CC BY
24
Fresnel holograms of three-dimensional objects Ismailov Dz.1, Ismanov Yu.2, Alymkulov S.3 Френелевские голограммы трехмерных объектов Исмаилов Д. А.1, Исманов Ю. Х.2, Алымкулов С. А.3
'Исмаилов Джапар Авазович /Ismailov Dzhapar - кандидат технических наук, заведующий лабораторией;
2Исманов Юсупжан Хакимжанович /Ismanov Yusupzhan — кандидат физико-математических наук,
ведущий научный сотрудник;
3Алъткулов Салмор Аманович /Alymkulov Salmor - доктор технических наук, директор,
Институт физико-технических проблем и материаловедения, Национальная академия наук Кыргызской республики, г. Бишкек, Кыргызская республика
Аннотация: в статье рассмотрены приближения, позволяющие значительно упростить расчет интеграла Френеля-Кирхгофа для распределений световых полей. Данные приближения также позволяют значительно сократить затраты машинного времени при численных расчетах распределений светового поля.
Abstract: some approximations which can considerably simplify calculation of Fresnel-Kirchhoff integral for light fields are considered in the paper. These approximations enable to reduce of expenditure of computer time for the digital calculations of light field distributions.
Ключевые слова: интеграл Френеля-Кирхгофа, голограмма Френеля, дискретное преобразование Фурье, метод регуляризации, световое поле.
Keywords: Fresnel-Kirchhoff integral, Fresnel hologram, discrete Fourier transform, regularization method, the lightfield.
Голограмма несет большой объем информации об объекте. Для получения количественных данных о параметрах объекта и решения сложных задач визуализации внутренней структуры и различных видов объекта необходима автоматизация голографического эксперимента. Одним из наиболее удобных путей автоматизации является ввод голограммы в ЭВМ с последующим восстановлением (реконструкцией) в цифровом виде. Цифровое восстановление (реконструкция) изображений основано на моделировании процесса распространения света от голограммы к объекту. В простых случаях возможно использование приближения Кирхгофа и следующих из него методов дифракции Френеля и Фраунгофера [1, 2]. Для цифровой реконструкции более сложных объектов должны быть применены методы теории рассеяния.
Ввод голограмм в ЭВМ требует разрешения ряда трудностей. Аналоговый объект (физическое поле) переводится при вводе в ЭВМ в цифровую форму. При этом имеют место дискретизация и квантование, вносящие методические погрешности в результаты измерений. Для ввода оптических голограмм, в принципе, могут быть использованы методы сканирования и устройства [3], применяемые при передаче и цифровой обработке изображений. Физическая оптическая голограмма может формально рассматриваться как некоторое изображение. Но имеются существенные количественные отличия голограммы от обычных изображений в смысле требований к разрешению систем ввода в ЭВМ. Так, для перевода обычных изображений в цифровую форму достаточно выбрать отсчеты с плотностью, не превышающей 101-102 мм"1 (по каждой оси). Известно также [4], что разрешение на внеосевой голограмме имеет порядок 103-104 линий на миллиметр, что на один - два порядка превышает возможности известных систем. Возможны усовершенствования систем ввода, несколько повышающие их разрешающую способность. Однако такая мера не является радикальной и сопряжена со значительным повышением стоимости соответствующих систем. Другой путь состоит в применении специальных методов снижения полосы пространственных частот на голограммах [5]. Цифровая реконструкция для широкого класса голограмм может быть основана на использовании приближения Френеля-Кирхгофа задачи о дифракции. Строгое решение интеграла Френеля-Кирхгофа в частотной области [1] дает следующий результат. Если плоская волна единичной амплитуды распространяется в направлении оси z и падает на помещенный в плоскости z = 0 транспарант с амплитудным пропусканием t(u, v) , то спектр A(s, f) комплексной амплитуды волны в плоскости z = d имеет вид:
A(s,f) = t (s, f)<i>(s, f, d), (1) где t(s,f) = f{t (s,f)} (2)
Ф(е, л, О) = ехр[-г—(1 - Я2е2 - Я2]2)1'2} (3) Я
Символами / и / 1 здесь и далее обозначаем, соответственно, прямое и обратное
преобразования Фурье. Символами / и / 1 , соответственно, прямое и обратное дискретные преобразования Фурье (ДПФ) [3]. С использованием опорной волны комплексная функция Ф(в,], $) может быть зарегистрирована в виде интенсивности интерференционной картины. Предположим, что в память ЭВМ записан двумерный массив данных Л(к, I) , полученный путем дискретизации функции Л(в, ]]) по аргументам с шагом Д, и вместо соотношения (3) используется
Л(к, I)=г(к, I )Ф (к, I, а), (4)
где г (к, I), Ф(к, I, а) - отсчеты функций г (в,]) и Ф(в,], а) , соответственно с шагом А по осям в и]. Задача решения уравнения (1) относительно г(и,у) в области пространственных частот (в,]) эквивалентна решению интегрального уравнения Фредгольма 1 рода в области пространственных переменных (и,у) и является некорректной в смысле устойчивости решения [6]. Малым отклонениям наблюдаемой функции Л(в, ]]) , вообще говоря, могут соответствовать большие отклонения решения г (и, у) . Для решения этой задачи следует использовать метод регуляризации академика А.Н.Тихонова [5]. Регуляризованное решение уравнения (1) в спектральной области имеет вид:
Т (ел) =_1__Л(в]) (5)
Т (в,Л) ^ аМ(ел) Ф(е,л,а) (5)
|Ф(е,Л, а )2
где а - параметр регуляризации; Ы(в,]) - четная неотрицательная функция, определяющая регуляризующий функционал. Для самого широкого класса функций можно показать, что при использовании регуляризаторов тихоновского типа, существует такая зависимость погрешности регуляризованного решения от погрешности наблюдения, при которой последовательность приближенных регуляризованных решений сходится к точному решению. Используя регуляризованное решение (5) в дискретной форме:
т(к, I) =-^¡т Л(к, 1) (6)
11 аы (к, I) ф(к, I, а) Ф(к, I, а )|2
и применяя к функции Т (к, I) ДПФ, получим искомое решение:
г(т, п) = ¥в \Т (к, I)} (7)
Реконструкция в частной области - не единственный путь решения задачи. Если справедливо параболическое приближение [2], функция Ф(в,], а) с точностью до постоянного множителя
совпадает с функцией Френеля, а функции г(и,у) и а(X, у) = / 1{Л(е,л)} связаны прямым и обратным преобразованиями Френеля. В этих условиях спектр объекта может быть вычислен через наблюдаемую функцию Л(в, ]]) (в дискретной форме Л(к, I) ) из соотношения:
Т (к, I) = Л(к, Г)Ф' (к, I, а) (8)
где * - символ комплексно-сопряженной величины. Соответствующее решение имеет вид:
г(т, п) = ^ 1{Л(к, Г)Ф' (к, I, а)} (9)
и получается с использованием ДПФ. До сих пор мы рассматривали восстановление плоских объектов. Восстановление трехмерного объекта 1(и,У, 2) не вызывает трудностей, если этот объект может быть представлен совокупностью плоских сечений, параллельных плоскости голограммы [6-9]:
N
Ни,у, 2) = £ 1г (иу)5(г - 2 ) (10)
1=1
Для реализации цифровой реконструкции объекта по сечениям можно использовать любой из методов, описанных в этом разделе, варьируя параметр d, соответствующий расстоянию от голограммы до восстановленного сечения.
Литература
1. Кольер Р., Беркхарт К., Лин Л. Оптическая голография. М: Мир, 1973. 592 с.
2. Гудмен Д. Введение в Фурье - оптику. М.: Мир, 1970. 311 с.
3. Ярославский Л. П., МерзляковН. С. Цифровая голография. М: Наука, 1982. 221 с.
4. Оптическая обработка информации. / Под ред. Кейсесента Д. М: Мир, 1975. 349 с.
5. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1975. 451 с.
6. Исманов Ю. Х. Фазовые искажения решетки средой с линейной зависимостью показателя преломления // Проблемы современной науки и образования, 2016. № 3 (45). С. 19-23.
7. Исманов Ю. Х. Формирование расфокусированных изображений при некогерентном освещении// Проблемы современной науки и образования, 2016. № 3 (45). С. 23-26.
8. Исманов Ю. Х. Фазовые искажения последовательности саморепродукций плоскопараллельной пластиной // Вестник науки и образования, 2016. № 3(15). С. 4-6.
9. Исманов Ю. Х., Исмаилов Д. А. Методы рентгеновской голографии с внутренним источником // Наука, техника и образование, 2016. № 3 (21). С. 19-22.
Derivation of formulas for Golomb postulates. A method for creating pseudo-random sequence of frequencies Mises. Basics "Combinatorics of long sequences" Filatov O.
Вывод формул для постулатов Голомба. Способ создания псевдослучайной последовательности из частот Мизеса. Основы «Комбинаторики длинных последовательностей»
Филатов О. В.
Филатов Олег Владимирович /Filatov Oleg - инженер-программист, Научно-технический центр «Модуль», г. Москва
Аннотация: приведён вывод формул для постулатов Голомба из «Комбинаторики длинных последовательностей» (КДП) - теории, описывающей природу вероятности с позиций частот Мизеса и комбинаторики. Перечислены основополагающие для КДП понятия, определено случайное событие в КДП. Приведён способ алгоритмического создания псевдослучайной последовательности на КДП платформе при помощи частот Мизеса.
Abstract: the above derivation of formulas for the postulates of Golomb "Combinatorics long sequences" (KDP) - which describes the nature of probability theory with the frequency position of Mises and combinatorics. Listed fundamental concepts for the KDP, defined random event in KDP. The above method of algorithmic create pseudo-random sequence on the KDP platform using Mises frequencies.
Ключевые слова: постулаты Голомба, частоты Мизеса, серии Голомба, псевдослучайная последовательность, Комбинаторика длинных последовательностей, КДП, цуга, составное событие, эл, бинарное событие, случайная бинарная последовательность, игра Пенни.
Keywords: the postulates of Golomb, the frequency of Mises, series Golomb, a pseudo-random sequence, combinatorics long sequences, KDP, a train, a composite event, el, binary event, random binary sequence, Penny game.
Сокращения: пос-ть - последовательность; эл. - элементарное бинарное событие («0», «1»).
