Формирование спектров брэгговского отражения света от фотоннокристаллических структур Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

УДК 538.958

В.Г. Федотов1,2, А.В. Селькин2,1, А.Г. Баженова2

1 Санкт-Петербургский государственный университет

2 Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН

Формирование спектров брэгговского отражения света от фотоннокристаллических структур

В работе исследованы механизмы формирования спектров брэгговского отражения света от опалоподобных фотонных кристаллов. Рассчитаны дисперсионные соотношения для собственных мод электромагнитного поля в фотонном кристалле для различных направлений падения света на кристалл. Показано, что брэгговская дифракция света на кристаллографических плоскостях, наклонных по отношению к поверхности кристалла, приводит к существенной модификации дисперсионных кривых собственных мод. Рассчитанные энергетические спектры собственных мод электромагнитного поля в области фотонных запрещённых зон сопоставлены с экспериментальными спектрами брэгговского отражения света.

Ключевые слова: брэгговская дифракция света, энергетические спектры, опалоподобные фотонные кристаллы, дисперсионные кривые, собственные моды.

В связи с развитием оптоэлектроники огромное практическое значение приобретают исследования структур, позволяющих управлять распространением света [1]. К числу таких структур относятся фотонные кристаллы (ФК). Особый научный интерес к ФК обусловлен тем, что они представляют собой объекты, позволяющие проводить исследования, касающиеся фундаментальных аспектов взаимодействия света с конденсированной средой [2].

ФК — пространственно-периодические твердотельные структуры, период которых сравним с длиной волны видимого света. Тот факт, что период решётки ФК сравним с длиной волны видимого света, модифицирует поведение фотонов в таком кристалле по сравнению с их поведением в обычном кристалле. В данной работе объектами исследования являлись трёхмерные ФК с симметрией гранецентриро-ванной кубической решётки. К таким кристаллам относятся опалы и полимерные опалоподобные структуры на основе полистирола, речь о которых, как об объектах экспериментального исследования, идёт в настоящей работе.

В процессе получения опалоподобных ФК происходит самоорганизация структурных элементов (сфер диоксида кремния и полистирола для опалов и полимерных ФК соответственно) в плотноупа-кованную гранецентрированную кубиче-

скую решётку. Отметим, что структура получаемых ФК, как правило, не является строго идеальной. Во-первых, происходит взаимное спекание сфер, а во-вторых, сжатие структуры в направлении осаждения на подложку, что приводит к преобразованию сфер в сфероиды и понижению симметрии решётки [3]. Эти отклонения в соответствии с работой [3] можно характеризовать двумя параметрами: X =1 — a00/D± — коэффициентом изотропного спекания и п = D\\/D± — коэффициентом сжатия вдоль направления [111], где a00 — расстояние между ближайшими сферообразными частицами в латеральной плоскости (плоскости (111)) образца, D± — размер сферообразных частиц в латеральной плоскости образца, D\\ — размер сферообразных частиц в кристаллографическом направлении [111] (рис. 1).

Отличительной особенностью рассматриваемых ФК является то, что вблизи некоторого характерного угла падения света в на отражающую кристаллическую плоскость наблюдается ярко выраженная дублетная структура брэгговского пика (рис. 2, сравним кривую а для в = 42° с кривой b для в = 55°).

Спектры брэгговского отражения света изучались на оптической установке, собранной на базе спектрометра МДР-23 с рабочим спектральным диапазоном 400-850 нм и обратной линейной дисперси-

ей 13 Л/мм. Источником белого света служила лампа накаливания, луч от которой коллимировался с помощью диафрагмы и линзы так, что угол сходимости пучка не превышал 3°. Световой пучок направлялся на образец, закреплённый на гониометре от эллипсометра ЛЭФ-3М. Установка обеспечивала точное позиционирование кристалла: выбор нужного угла падения светового потока и азимутальную ориентацию образца (относительно вращения в латеральной плоскости). Отраженный от

поверхности образца свет через систему линз направлялся на входную щель спектрометра, ширина которой варьировалась в пределах 100-200 мкм. Световой поток на выходе спектрометра регистрировался с помощью фотоэлектронного умножителя ФЭУ-79 в режиме счета фотонов, электрический сигнал после прохождения через предусилитель и блок сопряжения обрабатывался персональным компьютером, а записанный спектр в цифровом виде сохранялся в файле.

Рис. 1. Геометрия отражения света от поверхности ФК. Азимут f считается равным нулю в том случае, когда плоскость падения света перпендикулярна линии пересечения плоскостей (111) и (111)

0,8 т

0,6 --

а>

о

й

ей

о

О!

ЕЯ

СИ

0,4 -

0,2 --

0,0

а

* \

* »

« %

* *

• »

\

\ \

%тё

#

I

I

#

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

%

ф

400

450

500

550

Я (пт)

Рис. 2. Экспериментальные спектры брэгговского отражения света от полимерного (на основе полистирола) опалоподобного ФК для 8-поляризованного света для углов падения света 9 = 42° ^) и 9 = 55° (Ь)

Теоретическая модель, используемая для объяснения наблюдаемой экспериментально картины, основана на формализме блоховских волн, в рамках которого электрическое поле электромагнитной волны внутри ФК представляется в виде суперпозиции блоховских мод:

поля в ФК:

(к2 — к^є0)А (к) — к (к ■ А (к))

к

Е (?) = £ Ек (г),

где

2 X/ єЗА(к — С)’

с=о

7. - Ш

ко = — ■

с

где

Ек (г) = £ А (к — С У'

