Формальна структура кейсів технологічних проблем у процесі побудови їх рішень на основі обмежень Текст научной статьи по специальности «Математика»



МОДЕЛЮВАННЯ I УПРАВЛ1ННЯ

УДК 004.942 В.Д. МЕЛЬНИК*

ФОРМАЛЬНА СТРУКТУРА КЕЙС1В ТЕХНОЛОГ1ЧНИХ ПРОБЛЕМ У ПРОЦЕС1 ПОБУДОВИ IX Р1ШЕНЬ НА ОСНОВ1 ОБМЕЖЕНЬ

1вано-Франювський нацiональний технiчний унiверситет нафти i газу, Iвано-Франкiвськ, Украша

Анотаця. Визначено та формально описано очгкуват класи кейсгв технолоячних проблем 3i структурою оцтювання в формi з ваговими коефщентами (шляхом обчислення сум вагових кое-фiцieнтiв для множин, систем та ieрархiй i, вiдповiдно, визначення максимальних та мiнiмальних сум); у формi оцтювань з iмовiрнiсними коефiцieнтами, як вiдповiдно визначають iмовiрнiсть релевантностi обмеження фактичного кейсу технологiчноi проблеми, осктьки, згiдно з початко-вим припущенням, система фтсуе порушення i задоволення ттьки релевантних обмежень. Визначено споаб оперування з iмовiрнiсними ощнками для рiвня множини, системи та ieрархii обмежень шляхом обчислення Их сумарного значення. Ршення кейсу технологiчноi проблеми обчислю-еться як присвоення з максимальним ощночним значенням iмовiрнiсноi релевантностi, оскшьки саме таке ршення в повтй мiрi вiдповiдае очiкуванням автоматизованог' iнтелектуальноi системи.

Ключовi слова: кейс технологiчноi проблеми, ваговi коефщенти, множини, системи та iерархii обмежень, iмовiрнiснi коефщенти, релеванттсть, рШення кейсу, iнтелектуальна система.

Аннотация. Определены и формально описаны ожидаемые классы кейсов технологических проблем со структурой оценки в форме с весовыми коэффициентами (путем вычисления сумм весовых коэффициентов для множеств, систем и иерархий и, соответственно, определение максимальных и минимальных сумм); в форме оценок с вероятностными коэффициентами, которые соответственно определяют вероятность релевантности ограничения фактического кейса технологической проблемы, поскольку, согласно первоначальному предположению, система фиксирует нарушение и удовлетворение только релевантных ограничений. Определен способ оперирования с вероятностными оценками для уровня множества, системы и иерархии ограничений путем вычисления их суммарного значения. Решение кейса технологической проблемы исчисляется как присвоение с максимальным оценочным значением вероятностной релевантности, поскольку именно такое решение в полной мере соответствует ожиданиям автоматизированной интеллектуальной системы.

Ключевые слова: кейс технологической проблемы, весовые коэффициенты, множества, системы и иерархии ограничений, вероятностные коэффициенты, релевантность, решение кейса, интеллектуальная система.

Abstract. There was defined and formally described the expected classes of the technological problems cases with the evaluation structure in the form of weights (by the way of sums calculation for weights prescribed for the sets, systems and hierarchies of constraints correspondingly and with introduced conception of maximal and minimal sums); in the form of evaluation with probability coefficients relevancy for actual case of the technological problems, by the initial supposition for the system to fix the violation and satisfaction only for the relevant constraints. There was projected the way to treat the probabilistic evaluations for the levels of the set's, the system and the hierarchies of constraints by the means of summarized value calculation. Case decision of technological problem is calculated as a maximum evaluationvalue of a probabilistic relevance because this decision is fully meet the expectations of the automated intellectual system.

Keywords: technological problem case, weights, constraint sets, systems and hierarchies, probabilistic factors, relevancy, case solution, intelligent system.

© Мельник В.Д., 2016

ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2016, № 2

1. Вступ

У рядi дослiджень представлено формалiзацiю пiдходу часткового задоволення обмежень [1-4]. Метою даних пiдходiв е забезпечення пошуку оптимального рiшення шляхом контролю метричного ранжування описаних представлень по рiвнях «недообмежеш - надоб-меженi». Данi дослiдження показують, що iмплементацiя метрики такого ранжування не можлива в рамках едино! строго визначено! формально! моделi, тому моделлю ефективно-го рiвня в даному випадку вважаеться, зокрема, метамодель. Послаблення (посилення) задач виконуеться шляхом:

• збшьшення (звуження) домешв змшних;

• збiльшення (звуження) доменiв обмежень;

• видалення (додавання) змiнних;

• видалення (додавання) обмежень.

Основна щея побудови ршення на основi обмежень, викладена в рiзних штерпре-тащях в [5-8], полягае в тому, що кожна множина релевантних обмежень розпадаеться на двi пiдмножини, що не перетинаються: множину задоволених обмежень та множину по-рушених обмежень. Тому побудова ощнки рiшення може бути виконана на основi двох впливаючих факторiв:

• кожне задоволене обмеження повертае значения «1», кожне порушене обмеження повертае значення «0»;

• м^ки обмежень виконуватимуть роль мультиплшативних факторiв, що дозволя-тиме враховувати вагу обмежень, преференщю обмежень тощо.

