CC BY
11управлении различными техническими системами, а также, несомненно, и в бытовых устройствах, начиная от персонального компьютера и заканчивая телевизором и микроволновой печью.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 09-01-00809).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Буякас Т.М. Работа зрительной системы при точностных движениях рук // Моторные компоненты зрения. М.: Наука, 1975. 176-190.
2. Авиационные средства поражения / Под ред. Ф.П. Миропольского. М.: Военное изд-во, 1995.
3. Chin C.A., Barreto A., Cremades J.G., Adjouadi M. Integrated electromyogram and eye-gaze tracking cursor control system for computer users with motor disabilities //J. Rehabilit. Res. and Develop. 2008. 45, N 1. 161-174.
4. Mishra U. Inventions on GUI for еye cursor control systems (September 7, 2007) // Available at SSRN: http://ssrn.com/ abstract=1264687.
5. US Patent 6323884, "Assisting selection of GUI elements", invented by C.L. Bird and S.G. Chapman, assigned to IBM, issued Nov. 27, 2001.
6. US Patent 6351273, "System and methods for controlling automatic scrolling of information on a display or screen", invented by J.H. Lemelson and J.Y. Hiett, issued Feb. 26, 2002.
7. Hori J., Sakano K., Miyakawa M., Saitoh Y. Eye movement communication control system based on EOG and voluntary eye blink // Lect. Notes Comput. Sci. 2006. 4061. 950-953.
8. Kang J.J. Automated reading assistance system using point-of-gaze estimation: Master of applied science thesis. Department of Electrical and Computer Engineering, Institute of Biomaterials and Biomedical Engineering. University of Toronto, 2006.
9. Ярбус А.Л. Роль движений глаз в процессе зрения. М.: Наука, 1965.
10. Гуревич Б.X. Движения глаз как основа пространственного зрения и как модель поведения. Л.: Наука, 1971.
11. Бернштейн Н.А. Биомеханика и физиология движений. Избранные психологические труды / Под ред. В.П. Зин-ченко. М.: Изд-во Моск. психолого-социального ин-та, 2008.
12. Гиппенрейтер Ю.Б. О месте движений глаз в незрительных видах деятельности и их исследовании // Моторные компоненты зрения. М.: Наука, 1975. 213-221.
13. Безденежных Б.Н. Психофизиологические закономерности взаимодействия функциональных систем при реализации деятельности: Докт. дис. М.: Ин-т психологии РАН, 2004.
14. Филин В.А. Автоматия саккад. М.: Изд-во МГУ, 2002.
Поступила в редакцию 10.06.2011
УДК 531.391
ФОРМИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПЛАНЕТЫ
ЗА СЧЕТ ПРИЛИВОВ
В. Г. Вильке1, А. Н. Данилкин2
Рассмотрена модель планеты, представленной однородным вязкоупругим шаром, в гравитационном поле точечной массы, при взаимном движении которых возникают приливные деформации. Найдены тензор скоростей деформаций и соответствующая ему дис-сипативная функция. Изменение во времени компонент тензора деформаций, сопровождающееся выделением тепла в каждой точке планеты, формирует температурное поле, описываемое неоднородным уравнением теплопроводности. Определено усредненное по углу собственного вращения планеты температурное поле, и приведены его оценки для Луны.
Ключевые слова: приливные деформации, температурное поле планеты.
A model of a planet considered as a homogeneous viscoelastic sphere in the gravitational field of point mass is discussed. Tidal deformations occur in the process of their mutual motion.
1 Вильке Владимир Георгиевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
2 Данилкин Алексей Николаевич — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
The strain rate tensor and the corresponding dissipative function are found. The time variation of the strain tensor components accompanied by the heat release at each point of the planet causes the formation of a temperature field described by the nonhomogeneous heat conduction equation. The temperature field is determined by averaging with respect to the proper rotation angle and is estimated for the Moon.
