CC BY
38
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА И ПРЕДЕЛЫ НИКИПОРЦА
1 2 Шмойлов В.И. , Коровин Я.С.
Email: [email protected]
1Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник; 2Коровин Яков Сергеевич - кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник, Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог
Аннотация: предложены записи формул Эйлера, включающие пределы Никипорца и расходящиеся в классическом смысле непрерывные дроби. Рассматриваются способы суммирования бесконечных последовательностей, которые являются обобщением предложенного ранее способа суммирования расходящихся непрерывных дробей. Эти алгоритмы позволяют устанавливать комплексные значения расходящихся в классическом смысле бесконечных последовательностей, составленных из вещественных элементов.
Бесконечные осциллирующие последовательности, порождаемые дробно-рациональными функциями, могут быть представлены комплексными числами, причём, модули и аргументы этих комплексных чисел как раз определяются r/p-алгоритмом и его обобщениями.
Ключевые слова: непрерывные дроби, расходящиеся последовательности, г/ф-алгоритм, R/ф-алгоритм, пределы Никипорца, формулы Эйлера.
EULER FORMULAS AND NIKIPOREZ LIMIT Shmoylov V.I.1, Korovin Ya.S.2
1Shmoylov Vladimir Ilyich - Research Fellow; 2Korovin Yakov Sergeyevich - Candidate of Technical Sciences, Leading Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG
Abstract: records of Euler formulas are proposed that include the Nikiports boundary and continuous fraction that diverges in the classical sense. We consider the ways of summation of infinite sequences, which are a generalization of the previously proposed method of summing divergent continued fractions. These algorithms make it possible to establish complex values of divergent in the classical sense of infinite sequences composed ofreal elements. Infinite oscillating sequences generated by fractional rational functions can be represented by complex numbers, and the modules and arguments of these complex numbers are determined by the r/^-algorithm and its generalizations.
Keywords: continuous fractions, divergent sequences, r/y-algorithm, R/q-algorithm, Nikiporets limits, Euler formulas.
УДК 517.524
1. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей
Число а е R называется пределом последовательности \ап если для
Уе> 0 ЗпЕ е N: \а - an \ <s Уп > пе, т. е. lim ап = а.
Последовательность \ап ^ является сходящейся, если она имеет конечный,
предел, принадлежащий Я. В противном случае, последовательность называют
расходящейся [1].
Для сходимости последовательности необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, то есть для неё выполнялось условие Коши:
Уе > 0 Ъпе : | ап - ат | <е Уп, т > пе.
1.1. Алгоритм определения значений непрерывных дробей
В 1994 г. для определения значений непрерывных дробей был предложен способ, получивший название «г/ф-алгоритм» [2]. Этот алгоритм формулируется следующим образом:
Непрерывная дробь с вещественными элементами сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число 2 = , если существуют пределы
Го = lim n ПР« /Qn\, (1)
n^-rn Ii ^
k
Um —, (2)
n^rn «
где Pn / Q - значение n-й подходящей дроби,
k« - количество подходящих дробей, имеющих отрицательные значения из
совокупности, включающей n подходящих дробей.
Таким образом, в r/ф-алгоритме используется последовательность, где элементами выступают вещественные значения подходящих непрерывных дробей, т. е.
рассматриваются бесконечные последовательности \Рп / Qn .
Применения r/ф-алгоритма и его особенности рассмотрены в работах [3 - 8].
1.2. R/ф-алгоритм определения значений бесконечных последовательностей
Для суммирования бесконечных последовательностей в [9] было предложено обобщение r/ф-алгоритма. Этот алгоритм, обозначаемый как R/ф-алгоритм, имеет такую формулировку:
Бесконечная последовательность вещественных «подходящих дробей»
\Fn / Gn , генерируемая некоторой дробно-рациональной функцией, сходится и
iq> 0
имеет своим значением в общем случае комплексное число Z — Г^в , если
существуют пределы
П1 F / Qnl, (3)
r0 — lim n
1
к
\(р0\ = ж Нт —, (4)
п^-ю п
где Рп / - значение п-й «подходящей дроби»,
кп - количество «подходящих дробей», имеющих отрицательные значения из
совокупности, включающей п «подходящих дробей».
Элементы последовательности, которые генерируются дробно-рациональными функциями, также будем именовать «подходящими дробями», беря этот термин в
кавычки, чтобы не столько указать на связь R/ф-алгоритма с r/ф-алгоритмом, сколько подчеркнуть общность происхождения элементов суммируемых последовательностей.
1.3. Каскадный R/ф-алгоритм определения значений бесконечных последовательностей
Если значение бесконечной последовательности {xn } не устанавливается R/ф-алгоритмом, т. е. алгоритмом, описываемым формулами (3) и (4), то по вещественной последовательности {хп} строится связанная с |хи} последовательность
вещественных «подходящих дробей» {Fn / Gn , порождаемая рациональной функцией.