Таким чином, метою дано! статп е введення ще! простору кейав технологiчних проблем як формально! структури, що зробить можливим побудову ршення та його ште-лектуальну тдтримку згiдно з накладеними множинами, системами та iерархiями обме-жень.

2. Основна частина

Ид кейсом технолопчно! проблеми на основi обмежень з частковими ршеннями будемо розумiти кортеж CaseTPjpartial = {CaseTP, ( STP, <),Mt, Solideal, Sat(),VM()), де Case.TP -

початкова задача на основi обмежень, STP - !! проспр, Mt - метрика, введена на даному простор^ Solldeal - щеальне рiшення для проблеми, Sat - функщя обчислення вагових

v

значень по задоволених обмеженнях, Viol - функщя обчислення вагових значень по по-рушених обмеженнях. За допомогою щеально! функщ! та функщ! обчислення вагових значень можна виконувати контроль базово! задачi та !! простору, що на фактичному рiвнi STP буде мiстити послаблення та посилення початково! проблеми:

STP = {weak (Case.TPj), strongi (Case..TP. ^ .

Як необхiдне часткове рiшення кейсу технолопчно! проблеми на основi обмежень CaseTPpart'al слiд розглядати задачу Case TP' iз простору проблем STP разом з !! ршенням Sol'(Case.TP'), де метрична вiдстань

Mt 0!( Case TP ', CaseTP) << dist0 (| [Viol( Case TP)] - [Viol( Case TP ) ] |).

Часткове ршення будемо вважати достатшм, якщо

Mt0 (CaseTP', CaseTP) < dist0 (| [Sat(CaseTP')] - [Sat(CaseTP)] |).

Часткове ршення будемо вважати оптимальним, якщо метрична вщстань мiж проблемами мшмальна:

Soll^ai ( Case.TPfartial ) = minMtfCase.TP', Case.TP) .

Крм того, матимемо, що SD (Solpartial )= Mt(Case.TP', Case.TP), CD(Solpartial ) =

= SD (Soip^mli ) = minMt(Case.TP, Case.TP) , тобто як стутнь задоволення задачi

CaseTPpart'al можна розглядати значення функцп метрично'1 вiдстанi, а як стутнь послщо-вностi - стутнь задоволення оптимального ршення.

Обмеженням з ощнкою будемо вважати кортеж (ci, evf (ci)), де ci - обмеження з ie-

рархп Case.CHRaseTR , а evf - функщя оцiнки обмежень, evf : Case.CH® EvSet = ExpertEv и UserEv, де EvSet - загальна множина ощнок,

ExpertEv - множина ощнок експерта предметно'1 обласп, UserEv - множина ощнок корис-тувача 1М1С.

Кейс технологично!' проблеми з накладеними обмеженнями з ощнками Case TP jv визначимо як формальну структуру:

CaseTPE = (tcpZ.TPj, tcp^ , Case.CHR^, (EvSet,®, f), evf),

де ® - операщя поеднання оцiнок обмежень, f - операцiя впорядкування на множит ощнювань EvSet.

Для заданого кейсу технолопчно! проблеми з накладеними обмеженнями з ощнками Case.TPEv та деякого присвоення stе ST Шан. st е ST ^н. , де tcp^^T? i tcpCHseTP , оцi-

J ErrCase.TPj ErrCase.TPj ' j ' j

нювання присвоення st по вщношенню до Case.TPjv визначимо як

EvCase.TPEv (st ) =

® r , evf (cr)

(cs, cveCase.CHR ^(qT ctcpdCHr ■ )ЛН = cj vstl = cv \r.Case.CHunR =0

- ^Ь^шахЛ.. nt ]

де ciar - множина змiнних обмеження, Case.CHunR - ieрархiя нерелевантних обмежень.

Таким чином, ощнювання присвоення здшснюеться шляхом поеднання оцiнок окремих обмежень, що дозволяе здшснювати вiдбiр ршень на основi оцiнки ступеня задо-волення присвоень:

Ev(Solpotential )= ^SD(st)Evcaeejpr (st)

Присвоення st * е tcpCaseTP будемо вважати ршенням кейсу технологично! проблеми

з накладеними обмеженнями з ощнками Case.TPE , якщо воно мае мiнiмальне ощночне значення по вщношенню до операцп впорядкування оцiнювань f :

Sol Case.TPE) = y minEv^^ (st *).

Оцiнка кейсу технолопчно! проблеми Case.TP}Ev дорiвнюe ступеню ii послiдовностi i вiдповiдаe мiнiмальному ощночному значенню:

Ev(Case.TPf) = CD(Case.TPEv) = minEv Ev (st), st e top,

CH.

Case.TP: .

