CC BY
40
УДК 539.3
ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ОСНОВАНИЙ
Канд. физ.-мат. наук КРУПОДЕРОВ А. В.
Белорусский государственный университет
Изучение свойств и НДС слоистых упругих тел имеет большое значение и широкий диапазон приложений в геомеханике, механике грунтов и геофизике. Породный массив, как правило, представляет собой многослойное тело. При
этом отдельные слои, составляющие массив, могут быть анизотропными. В большинстве своем грунты и породные слои являются транс-версально-изотропными.
Одним из первых наиболее полно изучившим НДС трансверсально-изотропного слоя, покоящегося на жестком основании, был С. Г. Лех-ницкий [1]. Исследованием НДС многослойного трансверсально-изотропного полупространства также занимались Н. Р. Гарг и Р. К. Шарма [2], С. Синг [3], П. К. Хадхури и С. Бовал [4], Ж. Куо [5], И. Пэн [6]. Более полный обзор работ приведен в [2].
Особое значение как для теории, так и для практики представляют собой аналитические выражения для осадки свободной поверхности слоистого полупространства, вызванной действием единичной сосредоточенной силы и называемой ядром основания [7-9].
В данной статье описывается подход к изучению объемного НДС многослойного транс-версально-изотропного полупространства в случае воздействия на полупространство нормальной нагрузки, распределенной по некоторой площади на его поверхности. Получены аналитические формулы для ядер оснований для слоя, покоящегося как на недеформируемом, так и на упругом основании. Так же данный подход может быть использован для получения решения для большего количества слоев [10]. Однако в силу громоздкости формул здесь приводятся конечные формулы только для слоя на недеформируемом и упругом основаниях.
Итак, рассмотрим многослойное трансвер-сально-изотропное основание. На его поверхности воздействует нормальная нагрузка, распределенная по некоторому закону. Будем предполагать, что массовые силы отсутствуют. В настоящей работе рассматриваются условия идеального контакта между слоями, хотя разработанный метод позволяет учитывать и другие типы условий. Уравнения равновесия и граничные условия для слоя записываются в виде [11]:
(
д2 дх2
-66
д2 ду2
44
д2 дг2
Л
+ (с,
{ \ д2иу 12 + С66 I » » ' дхду
- (с1з + С44 )
д2и1г дхдг
= 0;
С/2 + С
66 )
, д2иХ дхду
д2 дх2
■ + С
66
_д! ду2
- + с
44
д2 дх2
и3у +
"(С1з + С44 )
д и
дхдг
= 0;
(1)
I С/, + С
д.
44 )
дх
ди]х дх
диУ ^
( г
д2 + д2 дх2 ду2
Л
+ Со
ду
д2 дх2
и{ = 0,
1! ^=к, = иг
=н,; ^ ^=н, = ^{з1
гЗ и=0
= 0; г = 1...3; { = 1...п;
• 0 при ^/г
2 + у2 + г2
• да,
где индекс { обозначает номер слоя; п - количество слоев; (с)а, к,I = 1,6 - матрица упругих констант, связывающая напряжения с деформациями (т. е. компоненты напряжений ст1 = охх;
Ст2 =стуу; стз =стгг; СТ4 =сту2; СТ5 =стхг; ст6 =стху с деформациями 81 =вхх; 82 =8уу; 83 =8гг; 84 = 2еуг;
85 = 28хг ; 86 = 28ху) .
Для трансверсально-изотропной среды существует направление, в нашем случае вертикальное, поворот вокруг которого на любой угол не влечет за собой изменение упругих свойств, а ее состояние определяется заданием пяти констант: Е1, v1, Е2, v2, G2. Здесь Е1, v1 -модуль Юнга и коэффициент Пуассона в горизонтальной плоскости (или плоскости изотропии), а Е2, v2, G2 - модуль Юнга, коэффициент Пуассона и модуль сдвига в вертикальном направлении. Матрица упругости имеет следующий вид (за вертикальную ось принята ось х):
(
Г1 -
Vl2V2
Е1Е2 А
VI + У2У12 Е1Е2А V2 +V2Vl2 Е1Е2А 0 0
0
У1 +V2Vl2 V2 +V2Vl2 Е1Е2А 1 -V 2Vl2
Е1Е2 А У2 +V2Vl2 Е1Е2 А 0 0
0
Е1Е2 А V 2 + У2У12 Е1Е2 А
1 -V22
Е12А 0 0
Е\ л (1 + Vl )(1 -Vl -2V2Vl2) где V12 = —V 2 , А =-—-.
