CC BY
92
УДК 519.725
DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-6-451-457
ФОРМИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ГОРДОНА—МИЛЛСА—ВЕЛЧА НА ОСНОВЕ РЕГИСТРОВ СДВИГА
В. Г. Стародубцев
Университет ИТМО, 197101, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [email protected]
Разработан алгоритм определения начальных состояний регистров сдвига, входящих в устройство формирования последовательностей Гордона—Миллса— Велча (ГМВ). Известно, что предпочтительность применения в системах связи ГМВ-последовательностей определяется их более высокой структурной скрытностью по сравнению с М-последовательностями, однако основной проблемой при построении устройств формирования ГМВ-последовательностей на основе регистров сдвига является отсутствие в литературе алгоритмов определения их начальных состояний. Показано, что согласно предложенному алгоритму начальные состояния регистров сдвига определяются соотношением степеней корней полиномов h<:i(x) и полинома исходной М-последовательности, на основе которой формируется ГМВ-последовательность, и на практике вычисляются путем децимации символов исходной М-последовательности по индексу децимации, зависящему от соотношения степеней корней полиномов.
Ключевые слова: последовательность с составным периодом, конечное поле, неприводимый и примитивный полином, регистр сдвига с линейными обратными связями.
Последовательности Гордона—Миллса—Велча (ГМВ) применяются в современных системах связи благодаря более высокой структурной скрытности по сравнению с М-последовательностями, которые также обладают одноуровневой периодической автокорреляционной функцией [1—5].
Настоящая статья продолжает цикл публикаций, посвященных разработке алгоритмов формирования ГМВ-последовательностей и анализу корреляционных и структурных свойств этих последовательностей [6, 7].
В статье [6] разработан алгоритм формирования ГМВ-последовательностей, основанный на матричном представлении последовательностей с составным периодом и использовании свойств проверочных полиномов, определяемых над конечными полями Галуа.
В работе [7] представлен алгоритм формирования проверочных полиномов ГМВ-последовательностей, основанный на использовании структурных свойств конечных полей с двойным расширением. Также получены полные перечни проверочных полиномов для двоичных ГМВ-последовательностей с периодами N=63, 255 и для троичных ГМВ-последо-вательностей с N=80.
Известны различные подходы к разработке устройств формирования ГМВ-после-довательностей. Отличительной особенностью большинства подходов является то, что в состав реализуемых на их основе устройств формирования входят нелинейные элементы. Например, в работе [8] представлен способ, основанный на представлении ГМВ-последо-вательностей с помощью функции следа.
Использование проверочных полиномов ГМВ-последовательностей позволяет реализовать устройства их формирования с помощью регистров сдвига с линейными обратными связями (РС ЛОС).
Структура проверочного полинома ГМВ-последовательности hmB(x), представляющего собой для конечных полей (p — характеристика поля, S — натуральное число) произ-
ведение двух или более неприводимых полиномов hci(x) степени S, определяет возможность построения устройства формирования в виде совокупности нескольких РС ЛОС.
Устройство формирования представляет собой два или более РС ЛОС, число ячеек Яг- в каждом из которых равно S, т.е. степени полиномов hci(x), а сумматоры по modр расставляются в соответствии с коэффициентами этих полиномов. Выходные сигналы РС ЛОС поступают на общий сумматор по mod р, являющийся выходом устройства.
Основной задачей при построении устройств формирования ГМВ-последовательностей является определение начальных состояний регистров сдвига.
На основе значений символов сегмента формируемой ГМВ-последовательности длиной kS символов (к — число регистров сдвига) и коэффициентов полиномов ^¿(x) путем решения системы линейных уравнений могут быть определены начальные состояния РС ЛОС. Недостатком такого подхода является необходимость предварительного формирования сегмента последовательности длиной kS символов.
В литературе нет сведений о методиках или алгоритмах, позволяющих однозначно определять начальные состояния всех РС ЛОС, входящих в устройство, при формировании ГМВ-последовательностей в условиях отсутствия информации о требуемом сегменте длиной kS символов.
Целью настоящей статьи является разработка алгоритма определения начальных состояний регистров сдвига с линейными обратными связями, входящих в устройство формирования, не требующего предварительного построения сегмента ГМВ-последо-вательности.
Алгоритм основан на использовании следующего структурного свойства проверочных полиномов: корни полиномов hci(x) — сомножителей проверочного полинома hm^x) — являются определенными степенями корней проверочного полинома h^(x) исходной М-последовательности, на основе которой формируется ГМВ-последовательность [5, 7].