CnociG BHKOHaHHfl nomyKy o^hohhhx 3HaneHb go3Bonfle BH3HanHTH BepxHiM i HH^HiM eneMeHTH Ha mho^hM o^HWBaHHfl TaKHM hhhom:

^ minEv

Case.TP'

1® ®

¡^..kmax^.n ]

os,st

T® ® i

ie[l..kmaXX.nl ]

= "o;,o; e Case.CH*

*$ov,ov e Case.CHv

ii

HexaM Case.TPE - KeMc TexHonorinHoi npoGneMH 3 HaKnageHHMH o6Me:®£HHflMH 3 o^-HKaMH. nocnaGneHHflM KeMcy TexHonorinHoi npoGneMH LPjv GygeMO BBa^aTH KeMc TexHonori-HHoi npoGneMH Case.TP,, npu yMOBi, ^o Case.CH,

c CaseCHS i

Case.TPj' CaseCH Case.TPEv i

CaseCHV c CaseCHV

^UAH.^H Case TP ^^UAZ.K^H CaseJpl

, Case.TP, = weak (Case.TP^). flnfl

KeMcy TexH0n0riHH0i

npoGneMH 3 HaKnageHHMH o6Me:®£HHflMH 3 o^HKaMH Case.TPEv i geflKoro ii nocnaGneHHfl Case.TP], o^HKy 3HaneHHfl nocnaGneHHfl GygeMO BHKOHyBaTH TaKHM hhhom:

EvCase.TPEv (Case.TP])--

Vof el Case.CHR

iR 1 L Case.TP

evf (oi)

= []..kmax]..nk ]

flnfl 3agaHoro KeMcy TexHonorinHoi npoGneMH 3 HaKnageHHMH o6Me:®£HHflMH 3 o^HKa-mh Case.TPfv Ta abox ii noc.na6.neHb Case.TP] Ta Case.TPj, MaTHMeMo:

Case.CHR , u Case.CHf ^ |c \Case.CH

L Case.TPj' Case.TPy J L <

^ Evc^ j ^ Evc^ (TP} ).

C TP2 u Case.CH™R , ^

Case.TP, Case.TP, J

npucBoeHHfl st e ST CH

topCase.TP;

BBa^aTHMeMO po3b'a3kom KeMcy TexHonorinHoi npoGneMH 3

HaKnageHHMH oGMe^eHHAMH 3 o^HKaMH Case.TPE

[ie ® Sol Case.TPEv )]|=[st ® Sol (Case TP})] minE^efpEv (Case TP}),

ge Case TP, = weakoonsist (CaseTPEv).

TaKHM hhhom, KeMc TexHonorinHoi npoGneMH 3 HaKnageHHMH oGMe^eHHflMH 3 оцiнкaмн Case.TPfv MO^Ha po3rnflgaTH ak KeMc TexHonorinHoi npoGneMH 3 nacTKOBHMH pimeHHflMH

Case.TP,

partial

ak^o BHKOHaTH TaKi gii:

gnfl KO^Horo oGMe^eHHfl or e Case.CH

R

Case.TP,

BBecTH geflKHM goMeH, ^o BignoBigaTH-

Me Moro npocTopy SpaoeDomain0i ;

• noGygyBaTH MeTpHHHy ^yH^iro gnfl npocTopiB oGMe^eHb MtSpaoe. MtSpace ® ©Spaoe \spaoeDomain0i }= , ge ©Spaoe - 3'egHyBanbHa $yH^ifl npocTopiB oGMe^eHb;

k = ] .'kmay

• BBegeHHfl cтpyктypнзaцii nocnaGneHHfl (nocuneHHfl) ak MeTpHHHoi piзннцi Mi^ Bigno-BigHHMH iepapxiflMH oGMe^eHb.

Case.TP

Нехай ми маемо множину bcíx можливих послаблень Weakce^eTpEv та множину bcíx можливих посилень Strong^ TpEv для кейсу технологично! проблеми Case.TPEv. На !х ос-новi можемо отримати впорядковаш множини:

жень

WeakZe.TPr{Case.Ccette} ^ ,>), {^rong^ ,^ )} _

1 1 y J J г2 ,j2-I,2...

Виконаемо побудову послiдовного послаблення з максимальною множиною обме-

Case.TPl - weakconsist (Case.TPEv)\ Case.CCetmax ,,

J \ J ' Case.TPj 7

де Case£Cetm2eJp} - max[Case.CHRCaseTPfv ^ CaSe.CHCase.TPj' l

Можна виконати порiвняння вiдмiнностей мiж послабленою (посиленою) та почат-ковою проблемами з точки зору множин !х ршень, а саме:

disCL (Case.TPEv, Case.TP .) ^ disCC (Col(Case.TPEv), Col (Case.TP],)).

Крiм того, можна виконати перевпорядкування множин послаблень та посилень на основi обчислення ступеня задоволення початкових оцiнок:

(WeakZe.TPfv,{EvCase.TPfv Case.W¡)} _ ,2 ±|, Г^ong^^ (Case.Tj)} , ,2 ±|,

V 1 1 il .Jl-1.2... J \ 1 1 12 ,J2-1,2... J

де Case.TP1 e Wea^j , ^selj e tirong^j .

