Формирование навыков поиска новых тем исследований в математике и информатике Текст научной статьи по специальности «Математика»

ББК 22.1в6+32.81в6 УДК 001.891+51+004 С 56

П.И. СОВЕРТКОВ

P.I. SOVERTKOV

ФОРМИРОВАНИЕ НАВЫКОВ ПОИСКА НОВЫХ ТЕМ ИССЛЕДОВАНИЙ В МА ТЕМА ТИКЕ И ИНФОРМА ТИКЕ

FORMING THE SKILLS OF LOOKING FOR NEW RESEARCH TOPICS IN MATHEMATICS AND INFORMATION TECHNOLOGY

Разработаны направления формирования навыков поиска новых тем исследования. Подробно представлен метод наследственных свойств для поиска тем исследования в математике и информатике.

In the article some directions of forming the skills of looking for new research topics are developed. The author presents using the method of inherited properties for new topics search in mathematics and information technology.

Ключевые слова: граф, корень дерева, отношение, объект, наследник, метод наследственных свойств.

Key words: a graph, a tree root, relation, an object, a successor, a method of inherited properties.

В статье систематизирована информация о проведенном спектре исследований в Ханты-Мансийском автономном округе - Югре на базе Сургутского госпедуниверситета и Сургутского госуниверситета в 2006-2009 гг. по формированию навыков поиска новых тем исследований, значительная часть результатов которых опубликована в центральной печати; представлены возможные направления дальнейших исследований. Данная статья является продолжением статьи о направлениях исследований в компьютерной графике, представленной в сборнике трудов СурГПУ [11].

Для поиска новых тем исследований:

- разработан новый метод наследственных свойств [4, 14];

- выделены этапы генерирования идей для решения одной задачи [13, 15];

- изучены методические особенности правдоподобных рассуждений, приводящих к отрицательному результату [5];

- конкретизирован метод контрпримеров [1, 3];

- проведен анализ структуры задачи и структуры деятельности для расширения спектра задач в метрических пространствах [6, 8].

Возможные направления исследований по математике и информатике представлены в цикле статей на региональном уровне в [2, 7, 9, 10] и в элективном курсе [12] на федеральном уровне.

Рассмотрим развернутое изложение метода поиска новых тем - метода наследственных свойств.

1. Идея метода наследственных свойств.

Идея наследования свойств достаточно подробно исследуется в живой природе. В биологии, медицине, психологии изучению наследственных свойств уделяется большое внимание. В кибернетике изучается как функционал всей системы формирует функционал подсистем и как функционирование совокупности подсистем влияет на функционирование всей системы. Идея сохранения свойств математических объектов при различных преобразования также является объектом исследований в высшей математике. Эту идею предлагается включить как элемент поисковой деятельности при поиске тем исследования по математике и информатике.

Рассмотрим простую идею, которая предоставляет основу для самостоятельного поиска новых тем исследования на основе метода выделения наследственных свойств и свойств предков.

В школьном курсе информатики и вузовском курсе дискретной математики изучаются графы, являющиеся деревьями. Понятие дерева широко используется во многих разделах математики и информатики, в других науках. Оно используются при вычислениях как удобный способ хранения данных, способ сортировки или поиска данных. Покажем, как элемент общей культуры способствует организации деятельности по саморазвитию творческого мышления.

На рисунке 1 представлено дерево с корнем v0. Вершина vm+l называется наследником вершины vm, а вершина vm в свою очередь называется предком для вершины vm+l.

Вершины vm , vm+l связаны некоторым отношением (законом, правилом образования) f .

Можно решать три предметные задачи с использованием деревьев.

Задача о поиске наследника (ПН). Даны вершина vm и отношение f. Требуется определить вершину vm+l. В этом случае следование изобразим ориентированной стрелкой.

Поиск новых объектов для одного из известных объектов с указанием отношения приводит к последовательности, для которой можно организовать поиск свойств, сохраняющихся при наследовании. Перебирая известные объекты, субъект сам формулирует для себя задачи и начинает решать их. Постепенно объектов собирается много и наступает момент их систематизации и расположения в классы, т.е. классификации.

