Формирование и исследование релейных и линеаризованных алгоритмов управления механическими колебаниями объекта Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 62.522

А. Т. КОГУТ А. А. ЛАВРУХИН Е. И. РАБ

Омский государственный университет путей сообщения

ФОРМИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЛЕЙНЫХ И ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ ОБЪЕКТА

В работе рассмотрен синтез алгоритма управления жесткостью пневмоподвески виброисточника с применением метода полиномиальной аппроксимации, в основе которого лежит разложение нелинейных гладких функций в ряд Тейлора. Показана возможность применения обратной задачи динамики и получен релейный алгоритм формирования управляющего воздействия. Исследована возможность получения непрерывной имитационной модели дискретной вычислительной схемы средствами пакета БшиНпк. Доказано, что наличие вторых производных в формуле Тейлора не только расширяет область устойчивости системы, но и улучшает конструктивные свойства объекта управления.

В работе на примере виброисточника механических воздействий рассматриваются вопросы формирования и исследования приближенных линейных алгоритмов управления в релейных ре1уляторах параметрических колебаний, полученных в результате решения обратных задач динамики, когда управляемый объект (перемещения инерционной массы виброисточника) по каналу «вход - выход» может быть достаточно точно описан колебательным звеном, т.е. является гармоническим осциллятором вида

mx(i)+bx(t)+cx{i)=F(i). (1)

где F(f) - задающее воздействие, форма которого определяе тся требуемым законом движения объекта; х(/| - выходная переменная, являющаяся отклонением центра масс инерционной плиты от положения равновесия; x(t) и *{/) — ее первая и вторая производные; т - масса инерционной плиты; b — обобщенный коэффициентвязкоготрения; с - обобщенная жесткость всех упругих пружин.

Объектом рассматриваемого виброисточника геофизического комплекса |1 J является инерционное тело, которое через систему подвесок соединено с излучающей плитой. Воздействия на объект в каждый дискретный момент времени вычисляются по алгоритмам, хранящимся в программном обеспечении микропроцессорного комплекса, подаются в порты, и через аналого-цифровые преобразователи и усилители поступают в исполнительные элементы. Значения входного задающего воздейст вия подаются на катушку индуктивности электромеханического преобразователя гидравлического усилителя, который обеспечивает работу гидроцилиндра и передает усилие F[l) на инерционную массу и излучающую плиту.

Усиленный и преобразованный электрический сигнал управляющего воздействия u(t) подается в ис-

полнительный механизм регулирования давления газа внутри оболочки пневмопружины, обеспечивая тем самым изменение параметра с в уравнении (1), который можно представить в виде суммы обобщенной жесткости всех упругих пружин С0, соответствующих положению равновесия, и агклонения жесткости пневмоподвески Сп.

Рассмотрим частный случай монохромных колебаний, когда выходная переменная х(1) должна изменяться по синусоидальному закону, а задающее воздействие имеет вид

РИ) = РтЫп{М). (2)

В работе 11) показано, что в геофизическом комплексе масса излучающей плиты и исполнительные элементы (ИЭ) выбраны таким образом, что можно пренебречь перемещениями излучающей плиты хо(0 по сравнению с колебаниями центра масс инерционного тела х(0 и динамическими характеристиками ИЭ, тогда с учетом параметров С|?1 С„ и условия (2) запишется основное уравнение исследуемого объекта управления

т(1) + &*(0+С0х(/) + С„ [н(/)]дг(0 = $т{тн). (3)

Исходя из физических условий реализации элементов гидроусилителя и пневмоподвески, накладываются следующие ограничения;

|Р(!)МР„;|сл(г)|<с„.

на основе которых выбирается амплитуда задающего воздействия Рт и диапазон исследуемых значений жесткости пневмоподвески.

Для формулировки обратной задачи динамики [2] необходимо из фазовых координат объекта (3) выбрать ту, которая и будет обеспечивать требуемое

изменение выходной переменной хт(0 по синусоидальному закону.

Учитывая, чтов рассматриваемом геофизическом комплексе (1 ] на инерционной массе закреплен тен-зодатчик, являющийся измерительным преобразователем ускорения х(1), в качестве координаты и необ-ходимо выбрать вторую производную. Также известно [31, что для колебательного звена наибольшая амплитуда выходных колебаний достигается, если сигналы /7(г) и х(0 имеют сдвигфаз — л/2. В результате предварительных исследований было подтверждено, что требуемую траекторию движения управляемого объек та необходимо задавать в виде

дгг (/) = -х^аг яш (о)1 - л/2),

(4)

где хт - ампли туда механических колебаний инерционной массы относительно положения равновесия.