Для дослiдження повноти та комплексности кейсiв технологiчних проблем на основi обмежень як окремого тдкласу CSP доцiльним е оцiнка вщображень класу:

• Case.CHfuzzy ® Case.TPpos;

• Case.CHfuzzy ® Case.TPfuzzy,

а саме побудови проекцп iерархii обмежень (вiдповiдно до систем та множин обмежень) з лшгвютичними маками на класи можливiсних та неч^ких кейсiв технологiчних проблем.

Визначимо можливюну задачу Case.TPf як кортеж

j

- VtCpZe.TPj , tepDomP , С , lgbC (Ci )Ci e Case.CHCase.TPM j) ,

Case.TPj - I tepCase.TPi,tepcmnPl,h,lgb1 С)ег e Case.CHC_TP, f|, де iерархiя обмежень мстить глобальш мiтки, що визначаються на основi оцiнок необхiдностi та !х ступешв префе-ренцiй: lg bi С J- ег [ndt : pfei ].

Для деякого присвоення st e Ct визначимо, що st е оптимальним присвоен-

tep m

Case. TPm

ням для TP^, якщо st е ршенням для iерархii Case.CHR^ трт з максимальною функщею успiшностi:

[stoptimal ® Case.TPm]|-| st - Col(Case.CHR , )max CF(Case.CHR ,st) ] .

L J Jl \ Case.TPm ) \ Case.TP¡ /.

V 1 CF 1 J

Функцiю успiшностi можна розглядати як стутнь послiдовностi для Case.TPm . Визначимо кейс технологично! проблеми з неч^кими обмеженнями Case.TPj"zzy як

к°ртеж I tepZeTP.^pCZeTP,I e'CawTpf«y ,.,e™TPf«y I I , де eCeLTPfzy - множина нечiтких обме-

Case.TP? y ! Case .TP:

L 1 JJ L 1

жень. Вщповщно кожне неч^ке обмеження cSet ^ i звичайне обмеження с' визначимо

imeTrj

над деякою скшченною множиною змiнних \e. ,...,e' }. Введемо нечiтке вiдношення виду

l '1 'k j j

mf' _ km'...etm }= SF(cS (ef,...,ed" ^ lgbc {c*),

де edom — e{ - вiдображення змшних на домени ix значень.

Присвоення st е St буде ршенням кейсу технолопчно'1' проблеми Case.TPjfuzzy

якщо st е рiшенням для

виду Sol ® А

''=1..m

Ф„ ^c,. е CSet

Case.TPj ' Case.TPj

fr nm^

.fuzzy

Case.TPLCj

st = Sol

Case.TPLCl

Case. TPm

TCH

та

SF [ C'CLf.stJ = CD{Casej).

J -1i J

Кейсом технолопчно'1' проблеми з обмеженнями з iерарxiчними мiтками будемо вважати формальну структуру:

Case.TP^ = (fcpCLp, tcpD^], Case.CHRCaseTPj, {[0. l]i CFset >.0^ )),

де lsceH - iерарxiчна мiтка, ®[set - з'еднувальна функцiя для iерарxiчниx мiток.

Верхня границя значень мiток може обмежуватись значенням "1" на рiвняx iерарxii або, що найбiльш зручно, значеннями (0, r), r е CFset для вае'1' iерарxii.

Розглянемо випадок, коли iерарxiя мiток мае n -рiвнiв. Вiдповiдно кожен з рiвнiв представляеться системами обмежень, що не перетинаються:

Case.CH = {Case.CS1 = {Case.CSet1 ,>R ),...,Case.CSn = {Case.CSetn,>R)), Case.CH = Case.CS1 u,.. .,u Case.CSn, Case.CS' n = Case.CSj =0,"i,j е [1. n].

Розмiщення обмежень по рiвняx iерарxii щодо ix вагових коефщенпв (мiток) може бути довшьним або впорядкованим, коли обмеження з бшьш високими ваговими мiтками знаходитимуться, наприклад, у початкових або кшцевих рiвняx.

Таким чином, можна ввести впорядкування iерарxii обмежень по шдексах ii рiвнiв:

CaseCH = {CaseCSi, CH'ndex } Case.CS'CH'ndexCase.CSj |= ' < j; j е 1 n] .

У той же час нами було введено споаб обчислення вагових коефщенпв. Тому при-родним буде також введення впорядкування по вагових коефщентах:

CaseCH = {CaseCS' , CHWe'ght }

Case.CSiCHweghtCase.CSA 1= Weight{Case.CS^ )<Weight{Case.CSA ),

для Weight{Case.CSi ) = ^cwk , де ki - кшьюсть обмежень у системi на i -тому рiвнi,

k=1

Case.CS' - система обмежень i -того рiвня.