Перед разработкой алгоритма определим начальные состояния регистров сдвига на примере устройства формирования ГМВ-последовательности (см. рисунок), решив систему линейных уравнений при известном сегменте формируемой ГМВ-последовательности. Проверочным полиномом исходной М-последовательности является h^(x) = x6 + x + 1, его кор-
2 4 8 16 32
ни — примитивные элементы поля GF(2 ): а, а , а , а , а , а .
.32
С" 5
С'\
С"з
С"2
С"1
Г"
С о
Устройство формирования представляет собой два РС ЛОС, число ячеек в каждом из которых равно шести, т.е. степеням полиномов hci(x), а сумматоры по mod 2 расставляются в соответствии с коэффициентами этих полиномов.
Для рассматриваемого примера сомножителями проверочного полинома hm^x) являются [5, 7]:
¿ГМВ(х) = х12 + х11 + х10 + х9 + х7 + х2 + 1 = = йс1(х) Ис2(х) = (х6 + х4 + х2 + х + 1) (х6 + х5 + х2 + х + 1).
(1)
Наиболее интересным (без потери общности) представляется случай, когда начальные состояния двух регистров одинаковы. Для получения таких начальных состояний выберем сегмент ГМВ-последовательности длиной 12 символов ([6], выражение (5)), содержащий £ нулей:
С_1 С0 С1 С2 С3 С4 С5 С6 С7 С8 С9 С10 1 00000001 11 1 .
(2)
С учетом коэффициентов полиномов кс1(х) и ^с2(х), а также (2) можно записать следующую систему уравнений для символов С[ = С" =С г (г = 0, 5 ):
С *5 +С *4 = 0, С *0 +С *1 +С *2 = 1, С *0 +С*3 = 0, С *2 +С *3 +С *4 = 0, С *1 = 0, С *3 +С *4 = 1.
(3)
Эта система линейных уравнений имеет единственное решение
С*0 = 0, С*1 = 0, С*2 = 1, С*3 = 0, С*4 = 1, С*5 =
(4)
которое определяет начальное состояние первого и второго регистров сдвига при формировании ГМВ-последовательности с периодом N = 63 и будет использовано при разработке
алгоритма определения начальных состояний.
6
тт 7 у \ 3 6 12 24 48 33
Для поля GF(2 ) корни полинома пс1(х): а , а , а , а , а , а — являются третьими степенями корней полинома Амп(х), а корни полинома Ис2(х): а5, а10, а20, а40, а17, а34 — пятыми степенями его корней [5, 7].
На основе проверочного полинома ИМП(х) = х6 + х + 1 формируем М-последовательность с периодом N = 63 для произвольного начального состояния, например, 101111 (табл. 1, строки ёг).
Таблица 1
г 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ёг 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0
Сумма 4 2 4 4 4 2 4 2 2 0 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2
г 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
ёг 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0
Сумма 2 4 4 4 2 2 4 4 2 6 2 4 2 2 4 4 4 4 4 2 2
/ 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62
ё 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0
Сумма 2 2 4 4 2 4 4 2 4 6 4 2 4 4 2 2 4 2 4 4 4
Для упрощения записи в таблицах введены следующие обозначения:
— г — номер символа последовательности с полиномом ^МП(х);
— ёг — значение символа последовательности с полиномом ^МП(х);
— сумма — арифметическая сумма значений 1, 2, 4, 8, 16 и 32-го символов для каждого символа последовательности, считаемого первым.
Для дальнейшей разработки алгоритма необходимо определить начало М-последова-тельности в соответствии с выражением ^=1х6д аг, г = 0, 1, ..., 62 [5, 6, 8]: ё0, и т.д.
Одним из способов решения этой задачи является использование свойства примитивных полиномов, согласно которому для конечных полей характеристики р=2 значение функции следа й^да1 равно значению коэффициента при ( - 1)-й степени переменной х полинома Амп(х), а значение функции следа й^да-1 — значению коэффициента при первой степени переменной х.
Для полинома ИМП(х) = х6 + х + 1 функции следа 1г6,1а1 = а1 + а2 + а4 + а8 + а16 + а32 = 0, 1х61а-1 = 1. Тогда символу й1 М-последовательности в табл. 1 соответствует позиция, для которой сумма 1, 2, 4, 8, 16 и 32-го символов (каждый символ считается первым) равна нулю. Такая позиция единственная, и ей соответствует девятый символ (в табл. 1 выделен подчеркиванием), т.е. начало М-последовательности й0 = 0, ё1 = 0 и т.д. Результаты вычислений приведены в табл. 1.
