CC BY
28
УДК621: 519.24: 519.65
ФОРМИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛА ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МНОГОФАКТОРНОГО РЕЖИМА УПРОЧНЕНИЯ МЕТАЛЛОПОКРЫТИЙ
© 2016 С.В. Агафонов1, А.В. Данеев2, С.В. Лямин2, В.А. Русанов2
1 Иркутский государственный сельскохозяйственный университет 2 Иркутский государственный университет путей сообщения
Статья поступила в редакцию 03.03.2016
Строится и исследуется нелинейная многомерная регрессионно-тензорная модель в обосновании (необходимые и достаточные условия) оптимального многофакторного физико-химического процесса упрочнения металлопокрытий. Предложена робастно-адаптивная стратегия рационального формирования целевого функционала физико-механического качества металлообработки. Результаты могут стать методологической основой для создания автоматизированного проектирования технологий упрочнения поверхностей сложных композитных металлоизделий на базе комплексных трибологических испытаний.
Ключевые слова: трибологические испытания, регрессионно-тензорная модель, упрочнение металлопокрытия.
Работа выполнена при финансировании Гранта Президента Российской Федерации по государственной поддержке ведущих научных школ (НШ-5007.2014.09).
ВВЕДЕНИЕ
В основе методов упрочнения рабочих поверхностей силовых машин лежат сложные физико-химические процессы (ФХП), в связи с чем по прежнему актуальны вопросы, связанные с формализацией/разработкой их математических моделей. В данном контексте востребованы регрессионные модели - линейные [1, 2] / нелинейные [2, 3], в том числе матричные [2, 4], где важный класс образуют регрессионно-тензорные системы [5,6]. Эти системы, с одной стороны, весьма близки по своим свойствам к полиноминальным [2], допуская достаточно детальное аналитическое описание на базе тензорного исчисления [7], сильной дифференцируемости векторных отображений [8, с. 480] и теории экстремальных задач [8, с. 499], а с другой, приобретают важную роль в нелинейном моделировании многофакторных трибологических свойств синтезируемых металлопокрытий, в частности, при прогностическом описании поверхностных нано-размерных структур [9, 10].
Ниже развиваются задачи, поставленные в выводах работы [6], при этом целью является
Русанов Вячеслав Анатольевич, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник. E-mail: v.rusanov@mail.ru
Данеев Алексей Васильевич, доктор технических наук, профессор. E-mail: daneev@mail.ru Агафонов Сергей Викторович, кандидат технических наук, доцент. E-mail: agafonov38@rambler.ru Лямин Сергей Васильевич, аспирант.
не столько формальная точность умозаключений, а ясность концепций в разработке проблем трибологии [11]. В этом контексте решается вопрос формирования функционала физико-механических свойств металлопокрытий для режима упрочнения. Определяются строгие аналитические интерпретации многосвязных условий, определяющих оптимальный режим ФХП, налагаемых нелинейными ограничениями [12, 13] и обеспечивающих адекватность модели ФХП данным трибологических испытаний -многокритериальная идентификация по методу наименьших квадратов (МНК) координат кова-риантных тензоров уравнения ФХП как многомерной нелинейной регрессии с минимальной тензорной нормой.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ПОСТАНОВКА
ЗАДАЧИ РЕГРЕССИОННО-ТЕНЗОРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ФХП
Пусть Я - поле вещественных чисел, Я" -"-мерное векторное пространство над Я с евклидовой нормой ||.||Я „, ео1(у1,^,У") е Я" - вектор-столбец с элементами ур.. .,уп е Я и пусть Мп т(Я) - пространство всех " х т-матриц с элементами из Я. Далее,
через Тк обозначим пространство всех ковари-антных тензоров к-ой валентности (вещественных полилинейных форм [ к,т: Я™ х ...х Я™ ^
г к ,m
( Ъ Г.
, где
R) с тензорной нормой f t.. - коэффициенты (координаты [7, с. 61]) тензо ра fkm, значения которых заданы относительно
стандартного (естественного [14, с. 15]) ортонор-мированного базиса в евклидовом Ят.