L j

m

Нехай задано присвоення st е ST сн . Оцiнку даного присвоення можна викона-

••тах

ти таким чином: SD(st ) = X

г=1

^(с,)

,=1

тах

X X [SF(с,)]. , тобто розглядати рiвень задово-

г=1 ¿=1

лення присвоення через сумаризащю рiвнiв задоволення обмежень на основi функцп успь шностi i таким чином отримати, що (с,) и ^сн (с, )},=1 , = (Case.CS. )}г=1 , |= SD(st).

Устшшсть системи обмежень Case.CS] по вщношенню до присвоення st е ST сн будемо розглядати як вщображення:

tCPCasee .TPCH

SF(Case.CS] с Case.CS1) stеsт ^Г ® (^ ).

с Case.TPC

Для кейсу технолоriчноi проблеми з обмеженнями з iерархiчними мiтками

сн Iен

Case.Tr, i iерархii обмежень з мiтками Case.CHr трСН Х" = Case.CS]ee'1 и... и Case.CS"""

устшшсть iерархii по вщношенню до присвоення st будемо визначати як

SF(сase.CS¡CeH st)©^ ... ©^ SF\Case.CSfy

де © ^ - з'еднувальна функщя для значень функцп устшносп.

Рiшенням для кейсу технолопчно'1 проблеми з iерархiчними мiтками Case.TP(j:н будемо вважати таке присвоення st, коли значення кожно'1 функцп успiшностi

SF1 (Case.CS st). , , е максимальним:

4 1 '1—\.. ¿тш

Vst1 е ST сн 31 таке, що

ср сн 1

VI < 11 : [SF(Case.CS.st) <ж SF(Case.CS.st1)] а л[SF(Case.CS.st)<ж SF(Case.CS.st1 )}/',/1 = 1..,т

Оскiльки, згiдно з нашим припущенням, рiвень CS1 е найбiльш важливим, то, вщ-повiдно, його ступiнь задоволення теж буде максимальним:

SD(Case.CS1) ® ["с,,с, е Case.CS1,st| = с,,к = 1 .лк].

Таким чином, устшшсть присвоень можна ощнювати по рiвнях iерархii:

SF\fase.CSCCIHe¡e^PснSt)= ©SFSF[Case.CS.st1^..,^ .

Отже, навiть не дуже високi результати функцп успiшностi на бшьш важливому рь внi визначатимуть краще присвоення, нiж високi значення функцп устшносп на менш важливих рiвнях.

Вiдповiдно функцiя успiшностi може мати додатковi штерпретацп, а саме:

• устшшсть по вагових сумах:

SF(Case.CHCase.тpснSt)= X (с. ^(с^Н^..^ ;

с,еCase.CH1 сн

. Case.TP^H

• успiшнiсть у найпршому випадку:

SF (Case.CHlCaseTpCHst ) — min [lgbc (ct )SF (ctst )]г=1 г .

j ceCase.CH CH " max

1 Case.TPj

Виконаемо оцiнку устшносп окремих (видiлених) обмежень на ochobí введено! ще! глобальних мiток (lg bc (c), SF (cst)):

SF (Case.CH^TpCHSt ) — [(lgbC (c )SF (ciSt)),..., (lgbC (c, )SF (cist))] для

Case.CH ^case.TpCH — fo L1..^ ^ CaseCH^T j ■

Наступним кроком е введення рiшення кейсу технолопчно! проблеми на основi обмежень з iерархiчними мiтками через обчислення функцп успiшностi для локальних обме-жень:

Sol(Case.Tpc ) — [(i;et,tcpx}.„, (lf,tcp'k ^ ^ [(Г',tcpx Ц (lf,tcpk,)]° ° ($ii :tcph < tcp'h )a (Vi2 :lf >R lf ^ tcph < tcp^).

Таким чином, контроль пар значень (lgbC (ci ),SF(cjt)) дозволяе також виконувати контроль задоволених обмежень присвоенням st :

[lgbC (c,), SF (cjt )| SF (cjt ) = 0]

st

— CaJe CS Case.TPj

За аналогiею з дослiдженням вiдповiдностi мiж множинами нечiтких мiток та кейсами технолопчних проблем на основi нечiтких обмежень Lfeztzy - def ) [Case.TPjfuzzy ]et мож-на описати вщповщшсть мiж iерархiчними мггками та iерархiями обмежень для кейав те-хнологiчних проблем LffUztz - def > Case.CH CaseTTP .

Для кейсу технолопчно! проблеми з iерархiчними мiтками

CaseTpc —(tcpCHJeTPj, tcp^ , CaseCH^, (Me CFset, ) l? ) i заданою iерархiею

k

max

обмежень Case.CH C P — II Case.CS i присвоення st e ST CHrch з функцiею lgbc (c.) як

j ErrCase TP:

Case. TP J

i—1 J

функцп обчислення вагових значень обмежень можна розглядати як ршення кейсу технологично! проблеми Case.TpcH для таких клаав ршень: 1) з функщею успiшностi для вагових сум; 2) як краще ршення по вагових сумах.