Key words: tidal deformations, temperature field of planet.
Формирование температурных полей планет зависит от многих факторов, в том числе от выделения тепла вследствие радиоактивного распада вещества планеты, от химических реакций, связанных с выделением тепла, от диссипации энергии в процессе приливной деформации планеты. Приливы в теле планеты порождаются гравитационными силами взаимодействия с материальными объектами и силами инерции в системе координат, связанной с планетой. Их изменение во времени приводит к рассеянию механической энергии в материале планеты, которая, переходя в тепло, формирует температурное поле внутри планеты [1].
Описание этих процессов наталкивается на значительные трудности, обусловленные недостатком знаний о внутреннем строении планет и физических характеристиках образующих их веществ [2]. Измерение температурного поля планеты возможно для незначительных по сравнению с радиусом планеты глубин от поверхности планеты и сопряжено с дорогостоящими экспериментами. В приложениях следует выбирать планеты, не содержащие жидких ядер, так как в жидких ядрах необходимо учитывать конвективный перенос тепла. Ближайшим небесным телом, не имеющим, по современным данным, жидкого ядра, является Луна, для которой даны оценки температурного поля.
1. Тензор скоростей приливных деформаций и диссипативная функция. Используя модель Кельвина-Фойгта для описания деформаций вязкоупругой планеты, рассмотрим движение последней в гравитационном поле сил, порождаемом материальной точкой [3-5]. Предположим, что центр масс планеты и материальная точка движутся по круговым орбитам в плоскости CX1X2 и что вращение планеты происходит вокруг оси OX3 с угловой скоростью и\. Свяжем с деформируемой планетой систему координат OX1X2X3 и представим поле перемещений точек планеты, считая ее упругим однородным шаром, в виде [4, 5]
Eu(r, t) = ui(r) + U2(r) + ua(r, t),
ui (r) = -pu21(dn r2 + dur2)r,
U2(r) = -pu"2 [ai(Bir, r)r + (a2r2 + аэГ^Вг], (r) = 3pQ2 [ai(B2r, r)r + (a2r2 + a3r1)B2 r],
(1)
u3 (r)
где
(l + i/)(l-2i/) (3-^(1-2^)
«11 — -7"r~7ï-N-1 "21 —
a1=
1 + v
15(1 - v)
(1 + v )(2 + v )
a2 = —
15(1 - v)
(1 + v )(2v + 3)
a3 =
5v + 7' 5v + 7 5v + 7
Здесь р, Е, V — плотность, модуль упругости и коэффициент Пуассона материала планеты; Го — радиус недеформированной планеты; — орбитальная угловая скорость при движении планеты по круговой орбите. Симметрические матрицы В1, В2 с нулевыми следами имеют вид
Bi = - diag{—1, —1,2}, В2 =
/cos2 ф - 1/3 sin 2^/2 0 sin 2ф/2 sin2 ф - 1/3 0
\ о о -1/3 У
ф = (u1 - Q1)t.
(2)
Поля перемещений щ, и стационарны и определяют форму планеты, сплющенную по оси Охз в результате воздействия центробежных сил инерции при ее вращении с угловой скоростью шь Поле перемещений точек планеты из (г, Ь) определяет приливы в теле планеты, зависящие от времени в каждой точке планеты. Дифференцируя по времени поле перемещений (1) и учитывая зависимость от времени матрицы В2 в (2), получим поле скоростей точек планеты относительно системы координат ОХ1Х2Х3:
v(r,t) = Q
ai
дБ2
дф
r, r
r + (a2r2 + a3r'2)
дБ2
дф
Q = 3pE 1 Qfu, u = u1 - Q1.