Задача о поиске предка (ПП). Даны вершина vm+l и отношение f. Требуется определить вершину vm, для которой вершина vm+l является наследником. В этом случае требуется обратить данную операцию f, т.е. найти обратную операцию . Иногда операция необратима, поэтому задача ПП либо неразрешима, либо имеет несколько решений.

Vo VI

V2

Vm

f • Vm+1

Рис. 1

Поиск обратной операции требует обратного хода мыслей. Комбинация прямого хода и обратного хода при решении проблемы развивает мышление, подвергает сомнению характеристики заданной операции. Критическое мышление приводит к пересмотру данной операции, ее обобщению.

Задача о поиске операции (ПО). Даны две вершины или несколько вершин с указанием их порядка следования. Требуется связать вершины отношением f.

Если задано небольшое число вершин, то восстановление отношения в большинстве случаев является неразрешимой задачей. Например, для заданных чисел v0,Vj,...,vn можно указать бесконечно много многочленов, для которых f (0) = v0, f (1) = Vj,..., f (n) = vn. На практике вначале осуществляется поиск дополнительных условий на объекты из предметной области, чтобы сузить диапазон отношений f .

Исследование отношения и наследственных свойств - это не дань моде, когда на схемах иллюстрируются генеалогическое дерево родственных отношений или схема административного подчинения.

Далее будет показано, что видение общей схемы в виде дерева и попытка расположить конкретные или абстрактные объекты в эту схему порождают много задач для исследования.

Рассмотрим в качестве корня дерева последовательности положительных чисел. Для пар положительных чисел а, b известны следующие операции:

a + b

- среднее арифметическое усреднение —— ;

- среднее геометрическое усреднение 4ab ;

2ab

- среднее гармоническое усреднение

a + b

а2 + Ь2

- среднее квадратичное усреднение Л —^— .

а) Пусть корнем дерева v0 является геометрическая прогрессия:

2 3 45 67 89

V,, : а, aq, aq , aq , aq , aq , aq , aq , aq , aq , а операцией f - среднее арифметическое усреднение, которая применяется последовательно к каждой паре чисел данной геометрической прогрессии.

К полученной последовательности v1

^(1 + q) aq2 (1 + q) aq4 (1 + q) aq6 (1 + q) aqs (1 + q)

^ : 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 '"' снова применим операцию f . Продолжая далее, получим дерево, вершинами которого являются последовательности. Наследуется ли характеристическое свойство корня дерева - быть геометрической прогрессией? Если да, то по какому закону определяется первый член прогрессии и разность прогрессии? : a(1 + q)(1 + q2) aq4(1 + q)(1 + q2) aq8(1 + q)(1 + q2) ;

V2 : 4 ' 4 ' 4 '''''

a(1 + q) (1 + q2) (1 + q4) дд8(1 + q) (1 + д2) (1 + q4)

Уз: 8 ' 4 .

На каждом шаге получаем геометрические прогрессии.

Обозначим через am - первый член прогрессии, полученной после применения т раз операции усреднения, а через qт - разность этой прогрессии. Очевидна следующая теорема.

Теорема 1. В результате применения ш раз операции среднего арифметического усреднения наследником геометрической прогрессии с параметрами а, q является геометрическая прогрессия с параметрами

_ а(1+д)(1 + ч2)(1 + ?4)-(1+д"1-1) _ 2ш °,ш _ 2Ш , q^m _ д

б) Пусть корнем дерева v0 является геометрическая прогрессия, а операцией f - среднее геометрическое усреднение, которая применяется последовательно к каждой паре чисел данной геометрической последовательности.

Применяя последовательно эту операцию, получим дерево, вершинами которого являются последовательности. Исследуем полученные последовательности:

2 3 45 67 89.

v0 : а, ад, ад , ад , ад , ад , ад , ад , ад , ад ,..., v1 : ^л/д, ад2^[д, адд, ад6у[д, ад*^[д,...; v2 : ад*{д, , ад9 ^[д,...;

v3 : ад3у[д, ад11 у[д,....

