

Solovev E.A. 1984. Milne equation and high VKB approach. Pisma v JETPhys, V.39, IsNo.. 2: 86.

13. Pinney E. 1950. The nonlinear differential equation. Proc. Amer. Math. Soc.: 581

14. Абрамовиц М., Стиган И. 1979. Справочник по специальным функциям, М.: Наука: 832. Abramovitz M., Stugan I. 1979. Spravochnik po special functions, M.: Nauka: 832.