(3)
r
Воспользуемся сферической системой координат (т,9,^>), когда xi = r sin в cos ф, Х2 = r sin в sin ф, Хз = r cos в, 0 < в <п, ф mod2n, и найдем проекции поля скоростей (3) на ее оси:
vr = Q [(ai + a2)r2 + a3r^] r sin2 в sin 2(ф — ф),
ve = Q(a2r2 + a3r2)r sin в cos в sin2(^> — ф), (4)
vv = Q(a2r2 + a3r¡2)r sin в cos2(^ — ф).
С помощью (4) вычислим компоненты тензора скоростей деформаций в сферической системе координат. Имеем [6]
dv
£rr = = Q [3(ai + a2)r2 + а3Гд] sin2 9 sin 2(ф - ф),
1 dv v
£вв = - т^г + — = Q [air2 sin2 в + (a2r2 + a3rg) cos2 в1 sin2(^ - ф), r^r
1 dv v v
= —: t -7Г- + — H--Ctg в = Q [air2 sin2 в - a2r2 - a3rgl sin 2(ф - ф),
r sin в дф r r
1 (dv$ ve 1 dvr\ „г, r. \ 2 21 • л л •
(5)
£гв = \ " ^ + I w) = Q t(ai + 2а2)Г2 + азГ°] SÍn 9
cos в sin2^ — ф),
1 / 1 dv dv v \
£гч> = о —^ V1 + --- = Qt^i + 2а2)^2 + аз^о] Sin б1 cos 2 (^ -V),
2 \ r sin в дф dr r)
10 дф дг г
1 /д^ 1 д^ \ ^ = + =^(а2г2+а3^)со80со82(ф-^).
2. Определение температурного поля внутри планеты. Температурное поле внутри планеты обусловливается выделением энергии вследствие диссипации при приливах, радиоактивного распада, химических реакций и других физических явлений. Далее рассматривается температурное поле в теле планеты, формируемое за счет выделения энергии при приливных деформациях.
Диссипативные свойства материала однородной деформируемой планеты опишем линейной моделью Кельвина-Фойгта, полагая квадратичную по скоростям диссипативную функцию равной [3, 6]
ОД = £ I2 + „п = ^^ I2 + г? £ 4>/9, (6)
а,в
Т\2 Í Т\2 Í т\2
1 > ' т \ / т \ __2 , «2 , о„2
где
I = егг + еее + eipip, II = ^err — - j + — - j + уе^ — - J + + +
Здесь £, n — коэффициенты вязкости, отвечающие за скорость объемного расширения и изменение сдвиговых деформаций частиц тела.
Уравнение теплопроводности, описывающее распределение температуры внутри планеты, имеет вид [6]
c^ = KAT + 2D(V), (7)
где c — удельная теплоемкость материала планеты, к — коэффициент теплопроводности. Диссипативная функция представляется ^/2-периодической функцией угла (ф — ф). Соответственно температурное поле T(r, t) также окажется аналогичной периодической функцией, представленной суммой не зависящей от времени компоненты To(r) и периодической функции с нулевым средним по времени. Найдем средние по времени значения правой и левой частей уравнения (7) и получим стационарное уравнение теплопроводности
2п
кАТо + 2<D(v)> = 0, <D(v)> = D(v) dp. (8)
о
Граничные условия для уравнения (8) примем в виде
To(ro,d)= T*. (9)
Здесь Т* — постоянная температура внешней среды, окружающей планету. Если иметь в виду одну из планет Солнечной системы, то температура ее поверхности определяется множеством различных факторов, в частности наличием атмосферы, тепловым солнечным потоком и временем освещенности отдельных областей планеты. В качестве постоянной температуры поверхности Т* в рассматриваемой модельной задаче можно принять температуру на глубинах порядка нескольких десятков метров, где влияние различных внешних факторов на температуру нивелируется. Значение этой температуры, имеющее порядок нескольких десятков или сотен градусов Кельвина, суммируется с температурным полем, обращающимся в нуль на поверхности планеты.