Получаем снова геометрические прогрессии. Сохраняя прежние обозначения, получим новое утверждение.

Теорема 2. В результате применения ш раз операции среднего геометрического усреднения наследником геометрической прогрессии с параметрами а,д является геометрическая прогрессия с параметрами:

2Ш-1 1

а,ш _ ад <д, д,ш _ д

2. Характеристика метода выделения наследственных свойств.

Чтобы систематизировать полученные результаты и наметить направления дальнейших исследований, составим таблицу.

Таблица 1

Объекты, корень дерева Операция f Результат

Геометрическая последовательность Среднее арифметическое усреднение Свойство - быть геометрической последовательностью -сохраняется. Теорема 1

Среднее геометрическое усреднение Свойство - быть геометрической последовательностью -сохраняется. Теорема 2

Среднее гармоническое усреднение Тема для исследования

Среднее квадратичное усреднение Тема для исследования

Арифметическая последовательность Применить различные операции усреднения Тема для исследования

Основные этапы деятельности по применению метода выделения наследственных свойств:

1. Поиск объекта и операции для исследования.

2. Планирование исполнительных действий по подгонке примера в структуру дерева.

3. Образование нового объекта (наследника), полученного из исходного объекта применением выбранной операции.

4. Изучение свойств наследника.

5. Систематизация найденных примеров, чтобы рационально продолжить дальнейший поиск примеров для структуры дерева.

Поисковые действия при использовании этого метода:

- выявление общего отношения среди различных известных объектов и отношений;

- действие конкретизации и обогащения частными проявлениями общего отношения;

- моделирование новых отношений, следуя алгоритмическому предписанию.

Достоинства метода:

- использование общей схемы ориентирует на поиск частных конкретных знаний;

- изучение каждого нового конкретного дерева требует разработки математической модели;

- расширение базы знаний о конкретных объектах;

- создание предпосылки для структурирования полученных знаний;

- удовлетворенность от найденного самостоятельно примера, собственная формулировка результата и его доказательства или опровержение.

В ходе применения метода формируется опыт творческой деятельности: приобретается опыт формирования гипотезы (т.к. результат неизвестен), самостоятельность постановки задачи, критичность и гибкость мышления.

Совокупность операций можно расширить, добавляя следующие операции:

- минимальное значение из двух чисел;

- максимальное значение из двух чисел;

- наибольший общий делитель двух целых чисел;

- наименьшее общее кратное двух целых чисел.

Определение среднего арифметического, геометрического, гармонического и квадратичного для числовых последовательностей можно расширить на конечное число чисел и обобщить теоремы 1-2 для этих случаев.

Множество объектов можно расширить, добавляя:

- арифметические прогрессии;

- арифметические прогрессии с меняющейся разностью;

- возвратные последовательности.

Для новых объектов или новых отношений в полученной последовательности интересного содержания может не оказаться. Например, наибольший общий делитель двух соседних чисел в последовательности чисел Фибоначчи равен 1, т.к. они являются взаимно простыми числами. Применение выше рассмотренных различных усреднений для членов арифметических операций приводит снова к арифметической прогрессии только в одном из четырех случаев. Но отрицательный результат также имеет значение. Причем, доказательство того факта, что полученная последовательность не является арифметической прогрессией, формирует важное умение построения контрпримера. Доказательство в общем виде в большинстве случаев затруднительно, поэтому приходится подбирать параметры данной последовательности, чтобы нарушалось свойство, выдвигаемое в гипотезе.

Для каждого из рассмотренных случаев можно написать программу для компьютера, которая позволяет построить последовательность на определенном шаге. Например, для прогрессии программа должна предусматривать ввод следующих параметров:

- первый член прогрессии;

- разность или знаменатель;

- номер шага образования последовательности;

- количество членов последовательности на этом шаге.

3. Технологическая цепочка поиска новых тем исследования.

Рассмотрим методику формирования деятельности учащихся по поиску новых тем исследования.