Алгоритм определения значений бесконечных последовательностей {xn } через построение по исходным последовательностям {xn} последовательностей
IF / Gn , порождаемыми дробно-рациональными функциями, будем называть
каскадным R/ф-алгоритмом [10], имеющим формулировку:
Бесконечная последовательность вещественных «подходящих дробей»
{F / G ' полученная по исходной расходящейся последовательности {хи },
сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число Z = Г^в1Ср°,
если существуют пределы (3) и (4), устанавливаемые R/ф-алгоритмом.
В каскадном R/ф-алгоритме значение исходной бесконечной последовательности {x„ } устанавливается в два этапа. Детально каскадный R/ф-алгоритм рассмотрен в [11
- 14] на примерах суммирования расходящихся рядов. Алгоритмы построения соответствующих рядам цепных дробей приведены в [15, 16].
2. Некоторые применения R/ф-алгоритма для суммирования бесконечных последовательностей
2.1. Записи формул Эйлера, включающих предел Никипорца В [9] были рассмотрены пределы Никипорца
sin( n +1)q sin nq _1Ф
lim—--— = гщ, (5) lim--— = e ф, (6)
n sin nq n sin( n + 1)ф
cos(n + 1)q ф cos nq
lim---— = e (7) lim--— = e ф, (8)
n ^ cos nq n cos(n + 1)ф
ж ж
i — -г—
lim ctgnq = e 2 = i, (9) lim tgnq = e 2 = -i, (10)
n ^<x> n^<x>
lim sin(n + 1)ф = ei(K-ф), (11) lim cos(n + 1)ф = /ж+ф) (12) n^M cos nq n sin nq
и некоторые их приложения.
Формулы (5) - (12) следует рассматривать как запись значений бесконечных последовательностей, состоящих из действительных элементов, например, последовательности:
Jsin(n + sin2q sin3q sin2q sin( n + 1)q
[ sinnq J sinq ' sin2q' sinq ' ' sinnq
Предел Никипорца (5) обсуждался в недавней статье [17], в которой этот предел был назван «парадоксальным». Необычность формул (5) - (12) заключается в том, что расходящиеся в классическом смысле бесконечные последовательности, содержащие действительные элементы, имеют комплексные пределы, т.е. имеют комплексные значения. В работе [9] были приведены некоторое приложения пределов Никипорца. В частности, были получены варианты записи формул Эйлера
eip = cosp + i sinp, (13)
e-p = cosp- i sinp (14)
с использованием пределов Никипорца:
я
я sin и—
ш sm(n + ■ e~'p = cosp+ lim-2—s „,
ep = cosp+ lim-2sinp, (15) n—« . , 1N я (16)
n—« . я v ' sm( n +1)—
sin n— 9
2 2
TT Я
t 1\Я cos«—
cos(n +1)— -¡p 2
ш 2 • e ip = cosp + lim-2—s:
ep = cosp + lim-2sin p, (17) n—« / 1Чя (18)
n—« я cos(n +1)— v y
cosn — 2 2
eip = cosp+ lim ctg npsinp, (19) e-p = cosp+ lim tg npsinp. (20)
n—>« n—«
Левые части формул (15) - (20), т.е. e¡p и e ¡p, можно также представить через пределы Никипорца. Например, формулы (15) и (16) примут вид:
■ , sin(n +1)я
sin( n + 1)p v '2 ■
lim—^-— = cosp + lim-— sin p, (21)
n—« sin np n—« ■ я
^ sin n
2 я
■ sin n sin np .. 2 lim-= cosp+ lim--—sin p. (22)
n—«sin( n + 1)p n—« sin( n +1) я
Комплексные числа eip и e ip представляются бесконечными непрерывными дробями с действительными звеньями [18]:
ip . 11 1 sin(n + 1)p
eip = 2cosp--- - = lim—^-J-¡-, (23)
2cosp-2cosp-...-2cosp-... n—« sin np
-ip 1 1 1 sin np
e p =- - - = lim--—. (24)
2 cos p- 2cosp - ...-2 cos p-... n—« sin(n + 1)p
2.2. Экспериментальная проверка пределов Никипорца
Установим при помощи Л/ф-алгоритма, т. е. формул (3) и (4), значения правых частей формул (15) и (16). Непосредственно применить формулы (15) и (16) нельзя из-за имеющихся недопустимых операций «деление на ноль». Вместо этих формул будем использовать «близкие» формулы, т.е. формулы, в которых вместо угла я/2 я
запишем я-е.
2
В табл. 1 приведены результаты вычисления комплексного числа 61ф по формуле (15) при ф = 1,23456 и е = 10-3. Если вычисления производить при очень малых значениях е, например, при е = 1010, то скорость сходимости модуля комплексного
/ Ж-10-10
Ч 2 , ^
числа е будет невелика.