г-(к-С )-т

З

Здесь к — волновые векторы соответствующих блоховских мод, С — векторы обратной решётки, Аг — амплитудные коэффициенты разложения блоховских мод по плоским волнам. Введение таких мод возможно благодаря наличию в ФК трансляционной симметрии. По этой же причине можно разложить диэлектрическую проницаемость в ряд Фурье по векторам обратной решётки:

є(г) =

з

Подстановка выражения для блоховской волны в уравнения Максвелла даёт уравнение для напряжённости электрического

Для получения точного решения при помощи метода плоских волн необходимо использовать бесконечное число векторов обратной решётки. Ключевой момент состоит в том, что для правильного качественного описания экспериментально наблюдаемой картины в области видимой части спектра нет необходимости учитывать все векторы обратной решётки [4], а достаточно использовать только два из них, соответствующих системам кристаллографических плоскостей (111) и (111) (рис. 1). В таком случае при нулевом азимуте р плоскости падения света дисперсионное уравнение разделяется на два независимых уравнения, соответствующих ТЕ- и ТМ- собственным модам.

Когда модуляция диэлектрической проницаемости бесконечно мала (е^ ^ 0,

е@ ^ 0 — приближение пустой решёт-

ки), дисперсионное уравнение может быть решено аналитически. Соответствующий энергетический спектр приведён на рис. 3.

Д0о / Я

К/ош

Рис. 3. Дисперсионные кривые собственных мод в ФК в приближении пустой решётки, соответствующие дифракции света на латеральной плоскости (111) ^) и наклонной по отношению к поверхности ФК плоскости (111) (Ь)

На рис. 3 и последующих рисунках Л — длина волны света в вакууме, кг — проекция волнового вектора собственной моды на нормаль к поверхности, 0111 — длина вектора обратной решётки в направлении [111].

При расчёте энергетических спектров собственных мод электромагнитного поля использовались характерные значения параметров полимерных опалоподобных ФК [3]. Как и предсказывает теоретический расчёт, при нулевом азимуте р можно выделить дисперсионные зависимости для ТЕ- и ТМ-мод (соответствующих в- и р-поляризациям падающего света).

Как для одной, так и для другой группы кривых наблюдается возникновение стоп-зоны. При этом для некоторого угла падения света (соответствующего выполнению условия многоволновой дифракции [4]) внутри стоп-зоны появляются разрешённые состояния (рис. 4), связанные с переносом энергии внутри ФК. Такие со-

аоо I ^

стояния приводят к появлению провала в пике брэгговского отражения и возникновению дублетной структуры, наблюдаемой экспериментально.

Как видно из сопоставления модельных спектров брэгговского отражения (рассчитанных без учёта затухания) и дисперсионных зависимостей (рис. 5), положение провала в пике брэгговского отражения действительно соответствует разрешённым состояниям, возникшим из-за дифракции на плоскости (111). Неполное отражение света в области фотонной запрещённой зоны связано с тем, что мнимая часть волнового вектора затухающей моды оказывается не перпендикулярной по отношению к наклонным (рис. 1) фотоннокристаллическим плоскостям. В том случае, когда учитывается только дифракция на латеральной плоскости, внутри стоп-зоны не возникает разрешённых состояний и вместо дублетной структуры расчётный спектр даёт одиночный пик брэгговского отражения.

Іт^/Сіп

Рис. 4. Энергетические спектры собственных мод электромагнитного поля в полуогра-ниченном ФК для угла падения света 9 = 57° и азимута р = 0°. Сплошные кривые — для з-поляризованного света, штриховые кривые — для ^-поляризованного света

При других углах падения, заметно отличающихся от в = 57° (когда дисперсионная кривая, соответствующая дифракции на системе плоскостей (111), не попадает в стоп-зону плоскостей (111)), для правильного описания наблюдаемой экспериментально картины достаточно учитывать лишь дифракцию на латеральной плоскости.

В случае азимута р, отличного от нуля, собственные моды обладают не линейной,

а эллиптической поляризацией. Это приводит к тому, что при падении на поверхность ФК в- и р-поляризованного света отражённая волна становится эллиптически поляризованной.

Авторы выражают благодарность А.Ю. Меньшиковой и Н.Н. Шевченко за предоставленные для измерений полимерные фотоннокристаллические образцы.

a00 ! ^ cl b

i 0,56 Ji

/!

0,52

0,50 \l

0,48

' 0,46 .■/ \

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,40 0,44 0,48 0,52 0,56 0,60

Reflect ance Re / Ци

Рис. 5. Рассчитанные спектры брэгговского отражения света (a) и соответствующие дисперсионные зависимости (b) для собственных мод электромагнитного поля в по-луограниченном ФК для угла падения света 9 = 57° и азимута ф = 0°. Сплошные кривые — для дифракции света на двух системах кристаллических плоскостей (111) и (111). Штриховые кривые — для дифракции света только на одной системе кристаллических плоскостей (111)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lopez C. Material Aspects of Photonic Crystals // Adv. Mater. — 2003. — V. 15, N. 20. — P. 1679-1704.

2. Sakoda К. Optical properties of photonic crystals. Springer series in optical sciences. V. 80. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 2001.

3. Баженова А.Г., Селькин А.В., Меньшикова А.Ю., Шевченко Н.Н. Поляриза-

ционное подавление брэгговских рефлексов при отражении света от фотонных кристаллов // ФТТ. — 2007. — Т. 49, вып. 11. — С. 2010-2021.

4. Sel’kin A.V. Structural characterization of photonic crystals by Bragg reflection spectroscopy // Proceedings of 12th Int. Symp. «Nanostructures: Physics and Technology». — 2004. — P. 111.

Поступила в редакцию 06.01.2008.