Е2 Е12 Е2
Для нахождения решения поставленной задачи воспользуемся методом, описанным в [6]. В дальнейших выкладках верхний индекс ] опускаем, подразумевая, что выкладки ведутся для каждого слоя. Представляем перемещения в следующем виде: при 51 Ф 52
= У дф-. +дфз •
1=1 дх ду ' =У дф-дфз •
1=1 су дх '
V дфг 1=1
(2)
при 51 = 52
Ых =
дф, дф2 5фз
дх дф1
дх ду
дф2 5фз
ду ду дх
дф1 дг1
дф2 дг1
«зф2,
где
5,- = .
(С - С1з)(С + С13 + 2с44)
4с33С44
+
+(-1) (С + с13)(С - С13 - 2с44) , , = 1,2;
4с33С44
53
_ 1С66 г _ I _
= А •> С = "V с11с33 • =
V С 44
0 0 0 0
0 0
О2 0
0 02
0 0
0 0
Е1
2(1 + Vl)
В общем случае упругие параметры таковы, что 51 Ф 52. Тогда с учетом данного обстоятельства величины, входящие в (2), имеют следующий вид (в дальнейшем будем рассматривать только этот случай, так как случай 51 = 52 получается из него с помощью предельного перехода):
а,- = -
С11 С44 (с13 + С44)5,2
Подставляя выражения (2) в (1), найдем, что каждая из функций ф,- должна удовлетворять уравнению
Г д2 + д2 + д2 )
дх2 ду2 &,2
ф,- = 0(, = 1, 2, 3),
а также системе граничных условий, которые получаются подстановкой выражений (2) в исходные граничные условия.
Для решения сформулированной выше системы уравнений применим преобразование Фурье по переменным х, у
1 ад ад
fF (w1, w2) = — [ [ f (х, у)ег(^+у№2 )ёхёу.
-ад -ад
Таким образом, получаем следующие обыкновенные дифференциальные уравнения для трансформант функций ф,
ё 2фF
dz2
= s2 w2фF,
где w2 = w12 + w2.
Ы
х
Ы
Ы
Общее решение данных уравнений представляется в следующем виде (здесь возвращаемся к индексу у, так как для каждого слоя константы свои):
ф = С,е-и + С21ге
За - и
(3)
ки) можно без ограничения общности положить С/3 = 0. В итоге некоторые из уравнений системы становятся линейно зависимыми и таким образом уменьшается порядок системы, и, следовательно, она упрощается.
Опуская промежуточные вычисления, приведем аналитические выражения для ядер оснований для слоя, покоящегося на недеформи-руемом основании, и для слоя, жестко сцепленного с упругим полупространством.
В первом случае ядро имеет следующий вид:
12 и=0
(г ) = | -М иг) ¿и, 0 б(и)
Если подставить выражения (3) в систему граничных условий, то получится система линейных уравнений относительно констант С^. Данная система довольно громоздка, поэтому представляется целесообразным решать ее с помощью систем компьютерной алгебры. В нашем случае решение проводилось с помощью метода Краммера. Стоит отметить, что в данном случае (действия нормальной нагруз-где
Р(и) = —— (((-1 + е2йи-1 )(1 + е2ки*2 )а2 - (1 + е2йи-1 )(-1 + е2йи-2 )а2Х^а, - k31а2)),
Q(w) = c66(-k21 (-4еи-+-2)¿31а2 + k32((1 + е2и )(1 + е2И )а1 - (-1 + е2и )(-1 + е2И )а2)) + +^2 (4ейи(-+-2) k32а1 + k31 ((-1 + е2 йи-! )(-1 + е2йи-2 )а1 - (1 + е2йи- )(-1 + е2йи-2 )а2)));
а,- + . с33а-Я, - с13
Л3,- =-:-, Кц =-.