Пусть V - вектор варьируемых физико-химических предикторов [2, с. 38] регрессии ФХП с фиксированным началом в <» е (опорный режим упрочнения), м(ю + V) е Я" - вектор качественных показателей ФХП. В данной постановке выделим к рассмотрению многомерную нелинейную систему типа «вход-выход», описываемую векторно-тензорным к-валентным уравнением многофакторной регрессии
у{т + у) = со( X (1)
j=0.....k
j=0.....k
где fj'mG T", вектор-функция e(w,*): Rm ^Rn класса
(■ vi,* = 4; +■■■+vi 1/2)
(i')
V = со1^,...^т), (1 < г < ") - инварианты, т.е. тензоры нулевой валентности [7, с. 62] (трибо-логические показатели качества [11, с. 5] ФХП в опорном режиме ю е Ят).
З а м е ч а н и е 1. Описание ФХП регрессионной системой (1) адекватно с учетом утверждения 2 [5] о непрерывной зависимости [8, с. 495] решения дифференциального уравнения ФХП [15] от начально-краевых условий и параметров.
Задача апостериорного регрессионно-тензорного моделирования оптимального ФХП поставлена и подробно исследована в [5, 6] для двухвалентной модели (1), при этом в [5] получены аналитические решения трех позиций данной задачи:
1) для фиксированного индекса к, заданного предиктора шеЯт и V^Ят - открытой окрестности вектора ш определены аналитические условия, при которых вектор-функция м(-): V ^Я" показателей качества ФХП удовлетворяет системе (1);
2) построен алгоритм идентификации координат симметричных [16, с. 271] тензоров [!,т, 1 < г < ", 0 < ) < к = 2 в математической модели ФХП (1) на базе двухкритериальной МНК-задачи (2) (параметрическая МНК-идентификация многомерной регрессионно-тензорной системы (1) с минимальной тензорной нормой): ' Г / . \ 2 у2
z z f
здесь w e Rn, v e Rm, 1 < l < q
(2)
векторы экс-
периментальных фактор-предикторов ФХП М(1) - «реакция» на «вариацию» v(I) относительно
координат вектора ше Ят, при этом у) < 1, что диктуется условием (1')), д - число трибологи-ческих экспериментов ФХП; в данной постановке возможен подход, изложенный в [17, 18];
3) для двухвалентной модели (1) при заданном векторе -предикторе w e Rm и s(ra, v) = 0 получено аналитическое решение «v-оптимизации» квадратичной функции (см. определение 1 [16, с. 215]) варьируемых относительно w фактор-предикторов ФХП:
max{F(v): v e Rm }
F(v) := r\w1 {со + v) +... + rnwn {a> + v),
где вектор-функция v ^ col(w1(ro + v),..., wn(ro+v)) = w(ra + v) e Rn имеет координатное представление согласно идентифицированной модели (1)-(2), r> 0 - весовые коэффициенты, отражающие «относительный приоритет» между трибологическими характеристиками w;, 1 < i < n физико-механических свойств ФХП.
Постановка задачи (по материалам выводов работы [6]): определить необходимые условия в решении задачи (3) при k = 3 (поиск стационарных точек в (3) для трехвалентной модели (1)), дополнив поиском достаточных условий «v-оптимизации», т.е. обеспечение «эллиптического характера» критических точек функционала F через зависимость спектральных характеристик его гессиана [14, с. 465] от вариаций вектора r := col(r1, ..., rn) относительно некоторого «начального» положения r0e Rn.
ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ФХП
Рассмотрим случай уравнений многомерной регрессии с тензорной структурой валентности k = 3; решение задачи (2) при k = 3 - несложная модификация доказательства утверждения 3 [5]. В такой постановке систему уравнений (1) можно подать в векторно-матрично-тензорной форме w(ro+v) = c + Av + col(v'51v +/13-m(v,...,v),..., v'Bnv+ + /n3-m(v,.,v)) + E(ffl,v), n (4)
ceRn, AeM (R), B.eM (R), i=1,...,n (при этом
1 n,m^ /7 i m,mv '1 i i \ г
считаем, что каждая Bi - верхняя треугольная матрица), здесь и далее верхний индекс-штрих «'» - операция транспонирования вектора или матрицы, вектор-функция е(ю,х): Rm ^Rn удовлетворяет (согласно утверждения 2 [5]) оценке
>((-;+■■■+vm г)
При k = 3 целевой функционал F: Rm ^R дважды непрерывно дифференцируемый (что гарантирует равенство смешанных производных д2F(v1,...,vm)/дvдvp, Vg, Р= 1, .,m), поэтому в решении задачи (3) основным результатом в согласно теоремы 3 [8, с. 505] (см. уточнения в [16, с. 160] и теореме 7.2.5. [14, с. 479]) для трехвалентной модели (4) можно считать следующее предложение.
*
У т в е р ж д е н и е 1. Пусть Bi := (B. + B.') e Mm m(R), 1 < i < n, где каждая B. - матрица системы (4) и, сверх того, рассмотрим вектор-функцию
II (w'v 1
= oí
1/2
Ф(у):= (1-1 В* + ... + Г" В* )-1(А' + +[У £3т&,...у),...,у у /"3-т(у,...,у)])г.
Тогда стационарные точки у5 е Ят задачи (3) суть решения уравнения
у* + Ф(у) = 0, (5)
при этом достаточным условием, что точка у5 пространства фактор- предикторов обеспечивает «максимальное качество ФХП» вида
max{(v): v е Rm }
F(v) := r w(a> + v)
w{
является требование: v' как критическая точка функционала F(v) должна иметь специальный эллиптический тип, - это в точности тоже самое, что сказать
det [b..]p < 0, p=1,...,m, (6)
где [b..]peM(R), p=1,...,m - главные подматрицы гессиана G(r) в точке v' е Rm
G(r) = (r1( B* +
+2I1 <g,p<m [д2fl3-m(V,.,V)/дVgдVp^ v* ]) + ...+ + r(B* + 2[д2fnъ■m(v,...,v)/дvgдvplл V ]) е
е Mm,m(R),
или эквивалентно-характеристические числа Xp матрицы G(r) удовлетворяют
Xp < 0, p=1,...,m. (7)
С л е д с т в и е 1. При k = 2 гессиан G(r) функционала F(v) инвариантен к положению критической точки и равен
G(r ) = r* B* +... + rnBl
при этом, если rank G(r) = m, то решение уравнения (5) единственно и имеет вид
v" = -G-1(r) Ar.
Ясно, что (5) - пересечение m квадрик [16, с. 219], поэтому если (6), равносильно (7), не выполняются, то критическая/кие точка/и (5) является гиперболической (седловой). Таким образом, наличие седловой точки гарантирует смена хотя бы в одном (не во всех) неравенстве «<» из (6) или (7) на «>» (см., например, (16) [6]); смена неравенства «<» на рефлексивное « < » вызывает в v' структуру стационарной параболической точки функционала (v), при этом rank G(r) < m, следовательно, необходим дополнительный анализ (5). В таком положении для обеспечения эллиптического характера (6) требуется параметрическая коррекция функционала (3).
Ясно, что одним из факторов, влияющих на геометрию F(-) в критической точке v*, является координатная настройка вектора r, что определяет для (3) постановку «адаптивной коррекции» r ^ r'w(ra + v), анализ которой проведем ниже.
АДАПТАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА КАЧЕСТВА ФХП НА АФФИННОМ СЕМЕЙСТВЕ ЕГО ГЕССИАНОВ
В этом разделе рассмотрим задачу: на базе регрессионно-тензорной модели (4) построить численную процедуру выбора вектора весовых коэффициентов ге Я", обеспечивающего эллиптический характер фиксированной стационарной точки у5 (некоторое решение уравнения (5)) целевого функционала Ду) = гМ(ю + у), исходя из выполнения алгебраических (спектральных) условий (7).
З а м е ч а н и е 2. Не смотря на алгебраическую эквивалентность (6) ~ (7), попытка использовать в построении адаптивной коррекции г ^ г'м>(ю + у) разложение определителей (6) почти неизбежно обречена на неудачу вследствие большого количества членов, присутствующих в таком разложении.
