Формирование банка проверочных матриц систематических помехозащищенных кодов с помощью матричного мультипликативного компонента Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК [517.938 + 519.713/.718]: 621.398

ФОРМИРОВАНИЕ БАНКА ПРОВЕРОЧНЫХ МАТРИЦ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОМЕХОЗАЩИЩЕННЫХ КОДОВ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЧНОГО МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО КОМПОНЕНТА А.В. Ушаков, Е.С. Яицкая

С помощью невырожденного матричного мультипликативного компонента формируется банк проверочных матриц систематических помехозащищенных кодов.

Ключевые слова: помехозащитное преобразование кодов, проверочная и образующая матрицы.

Помехозащитное преобразование кодов (ППК) представляет собой пятифазный процесс: помехозащитное кодирование (ПК) помехонезащищенного информационного кода (ПНЗИК); искажение поме-хозащищенного кода (ПЗК) при передаче по двоичному каналу связи (КС); помехозащитное декодирование (ПД) с целью формирования синдрома (опознавателя) ошибки, свидетельствующего о факте, а, возможно, и месте ошибки в коде; формирование сигнала коррекции (ФСК) и коррекция [1]. Алгоритмически ППК может быть описано тремя способами:

1. у = aG; f = у©| ; E = fH; | = EH+ ; y = f©|;

2. y(x)= argfest(y(x)g-1(x)= o)J; f(x) = y(x)©|(x); E(x) = rest(f(x)-1(x)); |(x) = |(E(x)); y (x) = f (x)©| (x);

3. y(k)= Na(k); xR(( +1)= AxR(()©BRa(k), k = 1,kH ; xR(k +1) = AxR(k),k = 1,m ; xR(o) = xR(kH); y(k)= CxK (k); f(k) = y(k)©|(k); xR(k + 1) = Ax^k)© Bfk),k = M; E = xj, (n); | = EH+ ; у = row f (k), k = Щ }©|,

где a(*) - ПНЗИК; у(*) - ПЗК; |(*) - код помехи в КС, искажающей код у(*) в аддитивной форме; f (*) - искаженный в КС ПЗК; E(*) - код синдрома факта или места искажения; |(*) - код коррекции;

у(*) - откорректированный принятый из КС код, удовлетворяющий условию у(*) = argmin|у(*)-у(*)};

1 (*)

xк, як - векторы состояния кодирующего устройства (КУ), размерности dim xк = dim як = m ; Bк -(m х1)-матрица входа КУ; C = [1 01х(п-1)]- матрица выхода КУ [2]; N = [1] - матрица вход-выход КУ;

A - нильпотентная матрица с индексом v = m ; xa - вектор состояния декодирующего устройства (ДКУ), размерности dimxR = m ; A - (m x m) -матрица состояния КУ и ДКУ; Ba - (m х 1) - матрица входа ДКУ [2]; G - ((и х n) -образующая матрица ПЗК; H - (n х m) - проверочная матрица ПЗК.

Символ « * » опускается, если все коды, задействованные в процедуре ППК, рассматриваются как вектора-строки; принимает значение переменной x, если коды рассматриваются как модулярные многочлены (ММ) над полем Галуа GF(р) ^ ; принимает смысл дискретного времени k, выраженного в числе тактов длительности At, если все коды рассматриваются как кодовые последовательности, преобразование которых осуществляется рекуррентным образом в силу векторно-матричных соотношений, параметризованных дискретным временем k.

Примечание 1. Помехозащитное ДКУ формирует:

1. нулевой код синдрома E = 0 в случае отсутствия искажений в принятом коде (| = 0);

2. ненулевой код синдрома E Ф 0 в случае наличия искажений в принятом коде (| Ф 0).

Выясним, каким свойством должна обладать пара матриц (G, H) с тем, чтобы она порождала ПЗК. С этой целью сформулируем утверждение.