(4)
53 С66
Для слоя, сцепленного с упругим основанием, функции Р и Q имеют более сложный вид: Р(и) = ^(((ВД -¿3:а2)(-(Сб2б)2(¿2¿2 -¿^ХН + е2йи-!)(1 + е2йи-2)а} -(1 + е2йи-!)(-1 + е2йи-2)а>)--(с6б)2((-1 + е2йи-!)(1 + е2И2 )^2¿3: - (1 + е2йи-! )(-1 + е2И ^^Ж2 - а2) + с^(К&ВД (-1 +
+е2и1 + е^А -е2йи(-2)) + £22£31а12(-1 + е2йи-1 -е2йи-2 + е2йи(-2+-!)) + £22£32а12(1 + е2йи-! -е2йи-2 + е2йи(-2+-1)) + +¿^¿^а2 (1 + е2йи-! + е2ЙИ-12 + е2йи(-2 +-1)) + ¿22 ¿31а2 (1 - е2йи-! - е2йш2 + е2йи(-2+-1)) + +¿^¿^а^ (1 + е2йи-! - е2йш2 - е2йи(-2+-1)) + ¿^¿^а^ (-1 - е2йи-! + е2йш2 + е2йи(-2+-1)) + +£!1£321а2 (-1 - е2йи-1 - е2йш2 - е2йи(-2+-1)) + (1 + е2йш2 Щ2 (-¿322 ((-1 + е2йи-)а1 + (1 + е2йи-)а?) + +¿31 ((-1 + е2йи-1 )а1 + (1 + е2йи-1 )а2) + £2 ((-1 + е2И ^ ((-1 + е2и )а1 + (1 + е2^-1 )а2) - (-1 + е2^-1 Щ, х
х(-1 + е2йи-2 )а2 + (1 + е2йш2 )а 2))))));
Q(w) = с66(-(с2б)2(к^к2 -¿^Х^МеМ*;+4)¿]1а12 + ^((1 + е2й^)(1 + е2й-4)а] -
-(-1 + е2 ^ )(-1 + е2 )а2)) + ¿;2 (-4ей-( "+"2) к32а1 + ¿;1 (-(-1 + е2^"1 )(-1 + е2 )а! +
+(1 + е2й^; )(1 + е2 й-"\ )а2))) - (сб6)2 (-(-1 + е2 ^ )(-1 + е2й-4 )(^;2 ¿;1)2 + 2(1 + е2й™; +
+е2й-4 - 4ей-("+4) + е2М"+"2 ^к^к^ - (-1 + е2й™; )(-1 + е2й™1 Хк^ )2 )(а? - а2) +
+сб6с26 (-(-1 + е2й-4 )(к12)2 к31 (-к322 ((-1 + е2 ^ )а1 + (1 + е2 йш1 )а2) + к321 ((-1 + е2 ^ )а1 +
+(1 + е2й-*1 )а2)) + к11к32 (к222 (-(-1 + е2)к12 ((1 + е2^ )а1 + (-1 + е2й^ )а2) +
+к]1 ((1 + е2^1 + е2й-"2 -4ейм>1+"2) + е+"2^а^ + (1 + е2^)(-1 + е2^"1)а!2)) +
+(-1 + е2 йws! )к11 (к322 ((1 + е2 й-"2 )а? + (-1 + е2 й-"2 )а!2) - к^ ((-1 + е2 й-"2 )а!2 + (1 + е2 й-"2 )а 2)) +
+к2 ((-1 + е2й-"2)к32 ((1 + е2^)а1 + (-1 + е2й)а2) + к31 (-(1 + е2й)(-1 + е2й-4 )а12 -
-(1 + е2йж?1 + е2й-"2 - 4ей-(") + е2й-("1+"2))а2))) + к12 (к222к31 (к12 ((-1 + е2йж?1 )(1 + е2й-"2 )а1 +
+(1 + е2^"1 + е2йш2 - 4ейм>1+"2) + е2^1"+"2))а12) - (-1 + е2^ )к31 ((-1 + е2йж"2 )а2 + + (1 + е2й-*1 )а2)) + k221k!1 ((-1 + е2й™\ )к^ ((1 + е2^"1 )а12 + (-1 + е2^"1 )а2) -
-к32((-1 + e2йws! )(1 + е2йч,"2 )а1 + (1 + е2йш1 + е2йч,"2 - 4eйw("!+"2) + е2й-("+"2))а^)) + +к^ (-к322(к32((1 + е2йш2)а1 + (1 + е2йж?1 + е2йш2 - 4ей-("+"2) + е2й-("1+"2))а1 +
+(1 + е2й-"1 + е2й-"2 - 4ей-("1+"2) + е2й-("1+"2))а!2)) + к321 (к^((1 + е2й-"1 + е2й-"2 -
-4еМ"1+"2) + е2й-("1+"2))а12 + (1 + е2йи" )(-1 + е2й-"2)а2) + к\2((1 + е2й-"1 + е2йш2 -- 4еМ "+"2) + е2й-("1+"2 ))а1 + (-1 + е2 ^ )(1 + е2 й-"2 )а2)))))).
