CC BY
33
2. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.
A. V. Chernyaev, A.A. Perepelkin, V.N. Chudin THE HOT EXTRUSION OF INNER END BUDDINGS ON CORPSES The computations of parameters for buddings extrusion on corpses in the mode of viscoplastial deforming are offered. The energy method of pressure working was used relating to discontinuous conveyance velocity fields under conditions of axisymmetric deforming.
Key words: extrusion, viscosity, short-durated creeping, pressure, temperature, damageability.
Получено 15.01.12
УДК 621.983; 539.374
С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872) 35-14-82, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
С.Н. Ларин, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
А.В. Бессмертный, асп., (4872) 35-14-82, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
ФОРМООБРАЗОВАНИЕ УГЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СТРИНГЕРНЫХ ЛИСТОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА В РЕЖИМЕ КРАТКОВРЕМЕННОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ
Приведена математическая модель формообразования угловых элементов стрингерных листовых конструкций из анизотропного материала в режиме кратковременной ползучести. Показано влияние технологических параметров, анизотропии механических свойств на напряженное и деформированное состояния, кинематику течения материала и предельные возможности формоизменения.
Ключевые слова: анизотропный материал, деформирование, пневмоформовка, кратковременная ползучесть, давление, температура, эквивалентное напряжение, толщина, заготовка, разрушение.
Напряженное и деформированное состояние оболочки. Многослойные конструкции формируются за счет выпучивания газом полостей из предварительно соединенных жестко в определенных местах листов (заполнителей) до полного их прилегания к наружным листам (обшивкам). Будем считать, что процесс реализуется за две стадии: свободная формовка оболочки и формообразование угловых элементов конструкции в соответствии с рис. 1, где Р1 и а - радиус оболочки и угол, соответствующие
высоте оболочки Н = Н1. Свободная формовка оболочки, осуществляющаяся до момента ^ = ¿1, когда оболочка достигает обшивки, рассмотрена в работах [1, 2].
Проанализируем вторую стадию деформирования. Считаем известными давление Р1, высоту оболочки Н1, накопленную повреждаемость о>1 и распределение толщины оболочки / = /^(ф) в момент времени I = ¿1, где ф - угол, характеризующий положение точки на угловом элементе заготовки. Принимаем, что оси координат х, у, г совпадают с главными осями анизотропии - с направлением прокатки листа, с перпендикулярным этому направлению в плоскости листа, и с направлением нормали к плоскости листа. Считаем, что в направлении оси х размер деформируемого элемента заготовки много больше других размеров, т.е. реализуется плоская деформация и скорость деформации £,х = 0. Кроме того, принимаем, что
оболочка деформируется в условиях плоского напряженного состояния, т.е. аг = 0. Предлагается следующая схема деформирования оболочки при ^ > ¿1. Поскольку условия деформирования в вершине и на краю оболочки одинаковы (эти точки не перемещаются), то в дальнейшем рассматривается равномерное деформированное состояние, т.е. толщина оболочки меняется равномерно в каждой точке оболочки от начальных размеров, а форма деформируемой угловой части оболочки сохраняет форму части окружности.
Рис. 1. Схема к анализу формоизменения угловых элементов на первом и втором этапах второй стадии деформирования
На первом этапе второй стадии деформирования формируется плоский участок оболочки в окрестности вершины при скольжении без трения относительно обшивки до момента, когда S = S* = a — Hi. В дальнейшем происходит симметричное деформирование оболочки относительно новой оси симметрии Oi O' со скольжением материала без трения. Течение материала принимается радиальным на каждом этапе деформирования. Рассмотрим два близких деформированных состояния на первом этапе второй стадии формоизменения: одно с радиусом срединной поверхности р и длиной участка контакта S и второе с радиусом р + dp и длиной участка контакта S + dS. При переходе из первого состояния во второе приращение окружной деформации определится так:
pda + dpa + dS
dz y =
pa + S
Учитывая геометрические соотношения
(1)
tg
a
H
1
2
а
P
a = 2arctg (a - S )2 + H1
H1
Sa 22
S
da
2H1 dS
dP = -
(a - S )2 + H12 (a - S )dS
2Н н
получим выражение для определения приращение окружной деформации
dsу = F(£)dS , (2)
где
2H
F (S )■■
a - S H1
1-----------arctg-------—
H1 a - S
2 2 H
(a - S) + Hі arctg----------1—+ HiS
a-S
Согласно условию несжимаемости, имеем
h = — F (S) f •
h at
(3)
Интегрируя это уравнение на этапе деформации и используя начальные условия I = ¿1, S = 0 и h = (ф), получим
= 1 - F (5 (IЖ (, + Д,)- 5 {I ))= К (I + Д!). (4)
Щ )
Величина К ( + ДI) в силу предположения о равномерности деформации постоянная на этапе и ее можно определить в любой точке деформируемой оболочки.
