CC BY
76
УДК 004.4(043) 681.513.2
ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ВОССОЗДАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГРАФИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПО ЧЕРТЕЖАМ ТРЕХ ВИДОВ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ С.А. Минаков
В статье формализован процесс построения пространственной модели по чертежам неточных ортогональных проекций
Ключевые слова: трехмерная модель, ортогональная проекция
Согласно1 правилам начертательной геометрии и геометрического моделирования трехмерный объект на плоскости представляется множеством ортогональных проекций. Наиболее полную информацию о трехмерной модели можно получить, имея только три вида проекции: вид сверху, вид сбоку, вид спереди. Данного количества
ортогональных проекций достаточно для однозначного построения трехмерных моделей, но в частных случаях иногда приходится прибегать к дополнительному виду.
Необходимо уделить особое внимание представлению трехмерных графических моделей в системах графического моделирования на компьютере. Перед тем как рассматривать вопросы, связанные с моделированием пространственных объектов необходимо ввести следующие
определения, которые будут в дальнейшем
применяться в данной работе.
Твердотельная модель - это модель тела захватывающая пространство из трехмерных поверхностей или частичное пространство, окруженное несколькими поверхностями в трехмерном пространстве.
Для определения надлежащим образом
твердотельного объекта со всеми его поверхностями, линиями и точками, которые являются элементами трехмерной фигуры, введем следующие определения.
Грань - это сегмент поверхности, который образовывает границу между внутренней областью тела и наружным пространством.
Ребро - это линия пересечения двух различных граней. Линии, добавленные для описания надлежащим образом изогнутых поверхностей, являются в таком случае дополнительными линиями и называются вспомогательными ребрами.
Вершина - это точка пересечения более чем трех ребер. [1]
Согласно вышеописанным определениям твердотельная модель представляет собой
множество граней 8^2. Грань представляет собой совокупность поверхности и ограничивающим её рядом ребер, которые и составляют границу грани. Тогда элемент множества 1Рь указывает на множество ребер ограничивающих грань. В том
Минаков Сергей Алексеевич - ВГТУ, аспирант, е-шаі1:шіпакоу_зег§еу@шаі1.ги, тел. 8-961-181-70-41
случае если точку обзора поместить с внешней стороны грани, то элемент 1Рь будет классифицироваться как наружная граница грани, будучи рассмотренный в направлении против часовой стрелки или классифицироваться как внутренняя граница - будучи рассмотренный по часовой стрелке. Элементами множества ЬХУ2 являются ребра твердотельной модели. В свою очередь, элемент множества ЬХУ2 представляет собой отображение свойств графических примитивов (отрезок, дуга, окружность) и их конечных точек. Множество РХуг обозначает вершины, и каждый элемент РХУг - это пронумерованные с определенными координатами вершины [1].
Таким образом, твердое тело V можно выразить в математической форме следующим образом:
^йхуг ={рхуг,Ьхуг,1рь} (1)
Данное выражение можно применить к рис. 1.
Рис. 1. Пример модели представления твердотельной фигуры
Из рисунка следует, что множество вершин состоит из элементов {Р1, Р2, Р4, Р5, Р6, Р8}, элементы {Р3, Р7} принадлежат множеству вспомогательных вершин. Множество ребер содержит элементы {Ь1, Ь11}, а ребро Ь12 принадлежит множеству вспомогательных ребер. Множество граней состоит из элементов {Ри, — Рьб}
Для описанной выше твердотельной модели и всех прочих трехмерных моделей многогранников выполняются следующие отношения:
- более чем три ребра пересекаются в вершине;
- ребра образовывают границу двух
граней и находятся в противоположных направлениях, с точки зрения обхода этих граней вдоль рёбер против часовой стрелки;
- каждое ребро имеет по две различные вершины в качестве конечных точек;
Три вида ортогональных проекций какого-либо объекта, вполне достаточно для точного
представления твердотельной модели на плоскости. Но тождественность между твердотельной моделью и тремя видами её ортогональных проекции
устанавливается только в том случае, если соблюдаются определенные правила. Для этого необходимо рассмотреть вопрос, который касается отношений между твердотельными моделями и тремя видами их ортогональных проекций.
Вид сверху, вид спереди и вид сбоку,
представлены на соответствующих плоскостях Х-У, 2-Х и У-2. Процесс разложения твердотельной трехмерной модели на три вида ортогональных проекций может быть рассмотрен как функция трансформации ¥, которая изображена на Рис. 2. В свою очередь, чертеж трех видов проекций может быть представлен в виде совокупности множеств. Эти множества состоят из множества сегментов линий и множества групп точек, полученных в результате трансформации ¥. Точки на трех видах берутся не только из конечных и начальных точек линий с помощью операции показанной на рисунке
2. (Б), но также получаются в результате
пересечения сегментов линий, как
проиллюстрировано на рисунке 2. (В). Подобным образом, сегменты линий получаются не только с помощью операции показанной на рисунке 2 (В), но также образуются точками, полученными в результате разбиения линии на сегменты другой линией в точке их соприкосновения. С другой стороны, есть несколько точек или несколько линий, которые перекрываются на одном из видов проекции и становятся одной точкой или одной линией. По этой причине, соответствие один к одному между твердотельной трехмерной моделью и видами на чертеже не всегда сохраняется на уровне точек и линий.