Для удобства дальнейших вычислений запишем М-последовательность, начиная с символов ё0, ё1 и т.д. (см. табл. 2, строки 4мп).
Таблица 2
гмп й0 й1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
'мп 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
гс1 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
йС1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1
гс2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 2 7 12 17 22 27 32 37
0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
гмп 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
dl мп 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0
гс1 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1
гс2 42 47 52 57 62 4 9 14 19 24 29 34 39 44 49 54 59 1 6 11 16
1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0
гмп 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62
мп 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
гс1 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1
1с2 21 26 31 36 41 46 51 56 61 3 8 13 18 23 28 33 38 43 48 53 58
^2 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1
Затем формируем псевдослучайную последовательность с проверочным полиномом
Ис1(х) = х6 + х4 + х2 + х + 1, корни которого являются третьими степенями корней полинома
ИМП(х) и имеют период в = 21. Полином Ис1(х) является неприводимым, но не примитивным.
Соответственно период псевдослучайной последовательности N = 21, и она представляет соЛ,- 0369 54 57 60 /бой последовательность функций следа для элементов а , а , а , а ,..., а , а , а , т.е. набор
символов исходной М-последовательности ё0, ё3, ё6, ё9, ..., й?54, ё57, ё60. В табл. 2 (строки фс1) записаны три периода последовательности. Процесс формирования этой последовательности можно интерпретировать как децимацию исходной М-последовательности по индексу децимации /¿х = 3. При этом начала обеих последовательностей связаны между собой.
Так же формируем М-последовательность с проверочным полиномом Ис2(х) = х6 +
52
+х + х + х + 1, корни которого являются пятыми степенями корней полинома ИМП(х) и имеют период в = 63. Полином Ис2(х) является примитивным, поэтому период данной М-последовательности N = 63. Она представляет собой последовательность функций следа для элементов а0, а5, а10, а15,., а48, а53, а58 и приведена в табл. 2 (строки 4с2). Процесс формирования
этой последовательности также можно интерпретировать как децимацию исходной М-после-довательности, но по индексу децимации /¿2 = 5.
Анализ показал, что символы псевдослучайной последовательности с проверочным полиномом Ис1(х) с номерами 45, 48, 51, 54, 57, 60 (выделены подчеркиванием) и символы М-последовательности с проверочным полиномом Ис2(х) с номерами 33, 38, 43, 48, 53, 58 совпадают и равны значениям в выражении (4). Данные значения определяют совпадающие начальные состояния двух регистров сдвига при формировании ГМВ-последова-тельности.
Таким образом, можно сделать важный вывод, что начальные состояния регистров сдвига, построенных в соответствии с коэффициентами неприводимых полиномов, являющихся сомножителями проверочного полинома ГМВ-последовательности, полностью определяются соотношением степеней корней данных полиномов и исходного полинома для М-последовательности.
На практике начальные состояния регистров сдвига определяются децимацией символов исходной М-последовательности по соответствующему индексу децимации, начиная с символа ё0. Для двоичных ГМВ-последовательностей с периодом N = 63 /¿х = 3, /¿2 = 5.
Начальное состояние РС ЛОС с полиномом кс1(х) определяется символами ё0, ё6, ё9, ё12, ё15, а с полиномом Ис2(х) — символами ё0, ё5, ё10, ё15, ё20, ё25 исходной М-после-довательности.
Для двоичных ГМВ-последовательностей с периодом N = 255 устройство формирования состоит из четырех регистров сдвига, определяемых полиномами восьмой степени [6]. При этом индексы децимации равны /ё1 = 7, /ё2 = 11, /ё3 = 13, /ё4 = 37.
Начальное состояние регистров сдвига определяется следующими символами исходной М-последовательности:
— для ^с1(х) — ёз, ё7, ё14, ё21, ё28, ё^;
— для Ис2(х) — ё0, ёц, ё22, ёээ, ^55;
— для Исъ(х) — ё0, ё13, ё26, ёед ^52, ^65;
-для кс4(х)-ё0, ё37, ё74, ёш, ёш, ё185.
Представим алгоритм определения начальных состояний регистров сдвига для формирования ГМВ-последовательностей с периодом N.
1. Задание проверочного полинома исходной М-последовательности с периодом N.