+ (-1 + е2й-"1 )(1 + е2й-"2 )а2) + к31 ((1 + е2й-"1 )(-1 + е2й-"2 )а2 +
С помощью предельного перехода нетрудно убедиться, что для случая изотропного слоя и полупространства эти функции совпадают с известными решениями [4, 5].
функция. Выражение для константы С в наших случаях имеет следующий вид:
• для слоя на недеформируемом основании
1 ^32а1 - ^31а2
На практике дробь —удобно представ-
С =
2п С66(к22кз1 -к2:к32)'
лять в виде
• для слоя, сцепленного с упругим полупространством:
с =
1 ^32 а 1
2п С(56 (k!2k!1 к21к32)
Использование формулы (4) в том виде, в котором она приведена, является крайне за-
труднительным, поэтому дробь
Р( и) б( и)
прибли-
жают некоторым выражением [3-5] так, чтобы интеграл в (4) брался аналитически. Для случая, когда полупространство изотропно, зачастую пользуются взятием нескольких членов ряда в следующем представлении: Р(и / й)
в(и / й)
= С, + е-2и У
ак ик,
(5)
к=0
где ак - коэффициенты ряда Маклорена функ-
ции
Р(и / й)
- с,
". Выбор двойки связан
Ми / й)
с оценкой асимптотического поведения функции Р(и / й) на бесконечности. Однако попыт-и / й)
ка применить данный подход для трансвер-сально-изотропного массива оказывается неудачной, так как требуется довольно большое количество членов ряда для хорошей аппроксимации. На рис. 1 приведен пример аппроксимации вида
Р( и / й) б( и / й)
= с, + е-2и-2 У ак и*
к=0
при следующих значениях упругих свойств:
£1 = Е 2 = 109 Па; Vl = V 2 = 0,3; О2 = 0,1501. Здесь и = 2.
Р(\\'1к)10(\\'И7)
2,5-10-9 2,0-10-9 У / / ч ч
1,5-10-9 1,0-10-9 / / /
5,0-10-10 / ---
5 10 15 и/й
Рис. 1. Пример аппроксимации на основании формулы (5)
Как видно, выражение хорошо аппроксимирует поведение функции в 0 и на бесконечности, однако в остальных точках наблюдается довольно большое расхождение. Причем увеличение количества членов ряда не всегда приводит к улучшению результата.
Нами предлагается следующее представление для исходной функции
Р(и /й) ^ 2 ^ т . .
п) = С1 + е-2и-2 У ак и (и) / й) к=0
где ик - полиномы Лагерра;
(6)
= |е-и
0
(
Р( и / й)
Л
- с,
е2--2иик (- коэф-
и / й)
фициенты Фурье. Аналитическое вычисление этих коэффициентов не всегда возможно. Однако при конкретных упругих постоянных их легко рассчитать численно. Для случая слоя на упругом основании в формуле (6) 5 2 заменяется на ^2.
На следующих рисунках приведены примеры указанного приближения. На рис. 2 - для слоя на недеформируемом основании. При этом были взяты следующие упругие свойства слоя: £1 = Е 2 = 1010 Па; V, = V 2 = 0,3; О2 = 0,350 В этом случае получаем значения коэффициентов: а0 = -6,45788-10-11 Па-1; а, = 1,56765 х х 10-11 Па-1; а2 = 4,38728-10-12 Па-1. На рис. 3 приведен пример приближения для слоя на упругом основании. При этом были взяты следующие упругие свойства слоя и полупространства:
Е1 = Е1 = 1010Па, V1 =v12 = 0,2, О1 = 0,350,;
Е,2 = Е22 = 5 - 109Па, V2 = v2 = 0,3, 022 = 0,202.
Р(\\'1к)10(\\'И7)
4,0-103,0-10-1 2,0-10-1 1,0-10-1
10
15 и/й
Рис. 2. Пример аппроксимации на основании разложения в ряд Фурье для слоя на недеформируемом основании
В данном случае имеем значения коэффициентов: а 0 = 7,89831-10-11 Па-1; а, = 3,79173 х х 10-12 Па-1; а2 = -1,51824-10-11 Па-1.
И в том, и в другом случае п принималось равным 2.