Таблица 1. Определение значения в Р по формуле
sin(n +1)1 —~s е'р = cosp + lim-у4-sin р (25)
n, / ff
sin ni--s
Ч 2
при р= 1,23456, s = 10-
Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, Fn/Gn Значения модуля, rn Значения аргумента, рп Погрешность модуля, Er = |1 - Гп |
1 -471.6698150 0.3318245240 0 0.6681754759
2 0.3337125374 12.510460098 1.5707963267 11.510460098
4 0.3356005736 10.533074767 1.5707963267 9.5330747676
8 0.3393767742 8.4402910978 1.5707963267 7.4402910978
16 0.3469301122 6.5035623301 1.5707963267 5.5035623301
32 0.3620439216 4.8846922695 1.5707963267 3.8846922695
64 0.3923272551 3.6262705855 1.5707963267 2.6262705855
128 0.4533368830 2.6969712482 1.5707963267 1.6969712482
256 0.5789755484 2.0338535760 1.5707963267 1.0338535760
65536 -0.109445492 1.0019351994 1.2395044135 0.0019351994
131072 -0.796945118 1.0020475554 1.2354777139 0.0020475554
262144 5.5785409793 0.9998462991 1.2345069917 0.0001537008
В колонке 2 приведены значения «подходящих дробей» т. е. значения выражения
sin(n +1)1--10—3
cos1,23456 +--А2-^ sin 1,23456 (26)
sin ni- —10-3 12
при различных n.
В колонках 3 и 4 табл. 1 даны значения модуля и аргумента комплексного числа, устанавливаемого по «подходящим дробям» (26) при помощи R/q-алгоритма, т. е. по формулам (3) и (4). Таким образом, получено комплексное число, близкое к числу ^ ¿1.23456
Z = e , т.е. экспериментально подтверждено, что формула (15) имеет место.
—iq
В табл. 2 показаны результаты определения значения e при помощи R/q-алгоритма. Элементы последовательности находятся по формуле (27) при q =1,23456
и е = 10-3. Знак аргумента комплексного числа e iq устанавливается из рассмотрения «динамики» в последовательности подходящих дробей (27). Алгоритм определения знака имеется в [19].
Таблица 2. Определение значения e 1 р по формуле
• (ж
sin n\--s
e~,cp = cosq + lim--sin cp (27)
n—o sin(n +1)1 ж - s
при p= 1,23456, s = 10-3
Номер подходящ их дробей Значения подходящих дробей, F„/Gn Значения модуля, Гп Значения аргумента, q>n Погрешность модуля, Sr = |1 - Гп |
1 0.3280485046 472.33157610 0 471.33157610
2 236.33028430 12.447797685 0 11.447797685
4 157.66276748 10.454034655 0 9.4540346554
8 94.727998807 8.3349854755 0 7.3349854755
16 52.769808040 6.3581848598 0 5.3581848598
32 28.084964818 4.6802188950 0 3.6802188950
64 14.613176881 3.3358970100 0 2.3358970100
128 7.5514864218 2.2795122035 0 1.2795122035
256 3.9082587302 1.3994609226 0 0.3994609226
65536 -1.698234579 0.9967852483 -1.2314030774 0.0032147516
131072 -0.460866938 0.9986579326 -1.2314030774 0.0013420673
262144 0.4997229633 0.9996922520 -1.2334523799 0.0003077479
В третьей и четвёртой колонках табл. 2 приведены значения модуля и аргумента комплексного числа, устанавливаемого по подходящим дробям
sin J--10-3
cos1,23456 +--^ sin 1,23456
sin( n +1)1^-10-3
при помощи R/q-алгоритма. Получено комплексное число, близкое к числу
-1,23456 Z = e .
Сравнивая классические формулы Эйлера (13) и (14) с формулами (15) - (20), включающими пределы Никипорца, можно отметить, что формулы (15) - (20), в отличие от «статических» формул (13) и (14), рассматривают бесконечный осциллирующий процесс, когда результат получается из анализа вещественных «подходящих дробей» этого процесса.
Формулы Эйлера
elcp+ e
cosp =---, (28)
elv - e~l<p
sin p =--(29)
2i
также могут быть записаны через пределы Никипорца: 1
cosp = —
sin( n + 1)p sin np
lim —--— + lim
sin np n—o sin(n + 1)p
(30)
n — o
(
cosp = —
cos(n + cos np
lim
n^x cos np
n—« cos(n + 1)p
1 sin п(я/2) sin p = — lim-
2 n—« sin(n + 1)(я/2)
1 .. cosn^/2) sinp = — lim
2 n—« cos(n + 1)(я/2)
sin(n + 1)p sin np lim-- - lim--—
n—« sin np n—« sin(n + 1)p
cos(n + 1)p cosnp
(31)
(32)
(33)
cos np n^x cos(n + 1)p Формулы (32) и (33) могут быть представлены в эквивалентном виде, причём, в формулах (34) и (35) нет операций «деление на ноль»:
( f тг i тг \ \
sinp = -
1
lim
sin n\--p
sin(n + 1)\ --p
- lim
sin n\ — + p
sin(n + 1)\ - + p
(34)
sinp = -
lim
n^x
я
cosn\ ~-p
cos(n +1)\ я - p
- lim
я
cos n\— + p
cos(n + 1)| ~ + p
(35)
В табл. 3 показано определение значения isinф из формулы Эйлера (13), где е представлено пределом Никипорца (5).
