CC BY
0
Физиологические исследования
УДК 57.034:577.217.5(045)
В.Я. Бродский, А.Д. Тараненко, Н.В. Латыпова
ФРАКТАЛЫ В ОРГАНИЗАЦИИ ОРГАНОВ МЛЕКОПИТАЮЩИХ1
Обоснована фрактальная организация структурно-функциональных единиц органов млекопитающих. Для исследования фрактальности структурно-функциональных единиц по изображению использовали метод подсчёта занятых ячеек на языке программирования Python в среде разработки Visual Studio Code. В программе на вход подаётся изображение, на выходе выводятся график степенной зависимости в логарифмических координатах и значение фрактальной размерности. Результат актуален в связи с объяснением надежности работы органов, устойчивости при внешних и внутренних воздействиях и компенсации функций после повреждений. Исследования могут быть развиты при изучении органов других позвоночных.
Ключевые слова: полимерность органа, структурно-функциональные единицы органа, фракталы, гомеостаз, регенерация, фрактальная размерность, степенные закономерности.
DOI: 10.35634/2412-9518-2024-34-3-266-272
В середине прошлого века обоснована полимерность внутренней структуры органов млекопитающих [1]. Дольки печени, нефроны почки, ацинусы поджелудочной и слюнных желез, фолликулы щитовидной железы, ворсинки кишечника, бронхиолы легкого, ансамбли нейронов - примеры такой полимерности. Тысячи или миллионы сходных по структуре и функциям единиц, каждая из которых выполняет все функции органа.
Микрополимерность напоминает структуры, которые называют фракталами. Фракталы были описаны Б. Мандельбротом [2] через 20 лет после определения понятия структурно-функциональных единиц органов. Главная особенность фрактальной структуры - самоподобие, сохранение свойств в разном масштабе (см. также монографические обзоры [3-8]). Фракталы характеризуют сложные геометрические структуры, которые невозможно описать с помощью классической геометрии Евклида. Также показаны фрактальные основы ряда биологических структур и процессов. По способу формирования выделяют следующие типы фракталов. Во-первых, фракталы, существующие в природе, естественные фракталы, такие, например, как облака, горы, берега рек и морей. Во-вторых, искусственно построенные, конструктивные, например, декоративные рисунки. Среди природных выделяются детерминированные фракталы. Именно они наиболее интересны биологии. Это, например, крона дерева, рисунок его ветвей, очертания кровеносной и лимфатической системы, ансамбли нейронов, структура биополимеров - ДНК и других. К детерминированным фракталам относятся и динамические системы, например, биоритмы, реакции рецепторов, частоты сокращений сердца (пульса) или дыхания. Детерминированность, ограниченность биологических фракталов определяются как наследственностью, так и пределами физиологической нормы. Во всех случаях фракталов основной критерий фрактальной организации - подобие частей друг другу и целому, которое они составляют.
Внутренняя полимерность органов млекопитающих как будто бы удовлетворяет критериям фракталов. Части органа (дольки, ворсинки и т. д.) подобны друг другу и целому органу (печени, кишечнику и т. д.). Но математического обоснования такой закономерности до сих пор не было. Такое исследование - цель нашей работы.
Почему это интересно? Фрактальная природа структурно-функциональных единиц обосновывает надежность работы органов и возможность компенсации функций после повреждения органа, что ранее предполагалось [1; 6; 8], но требовало специального математического анализа.
1 Работа выполнена в рамках темы № 4 НИР ИБР РАН, номер ГЗ 0088-2021-0016, номер НИОКТР АААА-А21-121011490124-0.
Материалы и методы исследования
Математически свойство самоподобия можно выразить с помощью степенного закона, т. е. функции вида Схп, где С и п - постоянные, причем п может принимать нецелые (дробные) значения. Например, зависимость массы некоторого объекта или количества составляющих его элементов N{s) от его линейных размеров £ выражается формулой: N(s) = Csk.