Найдем решение уравнения (8) с граничным условием (9). Используя (5), (6), получим
D(v)> =
Q2ajn
У] dk fk,
(10)
k=i
где
fi = f2 = r0r2, fa = r^r2 cos2 в, f4 = r4, f5 = r4 cos2 в, fa = r4 cos4 в; di = 4p3, d2 = pa(8 + 16p2), da = -Pa(8 + 8p2), d4 = 13 + 24p2 + 18p2 + (5 + 2p2)2 [C/(2n) - 1/3], d5 = -22 - 32p2 - 16p2 - 2(5 + 2p2)2 [(/(2rj) - 1/3],
da = 9 + 8p2 + 2p2 + (5 + 2p2)2 [C/(2n) - 1/3 , P2 = "2/ai, Pa = aa/ai. Оператор Лапласа в сферической системе координат имеет вид
1 д2Т
(11)
AT
±1 __
r2 dM dW r2 sin 9 дв
д Л ЛЭТ\
sin в — ) +
д^ r2 sin2 в дф2
Найдем частные решения уравнения Пуассона (8), когда температурное поле не зависит от угла ц>. Используя (10), получим
Д^ (г, в ) = /к (г, в), к = 1,...,6, (12)
где
42
Fi =
rr
24
F2 =
rr
r2r4
20 11
F5 = — cos4 0--rb cos в, F6 = — cosb
12 180 ' 30
Представим уравнение (8) следующим образом:
AT0(r, в) = G ^ G = Q2ainr06
(13)
i=i
где
gi = 1, g2 = ж2, ga = ж2г2, g4 = ж4, g5 = ж4г2, go = ж4/, ж = r/ro, г = cos в. С помощью частных решений (12) найдем решение уравнения (13) в форме
6a 6
To (ж, г) = -CJ2 diFir-6 + G ^ b2k ж^ P2k (cos в),
i=i
k=0
где
Po(z) = 1, P2(z) = 3-z2-1-, P4(,) = f + |
„ , , 231 6 315 4 105 2 5
P^ = lez ~lez +lez~Гв-
2
6
6
6
6
Здесь Pk(z) — полиномы Лежандра [7]. Граничное условие в (9) соответствует x = 1 и представляется в виде
6 3
J2diFi(ro, cos в)г0-6 + b2k P2k (cos в) = T*G-1. (15)
i=1 k=0
Приравнивая в (15) коэффициенты при одинаковых степенях cos в, получим систему линейных неоднородных уравнений относительно b2k, к = 0,1, 2, 3. Поскольку матрица системы имеет нулевые члены, лежащие ниже главной диагонали, то ее решение находится в виде
4 8 2 4 1 1 1
6б = "945 4 + 3465 4' 64 = l05d3 + 385 d6' &2 = 21 4 + 54 4 + 63
1 1 1 1 1 1 (16)
bo=T^ + -d1 + -d2 + -d3 + -d4 + — d5 + — d6.
Подставляя значения коэффициентов (16) в формулу (14), получим распределение температуры внутри планеты
Т0(х, z) = Т* + G( 1 - х2)di + (1 + x2)d2 + -J- (7 - 3x2)ds + (1 + ж2 + x4)d4 +
6 20 420 42
+ ¿ (6 - ж2 - x4)d5 + (33 - 22ж2 + 5x4)d6 + 756 6930
i 2 2 + x2z2
п(h + h(1+ж2)4 + ¿(n "7ж2)4
+ (17)
Отыскание числовых значений величин коэффициентов, входящих в приведенные формулы, представляет определенные трудности, поскольку нет достоверных данных о характеристиках сплошной среды, образующей тело планеты. В используемой модели коэффициенты р2, рз, согласно формулам (10), (11), равны р2 = —2 — V, рз = 3 + 2^. Коэффициент Пуассона V выражается через скорости продольных ур и поперечных vs волн в упругой сплошной среде, а именно [2]
(ур ^ )2 — 2
2[(vp/vs)2 - 1]'
Величины скоростей продольных и поперечных волн в планетах Солнечной системы определяются методами сейсмологии.