ip
Таблица 3. Определение значения isinpno формуле
.. sin(n + 1)p i sinp = lim-;--cosp
n—« sin np
при p = 1,23456
(36)
1
2
Номер подходящ их дробей Значения подходящих дробей, Fn/Gn Значения модуля, rn Значения аргумента, q>„ Погрешность модуля, Sr = |1 - Г„ | Погрешность аргумента, s9 = |я/2 -
2 1.4987479483 1.2111860209 1.0471975511 0.2671828991 0.5235987755
4 -8.517128121 1.2683494631 1.8849555921 0.3243463412 0.3141592653
8 -0.109486998 0.8747695545 1.7453292519 0.0692335672 0.1745329251
16 -0.601311043 0.7570815017 1.8479956785 0.1869216200 0.2771993517
32 -9.387327580 0.9672802923 1.6183962154 0.0232771704 0.0475998886
64 -0.128977346 0.9221977305 1.5949624241 0.0218053912 0.0241660973
128 -0.656710428 0.9271078754 1.6073264739 0.0168952463 0.0365301471
256 -49.84104116 0.9456822353 1.5769083747 0.0016791135 0.0061120479
65536 0.9513547114 0.9438636289 1.5707723587 0.0001394928 0.0000239680
131072 2.7697493816 0.9439820593 1.5707843426 0.0000210624 0.0000119841
262144 -1.448420075 0.9440009132 1.5707663663 0.0000022085 0.0000299604
524288 1.0096104232 0.9439974973 1.5707753544 0.0000056244 0.0000209723
В табл. 3 под «подходящими дробями» понимаются значения формулы
P = sin(n + Щ,23456 —cos1,23456 (37) би sin n1,23456
при различных n.
Исходя из полученных значений «подходящих дробей» (37), при помощи R/q-
алгоритма, то есть формул (3) и (4), определяются значения модуля и аргумента
ж i—
комплексного числа sin 1,23456e 2 . Из данных колонок 3 и 5 табл. 3 следует, что
модуль комплексного числа совпадает со значением Sin 1.23 4 56 = 0,944003..., а из колонок 4 и 6 видно, что аргумент определяемого комплексного числа стремится к ж/2. Можно заключить, что формула (36), включающая предел Никипорца (5), имеет место.
Используя (36), запишем
1 sin( n + 1)q
i= —-lim—--— - ctgq. (38)
sin qn^x sin nq
Применяя R/q-алгоритм, найдём мнимую единицу из формулы (38), включающую предел Никипорца. В колонках 3 и 4 табл. 4 приведены результаты вычисления «i». Следует обратить внимание, что формула (38) позволяет установить «i» по «подходящим дробям» при произвольном значении q.
Таблица 4. Определения значения «i» по формуле
1 sin(n + 1)q
i = --lim —--— - ctgq (39)
sin q n^-x, sin nq
при q= 1,23456
Номер подходящи х дробей Значения подходящих дробей, Fn/Gn Значения модуля, rn Значения аргумента, qn Погрешность модуля, Er = |1 - Гп | Погрешность аргумента, Eq = |ж/2 - qn|
2 1.5876514745 1.2586217411 1.0471975511 0.2586217411 0.5235987755
4 -9.022351647 1.3281899354 1.8849555921 0.3281899354 0.3141592653
8 -0.115981606 0.9207452753 1.7453292519 0.0792547246 0.1745329251
16 -0.636979930 0.7992765166 1.8479956785 0.2007234833 0.2771993517
32 -9.944170059 1.0228702042 1.6183962154 0.0228702042 0.0475998886
64 -0.136628092 0.9760354561 1.5949624241 0.0239645438 0.0241660973
128 -0.695665525 0.9816639337 1.6073264739 0.0183360662 0.0365301471
256 -52.79753849 1.0015541175 1.5769083747 0.0015541175 0.0061120479
65536 1.0077876750 0.9998513534 1.5707723587 0.0001486465 0.0000239680
131072 2.9340468454 0.9999772484 1.5707843426 0.0000227515 0.0000119841
262144 -1.534338226 0.9999974406 1.5707663663 0.0000025593 0.0000299604
524288 1.0694990300 0.9999939319 1.5707753544 0.0000060680 0.0000209723
Установим при помощи предела Никипорца (5) и Л/р-алгоритма, определяемого
формулами (3) и (4), значение /2 В табл. 5 приведены результаты определения ■2
значения I .