Структура проведения научного поиска должна содержать следующие этапы, решающие соответствующие задачи управления поисково-исследовательской деятельностью учащихся и студентов:

1) подготовка к изучению нового материала и новых методов для создания интереса и мотивации;

2) приобретение новых знаний и овладение новыми методами;

3) закрепление знаний и способов деятельности;

4) применение полученных знаний и новых способов в новые ситуации;

5) систематизация полученных результатов, включение новых результатов в систему имеющихся знаний;

6) итоговый контроль, коррекция и оценка достижения целей поисково-исследовательской деятельности, обозначение перспективы дальнейшей работы.

Рассмотрим технологическую цепочку по поиску новых тем исследования для реализации этих задач. Она использует общие и специальные методы обучения и опирается на теорию поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина.

Первый этап (подготовка к восприятию нового метода) реализует следующие методические приемы:

1) анализ актуальности и новизны исследовательских работ учащихся, участвующих в предыдущие годы в конференции «Шаг в будущее»;

2) обзор потребностей практики (в частности, информатики), приводящих к необходимости изучения последовательностей чисел, рекуррентных соотношений;

3) примеры из истории математики, когда применение математических методов позволяет эффективно достигать цели (известный метод К. Гаусса для вычисления суммы чисел 1, 2, 3, ..., 100).

Второй этап (овладение новым методом) реализует следующие методические приемы:

1) выделение математического объекта и изучение свойств его наследника;

2) выделение математического отношения для построения цепочки наследников;

3) способ построения наследника заданного математического объекта по данному математическому отношению;

4) иллюстрация метода с помощью схемы расположения членов последовательности таким образом, чтобы наследники математического объекта располагались в виде дерева.

Третий этап (организация использования других объектов и других отношений при ведущей роли руководителя и включении учащегося в поиск тем) реализует следующие методические приемы:

1) систематизация рассмотренных примеров для создания проблемной ситуации о необходимости проведения исследования для недостающих случаев;

2) привлечение учащихся для рассмотрения других объектов в рассматриваемом разделе математики;

4) привлечение учащихся для использования других отношений среди очерченных отношений вначале занятия (табл. 1);

5) выдвижение гипотезы о наследовании свойства математического объекта для выбранного математического отношения;

6) выделение всех этапов для доказательства или опровержения гипотезы;

7) исследование выдвинутой гипотезы о наследовании свойств с активным привлечением учащихся для доказательства.

Четвертый этап (организация учащихся для управления поиском новых объектов и новых отношений) реализует следующие методические приемы:

1) систематизация рассмотренных примеров для создания проблемной ситуации о необходимости проведения исследования в других разделах математики (табл. 2);

2) ориентация учащихся для поиска новых объектов в других разделах математики;

3) ориентация учащихся для поиска новых отношений в других разделах математики;

4) выдвижение учащимися гипотезы о наследовании свойства математического объекта для выбранного математического отношения;

5) выделение учащимися всех этапов для доказательства или опровержения гипотезы;

6) исследование учащимися выдвинутой гипотезы о наследовании свойств для доказательства.

Таблица 2

Объекты Отношения

Последовательность Фибоначчи Среднее арифметическое усреднение

Треугольник Линия медиан. Построение треугольника по основаниям медиан

Линия биссектрис. Построение треугольника по основаниям биссектрис

Линия высот. Построение треугольника по основаниям высот

Линия вписанных треугольников. Построение треугольника по точкам с данным отношением на сторонах

Пятый этап (расширение сфер деятельности для самостоятельного исследования) реализует следующие методические приемы:

1) определение количества параметров для компьютерного моделирования и наложение ограничений на параметры;

2) разработка алгоритмов для компьютерного моделирования числовых и геометрических последовательностей;

3) разработка программ и их отладка для построения на компьютере числовых и геометрических последовательностей;

4) компьютерный эксперимент с последовательностями, корректировка постановки задач, изучение особенностей.