Нехай задано кейс технолопчно! проблеми з невпорядкованою системою мiток CaseTPf —(tcpUsaУ:'тPJ,tcpD:mTP.J,CaJe.CSUaseTPJ,(LJet,p,®^J),l), де KpCT^, i ^se.^C^ - невпо-рядкованi домени змшних та обмежень, l e Lset - представлення мiток, ©- з'еднувальна функцiя для обмежень з невпорядкованими маками. Введемо динамiчну глобальну мiтку змшно! dlgW (err), яка виконуватиме з'еднання м^ок змшно! в уах обмеженнях Case.CSC^^st, де вона зус^чаеться:

dlgC (tcph):^pw ® Lset,dlgC(tcphst)— ( ©)( )l(c1,tcp1

1 1 [c^^.^ase^ A(tcFi1eWct[cy])

У процес пошуку рiшення для присвоення st: (e1 ,e2,...,en) на кожному крощ мно-

жина змшних е впорядкованою зпдно з виконаними присвоеннями (e1 ,e2,...,ek,ek+1 ,...,en)

тому саме використання динамiчниx мiток дозволяе впорядковувати решту змшних, яким ще не були присвоенi значення. Наприклад для видшено'1 змшно'1' tcpk перед присвоенням

ш значення ii глобальна мiтка повинна мати максимальний ваговий коефщент серед ш-ших змшних.

Означення 1. Як м^ку (label) розглядатимемо пару "змшна-значення" < v, rule.c >, яка присвоюе змiннiй певне значення з ii домену. Це означае, що змшнш v вiдповiдно до дано'1' м^ки присвоюеться значення rule.c .

Обмеження може мютити змiннi. Для обмеження c його множину змiнниx позна-чимо як Vc. Обмеження називаеться бшарним, якщо його множина Vc мiстить тшьки два елементи, i унарним, якщо тшьки один. Ус iншi обмеження називаються не бшарними. Задача задоволення обмежень розглядаеться як бшарна, якщо всi ii обмеження е бшарними або унарними. Класично будь-яку задачу задоволення обмежень можна перетворити в бь нарну, що полегшить ii реалiзацiю засобами комп'ютерно'1' техшки, проте також призведе до велико'1' кшькосп змiнниx з великими доменами, що зробить початкову задачу бшьш складною.

Для графiчного представлення структури задачi задоволення обмежень використо-вуеться граф обмежень. У випадку бшарно'1' CSP вершини такого графа вщповщатимуть змiнним, якi будуть з'еднуватися дугами в тому випадку, якщо юнуе вщповщне обмеження. Проспр розв'язкiв задачi задоволення обмежень утворюе множина присвоень. Присвоенням вважають вiдображення st множини доменних змшних V1 iV на вщповщш домени таким чином, що st{vi )е Di для vi eV1. Присвоення можна розглядати як множину м^ок, тобто як спосiб визначення значень змшних. Повним вважають присвоення, заданим на всш множиш доменних змшних, у протилежному випадку присвоення розглядаеться як часткове. Проспр ршень пошуково'1' задачi на основi обмежень розглядають як множину всix можливих присвоень STV °Dj х...хDn.

Обмеження c вважаеться задоволеним у певному присвоены {st|=c)), якщо вс змiннi з множини Vc даного обмеження в даному присвоены мають такi значення, що вщ-

повiдний кортеж значень змшних належить c. В шшому випадку обмеження вважаеться незадоволеним.

Для кожного обмеження с. {yh,...,vi ) юнуе зворотне обмеження {yh,...,v' ), яке

не задовольняеться, якщо задовольняеться c . Кожне часткове присвоення st вважаеться сумюним, якщо ва обмеження, що стосуються змiнниx, визначених в st, задовольняють-ся. Ршенням задачi задоволення обмежень вважають повне сумюне присвоення, що задо-вольняе всi обмеження iз множини C .

Задача на основi CSP вважаеться надобмеженою або несумюною, якщо вона не мае жодного розв'язку. Задача задоволення обмежень вважаеться недообмеженою, якщо вона мае багато розв'язюв. Обмеження з доданими елементами у вщношенш вважаеться посла-бленим, а обмеження з видаленими елементами з вщношення - посиленим.

Структура оцшювання обмежень кейав технолопчних проблем визначаеться кортежем {Evset,®TP,f с,Т,±), де Evset - множина, елементи яко'1' називаються оцшками, ®TP -комутативна, асощативна бiнарна операцiя над Evset, яка задовольняе властивостям iден-тичносп та монотонностi, f с - вщношення загального порядку над Evset, Т та L - максимальний та мшмальний елементи з Evset, що задаеться вщношенням f с.

Введення оцшювань для змiнниx поряд з оцшюванням обмежень дозволяе вводити множини преференцш i дослiджувати ix вплив на процес задоволення та порушення обмежень у xодi виршення кейав теxнологiчниx проблем. Крiм того, введення вагових значень

змшних дозволяе будувати частковi присвоення з введеними мшмаксними функцiями для сумарних вагових значень задоволених та порушених обмежень, що, вiдповiдно, дозволить сформувати формальну структуру ршення з можливими помилками, яю будуть оцшюва-тись системою.