Характеристикой степенных законов фрактальных структур служит фрактальная размерность, которую можно определить следующим образом. Пусть на плоскости или в пространстве находится некоторый объект Т. Покроем этот объект целиком кругами диаметра £, если Т находится на плоскости, или шарами диаметра £, если объект - в пространстве. Представим, что нам потребовалось для этого N(s) кругов или шаров соответственно. Тогда, если при достаточно малых £ величина N(s) меняется по степенному закону
вд * (1)
то степень D = dimT называется фрактальной размерностью объекта Т, а сам объект Т является фракталом и характеризуется нецелым значением фрактальной размерности. Прологарифмировав обе части последнего равенства и учитывая, что £ должно быть сколь угодно мало, т. е. £^0, получаем
lnN(s) lnN(e) D = lim —-—-— =— lim —--.
£^0 lni £^0 ln £
Это и служит общим определением и формулой для вычисления фрактальной размерности D. Но для практического применения определение непригодно часто даже для математических фракталов. Для решения прикладных задач удобнее «покрывать» фрактальный объект вместо кругов и шаров соответственно квадратами и кубами, а вместо вычисления предела находить степенную закономерность (формула (1)) методом наименьших квадратов.
С геометрической точки зрения фрактальная размерность характеризует меру заполнения пространства или плоскости фрактальной структурой. С физической точки зрения фрактальная размерность представляет собой рост массы М(г) фрактальной структуры с увеличением её размеров г в пространстве или на плоскости: M(r) = CrD. Плотность фрактальных структур уменьшается по степенному закону с ростом их линейных размеров. Стоит отметить, что самоподобие фрактального объекта в этом случае выражается с помощью формулы: M(ar) = aDM(r), где ar (0< а < 1) -это линейный размер части объекта, т. е. а - коэффициент уменьшения (подобия).
Для исследования фрактальности структурно-функциональных единиц органов млекопитающих был использован один из самых простых методов, применяемых для оценки размерности множества, заданного на плоскости, по его изображению, - метод подсчета занятых ячеек (box-counting) [9]. Алгоритм состоит в следующем:
1. Исходное изображение покрывается квадратной сеткой с размером ячейки е;
2. Подсчитывается количество занятых исследуемым объектом ячеек N(s);
3. Шаги 1-2 повторяются с увеличением размера ячейки £ от минимально возможного значения до максимального. Получается два набора значений: размеры ячеек £1,£2,---,£т и соответствующие им количества занятых объектом ячеек N(£t),N(£2), ■■■, N(£m);
4. От полученных значений вычисляются логарифмы, и в декартовой системе координат отмечаются точки (ln£k,lnN(£k)). Данное множество точек представляет собой зависимость lnNfe) от lne;
5. Степенной характер такой зависимости выражается группировкой данного множества точек вдоль некоторой прямой, которую называют линейной регрессией. Методом наименьших квадратов строится прямая и оценивается наклон графика этой прямой. Фрактальная размерность равняется угловому коэффициенту построенной линии, взятому с противоположным знаком.
Подчеркнем, что фрактальная размерность должна оцениваться только по тем участкам графиков, где степенная зависимость сохраняется, то есть в изложенном алгоритме наклон графиков в логарифмических координатах должен определяться только по линейному участку. Заметим, что для регулярных фракталов математических структур точки (In£k,lnN(£к)) в декартовой системе координат в точности ложатся на прямую линейной регрессии.
Данный алгоритм реализован на языке программирования Python в среде разработки Visual Studio Code. В программе на вход подаётся изображение, на выходе выводятся график степенной зависимости в логарифмических координатах и значение фрактальной размерности.
Результаты и их обсуждение
Фрактальная размерность рассчитана для изображений трех органов млекопитающих, взятых из практикума по частной гистологии Л.Б. Левинсона и Е.С. Кирпичниковой [10]. Каждое изображение предварительно было очищено от шума и представлено в виде квадрата для удобства реализации программы обработки.
На рис. 1-6 изображены срезы трех (из примерно двух десятков) органов млекопитающих с выраженными структурно-функциональными единицами - околоушной слюнной железы, печени и семенника в разном масштабе - при малом и большом увеличении. Ниже на каждом рисунке приводится график зависимости ln N(s) от ln £.