Поэтому
^ф, ^ + Д ^ )= h (ф, ^ )К (^ + Д ^). (5)
Окружные напряжения а у на первом этапе второй стадии деформирования в зависимости от длины участка контакта 5 могут быть найдены по формуле
[(а - 5)2 + Н12
а = РР= п
у h 2Н1 h(ф, 5)
(6)
где ^ф5) определяется по формуле (5).
Напряжение а х находится из условия х = 0 с использованием ассоциированного закона течения материала
ях а у
ах =• (7)
х 1+Ях
Заметим, что этот этап деформирования реализуется до момента ^ = ¿2, когда 5 = а - Н1, р = Н^
В дальнейшем (на втором этапе второй стадии) имеет место симметричное относительно оси О1О' формоизменение углового элемента в пределах квадрата со стороной Н1.
На этом этапе уменьшается радиус сечения оболочки при перемещении центра окружности вдоль О1О' вместе с симметричным образованием прямолинейных участков оболочки.
Рассмотрим два близких симметричных деформированных состояний оболочки в угловой части заготовки на втором этапе деформирования после того, как сформировалась часть оболочки с радиусом р = Н^
При переходе из первого состояния во второе приращение окружной деформации находится как
ds у = п^/2 + 2dSl . (8)
у пр1 / 2 + 2Я1 + 5*
Согласно рис. 1 имеем Р1 = Н1 — 51 и, следовательно, получим dpl = — dSl. Выражение (8) принимает вид
ds у = (2^45_____________________________, (9)
у Я1 (2 - л/2п/2^ Н1п/2 + 5*
а скорость деформации будет определяться по выражению
(2 -п /2 5 (2 - п / 2 )51 + пН1 /2 + 5*
Используя условие несжимаемости материала £,у =- £,2 , имеем
h 51
(11)
h Б1 + (пН1/2 + Я*)/(2 -п/2)
Проинтегрируем это уравнение при начальных данных ^ ^
51 = 0, h = hl на этапе
h = h
nH і /2 + S*
(12)
S1 + (пН 1/2 + S*)(2 -п/2) где hi - толщина оболочки на первом этапе второй стадии деформирования при S = S*.
Принимем во внимание, что на этапе деформирования во всех точках оболочки — = K(t + A t)= const при любом ф можно найти —(ф, t + A t) по h1
формуле
—(ф, t + At)= —(ф, t)K(t + At). (13)
Заметим, что указанные выше геометрические соотношения справедливы до момента начала локализации деформации в одном из мест оболочки.
Рассмотрим формоизменение оболочки из материала, свойства которого подчиняются энергетической теории ползучести и повреждаемости, в предположении, что ае < аео. В этом случае поведение материала описывается соотношениями [2]
I Є =
B(°є/аeo )
(і -a)"'
A
(14)
np
где В , п, т - константы материала, зависящие от температуры испытаний; А<Ср - удельная работа разрушения при вязком течении материала;
ю А - повреждаемость материала при вязкой деформации по энергетической модели разрушения.
Определим эквивалентное напряжение ае и эквивалентную скорость деформации <^се на первом этапе второй стадии горячего деформирования оболочки
РР
а
D1a у
D
1
h
и
где
Й = Сій = CiF (S )S,
(15)
(16)
D1 =
1 + R,
1
3Rx (rj + (1 + Rx )2 + RyRx )
2(Rx + RxRy + Ry )
C1
2(Rx + RxRy + Ry") RxR,2 + RxRy (1 + Rx )2 + R2 R$)2 V3RxRy/2 (Rx + Ry +1)
n
c
1
После подстановки величин ае и <^е в первое уравнение системы (14) получим
pndt
Qa ” (l -<ocA ) mhn 2 "H^F (S )dS
nD1nB
(17)
(a - S )2 + Hl2
где h находится по формуле (5).