Необходимые и достаточные условия разрешимости задачи (3) удается получить лишь в исключительных случаях; общая задача в подобных постановках, как правило, оказывается МР-сложной. Ниже для функционала Д-) обсудим подход к этой проблеме, основанный на идеях теории локализации и возмущений собственных значений матрицы [14, с. 408]. Другим плодотворным инструментом представляется трансформация условий (7) к так назыв аемой проблеме квадратичной устойчивости, обычно сводящейся к построению функции Ляпунова в аффинном семействе матриц [19, с. 199] в предположении, что само это семейство функционально (благодаря второй формуле из (3)) зависит от координат вектора ге Я".
Пусть задан начальный вектор г0 е Я" весовых коэффициентов из (3). Например, целенаправленный выбор вектора г0 может осуществляться, исходя из равенства его координат гог, 1 < г < " значениям некоторых (заданных) функций У.: Я ^Я от функционалов /.(у) := + у), г=1,..., " в «вспомогательных задачах» прогнозирования качества ФХП по отдельным показателям м,, 1 < г < "; согласно следствия 2 [5] при двухвалентной модели регрессии (1) это положение характеризует: У т в е р ж д е н и е 2. Если к = 2, то вектор начальных весовых коэффициентов г0 =со1(г01, ..., г0") с координатами
г01 = ВД, = шах|/.(у): уе Ят}, 1 < г < ", имеет аналитическое представление го = со1(Т 1(с1-е1'А В*-1 А'е,/2), ..., Чп(оп -- е"А В*-1 А'еп /2)).
З а м е ч а н и е 3. Фраза «Если к = 2» не является ключевой, поскольку данная конструкция вектора г0 может быть также использована и при трехвалентной (относительно предикторов) форме регрессионно-тензорной модели (4); ясно, что при этом г0 можно «корректировать» из условия
нормировки ||г0|| к„ =1.
Далее, обозначим через V0 е Ят некоторую критическую точку функционала Д-) (фиксированное решение уравнения (5)) в положении, когда г = г0, через О0 е Мт т(Я) - гессиан функционала Д-) вычисленный в точке V0, и пусть
Gi := B* + 2У i i ^^^
1< g, p<m
d2 f,Xm (v,..., v)
dv dv
gp
Тогда при варьировании вектора г согласно представления
г. = гп. + Дг. > 0, 1 < г < п
1 01 г ' —
параметрическое семейство гессианов О(г) из утверждения 1, определяется аффинным матричным многообразием вида
( \
G(r ) =
Go +
ZAr,Gi
е mmm (r); (8)
гессианы (8) при любых r0 + Дге Rn суть симметричные матрицы [14, с. 200].
В случае произвольной матрицы единственное описание её собственных значений состоит в том, что это решения её характеристического уравнения. Для гессиана G(r) собственные значения можно, посредством теоремы Куранта -Фишера [14, с. 215], также охарактеризовать как ряда задач оптимизации. В круге приложений теоремы Куранта - Фишера рассуждения теоремы Вейля [14, с. 218], о связях между собственными значениями гессиана G0 и любого гессиана из многообразия
G0 + S. <.< Дг. G,
0 1 < i < n i i
позволяют отчасти прояснить «вариационный» смысл проводимых ниже робастно-адап-тивных построений в коррекции r ^ r'w(ro + v). С учетом введенных выше конструкций потенциал робастно-адаптив-ной настройки функционала F(v) = r'w(ro + v), обеспечивающего (при варьировании re Rn) в критической точке неравенства (7), содержит утверждение 3; модификация теоремы 6.3.12 [14, с. 444] на базе теоремы 4.1.3 [14, с. 204], учитывающей симметрическую структуру гессианов (8).
У т в е р ж д е н и е 3. Пусть |(lp(r0), xp): p=1, ..., m} ^R'Rm - собственные пары гессиана G0 и gp. = xp$GxJxp$xp. Тогда характеристические числа |lp(r): p=1, —, m} ^ R, гессиана G(r), где r = r0 + Dr, имеют вид
^(r) = ^1(r0) + E gi; Dr. + о(|Д
i=1,...,n
r
R'
),
(9)
^m(r) = W + E gmi + о( |M| Rn ).