При решении обратной задачи динамики [2] алгоритм управления а(0. обеспечивающий требуемое движение (4), можно определить из уравнения модели (3). если известен или задан вид функциональной зависимости

С„(0 = Сп[и(01.

(5)

которая является статической характеристикой исполнительного механизма регулирования параметра жесткости пневмоподвески (динамическими свойствами ИЭ, как это показано в работе 111, можно пренебречь).

Далее исследовалисьдва простейших линейный и релейный алгоритмы управления. В линейном случае только при имитационном моделировании удалось получить требуемые колебания системы, когда Сп (0 на несколько порядков превышал ограничение Сп|, т.е. линейный закон регулирования оказался д\я данного объекта физически нереализуемым.

Простейший релейный алгоритм изменения параметра Сп (0 представлен в виде [31

сп(0 = Ст*!дл[и(/)1,

(6)

где величина (^определяетсяограничением на изменение отклонения жесткости пневмоподвески относительно положения равновесия.

По аналогии с линейным вариантом релейный алгоритм (6) запишется в следующей форме:

(”„(0 = О'К"

Р" 51П(<У/) + 1НХЩ0Г 5Ш (го/ - я/2) - Ьх{1)~ С(,х(0

Х{1)

(7)

Имитационное моделирование проводилось в программе БтиШпк и его результаты приведены на рис. 1 и 2, из ко торых видно, что после окончания переходного процесса в системе устанавливаются требуемые синусоидальные колебания (рис. 1). Па рис. 2 можно убедиться в возникновении автоколебаний, что ес-тественнод/\я релейных систем. Аналогичные переходные процессы для х(0 и Сп (/) были получены и в работе [4] при анализе результатов работы экстремальной системы, спроектированной для исследуемого объекта. Поисковый сигнал для Сп {<) имел форму прямоугольных колебаний той же амплитуды, но удвоенной частоты (т.е. в экстремальной системе возникали параметрические колебания [3]).

Формирование управляющего воздействия и{1) на основе решения обра тной задачи динамики связано со сложностью определения обратной для знаковой функции Х1дп\‘]. В соответствии с рекомендациями,

Рис. I. Переходный процесс |> системе с релейным алгоритмом управления

Рис. 2. Процесс изменения жесткости пнсвмоподаески в системе с релейным алгоритмом управления

приведенными в работе [ 1), вместо релейной характеристики будем использовать ее гладкую аппроксимацию гиперболическим тангенсом

С„(0 = С. 1Н[М0],

(8)

при выполнении условия, что со.

Результаты имитационного моделирования подтвердили, что при /7>10 среднеквадратическая погрешность не превышает 0,1 %, поэтому в дальнейшем в модели (8) использовалась величина /7= 10.

При аппроксимации вида (8) возможно аналитическое решение обратной задачи динамики и алгоритм формирования управляющего воздействия запишется в виде формулы:

Г. виК^) * пшг5Ш(м-п 2)-Ьх{1)- С,.л(/) МО

• 19)

Характер переходных процессов для переменных х(1) и Сп (0 оказался аналогичным рис. 1 и 2, т.е. для обеспечения заданных колебаний х(<) необходимы автоколебания для процесса изменения жесткости пнев-моподвески.

Исследуем возможности метода полиномиальной аппроксимации [5) для синтеза алгоритмов управления с целью повышения качества процессов и устранения автоколебаний. Для этого зависимость (8) представим в общей форме

С^) = /[«(/)].

(Ю)

где/’( I — достаточно гладкая функция,т.е. существуют ее первая, вторая и третья производные.

По аналогии с дискретными уравнениями введем в рассмотрение разность следующего вида

Аи(1) = и(0 - и(1- г),

(11)

где г — интервал (время) запаздывания.

Допустим, существует такой достаточно малый интервал г, для которого функция Пи(0) может быть аппроксимирована линейной зависимостью

Л“(0] = /[и(/-г)]+ /;[м(/-г)]Дм(/). (12)

а управляющее воздействие формироваться в соответствии с алгоритмом, полученным из модели (3) при

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МСТНИК N1 2 <«> 2007 МАШИНОСКХНИ! И МЛШИНОЦ А1ИИ1

МАШИНОСІРОЕНИЕ И МАШИНОМДІНИЕ

Об

и*

04

02

•0 2

•04

-06

" - - ■Г Схемі 1-го порядка .