Для формального опису процесу задоволення обмежень з преференщями у випадку кейав технолопчних проблем введемо представлення деяко'1 формально'1 метаструктури. В багатьох тдходах як iнiцiалiзуюча метаструктура використовуеться iдея напiвкiльця. Ви-бiр конкретного виду шщашзацп залежить вщ складностi кейсу технолоriчноi проблеми та вибраного способу структуризацп множини (системи, iерархii) обмежень. У загальному випадку введення формально'1 метаструктури е необхщним для вибору певного способу специфшацп значень, якi повиннi асоцiюватися з кортежами значень у доменах змшних при виконанш присвоень. Крiм того, для вибрано! метаструктури слiд ввести формальн операцп, що дозволятимуть оперувати з обмеженнями.

Як формальну метаструктуру будемо розглядати кортеж (М£,©,®,0,1), де MS -множина метаструктури, 0,1е MS, ©,® - введет операцп з властивостями комутативнос-тi, асоцiативностi та дистрибутивностi вщповщно. Системою обмежень вважаеться кортеж CS = (MS,D,V), де MS - формальна метаструктура, D - домен змшних, V - множина змшних.

Для заданох формальнох метаструктури FMS = (MS,©,®,0,l) i системи обмежень сsMS ) як обмеження розглядаеться пара (ис^с), де SC с V та

® MS.

1нтерпретащя кортежу (ис^с) вiдповiдае парам значень <{умо-ва_релевантностi_i}i, {умова задоволення^} >. Обмеження визначатиме множини змшних в SC i присвоюватиме кожному кортежу значень елементи з формальноi метаструктури.

Кейсом технологiчноi проблеми на основi м'яких обмежень Case.TPSofi будемо вва-жати пару (Case.CSet,SC) над системою обмежень CSMS =(MS,D,V), де SC с V, а Case.CSet - множина обмежень для Case.TPSofi . Позначатимемо результат проекцп значень кортежу к, визначених на множит V1, на значення кортежу над змшними у множит V2 через к .

Наприклад, для заданих обмежень с1 = (гс1, sс1) та с2 = (гс2, sс2) 1х сполученням с. ® с2 буде обмеження (гс1 ^с1), в якому множина sсL буде являти собою об'еднання множин sс1 i sс2 с1 = sс1 и sс2, а тс1 буде визначатися таким чином:

тс1 (к)=тс1 (к ISC] )хтс2 (к ISC2).

Для множини обмежень Case.CSet {с1 ,...,сп} введемо скорочення ®1Я=1 сг =® Case.CSet для сг =®...® сп.

Згiдно з введеним означенням сполучення двох обмежень означае побудову нового обмеження, що включае ва змiннi початкових обмежень з прив'язкою до кожного кортежу значень над такими змшними певного елемента метаструктури MS, що отримуеться шляхом множення елемешив, прив'язаних початковими обмеженнями вщповщних субкорте-жiв.

Для заданоi множини обмежень Case.CSet = (ис^с) i тдмножини V1 сV проекцi-ею Case.CSet на V1 (позначатимемо як Case.CSet 0 У1) будемо вважати обмеження (яс'^с) , де SC'=SCп V , i

RC' (к')= ^RC(k) .

К ]= к

У загальному випадку операщя проекцп полягае у виключенш певних змiнних, на-приклад, при послабленш надобмежено! проблеми Case.TPover. Це виконуеться шляхом прив'язки до кожного кортежу над множиною залишкових змшних елемента метаструкту-ри, який е сумою елеменпв, прив'язаних початковим обмеженням до всiх розширень цього кортежу над множиною видалених змшних.

Розглянемо два обмеження виду с1 = (rc,sc1) та с2 =(rc,sc2) над (MS,D,V). Введемо впорядкування обмежень с MS на основi вiдношення часткового порядку. Будемо вважати, що с1 с ш с2, якщо rc1 (к)< MSrc2 (к) мае мюце для всiх кортежiв к, к eD . Також, якщо

с1 с MS С2 та С1 С MS с2, С1 = С2 .

Для випадку двох кейав технолопчних проблем на основi м'яких обмежень Case.TP1s°o° = (CaseCSet1,SC) та Case.TP2soft = (Case.CSet2,SC) вщповщно введемо вщно-шення перевпорядкування кейав технологiчних проблем сCaseTP*ojt таким чином, що якщо Case.TP™0 cTPsdojt Case.TP2sofi, тодi Sol(Case.TP/^ )с MSSol(Case.TP2sofi). Якщо Case.TP"°ftCCaseJPsojt Case.TP2so° та Case.TP2so0cCase_Tp*o¡ Case.TP1s°o° , тодi вони мають однакову множину ршень Solset. В такому випадку ми можемо стверджувати, що Case.TP"°ot та Case.TP2 so° е е^валентними проблемами, i позначати даний факт як Case.TP"ofi = CaseTP2so0.