Таблица 5. Определения значения i2 по формуле
f г„ лл2
i2 = lim
n—w
—
sin(n +1)| — — е
• I —
sin ni--е
12
при е = 10-3
Номер подходящи х дробей Значения подходящих дробей, Pn/Qn Значения модуля, Гп Значения аргумента, qn Погрешность модуля, ег Погрешность аргумента, Eq = |- - Рп|
1 -49999999.99 7071.0678117 1.5707963267 7070.0678117 1,5707963268
2 -1.999999999 464.15888335 2.0943951023 463.15888335 1,0471975512
4 -1.499999999 43.173598837 2.5132741228 42.173598837 0,6283185307
8 -1.249999999 8.5724398284 2.7925268031 7.5724398284 0,3490658504
16 -1.124999988 3.2285870507 2.9567930857 2.2285870507 0,1847995678
32 -1.062499994 1.8646119028 3.0463928762 0.8646119028 0,0951997773
64 -1.031249997 1.3861411141 3.0932604589 0.3861411141 0,0483321946
128 -1.015624998 1.1850468764 3.1172392221 0.1850468764 0,0243534314
256 -1.007812510 1.0918663784 3.1293685576 0.0918663784 0,0122240959
65536 -1.000030516 1.0004292355 3.1415447174 0.0004292355 0,0000479361
131072 -1.000015258 1.0002198856 3.1415686853 0.0002198856 0,0000239682
262144 -1.000007640 1.0001125815 3.1415806694 0.0001125815 0,0000119841
524288 -1.000003820 1.0000576114 3.1415866614 0.0000576114 0,0000059921
Из данных колонок 3 и 4 табл. 5 следует, что имеет место формула:
(
lim
n—w
sin(n +1)
—
Y
sin n
= 1-ei— = —1.
(41)
Кроме уже приведённых формул, включающих предел Никипорца, можно записать и другие аналогичные формулы.
2.3. Пределы отношения синусов и косинусов кратных углов Определим при помощи Я/ф-алгоритма, т. е. формул (3) и (4), значения бесконечных последовательностей, элементы которых представляют отноше-ния синусов и косинусов кратных углов.
Запишем значения пределов, которые равны «г» и «- г»:
sin n(2mq) sin nq
sin nq
lim —--—
n—w sin n(2mq)
lim
n —^ w
cos n(2mq)
cos nq
2, 3, ...
.. cosnq
lim--—
n—w cos n(2mq)
m = 1,
m = 1,
2, 3, ... . Установим значение пределов sin n(2m + l)q m = 1 2 3 . .
(42)
(43)
(44)
sin nq
В табл. 6 приведены результаты определения предела (44) при m = 2 и q = 0,23456.
2
-
i —
—
i—
n—w
Я
Л
= e 2 = —i
= e 2 = — i
Таблица 6. Определение значения 1т 81п5п0,23456
п^» э1п п0,23456
Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, Значения модуля, Гп Значения аргумента, рп Погрешность модуля, Ег = |1 - Гп | Погр арг ер = ешность умента, 2п -_рп
1 1.5805263770 3.9663497919 0 2.9663497919 1,2566370614
2 -0.568682831 2.5037812337 0 1.5037812337 1,2566370614
4 -0.441526393 1.4498988891 1.5707963267 0.4498988891 0,3141592653
8 -1.054815429 0.6982386279 1.1780972450 0.3017613720 0,0785398164
16 -1.183191082 1.0004975381 0.9817477042 0.0004975381 0,2748893572
32 0.8487039305 0.9938838404 1.2762720155 0.0061161595 0,0196349541
64 1.6626864622 0.9789787767 1.2762720155 0.0210212232 0,0196349541
128 -0.518425576 0.9947670964 1.2026409377 0.0052329035 0,0539961237
256 0.3268016424 1.0054061907 1.2517283229 0.0054061907 0,0049087385
131072 -1.204251181 1.0000268870 1.2565939182 0.0000268870 0,0000431432
262144 0.9019668426 0.9999990664 1.2566298709 0.0000009335 0,0000071905
524288 2.1542719942 1.0000019438 1.2566298709 0.0000019438 0,0000071905
1048576 -0.924801344 0.9999930293 1.2566358630 0.0000069706 0,0000011984
Из данных колонок 3 и 4 табл. 6 следует, что
.. эт 5и0,23456
11Ш -;-
иэ1п п0,23456
п _ 1 .75^/5
, 4 242
Значения пределов (44) не зависят от р. Следовательно, можно записать:
(45)
э1п5ир '-т - 2п
11Ш—:-= е 5 = 2соэ—---
и^» э1ппр
1
1
1
л/5 _ 1
2
5 2 соэ (2т /5) _ 2 соэ(2п / 5) _... _ 2 соэ (2т /5) _... 2 4 4 4
(46)
л/5 _ 1 _4ъ _ 1 _4ъ _ 1 _ ..._4ъ _ 1 _...