Таким образом, из выше сказанного следует, что чертеж трех видов проекций представляется в виде множества вспомогательных точек и множества линий (графических примитивов).
Множество линий (графических примитивов) состоит из элементов, которые представляются заданием двух крайних точек и свойствами самого примитива.
Пусть ЬХу, Ь2Х, Ьу2 будут множеством отрезков на каждом из планов трех видов соответственно, и пусть РХу, Р2Х, Ру2 будут множеством основных точек, также на каждом из планов трех видов проекций. Таким образом, чертеж трех видов проекций можно представить следующим образом:
БК=¥(У)={Р,Ь}
Р={Р ХУ,Р уг,р гх}
Ь={Ьху,Ьу2,Ь2х}
(2)
Соответствие между твердотельной моделью и тремя видами проекций устанавливается только в том случае, если соблюдаются определенные правила. Таким образом, не всегда возможно воссоздать уникальную трехмерную твердотельную модель по трем видам её ортогональных проекций. Но из-за неравномерности трансформации ¥, может возникать ситуация невозможности однозначного восстановления твердотельной трехмерной модели по трем видам ортогональных проекций; в таком случае необходимо добавление дополнительных видов [2].
Для построения системы, которая генерирует пространственные твердотельные модели по трем видам ортогональных проекций на компьютере аналогично тому, как это осуществляется человеком, необходимо формализовать данный процесс. Поскольку компьютер оперирует логическими последовательными операциями и не может, как человек, пространственно мыслить, то для формализации процесса генерации пространственно твердотельной модели по трем видам необходимо все действия описать логически, последовательно и предоставить в понятном для компьютера виде.
Но поскольку за основу берутся изображения проекций с вероятностью нахождения на чертежах погрешности построения, то для устранения этих ошибок необходимо ввести функцию приведения проекций к безошибочному виду. Тогда на входе функции трансформации ¥-1 будут возможно неточные двумерные проекции Бк’.
Таким образом, трансформацию двумерных чертежей, можно представить в виде преобразования ¥-1, которое можно подразделить на пять операций.
У=Т-1(Ок')=Трь[^0н{ТьМ(ТЕа(Ба’))и
¥рк№ж(^’))]
(3)
Рис. 2. Преобразование твердотельной модели в три вида проекций
Схематично формулу 3 можно изобразить следующим образом (Рис. 3).
Рис. 3. Формализованное представление процесса восстановления пространственной модели по ортогональным проекциям
Описание преобразований ¥ЕК, ¥ш, ¥ш, ¥он и ¥РЬ, применяемых в формуле 3, сформулируем ниже.
Трансформация видов проекций ¥ЕК с точки зрения наличия погрешности построения. Пусть тогда Ксн множество, элементами которого являются различные виды погрешности построения видов проекций как то:
- наличие на видах проекций незамкнутых контуров;
- несоответствие масштабного коэффициента между видами проекций;
- неверное построение изображений с точки зрения свойств линий;
- ошибочная интерпретация названий видов и их действительного расположения на рабочем поле.
Пусть КсОя множество, элементами которого являются откорректированные значения величин относительно протокола контроля. Тогда множество точек и линий можно выразить следующими формулами:
Р=^Ек(Вк’)={Рху’ а ((КснПРху’) и КШк)} и И{Ру^А ((КснПРу2’) и Ксоя)} и
И{Рх7’А((КснПРх7’) ИКсоя)} (4)
Аналогичным образом применим
трансформацию ¥ЕК к элементам множества Ь’:
Ь=^Ея(Вя’)={Ьху’ А ((КснПЬху’) И КШк)} И
{Ьу2’Л ((КСнП ЬУ2 ’) И КСОЯ)} И
И{Ьх7’Л((КснПЬх7’) И Ксоя)} (5)
Таким образом, из вышеописанных формул получаем новые множества Р и Ь, но уже не содержащие элементы порождающие погрешности построения видов проекций.
Трансформация трехмерных точек происходит рассмотрением каждого элемента из множества отдельных точек, как трехмерные точки, которые имеют невыясненные значения по какой либо из осей координат в прямом направлении от установленной точки обзора. Преобразование можно выразить в виде формулы как:
РхУ2=^РК(Оя)=РхуП РугП Ргх (6)
где РХУг’ - множество, состоящее из элементов называемых вершинами связи;
РХУ, РУг, РгХ - множества точек соответствующие каждому из трех видов ортогональных проекций.