• •• Схем» 2-ій порядка

4 Г р-1

т : т 1 і

-600

•4С0

■200

200

400

600

Рис. 3. Области устойчивости непрерывных схем 1-10 и 2-го порядков

подстановке в него условия (4) и выражений (11), (12) и быть записанным в виде:

и(0 = и(/-г)+[/;[»/(/-г)]]

Г(1)- тх’ (/) - Ьх(1) -С0дг(/) - с„/[и(( - г)].т(/) х(1)

(13)

Наличие звена запаздывания позволяет в пакете БппиИпк в классе непрерывных систем моделировать итерационную процедуру (13), т.е. дискретную систему.

Используя, при г->0, приближенное определение производной

ы(/)-и(/-г)

(14)

получим непрерывный аналог или вариан т алгоритма управления жесткостью пневмонодвески для схемы линеаризации первого порядка:

1

«(о=-[/:[«(>-г)]]'

Г(/) - тхг (0 - Ьх(1) - 0(0 - ст/[иц - г)]дг(/)'

т

(15)

При имитационном моделировании выбирались следующие значения интервала запаздывания

1 = ЫТ/А1, N = 1. 2, 3.

(16)

где Т - период установившихся колебаний с частотой й)\ Л1 — шаг дискретизации.

Исследования, проведенные при различных начальных условиях, показали, что уже при N=60-70 среднеквадратическая ошибка не превышает0,1 %, в реальной же системе используется 128 дискретных отсчетов за один период колебаний.

В методе полиномиальной аппроксимации [5) разработаны линейные алгоритмы, использующие и вторые производные. По аналогии с формулами (13) и {14) приведем без вывода алгоритмы определения управляющих воздействий для дискретной формы

и(0 = и(/ - - Г>] + ~ - Г)](й(/)- м(/ - г)^

!]

Л-(/)-/>цг(/)-^(г)-Спх(/)-С,/[и(/-г)1л(/)' *(0

(17)

Рис. 4. Процесс изменения жесткости пневмоподвески при использовании схемы 1-го порядка

Рис. 5. Процесс изменения жесткости пневмоподвески при использовании схемы 2-го порядка

и непрерывного аналога

М(/) = - Г)]-Д /Ди(/ - г)] (й(0 - ы(/ - г))J X

Г(1) - тх1 (I) - Ьх(1) - ад/) - Ст/[иЦ - г)]л(/)1 (18)

т \

где переменная величина й(/) вычисляется в соответствии с правой частью формулы (13).

Для сравнительного анализа алгоритмов (15) и (18) формирования управляющих воздействий, подаваемых в ИЭ пневмоподвески виброисточника, при фиксированном значении г— 0,125 с были построены соответствующие области устойчивости (ип; Х„) для замкнутых систем при различных начальных отклонениях по координате (х(0) = Х0) и по управлению (и(0)= ио). вид которых приведен на рис. 3. Из визуального анализа следует, что система, в которой реализован алгоритм второго порядка (18), обладае т более широкой областью устойчивости и подтверждается сделанный в работе (5) вывод об эффективности введения в алгоритмы обратных задач динамики вторых производных по управляющему воздействию.

Алгори тмы полиномиальной аппроксимации оказались более эффективными, так как они изменили характер протекания переходных и установившихся процессов изменения управления и(0 и жесткости пневмоподвески Сп (0- Системы, в которых реализован релейный алгоритм (7), его гладкая аппроксимация (8) или аналитическое решение обратной задачи динамики (9), имеют одинаковый характер процесса С„ (/). показанного на рис. 2, т.е. наблюдаются характерные для релейных систем прямоугольные автоколебания с амплитудой Ст = 150 т/с3.

Процесс изменения жесткости пневмоподвески Сп {<) в замкнутых системах, в которых реализованы алгоритмы полиномиальной аппроксимации для схем первого порядка приведен на рис. 4, а второго — на рис. 5. Во-первых, временные зависимости являются непрерывными функциями, и, во-вторых, для схем первого порядка в установившемся режиме не наблюдается автоколебаний.

Результаты имитационного моделирования, проводимого в различных точках пересечения областей устойчивости первого и второго порядка, показали, что наибольшее значение амплитуды составляет Спта' — = 0,285 пх/с2, что значительно меньше величины С в

системах с релейными алгоритмами. Возникновение незначительных по амплитуде автоколебаний в схемах второго порядка компенсируется тем, что для их реализации требуется меньшая величина максимального значения Сптаг, а следовательно, меньший объем и размер пиевмоподвески. Так, в тех же точках пересечения областей устойчивости для схем первого порядка Сптах = -0,118 т/с2, а для схем второго порядка С,,"0' = - 0,099 т/с2.