Можно записать значение пределов:
Э1п п(2т + 1)р
тп э1п( П + 1)
11т = е 2т+1 = Нт
тп
2т +1 т = 1, 2, 3,
Э1П пр
п^» тп
Э1П п-
2т +1
(47)
Э1П пр
11Ш —---
п э1п п(2т + 1)р
= е 2т+1 = 11т
. , тп ч
81п( п-)
2т +1
' • у л/ тп '
э1п( п +1)(--7)
2т +1
т = 1, 2, 3,
(48)
Установим пределы
э1п п(кр р)
11Ш --4 ,
п^» з1п п(к2р)
где к1 и к2 - нечётные числа.
(49)
п
тп
В табл. 7 приведены результаты определения предела (49) при к1 = 3, к2 = 5, <р = 1,23456.
8т3и1,23456
Таблица 7. Определение значения 11т —-
81П5и1,23456
Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, Fn/Gn Значения модуля, rn Значения аргумента, pn Погрешность модуля, Er = |1 - Гп | Погр арг EP = ешность умента, 7n --pn
1 -4.118663114 4.8379394050 0 3.8379394050 1,4660765717
2 3.0551527068 4.4638372034 -1.5707963267 3.4638372034 0,1047197550
4 0.6201002856 3.2457887784 -1.5707963267 2.2457887784 0,1047197550
8 -1.122539026 1.5484619600 -1.1780972450 0.5484619600 0,2879793267
16 -0.136673972 0.9424590479 -1.5707963267 0.0575409520 0,1047197550
32 0.6164804212 1.1509347799 -1.4726215563 0.1509347799 0,0065449846
64 -1.179800711 1.0895786185 -1.4235341711 0.0895786185 0,0425424006
128 -0.251277589 0.9960979618 -1.4971652489 0.0039020381 0,0310886772
256 0.6005743454 1.0085384098 -1.4726215563 0.0085384098 0,0065449846
131072 0.8356544324 1.0000012933 -1.4660781695 0.0000012933 0,0000015978
262144 3.9338885128 0.9999951548 -1.4661141222 0.0000048451 0,0000375505
524288 -1.337763385 0.9999900601 -1.4660901537 0.0000099398 0,0000135820
1048576 0.7411488560 0.9999985972 -1.4660841616 0.0000014027 0,0000075899
Из данных колонок 3 и 4 табл. 7 следует, что
. 1п
sin(3n 1,23456) -itv 15 1ж . 1ж
lim—--- = e 15 = lim- ' = cos--i sin—. (50)
sin(5n 1,23546) "^'rJsm(n + 1) — 15 15
( ) 15
Так как значения пределов (49) не зависят от угла то запишем:
sin3n® 11 1
lim - - 15 -
sin7np In- In-... - In-... . (51)
^ 2cos— 2cos— 2cos—
15 15 15
В общем случае имеют место комплексные пределы:
.(k,k2-1)/2
lim sin n(kPP( = e~kkTn, kl > k2, (52)
п^вд
sin n(k2 p)
lim sin n(kip) = e k*2 П, ki < k2. (53)
> sin n(k2p)
n ^вд s
где k и k2 - нечётные числа.
Имеют место также значения комплексных пределов для отношения косинусов кратных углов:
limcosn(4m —^ = e'^ (54) lim C0Sn(4m +^ = e^, (55) п^вд cosn^ п^вд cos n<p
. 2mn 2тл
lim C0Sn^ = e" (56) lim C0Sn^ = e^. (57)
п^вд cosn(4m — 1)p п^вд cosn(4m + 1)p
m = 1, 2, 3, ...,
2.4. Второй замечательный предел для «эллиптических чисел»
Второй замечательный предел записывают в виде выражения
/ 1 Л*
lim
х^ю
1+1
= е. (58)
\ *)
Для существования предела (58) необходимо, чтобы основание степени, то есть ' 1 ^
стремилось к единице, а показатель степени, то есть х,
выражение
1 + -
V *)
неограниченно возрастал. Говорят, что второй замечательный предел раскрывает
1 го
неопределённость вида 1 .
Число е обычно задаётся пределом (58) для натуральных значений х:
lim
n
г
= е.
(59)
1 + -Л ny
Рассмотрим предел (59), где вместо натуральных чисел n будут записаны так называемые эллиптические числа [15]:
sinp sin2p sin3p sin np
sin p sin p sin p
Очевидно, предел
(
lim
sinp
smnp 4 sin^
(60)
1 + —
1
(61)
sin np sinp y
является расходящимся в классическом смысле.