Шестой этап (рефлексия деятельности по поиску тем исследования) реализует следующие методические приемы:

1) выделение новизны и актуальности в самостоятельно найденной

теме;

2) собственная оценка проведенного обоснования выдвинутой гипотезы о наследовании свойства математического объекта для рассмотренного отношения;

3) выдвижение предложений по дальнейшему поиску новых тем исследования (табл. 3).

Таблица 3

Объекты Отношения

Квадрат Линия вписанных квадратов. Построение квадратов по точкам с данным отношением на сторонах

Арифметические последовательности с меняющейся разностью Различные операции усреднения

Для формирования умений на каждом этапе необходимо предусмотреть систему соответствующих упражнений. Например, для изученных числовых последовательностей можно применить следующие новые отношения: наибольшее из двух чисел, наименьшее из двух чисел, наибольший делитель двух чисел (для целых чисел последовательности), наименьшее общее кратное двух чисел (для целых чисел последовательности).

Для геометрических задач можно рассмотреть наследование геометрических характеристик: площади, периметра, радиуса вписанной окружности, радиуса описанной окружности для цепочки треугольников, образованных по линии медиан, биссектрис, высот.

Новый цикл задач для исследования образуют обратные задачи, т.е. задачи в которых известно отношение, известен наследник по этому отношению и требуется восстановить первоначальный математический объект (предок), для которого задан наследник. Например, известны основания медиан (высот, биссектрис и т.д.) треугольника. Требуется восстановить первоначальный треугольник.

4. Последовательность предков треугольников по линии медиан.

Пусть задан треугольник АВС (рис. 2). Найдем треугольник A^Q такой, чтобы точки А, В, С были для его сторон В^Си QAb АВХ основаниями соответствующих медиан. Сохраним для точек прежние обозначения. Для нахождения координат вершин нового треугольника укажем два способа:

Рис. 2

Вп

С2

Первый способ.

CAX = AB, Щ= BC, ~BCl = CA . Координаты вершин предка, т.е. треугольника А i В i С i, можно определить из этих векторных равенств.

Второй способ.

В параллелограмме ACAfi середины диагоналей AAi и CB совпадают. Аналогично для параллелограммов АВСВ 1, АСВС1. Подставляя координаты точек, получаем равенства

ХЛ i _ XB + XC - ХЛ , XB i _ ХЛ + XC - XB , XC i _ XB + ХЛ - XC >

Ул i = yB + Уе - Ул , yB i = УЛ + Уе - yB , Уе i = yB + УЛ - Уе .

Точки Л,Bi, Ci образуют треугольник AiBiCi, который назовем первым предком для данного треугольника ABC по линии медиан.

К этому треугольнику применим процесс построения нового предка, т.е. треугольника Л2B2C2, для которого треугольник AiBiCi является наследником. Назовем треугольник Л2B2C2 предком во втором колене для данного треугольника ABC или более просто вторым предком. Для его вершин аналогично восстановим координаты.

Продолжая аналогично этот процесс на n -ом шаге, получим:

XA n = XB(n- -i) + XC ( n -i) - XA(n-i) , У Л n УB(n- -i) + yC (n- ) УЛ( n-i) ;

XB n = XA( n - -i) + XC (n- ) - XB (n - i) , yBn Z = yA( n- i) + Уо (n - ) ~yB (n - i) i

XC n = XB (n- -i) + XA( A(n -i) - XC(n- i) , Ус = yB( n - i) + yA( n - ) - yC (n-i)

После указания алгоритмов нахождения координат вершин можно на компьютере осуществить построение последовательности предков треугольников по линии медиан.

Отметим, что при построении наследников размеры треугольников в последовательности обязательно убывают, т.к. каждый следующий треугольник

_ i

получается из предыдущего треугольника гомотетией HM 2, где M - точка пересечения медиан данного треугольника ABC .

При построении предков размеры треугольников в последовательности обязательно возрастают, т.к. каждый следующий треугольник получается из предыдущего треугольника гомотетией HM2, где M - точка пересечения медиан данного треугольника ABC .