Таким образом, но результатам проведенных исследований можно сделать вывод 'гго применение методики полиномиальной аппроксимации позволяет избегать автоколебательного режима изменения жесткости пиевмоподвески, а применение алгоритмов формирования управляющего воздействия второго порядка не только расширяет область устойчивости системы, но и улучшает конструктивные характеристики объекта. Например, выбор пневмоподвес-ки меньшего размера естественно снижает затраты не только на проектирование, но и на изготовление системы.

Библиографический список

1. Тихонова. Н.А. Идентификация одномерных релейных динамических объектов методом последовательной линеаризации: Дис.канд техн. наук: 05.13.0!. - Красноярск, 2006. - 125 с.

Книжная полка

Проектирование и расчет металлорежущего инструменты на ЭВМ: учеб. пособие для вузов / под ред. О. В.Таратынова. - 2-е изд. доп. и перераб. - М.: РИЦ МГИУ, 2006. - 380 с. - ISBN 5-276-00721-7.

В пособии рассмотрены современные конструкции металлорежущего инструмента, области их применения, даны краткие сведения о технологических процессах изготовления режущих элементов, изложены вопросы проектирования режущего инструмента с использованием ЭВМ. Приведены рекомендации по применению наиболее приемлемых языков программирования для расчета различных видов инструмента. Рекомендовано МО РФ.

Скопинский, В. Н.

Расчеты стержней на изгиб с кручением. Расчеты на прочность при переменных напряжениях: учеб. пособие / В. Н. Скопинский, А. А. Захаров, А. Б. Сметанкин. - М.: РИЦ МГИУ, 2006. — 112с.— ISBN 5-276-00781-0.

Даны решения различных примеров теории напряженного состояния, теории прочности, сов местного действия изгиба и кручения, прочности деталей придействии переменных напряжений. Изложены методические приемы определения внутренних сил и напряжений в стержнях и стержневых системах при изгибе с кручением. Рассмотрены типовые задачи по анализу напряженного состояния в точке, проведению расчетов валов на усталостную прочность придействии циклически изменяющихся напряжений.

Для выполнения учебных заданий и курсовых проектов по дисциплинам «Сопротивление материалов» и «Механика материалов и конструкций».

Проектирование технологической оснастки: учеб. пособие / ред. В. В. Клепиков. - М.: РИЦ МГИУ, 2006. - 76 с. - ISBN 5-276-00753-5.

Приводится методика проектирования станочных приспособлений, рассматриваются примеры выполнения расчетов и оформления результатов разработки станочных приспособлений, анализы путей совершенствования технологической оснастки с целыо повышения производительности обработки и качества обрабатываемых изделий.

Может быть использовано при выполнении курсовой работы по дисциплине «Технологическая оснастка» и конструкторской части дипломного проекта студентами специальностей «Проектирование технологической оснастки».

2. Ким, Д.П. Теория автоматического управления. Том 2. — М.: ФнэМатЛит. 200-1. — 464 с.

3. Бесекерский. В.Л., Понов 0.П. Теория систем автоматического управления. Изд-е 4. перераб. и доп. - СПб.: Профессия. 2004. - 752 с.

4. Лаврухнп, А.А. Синтез системы управления геофизическим комплексом для поддержания кваэиоптнмалышх режимов // Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта: Сб. науч. статей аспирантов и студентов университета. - Омск: Омский гос. ун-т путей сообщения, 2006. — Вып. Б — С. 206-209.

5. Когут, Л.Т. Полиномиальная аппроксимация в некоторых задачах оптимизации и управления: Монография. — Омск: Омский гос. ун-т путей сообщения. 2003. - 244 с.

КОПТ Алексей Тарасович, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Радиотехнические и управляющие системы», директор ИАТИТ. ЛАВРУХИН Андрей Александрович, аспирант кафедры «Радиотехнические и управляющие системы». РАБ Елена Игоревна, студентка 6-го курса.

Статья поступила в редакцию 09.08.07 г.

© А. Т. Когут, Л. Л. Лаврухин, Е. И. Раб

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МСТНИК № 2 <*« 2007 МАШИНОСТЮІНИІ И МАШИНОІЩНИЕ