Установим значения предела (61) при помощи Л/ф-алгоритма, определяемого формулами (3) и (4). Модуль комплексного числа z0 = r0e'Po, которое является значением предела (61), устанавливается формулой:
= lim П П
1 +
sinnp
sin p sinp
sin np
(62)
В формуле (62) подходящие дроби F / G определяются выражением
Fl
G„
smnp
1 +
sinp sinp
sin np
(63)
Модуль аргумента этого комплексного числа находится следующим образом:
к
ÍPoi=^ lim —n, (64)
п^ю n
"Л sinp
где к - число выражений 1 н--—, имеющих отрицательные значения из
Sin Пф
общей их совокупности n.
Г
0
1
В табл. 8 приведены значения модуля и аргумента комплексного числа = г0е1р, которое являются пределом последовательностей (61) при р = 0,5.
Таблица 8. Определение значения предела (61) при р = 0,5
Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей Fn/Gn Значения модуля, Гп Значения аргумента, <pn Погрешность модуля Е = |e - Гп | Погрешность аргумента Е = |p- Сп!
2 2.2325969232 2.2195342361 0 0.4987475923 0.5
4 -4.876564753 2.4688242444 0 0.2494575840 0.5
8 2.2601030276 2.3286744160 0.3926990816 0.3896074123 0.1073009183
16 -1.277344579 2.7505059697 0.3926990816 0.0322241412 0.1073009183
32 2.0535931763 2.6518661457 0.4908738521 0.0664156826 0.0091261478
64 2.2364744374 2.6900793234 0.4417864669 0.0282025049 0.0582135330
128 2.1526005566 2.6950337315 0.4908738521 0.0232480968 0.0091261478
256 -3.904460748 2.7485137135 0.5031456984 0.0302318850 0.0031456984
16384 -9.632147833 2.7130258922 0.4998859892 0.0052559361 0.0001140107
32768 2.2392652974 2.7142723005 0.4998859892 0.0040095278 0.0001140107
65536 2.1378599042 2.7203520971 0.4999818630 0.0020702686 0.0000181369
131072 -3.904667102 2.7173189094 0.5000058315 0.0009629190 0.0000058315
262144 -0.762235056 2.7184718188 0.5000058315 0.0001899904 0.0000058315
Из табл. 8 следует, что
/
lim
n—^ю
sin 0,5
л
sinn0,5 sin0,5
1 + s^0.5 —- = e(cos0,5 +i sin 0,5). (65)
sin n0,5 y
Второй замечательный предел, записанный для «эллиптических чисел», т. е. предел (61), имеет различные значения в зависимости от угла p. Запишем эти значения.
Если 0 < p < я/2, то
sinnp
n—ю
если я/2 < p < я, то
.. м sinp | sin^ . .
lim |1 + —-| = e(cosp +' sinp),
sin np
í
lim
n — ю
1 +
sinp
sin np sinp
Y
sin np если я < p < 3я/2, то
= e[cos^ - p) - i sin^ - p)],
í
lim
n — ю
1 +
sin pp
sin np sinp
Y
sin npy если 3я/2 < p< 2 я, то
í
lim
n — ю
1 +
sin p
Y
sin np sinp
= e[cos(p - я) + i sinp - я)],
= e[cos^ - p) - i sin(2я - p)].
(66)
(67)
(68)
(69)
sin npy
Значения пределов (66) - (69) лежат в комплексной плоскости на правой части окружности радиуса, равному числу е (рис. 1). При p = 0 предел (61) совпадает со значением второго замечательного предела, т. е. равен числу е.
Рис. 1. Расположение на комплексной плоскости значений предела (61) при различных р Можно записать предел, значение которого при произвольном р равно числу е:
м п п
БШИр
Б1П р 1 ч--— Б1Пр = е. (70)
Б1П пр
Рассмотрим предел
сое пр
11т
п ^да
1 + ■
1
СОБ пр
соър
(71)
У СОБр у
Также, как и предел (61), предел (71) является расходящимся в классическом смысле. Установим значение предела (71) при помощи ЛСр-алгоритма, аналогично тому, как то было сделано для предела (61).
В табл. 9 приведены значения модуля и аргумента комплексного числа
= г^е1р°, которое является пределом последовательности (71) при р= 0,1.