Повреждаемость может быть определена по второму соотношению системы (14):
,с _ CDР|(a - S)2 + Hi2F(S)S
®A _--------------------------------------------------C--• ( )
2 H 1hAcnp
Давление p равномерно распределено по поверхности оболочки, поэтому для определения его величины во времени достаточно рассмотреть случай, когда угол ф, определяющий положение точки на свободной поверхности оболочки, например ф _ а при S _ Sj.
В этом случае система уравнений (17) и (18) решается совместно методом итераций. Следует иметь в виду, что начальные условия будут
следующие : при t _ t1; H _ H1; p _ Р1 (t1 ) ; ©A _ ® A1 (t1 ) ’ h _ h1 (ф).
Могут быть рассмотрены режимы, когда давление p - заданная функция времени и когда реализуются условия деформирования, при которых скорость деформации 4^ или давление p - величины постоянные.
Предельные возможности деформирования оцениваются при усло-
c
вии , A _ 1 .
Рассмотрим эти же вопросы на втором этапе второй стадии деформирования. В этом случае эквивалентное напряжение ae вычисляется по
формуле (15), а эквивалентная скорость деформации <zfe - по выражению
4 e _ C& У _ с,---------------------------------------------S-r-. (19)
e 1 y 1 S1 + (nHj/2 + S.)/(2 -V2n/2)
Давление p и повреждаемость , cA определяются из системы уравнений
n C1an0(1 -,C I hndS1
pndt _---------------------------M--------------------------------1--(20)
(h1 - S142)nD1nB[S1 + (nH1 /2 + S*)/(2 - V2n/2)]
,A _______ C1D1 p(h 1 - S1^k_____________, (21)
hACp [S1 + (nH1 /2 + S*)/(2 - V2n /2)] где h находится по формуле (13); QD1 _ 1.
В качестве начальных данных используются следующие:
t = t2 5 = 5*, р = Р2(t2), =Ю^2(t2), Л(ф)= h2(ф,12).
Как и в предыдущем случае, на первом этапе второй стадии деформирования система уравнений (20) и (21) решается методом итераций. Искомая величина р вычисляется в точке ф = п /2 на каждом этапе деформирования 51.
Предельные возможности деформирования находятся из условия
С 1
Юе = 1.
Рассмотрим формоизменение оболочки из материала, подчиняющегося кинетическим уравнениям ползучести и повреждаемости [2]:
, Л п
а . £ с
£ е = в
а е
& е =—, (22)
е
где В , п, т - константы материала, зависящие от температуры испытаний; ее пр - предельная эквивалентная деформация при вязком течении материала; ю С - повреждаемость материала при вязкой деформации по деформационной модели разрушения.
Определим накопление повреждаемости юсе на первом этапе второй стадии деформирования оболочки. Для этого подставим выражение для нахождения эквивалентного напряжения ае из первого уравнения состояния (22) во второе:
Л е = В 5 е = В,с^ (5 )5 = • (23)
е епр^
где к / В = 1/есепр.
Интегрирование этого уравнения при начальных данных t = tl, 5 = 0, юс(tl )=®е1 (^ ) позволяет определить юсе как функцию 5.
Предельная величина 5пр находится из условия юсе = 1.
Давление р может быть рассчитано с помощью уравнения (17) с
сс
заменой в нем юа на юе, величина которого определяется из уравнение
(23):
п С.ап0 (і-юС НП 2пЯп^(5}^5
pndt = 1 е0_у----------------------------------------^- 1 \ г . (24)
(а - 5 )2 + Н2 П £>1пВ
На втором этапе второй стадии деформирования накопление повреждаемости и давление р могут быть найдены из системы уравнений
єС [51 + (пН1/2 + 5*)/(2 -п/2)]’
ОД
(25)
пр
pndt
(26)
(Н1 - 51 )nD1nB[51 + (пН1 /2 + 5*)/(2 -п/2)]
Система уравнений (25), (26) решается методом итераций при на-
Рассмотрим пример использования полученного решения для анализа процесса горячего изотермического формоизменения элементов конструкций с длинными прямоугольными каналами из специальных алюминиевых и титановых сплавов в режиме ползучего течения материала при известном законе изменения давления от времени.
Механические характеристики этих материалов при формоизменении в условиях ползучего течения материала приведены в работе [2].