Значительные сложности представляет определение коэффициентов диссипации энергии в материале планеты. Часто используется модель неупругого тела Кельвина-Фойгта, когда коэффициент ( = 0, что означает отсутствие диссипации при объемном сжатии или расширении материала планеты [3, 6]. В этом случае неупругие свойства сплошной среды характеризуются одним коэффициентом п. Описанная ситуация имеет место в случае вязкой несжимаемой среды. Другой доступный для измерения параметр представляется суммарной величиной энергии, излучаемой с поверхности планеты. Это обстоятельство позволяет оценить величину коэффициента G в формуле (17). Примем мощность этого излучения равной мощности производимой в теле планеты энергии за счет внутреннего трения:
W = 2 J D(v)r2 sin 6drd6d<f.
V
Здесь V — область, занимаемая планетой. Воспользовавшись (10), найдем
6 ro п
W = 2nQ2alnJ2dk J j fkr2 sin 6drd6 = 4nr2qo, (18)
k=1 0 0
где qo — средняя величина излучения тепла с единицы площади поверхности планеты, обусловленная выделением тепла вследствие приливов. Вычисляя интегралы в (18), выводим
Q2ah = T^5' d° = \ dl + \ d<2 + 77 d-i + \ + 777 d5 + jr d6 =» г] = . (19)
dor0 3 5 15 7 21 35 d0r^Q2af
Заметим, что выделить из общего потока тепла со всей поверхности планеты часть, связанную с приливными явлениями, достаточно сложно. Однако в ряде случаев оказывается возможным определить величину Ш, используя данные об эволюции движения планет, порождаемой внутренними диссипатив-ными силами. Если известна величина Ш в соотношении (18), то коэффициент вязкости определяется по формуле
Ш
71 = ^ йотъячг (20)
а коэффициент О в (13) оказывается равным
Ш
С = . (21)
4пг0 а0к
Согласно закону теплопроводности Фурье [61, а(г) =---^—- > 0, где а(г) — тепловой поток
Го дх
через поверхность планеты. Среднее значение теплового потока равно
1
до = ^д(г)<1г = -кУТо, (22)
где
-1
1
2г0 У дх -1
1 дТ0(1, г) _ (¿1 (¿2 (к 8^6 /^з 4 2^ \ ^ 4
2О дх 6 10 105 14 189 3465 V14 18 231/ 22
Вычисляя интеграл в правой части (22), найдем ^о = кОй,0Г—1.
Заметим, что полученное значение среднего теплового потока равно среднему значению в формулах (18), (19). Поскольку все тепло, выделяемое внутри планеты за счет приливных деформаций, равно суммарному потоку тепла, проходящему через ее поверхность, то справедливо равенство
1
Ш = 2пг0 J д(г) йг. 1
Используя соотношения (20) и (21), получим формулы
^0 П Г0 У7гр ^ А
к = -^г, ^ = ——УТЬ > 0. УТ0 й0
Из представленных выше формул можно определить коэффициенты в выражении температурного поля (17), образующегося вследствие выделения тепла из-за деформаций, вызванных приливами, а также коэффициенты теплопроводности и вязкости материала планеты, если известны средний тепловой поток с поверхности планеты, средний градиент температурного поля на поверхности планеты, модуль упругости и коэффициент Пуассона материала планеты.
Замечание 1. Если в теле планеты имеет место выделение тепла за счет радиоактивного распада и если удельная мощность выделяемого тепла К Дж-м—3-с-1 одинакова во всех точках планеты, то, согласно полученному выше решению, соответствующая компонента температурного поля равна
= (!-*»).