Фрактальная размерность для всех случаев значительно превышает единицу: 1,819 (рис. 1), 1,726 (рис. 2), 1,813 (рис. 3), 1,865 (рис. 4), 1,643 (рис. 5), 1,791 (рис. 6). Во всех исследованных случаях график зависимости ln N{s) от ln£ и расчет размерности характеризуют фрактальность и степенную закономерность изображений структурно-функциональных единиц. Различия в 0,1 для разного масштаба не существенны, учитывая сложность биологических объектов.
Рис. 1. Слева - околоушная железа собаки (малое увеличение) [10], справа - график зависимости
1п N{6) от 1п £ для данного изображения
Рис. 2. Околоушная железа собаки (большое увеличение) [10] и соответствующий
график зависимости
Рис. 3. Печень свиньи (малое увеличение) [10] и соответствующий график зависимости
Рис. 4. Печень свиньи (большое увеличение) [10] и соответствующий график зависимости
Рис. 5. Семенник морской свинки (малое увеличение) [10] и соответствующий график зависимости
Рис. 6. Семенник морской свинки (большое увеличение) [10] и соответствующий график зависимости
В исследованных нами случаях структуры органов млекопитающих обоснован основной признак фракталов - подобие частей разного масштаба друг другу, независимость от масштаба, самоподобие. Части имеют разный размер, но каждая из них выполняет все функции целого органа. Также ранее, начиная с Б. Мандельброта [2], во многих математических работах было показано, что при огромной вариабельности очертаний берегов морей и рек, формы ветвей одного дерева, ветвлений бронхов легкого или кровеносных сосудов выявляется подобие частей друг другу и целому. Обнаружен порядок в хаотически, на первый взгляд, организованных образованиях - детерминированный хаос. В нашем исследовании это установлено для структурно-функциональных единиц органов млекопитающих.
Хаотическая вариабельность размеров и активности структурно-функциональных единиц ограничена, детерминирована. Хаос ограничен пределами, которые сами по себе неслучайны. Для биологических явлений основной фактор ограниченности хаоса — наследственность. Так, для фрактальной геометрии при значительной вариабельности размеров и формы деревьев одного вида и ветвей одного дерева такое разнообразие не произвольно, что легко отличает березу от осины или других видов деревьев даже по очертаниям. Структурно-функциональная единица, включающая разнородные взаимодействующие клетки (например, для дольки печени - гепатоциты, клетки Купфера, протоков, сосудов, соединительной ткани, окончаний рецепторов нервной системы), не может быть слишком мелкой, и в разных физиологических условиях увеличивается в несколько раз.
Обоснование фрактальной структуры доказывает предположение о надежности работы органов, образованных структурно-функциональными единицами. В какой-то момент времени отдельные единицы работают с разной интенсивностью или даже временно почти отключаются (что обосновано [1; 8] исследованием активности ферментов, динамикой секреции и т. д.). Интенсификация работы одних обеспечивает восстановление других, способствуя гомеостазу органа в целом.
Среди вероятных фракталов привлекают внимание околочасовые ритмы разных показателей метаболизма (далее литература, кроме отдельных случаев, суммирована в [6] и [8]). Определены ритмы синтеза белка, активности примерно 20 ферментов, аденилатов, включая АТФ и цАМФ, pH цитоплазмы, в некоторых клетках белковой их массы и размеров. В серии работ фрактальная природа таких ритмов предполагалась по некоторым косвенным их показателям: крайней нерегулярности колебаний в разном масштабе времени, внешней их хаотичности, устойчивости к внешним воздействиям. Фрактальный характер показан здесь с помощью вычисления показателя Херста Н, который связан с фрактальной размерностью формулой:
D = 2-H.
Фрактальная природа объясняет устойчивость околочасовых ритмов к изменениям температуры среды. Это показано для дробящейся икры морского ежа, эпителия жабр мидии, культуры тетра-химены по разным показателям. Также интересно сохранение околочасового ритма (синтеза белка) в эпифизе сусликов - активных летом и спящих зимой, когда температура их тела изменяется от 35-38 °С до примерно 5 °С.