Таблица 9. Определение значения предела (71) при р = 0,1
Номер подходящих дробей Значения подходящих дробей, р„/оп Значения модуля, Гп Значения аргумента, рп Погрешность модуля, Е = |е - Гп | П Ер = огрешность аргумента, - оД]-р„
2 1.9941523731 1.9970740462 0 0.7212077822 1,4707963268
4 1.9700662706 1.9870856936 0 0.7311961347 1,4707963268
8 1.8611107376 1.9476467300 0 0.7706350983 1,4707963268
16 0.9024188469 1.6845109760 0.1963495408 1.0337708524 1,2744467860
32 309.16517001 3.1358817470 1.4726215563 0.4175999186 0,0018252295
64 1.9992929950 2.6468869691 1.4726215563 0.0713948593 0,0018252295
128 1.9912852702 2.6607469576 1.4480778637 0.0575348708 0,0227184631
256 1.9579401889 2.7094052273 1.4358060174 0.0088766011 0,0349903094
131072 1.9563138329 2.7184179019 1.4707280488 0.0001360734 0,0000682780
262144 1.7908163904 2.7182505325 1.4707280488 0.0000312959 0,0000682780
524288 0.7895337396 2.7182161411 1.4707580093 0.0000656873 0,0000383175
1048576 2.8961409654 2.7183101412 1.4707969581 0.0000283127 0,0000006313
Из табл. 9 следует, что
lim
1 +
cos0,1 cos n0,1.
cosn0,1 \ cos0,1
= e
n
cos--0,1 | + i sin
12
n 0,1
v 2
Установим второй замечательный предел, для «эллиптических чисел»:
cos1p cos2p cos3p cos np cosp ' cosp ' cosp ' ' cosp
Предел (71) имеет различные значения в зависимости от угла p. Если 0 < р < n/2, то
cosnp
f
lim
1 +
cosp
Л
cosp
= e
cosnp ) если n/2 < p < n, то
cos
n
--p | + i sin
v 2
n
J-p
f
cos np
lim
n ^да
cosp I cosp
1 л--— I = e
cos np )
n I . . ( n cos| p - — I - i sinI p - —
если n < p < 3я/2, то
(
lim
n^-да
1 +
cosp
Y
cosnp cosp
= e
cosnp у если 3n/2 < p< 2n, то
3n I . (3n cos| —-p I + i sin I ^"-p
(
lim
n^-дау
1 +
cosp cos np
\
cos np cosp
= e
cos| p
3n 2
i sin| p
3n 2
(72)
(73)
(74)
(75)
Значения пределов (72) - (75) также лежат в комплексной плоскости на правой части окружности радиуса, равному числу е (рис. 1). При р= ж/2 предел (71) совпадает со значением второго замечательного предела, т.е. равен числу е.
Можно записать предел, значение которого при произвольном р равно числу е:
lim
in
cos np
1 +
cosp
= e.
(76)
cos np Заключение
Установлено, что бесконечные осциллирующие последовательности, порождаемые дробно-рациональными функциями, могут быть представлены комплексными числами, причём, модули и аргументы этих комплексных чисел как раз определяются r/p-алгоритмом и его обобщениями.
R/p-алгоритм позволил решить ряд важных задач, в частности, установить, что БСЛАУ с вещественными матрицами могут иметь, в зависимости от коэффициентов матриц, комплексные решения и дал способ нахождения этих решений [20, 21]. Это проясняет ситуацию с расходящимися разностными схемами. Очевидно, что без учёта комплексных решений попытки создания общей теории БСЛАУ, которые ведутся уже более полутора веков [22], заведомо обречены на неудачу,
На r/p-алгоритм, как и на его обобщения, следует смотреть как на инструменты Анализа, которые, правда, пока несколько выбиваются из классических рамок. Будем исходить из того, что со временем эти алгоритмы, постоянно расширяя сферы своего применения, перейдут из разряда «парадоксальных» в стандартные.
n
cosp
Список литературы /References
1. Бесов О.В. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. М.: МФТИ, 2004. 327 с.
2. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.
3. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.
4. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.
5. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.
6. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015, Т. 55. № 4. С. 559-572.
7. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.
8. Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений при помощи r/ф--алгоритма. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. 330 с.
9. Шмойлов В.И. Коровин Я.С. Пределы Никипорца и некоторые их приложения // Вестник науки и образования. № 13 (49), 2018. С. 6-20.
10. Шмойлов В.И. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 15 (51), 2018, С. 6-19.
11. Шмойлов В.И. Периодические цепные дроби. Львов: Академический экспресс, 1998. 220 с.
12. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. 524 с.
13. Шмойлов В.И., Редин А.А., Никулин Н.А. Непрерывные дроби в вычислительной математике. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2015. 228 с.
14. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Изд-во ЮФУ, 2017. 382 с.
15.Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 414 с.
16. Рутисхаузер Г. Алгоритм частных и разностей. М.: ИИЛ. 1960. 93 с.
17. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непреры-вных дробей. // Докл. РАН. Том 474. № 4, 2017. С. 410-412.
18. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.
19. Шмойлов В.И., Коровин Я. С. Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.
20. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Алгоритмы определения комплексных решений БСЛАУ с трёхдиагональной матрицей. // Вестник науки и образования. № 9 (45), 2018. С. 6-18.
21. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Решение расходящихся систем линейных алгебраических уравнений. // Вестник науки и образования. № 9(45), 2018. С. 18-30.
22. Фёдоров В.М. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений и их приложения. Новосибирск: Наука, 2011. 311 с.