9к
Замечание 2. В случае двух гравитационных центров, порождающих приливы в теле планеты, квадратичный по скоростям диссипативный функционал представляется в форме
0(^1 + V2) = (Ь^1 + V2), V! + 'У'2) = V!) + 2(^1, У^) + (Ьv2, V2),
где Ь — линейный симметрический дифференциальный оператор, порождающий диссипативную функцию. Допустим, что поля скоростей Vl, V2, периодические по углам ф1, ф2, имеют различные по времени
нерезонансные периоды, определяемые движением двух притягивающих центров в системе координат, связанной с планетой. Тогда в результате усреднения диссипативной функции по углам ^>2 получим ((^1, V2)) = 0. Следовательно, температурные поля определяются независимым образом для каждой приливной деформации по описанной выше методике при условии замены величины О2 на сумму О + 02 в коэффициенте (13), где, согласно (3),
Ок = 3рЕ Ш1к, Ш1к = Ш1 — к = 1, 2.
Влияние двух притягивающих центров на формирование температурного поля планеты эквивалентно влиянию одного центра с соответствующими параметрами.
Вообще говоря, количество гравитационных центров, вызывающих приливы, равно N — 1, если рассматривается задача о движении системы N вязкоупругих шаров [5].
3. Температурное поле Луны, порождаемое приливами. Оценим вклад приливов в температурное поле Луны, используя имеющиеся в литературе значения различных физических величин [1, 2].
Движение Луны происходит по орбите, близкой к окружности, вокруг центра масс системы Земля-Луна. Центр масс системы в свою очередь движется по орбите, близкой к круговой, вокруг Солнца. Для определения приливных эффектов на Луне следует рассматривать суммарное гравитационное поле притяжения Земли и Солнца. Гравитационное воздействие Земли порождает на Луне приливные деформации, которые стационарны в системе координат, связанной с Луной, поскольку собственное вращение Луны находится в резонансе 1:1 с ее орбитальным вращением вокруг Земли. Соответствующий тензор скоростей деформаций оказывается равным нулю, как и порождаемая им диссипация энергии.
Движение Луны относительно Солнца представим в упрощенном виде как движение по круговой орбите, соответствующей радиусу орбиты Земли. На самом деле расстояние от Луны до Солнца изменяется два раза в течение месяца на 0,2%. Поскольку центр масс системы Земля-Луна совершает один оборот вокруг Солнца за год, то угловая скорость = 2 • 10-7 с-1, а угловая скорость вращения Луны вокруг центра масс Ш1 = 26,6 • 10-7 с-1. Отсюда следует, что солнечные приливы на Луне имеют нестационарный характер и порождают выделение тепла в теле Луны. Для описания этого явления воспользуемся результатами пп. 1 и 2.
Будем считать, что диссипативные свойства вязкоупругого материала Луны описываются упрощенной моделью Кельвина-Фойгта, когда ( = 0. При этом допущении рассеяние энергии определяется деформациями сдвига (девиаторная часть тензора скоростей деформаций) и пропорционально коэффициенту вязкости п. Коэффициент Пуассона примем равным V = 0,3, что соответствует значениям скоростей продольной Ур = 7,8 • 103 м-с-1 и поперечной ^^ = 4,2 • 103 м-с-1 волн [2]. Коэффициенты в формулах (13), (19) оказываются следующими:
Р2 = —2 — V = —2,3; рз = 3 + 2v = 3,6;
го = 1,74 • 106 м; ¿1 = 51,84; ¿2 = —103,68;
I¿з = 27,44; ¿о = 4,404; ¿4 = 52,97;
4 = —32,93; ¿6 = 1,127.
Подставляя эти значения в формулу (17), получим
Т0 — Т* 1л 2\ ГЛП11 л П01™2
с
= (1 — ж2) [4,911 — 4,081х2 +
Рис. 1
1,305х4 + г2х2(1,072 — 0,932х2) + 0,051г4ж4]. (23)
График функции (23) представлен на рис. 1. На рис. 2 показаны графики двух функций, полученных из (23) при г = 0 и г = 1, описывающих соответственно изменение температуры на экваторе (кривая 1) и на полюсе (кривая 2). Как следует из рис. 1, температура монотонно возрастает при приближении к центру Луны. Вид графиков на рис. 2 свидетельствует о том, что при приближении к центру по радиусам, проходящим через точку экватора Луны или через ее полюс, температура монотонно возрастает и оказывается большей в точках, лежащих на полярном радиусе, нежели в соответствующих точках на экваториальном радиусе.