Одно из следствий нерегулярности околочасовых ритмов - возможность выбора оптимальной частоты при изменениях среды. Экспериментально это было показано еще до описания фракталов. При ритмических воздействиях на нервную систему крысы (периодическими кормлениями) в зависимости от их частоты в слюнной железе отбирались короткие или только длинные частоты белковой массы секреторных клеток и интенсивности в них синтеза белка. Такая динамика сохранялась in vivo и в культуре клеток железы in vitro несколько дней без подкрепления.
Теперь для одного случая - структурно-функциональных единиц - фрактальная природа организации Живого доказана математически. Это поддерживает раннюю гипотезу фрактальности метаболических ритмов.
При повреждении или даже удалении части структурно-функциональных единиц сохранившиеся обеспечивают компенсацию функции органа и (в определенных пределах нормы) продолжается его работа. Так, у одной и той же мыши с промежутками в несколько месяцев В.М. Фактор и И.В. Урываева [11] удаляли часть печени. В оставшейся части гепатоциты полиплоидизировались до необычных для нормального онтогенеза величин, и печень выполняла свои функции до старости мыши.
Заключение
В исследованных нами случаях структуры органов млекопитающих обоснован основной признак фракталов - самоподобие частей разного масштаба друг другу, независимость от масштаба. Об-
наружен порядок в детерминированном хаосе для структурно-функциональных единиц органов млекопитающих. Таким образом, обоснована фрактальная основа структурно-функциональных единиц и, тем самым, значимость полимерной организации органов млекопитающих. Фрактальность в организации структуры органов - врожденное свойство природных объектов. Становится более понятной природа надежности, устойчивости и адаптивности системы, одного из механизмов гомеостаза. Перспектива дальнейших исследований в определении организации органов у других позвоночных.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Хрущов Г.К., Бродский В.Я Орган и клетка // Успехи современной биологии. 1961. Т. 52, № 2. С. 181-208.
2. Mandelbrot B. The fractal geometry of nature. San Francisco : W.H. Freeman, 1983. 460 p.
3. Feder J. Fractals. New York: Plenum Press, 1988. 283 p.
4. Elbert T., Ray W.J., Kovalic Z.J., Skinner J.E., Graf K.E., Birbamer N. Chaos and physiology: deterministic chaos in excitable cell assemblies // Physiol. Rev. 1994. V. 74. P. 1-47.
5. Bunde A., Havlin S., Eds. Fractals in science. Springer Berlin Heidelberg, 1994. 298 p.
6. Lloyd A.L., Lloyd D. Chaos: Its significance and detection in biology // Biol. Rhythm. Res. 1995. V. 26. P. 233-252.
7. Латыпова Н.В. Фрактальный анализ. Ижевск: Издат. центр «Удмуртский университет», 2020. 120 с.
8. Brodsky V.Y. Ultradian signals and direct cell-to-cell communication. M.: Pero, 2022. 244 p.
9. Иудин Д.И., Копосов Е.В. Фракталы: от простого к сложному. Н. Новгород: Нижегород. гос. архитектур-строит. университет, 2012. 200 с.
10. Левинсон Л.Б., Кирпичникова Е.С. Практикум по частной гистологии. М.: Высшая школа, 1960. 176 с.
11. Фактор В.М., Урываева И.В. Усиление полиплоидии в печени мыши при повторяющихся гепатэктомиях // Цитология. 1975. Т. 17. С. 909-915.
12. Бродский В.Я., Дубовая Т.К., Нечаева Н.В., Фатеева В.И. Ритм синтеза белка в денервированной печени // Известия АН, серия биол. 1995. № 2. С. 133-137.
13. Thrasher T.N., Shifflett C. Effect of carotid and aortic baroreceptor denervation // Amer. J. Physiol. 2001. 280 (6), R 1642-R1649.
