CC BY
75
УДК 539.32
Е.А. Митюшов, Н.Ю. Одинцова, С.А. Берестова
Уральский государственный технический университет -Уральский политехнический институт
ФОРМАЛЬНАЯ СХЕМА РАСЧЕТА ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГИХ СВОЙСТВ ТЕКСТУРИРОВАННЫХ МЕТАЛЛОВ
Abstract
A general scheme for the solution of problem of averaging elastic properties of textured polycrystals is suggested which is based on the algebraic methods of description of elastic properties.
В предположении, что ориентация зерен в поликристалле равновероятна и поликристалл, как любое изотропное тело, характеризуется двумя упругими константами, задача об определении эффективных упругих свойств была решена сначала Фойгтом [1] путем усреднения матрицы упругих модулей кристалла, а затем Ройсом [2] из усреднения матрицы коэффициентов податливости. Более детальное рассмотрение, выполненное Хиллом [3], показало, что эти усреднения соответствуют предположениям об однородности деформаций в поликристалле в первом случае, и однородности напряжений - во втором, а получаемые значения объемного модуля и модуля сдвига поликристалла дают верхнюю и нижнюю вариационные границы для его эффективных свойств. Им же было предложено определять эффективные упругие характеристики как среднее арифметическое значений, получаемых в приближениях Фойгта и Ройса. Дальнейшее исследование проходило по пути отыскания эффективных упругих характеристик квазиизотропных поликристаллов в рамках тех или иных упрощающих гипотез.
Простой метод усреднения на базе равенства определителей матриц модулей упругости монокристалла и поликристалла был предложен Александровым [4], независимо от него Пересадой [5]. В дальнейшем Александровым и Айзенбергом [6], на примере тензорных свойств второго ранга, была отмечена связь этого способа усреднения с усреднением логарифмов собственных значений соответствующих матриц. Это обстоятельство имело в дальнейшем определяющее значение для развития теории.
Значительно более сложной, чем вычисление упругих свойств квазиизотропных поликристаллов, является задача их вычисления, когда имеется преимущественная ориентация зерен в пространстве - текстура, и в силу этого поликристалл начинает вести себя как анизотропное тело. Методы вычисления упругих характеристик текстурированных поликристаллов развивались по мере совершенствования экспериментальных методов исследования текстуры и ее количественного описания.
Методы количественного текстурного анализа для расчета эффективных упругих свойств поликристаллов в приближениях Фойгта, Ройса и Хилла применялись различными авторами [7,8]. Попытка обобщения метода расчета эффективных упругих характеристик Александрова - Пересады на текстурированные материалы была предпринята Моравиком [9], Матхизом и Гамбертом [10]. Моравиком был предложен алгоритм решения, основанный на свойствах логарифмической тензорной функции, который был реализован им только в случае квазиизотропного материала. Матхизом и
Гамбертом дана численная реализация этого алгоритма на примере некоторых
текстурированных поликристаллов, не допускающая аналитической формы записи окончательного решения.
В предлагаемой работе дается аналитическое обобщение метода Александрова -Пересады на примере текстурированных поликристаллов, основанное на алгебраических методах описания их упругих свойств.
Обобщенный закон Гука как линейное преобразование
Как было показано Рыхлевским [11], обобщенный закон Гука может
рассматриваться как линейное преобразование пространства симметричных тензоров второго ранга в себя:
о = Се, или е = £о,
здесь C - линейный оператор упругости, £ = C_1 - обратный оператор.
В шестимерном пространстве симметричных тензоров особую роль имеют тензоры, удовлетворяющие уравнениям
С ш = X ш , или £ ш = — ш .
X
Как и в векторных пространствах, в пространстве симметричных тензоров второго ранга существует такой ортонормированный базис ш1, ш1,..., шУ1
шк шь шКшь , {0 к*ь (1)
ш ш=ш ш =о^г = ) , (1)
У У кь 11 К=ь
в котором тензоры напряжений и деформаций представимы в виде
о = о ш1 + о2 ш11 +... + а6 шУ1,
е = 81 ш1 +в2 ш11 + . + 86 шУ1.
Элементы тензорного базиса шк (К = 1,11 ) соответствуют различным
напряженно-деформированным состояниям (собственные упругие состояния).
Тензор четвертого ранга модулей упругости с, поставленный в соответствие линейному оператору С, записывается следующим спектральным разложением:
с = Х1 ш1 ®ш1 + X2 ш11 ®ш11 +... + X6 шУ1 ®шУ/, (2)
аналогично для тензора коэффициентов податливости ж = с_1
ч 17 \ 2, ш11 ®ш11 +... + (хЛ) ш
здесь
* = (М ) 1 ш 1 + (Х 2 ) 1 ш 11 11 + ••• + 6 ) 1 , (3)
К К К К
(ш ® ш )утп = ш у ш тп .