Р(w/Й)/Q(w/Й)
гл
5
1,210-1 1,0-10-1 8,010-
10
15 w/h 20
Рис. 3. Пример аппроксимации на основании разложения в ряд Фурье для слоя, сцепленного с полупространством
Максимальная погрешность не превышает 10 %, и, как известно из теории рядов Фурье, будет уменьшаться при добавлении новых членов ряда.
В итоге на основании указанного приближения интеграла в (4) берется аналитически и вертикальные перемещения границы слоя от сосредоточенной вертикальной силы имеют
следующий вид ( г = ^х2 + у2 ):
C
u (r )|z=0 = — + r
1
+a1
h((r / h)2 + 4s2 )1/2 (r /h)2 + 2s2 (-1 + 2S2 ) ,
h((r / h)2
-4s2 )3/2
Приведем графики перемещений поверхности основания (рис. 4), вызванных сосредоточенной силой, для трех случаев: упругое полупространство (сплошная кривая), слой на неде-формируемом основании (длинный пунктир), слой на упругом полупространстве (мелкий пунктир). Графики строились в соответствии с полученными приближениями.
и: м 2.5-КГ9
2,0-10-"
1,5-10-9
1,0-10-9
5,0-10-10
0,5
1,0 1,5
2,0 х, м 3,0
Рис. 4. Перемещения поверхности для различных типов основания В Ы В О Д Ы
Таким образом, получены решения для случая воздействия нормальной нагрузки на упру-
гое многослойное трансверсально-изотропное основание. Приведены аналитические выражения для ядер основания для случая упругого слоя на недеформируемом и упругом основаниях. Предложен подход для аппроксимации ядра основания с помощью полиномов Лагерра. Приведены примеры аппроксимации. Указанные решения могут быть использованы при анализе напряженно-деформированного состояния грунтов, вызванного поверхностной нагрузкой.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Лехницкий, С. Г. Упругое равновесие трансвер-сально-изотропного слоя и толстой плиты / С. Г. Лехницкий // Прикладная механика и математика. - 1962. - Т. 26, № 4. - С. 687-696.
2. Garg, N. R. Displacements and stresses at any point of a transversely isotropic multilayered half-space due to strip loading / N. R. Garg, R. K. Sharma // Indian. J. pure appl. Math. - 1991. - 22(10). - P. 859-877.
3. Garg, N. R. Residual response of a multilayered halfspace to two-dimensional surface loads/ N. R. Garg, S. J. Singh // Bull. Ind. Soc. Earthq. Tech. - 1985. - 22. - P. 39-52.
4. Chadhuri, P. K. Two-dimensional static response of a transversely-isotropic multilayered nonhomogeneous half-space to surface-loads / P. K. Chadhuri, S. Bowal // Geophys. Res. Bull. - 1989. - No. 27. - P. 77-87.
5. Kuo, J. T. Static response of a multilayered medium under inclined surface loads / J. T. Kuo // J. Geophys. Res. -1969. - No. 74. - P. 3195-3207.
6. Pan, E. Static response of transversely isotropic and layered half-space to general surface loads / E. Pan // Phys. Earth Planet Inter. - 1989. - No. 54. - P. 353-363.
7. Босаков, С. В. Статические расчеты плит на упругом основании / С. В. Босаков. - Минск: БНТУ, 2002. -128 с.
8. Алейников, С. М. Развитие метода специальной аппроксимации в контактных задачах теории упругости / С. М. Алейников, Е. В. Кутенков // Труды всерос. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, Россия, 2004 г. - Самара, 2004. - С. 9-13.
9. Алейников, С. М. Аппроксимация ядер упругих слоистых оснований / С. М. Алейников, Е. В. Кутенков // Труды всерос. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, Россия, 2005 г. - Самара, 2005. -С. 17-20.
10. Круподеров, А. В. Решение задачи о воздействии нормальной нагрузки на многослойное трансверсально-изотропное основание с помощью использования преобразования Фурье в объемной постановке / А. В. Круподеров, М. А. Журавков // Труды VI Междунар. симпозиума по трибофатике МСТФ 2010, Минск 25 окт. - 1 нояб. 2010 г. Ч. 2 / редкол.: М. А. Журавков [и др.]. - Минск: БГУ, 2010. - С. 359-364.
11. Ding, H. Elasticity of transversely isotropic materials / H. Ding, W. Chen, L. Zhang. - Springer, 2006. - 444 p.