Поступила в редакцию 23.07.2024
Бродский Всеволод Яковлевич, доктор биологических наук, профессор, главный научный сотрудник ФГБУН Институт биологии развития им. Н.К. Кольцова РАН 119334, Россия, г. Москва, ул. Вавилова, 26 E-mail: [email protected]
Тараненко Алексей Дмитриевич, студент направления «Математика и компьютерные науки» E-mail: [email protected]
Латыпова Наталья Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического анализа E-mail: [email protected]
ФГБОУ ВО «Удмуртский государственный университет» 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп. 4)
V.Ya. Brodskiy, A.D. Taranenko, N.V. Latypova
FRACTALS IN THE ORGANIZATION OF MAMMALIAN ORGANS
DOI: 10.35634/2412-9518-2024-34-3-266-272
The fractal organization of structural-functional units of mammalian organs is substantiated. To study the fractal nature of structural-functional units by image, the method of counting occupied cells was used. The method is implemented in the Python programming language in the Visual Studio Code environment. In the created software product, an image is fed as input, and a graph of the power law in logarithmic coordinates and the value of the fractal dimension are displayed as output. The result is relevant in connection with the explanation of the reliability of the work of organs, stability under external and internal influences and compensation of functions after damage. Research can be developed by studying the organs of other vertebrates.
Keywords: polymery of an organ, structural-functional units of an organ, fractals, homeostasis, regeneration, fractal dimension, power laws.
REFERENCES
1. Khrushchov G.K., Brodskiy V.Ya. Organ i kletka [Organ and cell], in Uspekhi sovremennoy biologii, 1961, vol. 52, no. 2, pp. 181-208 (in Russ.).
2. Mandelbrot B. The fractal geometry of nature. San Francisco: W.H. Freeman, 1983, 460 p.
3. Feder J. Fractals. New York: Plenum Press, 1988. 283 p.
4. Elbert T., Ray W.J., Kovalic Z.J., Skinner J.E., Graf K.E., Birbamer N. Chaos and physiology: deterministic chaos in excitable cell assemblies, in Physiol. Rev., 1994, vol.74, pp. 1-47.
5. Bunde A., Havlin S., Eds. Fractals in science. Springer Berlin Heidelberg, 1994, 298 p.
6. Lloyd A.L., Lloyd D. Chaos: Its significance and detection in biology, in Biol. Rhythm. Res., 1995, vol. 26, pp. 233-252.
7. Latypova N.V. Fraktal'nyy analiz [Fractal analysis], Izhevsk: "Udmurtskiy universitet" Publ., 2020, 120 p. (in Russ.).
8. Brodsky V.Ya. Ultradian signals and direct cell-to-cell communication. Moscow: Pero Publ., 2022, 244 p.
9. Iudin D.I., Koposov E.V. Fraktaly: otprostogo k slozhnomu [Fractals: from simple to complex], Nizhny Novgorod: Nizhegorod. Gos. Arkhitekt-stroit. Univ., 2012, 200 p. (in Russ.).
10. Levinson L.B., Kirpichnikova E.S. Praktikum po chastnoy gistologii [Workshop on private histology], Moscow: Vysshaya shkola Publ., 1960, 176 p. (in Russ.).
11. Faktor V.M., Uryvaeva I.V. Usilenie poliploidii v pecheni myshi pri povtoryayushchikhsya gepatektomiyak [Enhancement of polyploidy in the mouse liver during repeated hepatectomies], in Tsitologiya, 1975, vol. 17, pp. 909915 (in Russ.).
12. Brodskiy V.Ya., Dubovaya T.K., Nechaeva N.V., Fateeva V.I. Ritm sinteza belka v denervirovannoj pecheni [The rhythm of protein synthesis in the denervated liver], in Izvestiya AN, seriya biol., 1995, no. 2, pp. 133-137 (in Russ.).
13. Thrasher T.N., Shifflett C. Effect of carotid and aortic baroreceptor denervation, inAmer. J. Physiol, 2001, 280(6), R 1642-R1649.
Received 23.07.2024
Brodskiy V.Ya., Doctor of Biology, Professor, Chief Researcher Koltsov Institute of Developmental Biology of the Russian Academy of Sciences Vavilova st., 26, Moscow, Russia, 119334 E-mail: [email protected]
Taranenko A.D., student of the direction "Mathematics and Computer Science" E-mail: [email protected]
Latypova N.V., Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Mathematical analysis E-mail: [email protected]
Udmurt State University
Universitetskaya st., 1/4, Izhevsk, Russia, 426034
