CC BY
7
УДК 669-41:669.14.018.296:621.763
С. Б. Беликов, В. Е. Ольшанецкий, В. В. Киричевский, С. Н. Гребенюк
ФОРМИРОВАНИЕ И СВОЙСТВА ДВУХФАЗНЫХ КОМПОЗИТОВ "ФИБРОВОГО" ТИПА
В работе рассматриваются некоторые вопросы получения и расчета многослойных конструкций (металлокомпозитов "фибрового" типа) на примере пакетной системы ЫЬ-
П.
Пластинчатые двухфазные металлокомпозиты с правильным чередованием разнофазных слоев в пакете ( вариант " фибровой" структуры) обладают ярко выраженной анизотропией свойств, что можно с выгодой использовать в качестве конструктивных элементов ответственных изделий (например, жаропрочных деталей с формой тел вращения - конических насадок или непосредственно сопел реактивных двигателей).
В работе [1 ] описана технология получения многослойной пакетной композиции ЫЬ-И, обеспечивающая плотное без зазоров сочленение обоих типов листовых материалов методом контактного сваривания с перекрытием зон оплавления. Эта технология потребовала предварительного создания математических моделей (с использованием робастно-го проектирования), учитывающих полный набор необходимых факторов влияния на качественные показатели процесса сварки. В результате анализа такого рода моделей, микроструктуры композитных образцов, распределений в фазах элементов, а также данных неразрушающей дефектоскопии были
установлены необходимые режимы формирования качественных пакетных (3-5 слоев) металлокомпозитов системы НбЦУ-ВТ 1-0 (рис. 1).
В данной работе предлагается схема расчета напряженного состояния пакетной модельной системы ниобий-титан методом конечных элементов. Необходимость получения такого рода информации представляется полезной и даже необходимой для специалистов, работающих в области создания ракетных двигателей для аэрокосмической области.
Рассмотрим многослойную конструкцию, состоящую из поочередно меняющихся слоев титана и ниобия (рис. 2).
Для расчета конструкции воспользуемся методом конечных элементов. Для моделирования геометрии и упругих свойств многослойной конструкции дискретизацию будем проводить таким образом, чтобы границы конечных элементов совпадали с границами раздела слоев конструкции. Это позволит в зависимости от принадлежности конечного элемента тому или иному слою задавать соответствующие упругие характеристики [2]. Слои между собой будем считать жестко сцепленными.
а б
Рис. 1. Микроструктура пятислойного композиционного материала системы НбЦУ-ВТ 1-0: а - фрагмент структуры после формирования (образец толщиной 2,3 мм); х 110; б - структура металлокомпозита после деформирования (плоский образец толщиной 0,4 мм; е = 83 %); х 70
© С. Б. Беликов, В. Е. Ольшанецкий, В. В. Киричевский, С. Н. Гребенюк 2006 г. ISSN 1727-0219 Вестникдвигателестроения № 2/2006
Хз
ч
ч И
и
* N
ч И
и
Рис. 2. Схема многослойной конструкции
Рассмотрим процесс построения системы разрешающих уравнений на основе вариационного принципа Лагранжа [3]. Уравнения будем представлять в матричной форме. Для построения матрицы жесткости отдельного конечного элемента (КЭ) задается аппроксимирующая функция для поля перемещений, которая определяет перемещения {д} для любой точки внутри КЭ через перемещения узловых точек {} этого же КЭ:
где
{}Э = [* ]Э {}Э,
{д } = {и (х, у, 2), у(х, у, 7), м>(х, у, 7 )}Т;
МЭ = {Ь
и2,и^,и4,. • - М^
(1)
(2) (3)
т - число узлов КЭ; [V] - матрица функции формы (аппроксимирующая функция), зависящая от формы КЭ и числа узловых точек КЭ.
Деформации {} внутри КЭ определяются через перемещения внутренних точек КЭ следующим образом:
{}Э =№}Э,
(4)
где {} = {е11,е12,е13,е22,е23,е33}т - компоненты
вектора-столбца деформаций; [/)] - матрица дифференцирования.
Подставляя выражение (1) в (4), имеем
Здесь
{е}Э =М*]{и}Э =[Ф]Э {и}Э .
[Ф]Э = №].
(5)
(6)
Матрица [ф] представляет собой результат воздействия дифференциального оператора на матрицу функции формы [V ].
Если в сплошной среде отсутствуют остаточ-
ные и температурные напряжения, то упругие напряжения {а} внутри КЭ выражаются через деформации {е} в виде
{а}Э = С ]{е}Э ,
(7)
компоненты
Х2
где {а}= {а1Ь аl2, а13, а22, а23, а33}Т
вектора-столбца напряжений; [с ] - матрица упругих постоянных материала.
Полагаем, что объемные узловые усилия отсутствуют в узлах выделенного из сплошной среды
КЭ, а действуют узловые поверхностные силы {р}.
Внешние поверхностные силы действуют в направлениях, соответствующих перемещениям {д}, и представляются в узле вектором-столбцом
{р}Э = {х ,у, г }Э,
где X, У, 2 - компоненты распределенных сил в узле КЭ.
Статическую эквивалентность между действующими внешними поверхностными силами и возникшими внутренними напряжениями можно определить на основе принципа виртуальных (произвольных) перемещений, путем задания виртуального перемещения и приравнивания внешней и внутренней работ, совершаемых поверхностными силами и напряжениями в направлении этих перемещений.
Принцип виртуальных перемещений обеспечивает выполнение условий равновесия КЭ. Полная
потенциальная энергия КЭ ПЭ определяется как разность работ внутренних напряжений Ш Э и вне-
шних сил А
Э .