Розглянемо двi системи обмежень CSMS = (MS, D, V) та CSMS = (MS , D,V), а також кейси технолопчних проблем на основi м'яких обмежень Case.TPso0 = (Case.CSet, SC) та CaseTPvs°o° = (Case.CSet', SC), що 1м вщповщають i мають вiдповiдно рiшення Sol(Case.TPso0t)=(RC, SC) та Sol(Case.TFso° ) = (RC', SC). Кейсом технолопчно! проблеми на основi м'яких обмежень Case.TPso0 будемо вважати уточнення кейсу технологично! проблеми Case.TP'soft , якщо для довшьно! пари кортежiв к1 = (к^,...,^1^ ), к2 = (к12,...,^1),

де к1 ,к2 e D таких, що якщо твердження RC(к1 )< MS, RC' (к2) мае мюце, то це означатиме наявшсть вiдношення повного впорядкування RC (к1 )< MSRC (к2).

Припустимо, що кейс технолопчно! проблеми на основi м'яких обмежень Case.TPsoff е уточненням Case.TP'soft . Розглянемо також пару кортежiв к1 = (к^,...,^1^) та

к = (к1 ,...,к,,), де щ,щ e D. Тод^ якщо RC (к1) RC (к2), то матиме також мюце, що

RC (к1 )<>ms' RC (к2).

Два кейси технолопчно! проблеми на основi м'яких обмежень Case.TPsofi та Case.TP'so0 будемо вважати сильно е^валентними, якщо кожну з них можна розглядати сильним уточненням шшо'1. Е^валентш кейси технолопчних проблем на основi м'яких обмежень визначають одне й те саме впорядкування над кортежами значень у множиш V i мають однаковi вщповщш множини оптимальних кортежiв. Отже, задача знаходження оптимальних кортежiв буде еквiвалентна для обох формулювань. Також для двох е^ва-лентних кейсiв технологiчних проблем на основi м'яких обмежень не вимагаеться наявно-стi однакових значень у кортежах, а вимагаеться тшьки однаковий споаб 1х впорядкування. Як наслщок попереднiх тверджень, можна бачити, якщо в однш з еквiвалентних про-

блем е не порiвнюванi елементи, то вони також повинш бути у зв'язанш проблем^ що буде темою наступних дослщжень.

3. Висновки

Представлено тдхщ до опису кейсiв технолопчних проблем на основi множини змшних (технологiчних параметрiв) з введеними доменами (довiрчими iнтервалами) та введеними множинами, системами та ieрархiями релевантних обмежень. Отримане формальне розши-рення збер^ае класичнi означення для мiток, розмiрностi, графово'1 штерпретацп, простору розв'язкiв, присвоень. Вщповщно, процес пошуку рiшення розглядаеться у виглядi прис-воень, а самi iнформацiйно-пошуковi задачi з точки зору кшькосп рiшень подiляються на недообмежеш або надобмеженi. Запропоновано штерпретащю кейсiв технологiчних проблем на основi методу контролю множини порушених та задоволених обмежень, що до-зволяе кожному обмеженню присво'гги ощночне значення, яке задае загальну преференщю обмежень. Введено впорядкування для множини оцшювань, що дозволяе описувати рiвнi порушення та задоволення обмежень, причому споаб побудови структури оцiнювання визначае залежшсть оцiночних значень вiд множин порушених та задоволених обмежень на рiвнi множин, систем та ieрархiй.

СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ

1. Bartak R. Constraint Processing / R. Bartak, R. Dechter. - Morgan Kaufmann Publisher, 2003. - 210 p.

2. Tsang E. Foundations of Constraint Satisfaction / Tsang E. - London and San Diego: Academic Press, 1993. - 421 p.

3. Fargier H. Uncertainty in constraint satisfaction problems: a probabilistic approach / H. Fargier, J. Lang // Symbolic and Quantitative Approaches to Reasoning and Uncertainty. European Conf. ECSQARU'93. - Granada, Spain, 1993. - Р. 97 - 104.

4. Dubois D. Possibilistic logic / D. Dubois, J. Lang, H. Prade // Toulouse Institute of Computer Science Research. - New York: Oxford University Press, 1992. - 76 p.

5. Вовк Р.Б. Моделювання структури та функцюнальност технолопчних проблем на основi обмежень / Р.Б. Вовк // Математичш машини i системи. - 2011. - № 2. - С. 153 - 161.

6. Ohlsson S. Constraint-Based Knowledge Representation for Individualized Instruction / S. Ohlsson, A. Mitrovic. - University of Illinois at Chicago, 1998. - 22 p.

7. Випасняк Л.I. Графова штерпретащя шформацшних систем на основi баз даних та знань у рамках концепцп задоволення обмежень та правил / Л.1. Випасняк, В.1. Шекета // Математичш машини i системи. - 2010. - № 4. - С. 82 - 88.

8. Melnyk V.D. Frame Based Approach to Construction of Intelligent System for Student Knowledge Control / V.D. Melnyk, R.B. Vovk, M.M. Demchyna // IEEE Xplore Digital Library. - Modern Problems of Radio Engineering, Telecommunications and Computer Science (TCSET). IEEE Conference Publications. - 2010. - P. 287 - 287.

Стаття над1йшла до редакцп 17.03.2016