Используя формулу (23), вычислим градиент температурного поля на поверхности Луны:
= (2,135 + 0,14г2 + 0,051л4). (24) го дх г0
Из формулы (24) следует, что тепловой поток на полюсе (г2 = 1) больше теплового потока на экваторе (г = 0), а их отношение равно отношению модулей соответствующих градиентов температурного поля и составляет 1,0896.
Примем следующие значения коэффициентов, характеризующих свойства материала Луны и параметры ее движения [1, 2]:
,10
7п-7*
^^ 2 1
0,2
0,4
0,6
0,8
Рис. 2
з „„ /„3.
Е = 1,04 • 1010 Н/м2; V = 0,3; р = 3,34 • 103 кг/м
= 26,6 • 10"7 с"1;
П1 =2 • 10"7 с"1;
го = 1,74 • 106 м.
Модуль упругости соответствует модели "каменной" Луны [1]. Тепловой поток с поверхности Луны, измерявшийся в двух точках, в среднем равен до = 1,9 • 10"2 Вт/м2 [2]. Суммарная мощность теплового потока со всей поверхности Луны равна
W = 4пг02до = 7,22 • 1011 Вт.
1011 П;
Согласно формулам (3), (20) и (21), получим
д = 9,48 • 10"26 м"2 • с"1; п = 1,28 • 1010 кг/(м • с) = 1,28
Ск = 7,5 • 103 Вт/м.
Коэффициент С определится, если задать величину коэффициента теплопроводности материала Луны. Коэффициент теплопроводности гранита равен 3,5 Вт/(м • К), стали 57 Вт/(м • К). Соответственно определяются значения коэффициента С: 2,14 • 103 К и 1,131•102 К. В результате, согласно формуле (23), температура в центре Луны оказывается равной Т(0,г) = Т* + 4,911С = Т* + 10 500 К в случае "гранитной" Луны и Т(0, г) = Т* + 646 К в случае "стальной" Луны. Согласно графику 3 на рис. 105 в работе [2], температура в центре Луны прогнозируется порядка Т(0, г) ~ 1460 К. Примем Т* =60 К и найдем эффективный коэффициент теплопроводности материала Луны: к = 26,3 Вт/(м • К).
Тепловой поток, излучаемый с поверхности Луны, можно разделить на части, одна из которых соответствует отводу тепла, генерируемого приливами, а остальные — отводу тепла, порождаемого иными физическими процессами, например радиоактивным распадом лунного вещества или химическими реакциями. При расчетах суммарного температурного поля следует сложить температурные поля, порождаемые различными физическими процессами.
В заключение отметим, что данные о физических параметрах материала Луны, величинах теплового потока с ее поверхности, распределении температуры внутри Луны носят приближенный характер, что понижает точность приведенных выше оценок.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-01-00160, 08-02-00367, 12—01— 00536а, 12-08-00637а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы. М.: Физматлит, 2010.
2. Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет. М.: Наука, 1983.
3. Жермен П. Курс механики сплошных сред. Общая теория. М.: Высшая школа, 1983.
4. Вильке В.Г. Движение вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил // Прикл. матем. и механ. 1980. 44, вып. 3. 395-402.
5. Вильке В.Г. О движении деформируемых планет и устойчивости их стационарных движений // Космич. исслед. 2010. 48, № 3. 279-288.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. 2-е изд. М.: Гостехиздат, 1953.
7. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. 2. Трансцендентные функции. М.: Физматгиз, 1963.
Поступила в редакцию 14.09.2011