п э = Ш э - А э
либо
где
пэ = 2 шммг^-ц{р}т м^,
V 5
Ш э = 2 ШНМ^ ,
2 V
аэ=2 ц{р}г м^.
(8)
(9)
(10)
Первый интеграл вычисляется по объему V КЭ, второй - по поверхности Б КЭ, на которой заданы внешние поверхностные силы.
Равновесие КЭ будет определено, если виртуальные работы равны при произвольных вариациях перемещений, удовлетворяющих граничным условиям. Используем принцип виртуальных перемещений и принцип Лагранжа. Иными словами,
можно сказать, что из всех возможных (виртуальных) вариаций перемещений, а следовательно, деформаций и напряжений, удовлетворяющих граничным условиям, в действительности имеет место то состояние КЭ, для которого вариация полной потенциальной энергии принимает минимальное значение, т.е.
5п = 5Ш -8А = л|б{е}{а}г^ - ц{р}Г= 0. (11)
V 5
Подставляя в (11) выражения (1), (5), (7), имеем
ЯДфГэ 6{м} [с ][ф]э {}э аV - ||{р}г [V ]б{и}Ж = 0 (12)
V 5
либо
[К ]Э =Ш№ [с ][ф]э *
(16)
б{}
Ш№ [с ][ф]э {}э <оу-ц{р}т [V ]ав
.V 5
= 0. (13)
Так как вариация перемещений не равна нулю, имеем
Ш№ [с ][ф]э {и}Э dV - Я{р} [V = 0. (14)
V 5
Выражение (14) перепишем в виде
[К]Э МЭ ={Р}Э. (15)
является матрицей жесткости КЭ;
{Р}Э = Ц{Р}Г [V- вектор узловых нагрузок КЭ;
{м}э - вектор узловых перемещений КЭ.
Проведем расчет конструкции при различных условиях нагружения конструкции (рис. 3) с помощью программного комплекса "М1РЕЛА+" [4], в котором реализована данная методика.
Размеры конструкции: длина - а = 1 м, ширина
- Ь = 0,5 м, толщина - t = 0,1 м, толщина слоя титана - = 0,1175 м, толщина слоя ниобия - ^ = 0,01 м. Упругие постоянные материалов: модуль упругости титана - Е1 = 116 ГПа, коэффициент Пуассона титана - V-! = 0,32, модуль упругости ниобия - Е2 = 103 ГПа, коэффициент Пуассона ниобия
- V2 = 0,3. Нагрузка: для q = 20 ГПа.
На рисунках 4-6, 9 показано напряженно-деформированное состояние конструкции для схемы I, а на рисунках 7, 8, 10 - для схемы II.
Таким образом, определено напряженно-деформированное состояние многослойной конструкции на основе титана и ниобия при различных схемах нагружения.
Здесь
5
II
а/2
Схема I
В
Ь2
Ы1/2
Схема II
1
Рис. 3. Расчетная схема
/ББЛ1727-0219 Вестникдвигателестроения № 2/2006
- 171 -
ь
д
а
а
Рис. 4. Распределение прогибов и3 (Схема I)
у
гЛх
-1.787Е+01 -1.983Е+01 -г.179Е+01 -г.374Е+01 -г.570Е+01 -г.766Е+01 -г.962Е+01 -3.158Е+01
Рис. 5. Распределение нормальных напряжений 033 (Схема I)
Рис. 6. Распределение нормальных напряжений ^22 (Схема I)
Рис. 7. Распределение нормальных напряжений о22 (Схема II)
а
Рис. 8. Распределение нормальных напряжений о33 (Схема II)
-022, ГПа 25
20
15
10
5
+7.031Е+00 +3.063Е+00 -9.056Е-01 -4.874Е+00 -8.843Е+00 -1.281Е+01 -1.678Е+01 -Z.07SE+01
+4.S13E+01 +3.606Е+01 +2.699Е+01 +1.79ZE+01 +8.849Е+00 -Z.201E-01 -9.290Е+00 -1.836Е+01
0 0,25 0,5 x3, м
Рис. 9. Распределение напряжений в сечении А-А
ISSN 1727-0219 Вестникдвигателестроения № 2/2006
- 173 -
-озз, ГПа 25
20
15
10
5
0 0,5 1 Х2, м
Рис. 10. Распределение напряжений в сечении В-В
Список литературы
1. Ольшанецкий В.Е., Лавренко А.С., Винничен-ко В.С., Коробко А.В. Высокотемпературные металлокомпозиты для тонкостенных оболочек/ / Новi матерiали i технологи в металурги та ма-шинобудуваннi, 2005.- №1. - С. 81-86.
2. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979. - 392 с.
3. Киричевский В.В. Метод конечных элементов
в механике эластомеров. - К.: Наук. думка, 2002. - 655 с.
4. Метод конечных элементов в вычислительном комплексе "М1РЕЛА+" / Киричевский В.В., Дохняк Б.М., Козуб Ю.Г., Гоменюк С.И., Киричевский В.В., Гребенюк С.Н. - К.: Наук. думка, 2005. - 403 с.
Поступила в редакцию 07.06.2006 г.
В робот1 розглядаються деяк питання отримання та розрахунку багатошарових кон-струки,1й (металокомпозит1в "фбрового"типу) на приклад1 пакетноТсистеми Nb-Ti.
Some questions of receipt and calculation of multi-layered constructions (metal composites of "fibre" type) are examined on the example of the package of Nb-Ti.