Параметры XК {К = 1,2,...,б) есть собственные значения линейного оператора С . Эти параметры определяются модулями упругости анизотропного тела и названы Рыхлевским истинными модулями жесткости, а с учетом комментария, данного в работе [11], их уместно назвать модулями Кельвина - Рыхлевского. Модули Кельвина -Рыхлевского являются корнями уравнения шестой степени
^ (~КЬ -^ кь )= 0 (к, ь = 1,.,б),
где
к ь с кь = ш • с • ш .
Не следует путать величины cKL [12] с элементами матрицы модулей упругости
ckl в обозначениях Фойгта.
Формальная схема расчета эффективных упругих свойств текстурированных
поликристаллов
В рамках модели Фойгта и модели Ройса эффективные упругие характеристики находятся путем осреднения тензоров модулей упругости и коэффициентов податливости по множеству ориентаций зерен в поликристалле:
cV = (c), s R = (s)
или с учетом разложений (2) и (3):
cV = ^1 (Q)• (ш^«ш^)+ X2 (Q)• (ш11 «шII )+ к + X6 (Q) • (ш
s R = (Xt )-1 (Q) • (ш^ «ш^ )+ (X2 )1 (Q) • (шII «шII )+ к + (X6
1 (О) -(а1 ®ш1)+X 2 (О) '((о11 во11)+ к + X 6 (О) • (оУІ ®оУІ), (4)
(^ I-1 (О • (о1®®1 )+(х 2 )"ЧО • (о110й 11)+ к +(х 6 Но) - (®п ®оГІ).
Здесь
((0' (ю в ю )) цшп = (рір QІЦ&тг о pqа rs ,
где Qjp - элементы матрицы перехода при повороте кристаллографической системы
Г
координат случайным образом ориентированного зерна до совмещения ее с осями лабораторной системы координат, ^...) - операция осреднения по множеству
ориентаций зерен в поликристалле, Хр - модули Кельвина - Рыхлевского зерен.
V к
С другой стороны, тензоры с и * могут быть представлены спектральными разложениями по элементам тензорного базиса макросимметрии ок :
С= х; о1 во1 +Х>2 о11 во11 + ...+ х'6 ёП в&УІ, (5)
* Д = ГхД1ї‘ о1 во1 +(ХК2Г’ о11 во11 +... + ГХЛ61-’ т” в&11.
Сравнивая разложения (4) и (5) и используя условие ортогональности (1), находим модули Кельвина - Рыхлевского в приближении Фойгта:
У = X! [йК ® йК ) • (Ф • (ш1 ®ш7 )+ + X2 ^йК ®йК^ (О)• (ш11 ®ш11)+... + Xб ^йК ®йК^ (О)• (ш У1 ®шУ/). Аналогично в приближении Ройса
XjK J =(X1 )1 [йК « й K (Q) • (aI «ш'^ )+ + (x 2 )_1 [й K « й K ^ (Q) • (ш ^ «ш ^ )+ к + (x6 j-1 [йK « й K (Q) • (ш VI «ш VI
или
(xK )-1
XK = PKIX1 + PKIIX 2 +... + PKVIX 6:
где
-pKI (X1) 1 + PKII(X 2 ) 1 +... + PKVI(X 6 )
PkL = (йK «йK )• (Q) • (шL «шL ),
при этом Рш + Рш +... + РкУ1 = 1.
Таким образом, модули Кельвина - Рыхлевского в приближениях Фойгта и Ройса находятся как частный случай взвешенного степенного среднего значения соответствующих модулей кристаллитов,
хК = [ рК1 х1 + рК11 х2 +...+рКУ1 хб
При а = 1 имеем средние значения, вычисленные по схеме Фойгта, при а = -1 -средние значения по схеме Ройса. При а ^ 0 степенное среднее стремится к геометрическому среднему,
(0) Р Р Р Р Р Р
хк = X1 к X2ш X3 кш X4К1У X5 КУ XбКУ , (б)
что является обобщением метода Александрова - Пересады на текстурированные материалы.
Соотношение (б) с формальной точки зрения исчерпывающим образом решает задачу об усреднении упругих характеристик текстурированных материалов. Переход к тензорным обозначениям осуществляется на основании формул (2) и (3).
Модули упругости текстурированных поликристаллов кубической симметрии
Элементы базиса (1) микро- и макросимметрии соответствуют одному
напряженному состоянию всестороннего сжатия и пяти напряженным состояниям чистых сдвигов. Базис макросимметрии не зависит от способа усреднения и
определяется лишь параметрами текстуры поликристалла [13]:
Лі = ^/2 + Q^t2Q?з + QoQfl) (1=1’2,3).