На рис. 2 представлены графические зависимости относительных предельных величин радиуса закругления углового элемента мембраны р* =р * / hо , толщины мембраны h* = ^ / hо и времени разрушения t* от относительной высоты прямоугольного канала Ж = Н1/hо для алюминиевого сплава АМг6, поведение которого описывается энергетической теорией ползучести и повреждаемости, при температуре обработки
450 °С при заданном законе нагружения (р = ро + ап1Пр МПа ).
Из анализа графических зависимостей (рис. 2) следует, что с ростом относительной высоты прямоугольного канала Ж осуществляется плавное уменьшение времени разрушения t *, увеличение радиуса мембраны р * и
толщины мембраны h*. Установлено, что с увеличением Пр рост величин
р * и h* становится более плавным, а также уменьшается время разрушения t * и увеличивается относительный предельный радиус закругления мембраны р * и толщины мембраны h*.
Установлено, что с увеличением величины п р интенсивность роста
относительной предельной толщины мембраны h* уменьшается.
На рис. 3 изображены графические зависимости относительной предельной величины радиуса мембраны р * = р * / h о и времени разрушения t* от величины Пр, определяющую интенсивность закона давления
пр
(р = ро + а^ р МПа ) для титанового ВТ6С сплава, поведение которого
чальных условиях t = t2 51 = о, р(2 )= р2(2 ), ю е =ю е2(t2 ), h(ф)= h2(ф,12 ). Предельные величины 51пр и р1пр находятся при юе = 1.
описывается кинетической теорией ползучести и повреждаемости, при температуре обработки 93о °С . Сплошной линией обозначены исследуемые величины при относительной высоте прямоугольного канала Ж = 4,3, а пунктирной при - Ж = 4,9.
р*
Ж ---------►
Рис. 2. Зависимости изменения величин р*, и от Ж
/ п
для алюминиевого сплава АМг6 (ар = о,2МПа с р , пр = о,5)
р*
п р ►
Рис. 3. Зависимости изменения величин р*, t* от Пр для титанового
сплава ВТ6С (Т = 930 0С; ар = 0,02МПа/сПр , сплошная линия - W = 4,3; пунктирная - W = 4,9)
Анализ зависимостей показывает, что относительный предельный радиус закругления р * не изменяется, т.к. в данном случае справедлива
210
4
3.5
3 -
2.5 -
2 -
1.5 -1 -
0,5 0
t*, С
кинетическая теория течения, а время разрушения плавно уменьшается с ростом относительной высоты прямоугольного канала. Установлено, что с увеличением Пр влияние относительной высоты прямоугольного канала
на время разрушения уменьшается.
Установлено влияние анизотропии механических свойств на предельные возможности формоизменения. Показано, что с увеличением коэффициента анизотропии Ry при фиксированных значениях Rx предельные величины времени разрушения t*, радиуса закругления р* и толщины h* увеличиваются, причем тем интенсивнее, чем меньше величина Ry.
Установлено, что учет накопленных микроповреждений значительно оказывает влияние на величину относительного предельного радиуса закругления мембраны р*, а также, что с уменьшением относительной высоты прямоугольного канала W влияние учета накопленной повреждаемости юA на предельные геометрические характеристики мембраны р значительно увеличивается.
Работа выполнена по государственным контрактам в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы и грантам РФФИ.
Список литературы
1. Ларин С.Н., Бессмертный А.В. Изотермическое свободное деформирование узкой прямоугольной мембраны из анизотропного листового материала при кратковременной ползучести // Известия ТулГУ. Технические науки. 2010. Вып. 1. С. 44-51.
2. Изотермическая пневмоформовка анизотропных высокопрочных листовых материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2009. 352 с.
S.S. Yakovlev, S.N. Larin , A.V. Bessmertniy
THE FORMING OF ANGLE UNITS OF STRINGER SHEET CONSTRUCTIONS FROM ANISOTROPIC MATERIAL IN THE MODE OF SHORT DURATED CREEPING CONDITIONS
The mathematical model of angle units of stringer sheet constructions forming from anisotropic material in the mode of short durated creeping conditions is provided. The influence of technological parameters and mechanical properties anisotropy on stressed and deformed states, material’s flow cinematics and extreme deformation levels is shown.
Key words: anisotropic material, deforming, pneumatic forming, short durated creeping, pressure, temperature, equivalent stress, thickness, piece, failure.
Получено 15.01.12