Замечание. Учащиеся и студенты быстро осваивали метод наследственных свойств на кружковых занятиях. Они самостоятельно предлагали объекты для применения операции и затем определяли наследники. Второе занятие на эту тему всегда проходило под девизом «Моя первая теорема», т.к. учащиеся приходили на занятие с новыми предложениями о найденных операциях и объектах. Обучение постепенно становилось развивающим, т.к. участники проекта самостоятельно ставили проблему и полностью ее решали.

Литература

1. Совертков, П.И. Задачи дивергентного типа для логических операций на схемах [Текст] / П.И. Совертков // Информатика и образование. - 2008. - № 1. - С. 63-67.

2. Совертков, П.И. Компьютерное тестирование логического мышления / П.И. Совертков [Текст] // Северный регион: наука, образование, культура. - Сургут: Изд-во СурГУ, 2007. - № 1 (15). - С. 49-61.

3. Совертков, П.И. Контрпримеры для развития учебной и поисковой деятельности по математике [Текст] / П.И. Совертков // Новые технологии в образовании. - Воронеж, ВГПУ: Научная книга, 2008. - № 4. - С. 17-22.

4. Совертков, П.И. Поиск новых тем исследования [Текст] / П.И. Совертков // Материалы всероссийской научно-практической конференции «Проблемы информатизации образования: региональный аспект». - Чебоксары: Изд-во Л.А. Наумова, 2006. -С. 97-102.

5. Совертков, П.И. Правдоподобные рассуждения в информатике, приводящие к отрицательному результату [Текст] / П.И. Совертков // Информатика и образование. -2009. - № 8. - С. 3-8.

6. Совертков, П.И. Пример нежесткого алгоритмического предписания для решения творческих задач [Текст] / П.И. Совертков // Образовательные технологии. Научно-технический журнал. - Воронеж, ВГПУ: Научная книга, 2006. - № 1. - С. 100-107.

7. Совертков, П.И. Расширение исследовательского поля по математике для развития индивидуальности / П.И. Совертков // Северный регион: наука, образование, культура. - Сургут: Изд-во СурГУ, 2007. - № 2 (16). - С. 56-66.

8. Совертков, П.И. Соотнесение структуры задачи и структуры деятельности для расширения спектра задач в метрических пространствах [Текст] // Новые технологии в образовании. - Воронеж, ВГПУ: Научная книга, 2008. - № 2. - С. 16-23.

9. Совертков, П.И. Сургутские олимпиады по математике / П.И. Совертков. - Сургут: Изд-во Центра развития образования, 2008. --147 с.

10. Совертков, П.И. Формирование умений по определению меры согласованности оценок экспертов на конкурсе [Текст] / П.И. Совертков // Северный регион: наука, образование, культура. - Сургут: Изд-во СурГУ, 2008. - № 1 (17). - С. 55-64.

11. Совертков, П.И. Цикл исследований по моделированию в компьютерной графике / П.И. Совертков // Проблемы совершенствования вузовской науки и образования: Труды СурГПУ. - Сургут: РИО СурГПУ, 2006. - Вып. 3. - С. 139-145.

12. Совертков, П.И. Моделирование в интегративном проекте по математике и информатике. Элективный курс: методическое пособие. Ч. 1, 2, 3 [Текст] / П.И. Совертков, А.Г. Назин. - М.: Бином. Лаборатория базовых знаний, 2009 (в печати).

13. Совертков, П.И Обучение генерированию идей при решении геометрических задач исследовательского характера [Текст] / П.И. Совертков, В.И. Седакова // Математика в школе. - 2008. - № 4. - С. 22-28.

14. Совертков, П.И. Метод выделения наследственных свойств для поиска новых тем учебного исследования / П.И. Совертков, В.И. Семенова // Образовательные технологии. Научно-технический журнал. - Воронеж: ВГПУ; Научная книга, 2005. - № 4. -С. 83-88.

15. Совертков, П.И. Генерирование идей для различных решений одной задачи [Текст] / П.И. Совертков, З.Н. Соверткова // Информатика и образование, 2008. - № 5. -С. 51-58.