Модули Кельвина - Рыхлевского кубического кристалла выражаются через модули упругости в матричных обозначениях Фойгта равенствами
Xl — С11 + 2С12 — 3К^, X 2 — X з — С11 С12, X 4 — X 5 — X б — 2 с 44 , где К - объемный модуль упругости.
Модули Кельвина - Рыхлевского поликристалла определяются на основании равенства (б):
х110) = х1,
х(203 = X 2(1-3Л1 +Л 2 -Л3 + 2 Р2,3 (л 2 -Л314(зЛ1-Л 2 +Л3 - 2 Р2,3 (л 2-Л3 )),
Х(0) = X 2(2Л 2 + 2Л3 - 2Л1 )Х 4(1-(2Л 2 + 2Л3 -2Л1))
х(0) = X 2(2Л3 + 2Л1- 2Л 2 )х 4(1-(2Л3 + 2Л1- 2Л 2)),
X© = ^(2Л1 +2Л 2 - 2Л3 )^(1-(2Л1 +2Л 2 - 2Л3 )) б 2 4 ’
где р23 = к ±у/к2 + к +1, к — —^—Л2.
Л 2 - Л 3
Некоторые результаты, вытекающие из этих соотношений, были получены ранее другими методами. Так, решение Александрова [4] для квазиизотропного материала
получается при Л1 — Л2 = Л3 = 1, к = 0 . Для сдвиговых модулей ортотропного
поликристалла обобщение этого решения получено в работе [14]. В случае аксиальных
текстур решение приведено в работе [15], а для частного случая при =Д^ = 4, А3 = 0 это решение является точным [16].
Библиографический список
1. Voight W. Lehrbuch der Kristallphusik. - Berlin: Teubner, 1928. - 625p.
2. Reuss A. Berechnund der Fliebgrenze von Misch-kristallen fut Grund der Plastizitatsbedingung fur Einkristalle // Z. angew. Math. und Mech. - 1929. - Bd. 9. - № 1. - P. 49-54.
3. Hill R. The elastic behaviour of a crystalline aggregate // Proc. Phys. Soc. - 1952. - A 65.
- № 389. - P. 349-356.
4. Александров К.С. Средние значения тензорных величин // ДАН СССР. - 1965. -Т.164. - № 4. - С. 800-804.
5. Peresada G.I. On the calculation of elastic moduli of polycrystalline systems from single crystal data // Phys. stat. sol. - 1971. - № 4. - P. K23-K26.
6. Александров К.С., Айзенберг Л.А. Способ вычисления физических констант поликристаллических материалов // ДАН СССР. - 1966. - Т. 167. - № 5. - С. 10281031.
7. Александров К.С., Талашкевич И.П. Упругие константы аксиальных текстур в приближении Фойгта - Ройсса - Хилла // ПМТФ. - 1968. - № 2. - С. 48-53.
8. Kneer G. Uber die Berechnung der Elastizitatsmoden vielkristalliner Aggregate mit Textur // Phys. Stat. Sol. - 1965. - Vol. 3. - № 9. - P. K825-838.
9. Morawiec A. Calculation of polycrystal elastic constants // J. Appl. Cryst. - 1995. -Vol.28. - P. 254-266.
10. Matthies S., Humbert M. The Realization of the Concept of a Geometric Mean for Calculating Physical Constants of Polycrystalline materials // Phys. stat. sol. (b). - 1993. -Vol. 177. - P. K47-K50.
11. Рыхлевский Я. О законе Гука // ПММ. - 1984. - Т. 48. - Вып. 3. - С. 420-435.
12. Mehrabadi M., Cowin C. Eigentensors of linear anisotropic elastic materials // Mech. Appl. Math. - 1990. - Vol. 43. - Pt. 1. - P. 15-41.
13. Митюшов Е.А., Гельд П.В., Адамеску Р.А. Обобщенная проводимость и упругость макрооднородных гетерогенных материалов. - М.: Металлургия, 1992. - 145 с.
14. Митюшова Л. Л. Упругая и пластическая анизотропия текстурированных поликристаллов кубической сингонии: Дис. ... канд. физ.-мат. наук / УПИ им. С.М. Кирова. Свердловск, 1983.
15. Берестова С.А. Упругость и пластичность микронеоднородных сред с однородным модулем всестороннего сжатия: Дис. ... канд. физ.-мат. наук / УГТУ. Екатеринбург, 1998.
16. Берестова С.А., Митюшов Е.А. Об одном точном решении // ПММ. - 1999. - Т. 63.
- Вып. 1. - С. 524-527.
Получено 27.06.2003