2. Формирование М-последовательности и определение символов ё0, ё1, ё2 и т. д.
3. Определение полиномов-сомножителей Исг(х) для проверочного полинома ГМВ-последовательности ^ГМВ(х) и построение соответствующих регистров сдвига с обратными связями.
4. Определение начальных состояний регистров сдвига из символов исходной М-последовательности для N = 63 — /¿1 = 3, /¿2 = 5, для N = 255 — /¿1 = 7, /¿2 = 11, /¿3 = 13, /¿4 = 37.
5. Формирование последовательностей с проверочными полиномами-сомножителями кС1(х) для полученных начальных состояний.
6. Формирование искомой ГМВ-последовательности путем посимвольного сложения последовательностей на выходах регистров сдвига.
Правильность формирования ГМВ-последовательности можно проверить следующим образом. Выбирается произвольный сегмент полученной ГМВ-последовательности, длина которого равна степени проверочного полинома ^ГМВ(х). С учетом коэффициентов данного полинома формируются следующие символы последовательности, которые при благоприятном исходе должны совпадать с символами, полученными путем сложения на выходах регистров сдвига.
Таким образом, в статье разработан алгоритм определения начальных состояний РС ЛОС и формирования двоичных ГМВ-последовательностей, проверочные полиномы которых представляют собой произведение нескольких неприводимых полиномов. В качестве исходных данных выступает только примитивный полином степени S, задающий М-последо-вательность.
Показано, что начальные состояния регистров сдвига, построенных в соответствии с коэффициентами неприводимых полиномов, являющихся сомножителями проверочного полинома ГМВ-последовательности, полностью определяются соотношением степеней корней этих полиномов и полинома исходной М-последовательности.
На практике начальные состояния регистров сдвига определяются децимацией символов исходной М-последовательности по индексу децимации, зависящему от соотношения степеней корней полиномов.
список литературы
1. Юдачев С. С., Калмыков В. В. Ансамбли последовательностей GMW для систем с кодовым разделением каналов // Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2012. № 1 [Электронный ресурс]: <http://technomag.edu.ru /issue/264798.html>.
2. Варакин Л. Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. М.: Радио и связь, 1985. 384 с.
3. Ипатов В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 152 с.
4. СвердликМ. Б. Оптимальные дискретные сигналы. М.: Сов. радио, 1975. 200 с.
5. Стародубцев В. Г. Последовательности Гордона—Миллса—Велча. Свойства и алгоритмы формирования. Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2014. 95 с.
6. Стародубцев В. Г. Алгоритм формирования последовательностей Гордона—Миллса—Велча // Изв. вузов. Приборостроение. 2012. Т. 55, № 7. С. 5—9.
7. Стародубцев В. Г. Проверочные полиномы последовательностей Гордона—Миллса—Велча // Изв. вузов. Приборостроение. 2013. Т. 56, № 12. С. 7—14.
8. Тараненко П. Г. Псевдослучайные и кодовые последовательности: методы синтеза и анализа. СПб: ВИКУ им. А. Ф. Можайского, 1999. 112 с.
Сведения об авторе
Виктор Геннадьевич Стародубцев — канд. техн. наук, доцент; Университет ИТМО, кафедра беспроводных
телекоммуникаций; ООО „Мультисервисные сети и Телекоммуникации"; начальник отдела; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
беспроводных телекоммуникаций 21.11.14 г.
Ссылка для цитирования: Стародубцев В. Г. Формирование последовательностей Гордона—Миллса—Велча на основе регистров сдвига // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58, № 6. С. 451—457.
GENERATION OF GORDON—MILLS—WELCH SEQUENCES ON THE BASE OF SHIFT REGISTERS
V. G. Starodubtsev
ITMO University, 197101, Saint Petersburg, Russia E-mail: [email protected]
An algorithm for determining the initial states of the shift registers with linear feedback, incorporated into the device generating Gordon—Mills—Welch sequences, is developed.
Keywords: sequences of composite period, finite fields, indivisible and primitive polynomials, shift registers with linear feedback.
Data on author
Victor G. Starodubtsev — PhD, Associate Professor; ITMO University, Department of
Wireless Telecommunications; Multiservice Networks and Telecommunication, Ltd.; Head of the Department; E-mail: [email protected]
Reference for citation: Starodubtsev V. G. Generation of Gordon-Mills-Welch sequences on the base of shift registers // Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Priborostroenie. 2015. Vol. 58, N 6. P. 451—457 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-6-451-457