При трансформации в трехмерное пространство линий рассматривается каждый элемент множества линий как линия в трехмерном пространстве, которая имеет невыясненные значения по какой либо из осей координат в прямом направлении от установленной точки обзора. Преобразование можно выразить в виде
формулы как:
ЬХУ2’=^ЬК(Оя)= (ЬХУП ЬУ2П Ь2Х)И(ЬХУП Ьу2ПРгХ)И
И(ЬХУП РУгП Ь2Х)И(РХУП ЬУ2П Ь2Х) (7)
где ЬХУ2’ - множество элементы которого
называются ребрами связи;
Ьху, Ьу2, Ь2Х - множества линий соответствующие каждому из трех видов ортогональных проекций.
Преобразование ¥он является функцией исключения псевдо фигур из пространственной модели. По причине неточности преобразования ¥, полученная после трансформации трехмерная фигура {РХУг’,ЬХУг’} вероятно может содержать некоторые псевдо фигуры. Пусть Рон и Ьон будут представлять собой множества условий для того чтобы описать псевдо точки и псевдо ребра соответственно. На основании этого можно преобразование ¥он выразить в виде формулы как:
{ Р хуг,Ьхуг } ан[{Р хуг ’ ,Ьхуг ’}]= {Р хуг ’ ,Ьхуг ’} -
-{РанИЬан}П{РхУ2’,Ьху2’} (8)
где {РХуг,ЬХуг} - множество, состоящее из вершин и ребер полученных в результате исключения всех псевдо фигур из полученного трехмерного объекта.
Преобразование ¥РЬ отвечает за построение граней. Трехмерная фигура, полученная в результате восстановления по видам ортогональных проекций, представляется как множество {Рхуг,Ьхуг} элементами которого являются связанные между собой точки и линии (графические примитивы) - это эквивалентно фигуре сделанной из ребер в виде каркаса и такая фигура называется каркасной фигурой. Тогда пусть КРЬ выражает множество условий для формирования граней твердого тела, затем производиться трансформация ¥РЬ, которую можно выразить следующей формулой:
V=SXYZ=УPL[{PXYZ,LXYZ}]=KPLП{PXYZ, Ьхуг} (9)
Таким образом, твердотельная фигура выражается в математическом виде множества и описывается формулой.
Элементы из множества {РонИЬон} и элементы из множества КРЬ получаются в результате нахождения связей между гранями, ребрами и/или вершинами твердого тела.
Для множества условий КРЬ могут быть применены следующие отношения:
- Пусть п поверхностей которые содержат вершины получаются как пересечение п ребер.
- Ребро составляет границу двух граней, и проходит в противоположном направлении в ряде границ.
- Граница грани является замкнутым контуром.
Применяя описанные выше условия можно сформировать уникальные виды проекций.
Что касается псевдо фигур, то в случае с многогранниками условия с псевдо фигурами на формуле 3 получаются следующие. О.Р. и О.Ь. означает псевдо точка и псевдо линия соответственно. Тогда рассмотрим некоторые выражения, относящиеся к псевдо фигурам:
- изолированная точка является псевдо точкой;
- конечная точка является псевдо точкой и связанное с ней ребро, которая начинается с этой точки является псевдо ребром;
- угловая точка является псевдо точкой и две связанных с ней ребер которые начинаются из той точки являются псевдо ребрами;
- середина является псевдо точкой;
- связанная вершина в пересечении с тремя связанными ребрами и какие либо две из них находятся в одном направлении по обходу то эта точка является псевдо точкой, а ребро направление
обхода, которого было в другом направлении является псевдо ребром;
- связанная вершина являющаяся
пересечением трех ребер и эти ребра изображены на одном виде но не предыдущее высказывание. Тогда это псевдо точка и три псевдо грани;
- связная (совместная) вершина есть пересечение четырех связных ребер на некотором виде и меньше чем два связных ребра в том же направлении. Тогда эта точка является псевдо точкой и линии которые расположены не в том же самом направлении являются псевдо ребрами;
Описанные выше условия могут считаться только из условий наблюдения за вершинами. Некоторые псевдо фигуры могут быть разрешены еще на этапе построения граней и удалены на нем.
Литература
1. Idesawa M. A Systems to Generate a Solid Figure from Three View, Bulletin Of the JSME, 1973,16(92): 216~225.
2. Nagendra I V, Gujar V G. 3D Objects from 2D Orthographic Views—A Survey, Computers & Graphics, 1988,Vol. 12(1): 111-114.
3. Preiss K. Constructing the a Solid Representation from Engineering Projections, Computer and Graphics, 1984, Vol.8: 381-389.
FORMALIZE THE PROCESS OF RE-SPATIAL MODEL OF GRAPHIC DRAWING OF THE THREE TYPES OF ORTHOGONAL PROJECTIONS S.A. Minakov
In this paper formalized the process of constructing a spatial model of the drawings of orthogonal projections Key words: three-dimensional model, the orthogonal projection