Система (9) представляет возможность оценить, насколько чувствительны собственные числа гессианов (8) к изменению весовых коэффициентов Дг, 1 < г < п; разумеется, этот анализ приближенный (справедлив при небольших
1М1 я" ; см. также формулы теории возмущений [16, с. 152]), что с учетом следствия 1 отражает:
С л е д с т в и е 2. Если к=2, п = т, Л(г0):= ео1(Х1(г0),... Дт(г0)) - вектор собственных значений
матрицы-гессиана (г01 В* + ... + г0т Б*т ) и {хр}р= 1, ,т -
соответствующие им собственные векторы, Л*:=
1 < / < л со1( л, ,...,Лт) - вектор эталонных по критерию (7) характеристических чисел гессиана О(г), В:= [Ът] - т х т-матрица с элементами Ър. =хр В* хр
x 'x , то при r = rn + Дг и r_. + Дг. > 0, 1 < i < m, где Дг
p p 0 0i i
= B^!(A*-A(r0)), можно ожидать, что собственные
Л *
значения у G(r) равны эталонным {лр : р= 1,..., т].
З а м е ч а н и е 4. Поскольку при n = m система уравнений (9) справедлива для малых значений ||Дr^||Rm , то остается открытым вопрос: будет ли сходиться итерационный вычислительный процесс
г. = (г-1 + Дгч) е Rm, j=1,2,— построенный в силу следствий 1, 2 из расчета Дгч = B^1(A*-A(r/-1)), если начальное расхождение ||Л*-A(r0)||Rm значительно?; ясно, что согласно структуры функционала (3) на каждом итерационном шаге «j» для координат вектора г е Rm необходима проверка условий r..>0, 1 < i < m.
В контексте замечания 4 приведем результат вычисления верхней оценки для относительного возмущения ||Дг|| Rm. Пусть ||-||М - матричная норма в Mmm(R), согласованная [20, с. 181] с ||-||Rm, причем ||Е||М=1, где Ее Mm m(R) - единичная матрица; например [20, с. 179], фробениусова матричная норма
PI :=(m-1 Zdf )1/2,D = [ ]е M^ (R),
или [20, с. 186] спектральная (индуцированная) матричная норма
\D\\S := supjDJLm : х е Rm^ = 1}= max ,2(dD)
Итак, возвращаясь к следствию 2, имеем (согласно прототипа - системе (9)):
B Дг = Л*-Л(г0) с det B ^ 0. Предположим, что вектор Л*-Л(г0) переходит в Л*-Л(г0) + 5 (в частности, за счет слагаемого о( | |Дг|| Rm) из системы (9)), а матрица B переходит в B + D. В такой постановке вектор адаптивной настройки Дг получит (в силу модификации следствия 2) приращение 8, переходя к значению Дг + 8, которое удовлетворяет линейному алгебраическому уравнению:
(B + D)^r + 8) = Л*- Л(г0) + 5; ясно, что 5 е Rm, Д е Mm m(R) моделируют возмущения «желаемого изменения» вектора собственных чисел Л*-Л(г0), а также неточность параметрической оценки матрицы B (заметим, если ||D||M ||B-4|M < 1, то ||D||M <||B||M [20, с. 197]). Результат вычисления верхней оценки относительного возмущения ||8||Rm/| |Дr||Rm формулирует следствие 3 (технические детали см. в [20, с. 197]).
С л е д с т в и е 3. Пусть, в дополнение к предпо-
v
i =1
n
ложениям следствия 2, s(B):= =||В||М ШЦМ - условное число [20, с. 197] матрицы В, где ||-||М - матричная норма ||-||? или ||-||5 . Тогда справедлива оценка
ЦеНят/ЦДЛЯ < s(B)(1 - s(B)||Д|M/||B||M)
(||8||д™/||Л* - Л^Ия- + ||Д|м/||В||м).
Если ||.||М = ||-||5 и Х1, Хт - наименьшее и наибольшее собственные значения В 'В, то в последнем неравенстве можно считать s(B) = (Xт/^1)1/2.