Утверждение 1 (У.1). Пара (G, H) порождает ПЗК при необходимом условии GH = O . □ (1) Доказательство строится на использовании системы соотношений

у = aG; f = у ©I; E = fH = (у ©|)H = (aG ©|)H = aGH ©|H| = aGH = O ^ GH = O . ■

Ставится задача формирования банка проверочных матриц систематических ПЗК с помощью невырожденного матричного мультипликативного компонента.

Основным результатом исследования является следующее утверждение.

Утверждение 2 (У.2). Умножение проверочной матрицы H справа на невырожденную произвольную (m х m) -матрицу P порождает матрицу H = argjGH = o}, при этом H также является проверочной матрицей ПЗК. □ Доказательство. Подстановка H = HP в (1) дает: GH = GHP = (GH )p = (o)p = O. ■

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 4 (74)

Примечание 2. Максимальная мощность банка проверочных матриц Н достигается при Р = А1, I = 0,п -1, если (т хт) -матрица А имеет неприводимый характеристический ММ и принадлежит показателю ц = 2т -1.

Для подтверждения основного результата приведем иллюстративный пример. Рассмотрим ПЗК, задаваемый неприводимым ММ g (х) = х + х +1. Тогда ППК характеризуется следующими компонентами:

Н

1 0 1 1 1 1 1 1 0 011 1 0 0 010 0 0 1

О =

1 0 0 0 1 0 1 1 0

0 0 0 1 0 1 1

0 10 0 11 0 0 10 11

А =

010 101 1 0 0

причем условие (1) выполняется, и матрица А принадлежит показателю ц = 2™ -1 = 23 -1 = 7 .

1 0 1

Сформируем проверочную матрицу Н согласно утверждению У.2, приняв Р = А4 =

Н = НР

1 0 1" "0 0 1"

1 1 1 0 1 0

1 1 0 "1 1 1" 1 0 0

0 1 1 0 1 1 = 1 0 1

1 0 0 1 1 0 1 1 1

0 1 0 0 1 1

0 0 1 1 1 0

при этом выполняется условие утверждения У.1 ОН = О , т.е. пара матриц (р,Н) порождает ПЗК. Полученный банк проверочных матриц позволяет обеспечить скрытность процесса ППК.

1. Ушаков А.В., Яицкая Е.С. Рекуррентное систематическое помехозащитное преобразование кодов: возможности аппарата линейных двоичных динамических систем // Изв. вузов. Приборостроение. -2011. - Т. 54. - № 3. - С. 17-25.

2. Ушаков А.В., Яицкая Е.С. Динамическое наблюдение нелинейных двоичных динамических систем // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2010. - Т. 68. - № 4. - С. 38-44.

Ушаков Анатолий Владимирович - Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, [email protected]

Яицкая Елена Сергеевна - Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, [email protected]

УДК 535.374

ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЦИИ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ ЭРБИЕВЫХ МИКРОЛАЗЕРОВ С ДИОДНОЙ НАКАЧКОЙ И.Н. Дубинкин, М.В. Иночкин, Н.И. Лонщакова, В.В. Назаров, Д.Ю. Сачков,

Л.В. Хлопонин, В.Ю. Храмов

Впервые реализована генерация малогабаритного Ег:УЪЕ-лазера с диодной накачкой в режиме пассивной модуляции добротности резонатора, осуществляемой при помощи кристалла Ее2+:7пБе, получены моноимпульсы с энергией 2,9 мДж и длительностью 30 нс на длине волны 2,81 мкм.

Ключевые слова: эрбий, лазер, селективная накачка, Ее2+:7пБе, пассивная модуляция добротности.

Исследование процессов генерации эрбиевых кристаллов в области 3 мкм представляет интерес в связи с перспективностью использования излучения данного спектрального диапазона в области медицины. В рамках настоящей работы продолжены исследования параметров генерации малогабаритного лазера на кристалле Ег:УЬБ с диодной накачкой, работающего в режиме пассивной модуляции добротности [1]. В качестве пассивного затвора использован перспективный кристалл Бе2+:2п8е. В экспериментах достигнуто значение импульсной мощности 100 кВт, что, по сведениям авторов, на данный момент является наилучшим результатом времени для малогабаритных Ег:УЬБ с диодной накачкой.

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 4 (74)