З а м е ч а н и е 5. Конструкция спектрального условного числа s(B) = (1 т/11)1/2 (условное число, полученное с использованием спектральной нормы || -||5) прозрачна в силу s(B) = ||В||5 В ||5.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Целью статьи было указать на естественную связь, существующую между проблемой определения области значений матричной функции-гессиана в критической точке целевого функционала физико-механического качества (3) процесса упрочнения металлопокрытия, выраженного уравнением (1), и вектором г весовых коэффициентов в (3), отражающих «приоритет» между м,, 1 < г < " - моделируемыми трибологи-ческими свойствами ФХП. В данном контексте утверждение 1 и следствие 1 показывают, что в отличие от трехвалентной (к = 3) в двухвалентной (к = 2) модели нелинейной регрессии ФХП гессиан О(г) инвариантен к положению критической точки. При этом оба варианта (2 = к = 3) позволяют выявить зависимость г^ О(г) на базе модели ФХП (1), идентифицированной по критерию (2).
Собственные значения матрицы - это в точности корни её характеристического полинома, поэтому результат утверждения 3 по существу основан на том, что собственные значения (7) непрерывно г-зависят от элементов матрицы-гессиана О(г) в процессе текущей параметрической коррекции целевого функционала Р из (3). Однако следует заметить, что некоторая информация утрачивается, когда имеем дело лишь с характеристическим многочленом, ибо существует много различных матриц с заданным характеристическим полиномом. Поэтому не удивительно, что более сильные результаты по моделированию спектра гессиана О(г), в частности, утверждение 3 и следствие 2 учитывают строение матрицы О(г); последние допускают техническое упрощение, исходя из положения, что любая матрица-гессиан ортогонально подобна вещественной диагональной матрице [19, с. 73].
Численные методы отыскания собственных значений и собственных векторов представляют собой один из наиболее важных разделов общей теории матриц. В статье не затрагивалось каких-либо сторон этой темы при анализе вектора Л*-Л(г0) и матрицы В из следствия 2, но следствие 3 дает верхнюю оценку для относительного возмущения Дг через относительные возмущения
Л*-Л(г0) и B и условное число s(B); s(B) участвует в оценке во всех случаях, будут ли возмущения происходить только в Л*-Л(г0), только в B или в Л*-Л(г0) и B одновременно.
В завершение обозначим другой подход в адаптивной коррекции r ^ r'w(ro + v), связанный с использованием достаточных условий робастной устойчивости матрицы G(r) (что тоже равносильно условиям (6), (7)). В данном контексте можно потребовать, чтобы в семействе G0 + Ej<.<n Dr. Gi при интервальных допусках на изменение координат вектора Ar можно было построить функцию Ляпунова V(x) = xp'Pxp, где Pe Mmm(R) - симметричная положительно-определенная матрица; т.е. существовала матрица P > 0, для которой матричное уравнение Ляпунова G(r)P + PG(r) = Q имело решение при заданной симметричной положительно-определенной матрице Qe Mmm(R); переход к адаптивно-робастной квадратичной устойчивости и методы её решения предложены в [21-24]. Эта теория, благодаря обилию имеющихся в ней вычислительных задач, а также вследствие блестящих возможностей, которые она открывает для приложений многомерного регрессионно-тензорного анализа, может приобрести теперь большое самостоятельное прикладное значение в задачах синтеза оптимальных металлопокрытий. Сделать это в краткой статье, разумеется, не представляется возможным, и мы с легким сердцем отказываемся от этого, будучи уверены, что детальные исследования этого вопроса не замедлит последовать.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Stapleton J.H. Linear Statistical Models. New York: Wiley, 1995. 467 p.
2. Дрейпер Н.Р., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Издательский дом « Вильямс», 2007. 912 с.
3. Ross G.J. Nonlinear Estimation. New York: SpringerVerlag, 1990. 237 p.
4. Rusanov V.A., Agafonov S.V., Daneev A.V., Lyamin
5.V. Computer modeling of optimal technology in materials engineering // Lecture Notes in Electrical Engineering. 2014. Vol. 307, pp. 279-286.
5. Русанов В.А., Агафонов С.В., Думнов С.Н., Рудъх А.Г. Регрессионно-тензорное моделирование много -факторной оптимизации процесса низкотемпературного сульфохромирования. I // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2012. № 1. С. 17-30.
6. Русанов В.А., Агафонов С.В., Думнов С.Н., Рудъх А.Г. Регрессионно-тензорное моделирование многофакторной оптимизации процесса низкотемпературного сульфохромирования. II // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2012. № 4. С. 62-72.
7. Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. М.: Наука, 1972. 352 с.
8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.
9. Хомич В.Ю., Шмаков В.А. Образование периодических наноразмерных структур на поверхности твердых тел при фазовых и структурных превращениях // Доклады РАН. 2012. Т. 446. № 3. С. 276-278.
10. Герасимов С.А., Куксенова Л.И., Лаптева В.Г. и др. Повышение характеристик механических свойств теплостойких сталей методом активизации процесса азотирования // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2014. № 2. С. 90-96.
11. Труханов В.М. Прогнозирование ресурса деталей, узлов, механизмов и технического объекта в целом на стадии проектирования // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2013. № 3. С. 38-42.
12. Яковлев Н.Н., Лукашев Е.А., Радкевич Е.В. Исследование процесса направленной кристаллизации методом математической реконструкции // Доклады РАН. 2012. Т. 445. № 4. С. 398-401.
13. Гилев В.Г., Безматерных Н.В., Морозов Е.А. Исследование микроструктуры и микротвердости псевдосплава сталь - медь после лазерной термической обработки // Металловедение и термическая обработка металлов. 2014. № 5. С. 34-39.
14. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 656 с.
15. Kärger J., Grinberg F., Heitjans P. Diffusion fundamentals. Leipzig: Leipziger Univ., 2005. 615 p.
16. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и
геометрия. М.: Наука, 1986. 304 с. 17. Статников Р.Б., Матусов И.Б. О решении задач многокритериальной идентификации и доводки опытных образцов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2012. № 5. С. 20-29. 18. Сарычев А.П. Моделирование в классе систем регрессионных уравнений на основе метода группового учета аргументов // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». 2013. № 2. С. 8-24. 19. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 304 с. 20. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 270 с.
21. Ackerman J. Robust control: systems with uncertain physical parameters. New York: Springer-Verlag, 1993. 404 p.
22. BoydS.L., El GhaouiL., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in systems and control theory. Philadelphia: SIAM, 1994. 193 p.
23. Kreinovich V., Lakeyev A.V., Rohn J., Kahl P. Computational complexity and feasibility of data processing and interval computational. Dordrecht: Kluwer. 1998. 472 p. 24. Calafiore G., PolyacB.T. Stochastic algorithms for exact and approximate feasibility of robust LMIs // IEEE Trans. Autom. Control. 2001. V. 46. No 11. P. 1755-1759.
FORMATION OF FUNCTIONAL OF OPTIMIZATION PARAMETERS OF THE MULTIPLE-FACTOR MODE HARDENINGS OF METAL COATINGS
© 2016 S.V. Agafonov1, A.V. Daneev2, S.V. Lyamin2, V.A. Rusanov2
1 Irkutsk State Agricultural University 2 Irkutsk State Transport University
The nonlinear multidimensional regression and tensor model in justification (necessary and sufficient conditions) of optimum multiple-factor physical and chemical process of hardening of metal coatings is under construction and investigated. Robast-adaptive strategy of rational formation of target functional of physics-mechanical quality of metal working is offered. Results can become a methodological basis for creation of the automated design of technologies of hardening of surfaces of difficult composite hardware on the basis of complex the tribological tests.
Key words: tribological tests, regression and tensor model, hardening of a metal coating.
Vyacheslav Rusanov, Doctor of Physics and Mathematics,
Senior Research Fellow. E-mail: v.rusanov@mail.ru
Aleksei Daneev, Doctor of Technics, Professor.
E-mail: daneev@mail.ru
Sergei Agafonov, Candidate of Technics.
Sergei Lyamin, Graduated Student.
