Формализация и оптимизация процессов переработки грузов в контейнерах на специализированных терминалах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 656.025.4/.6

РУСИНОВ Игорь Александрович, доктор технических наук, профессор кафедры экономики и основ управления Государственной морской академии имени адмирала С.О. Макарова (г. Санкт-Петербург). Автор 60 научных публикаций

ФОРМАЛИЗАЦИЯ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕРАБОТКИ ГРУЗОВ В КОНТЕЙНЕРАХ НА СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ ТЕРМИНАЛАХ

Рассматривается формализация и оптимизация процессов переработки грузов на специализированном терминале в виде разомкнутой системы массового обслуживания. Использование детерминированных моделей предполагает, что прибытие судов представляет собой регулярный поток событий, в котором прибытия следуют одно за другим, строго по графику, через одинаковые промежутки времени. В действительности моменты прибытия судов представляют собой нерегулярные потоки событий.

Ключевые слова: терминалы, контейнерные грузы, вероятностные модели, суда, причалы, система массового обслуживания.

Контейнерные перевозки являются наиболее удобным и экономичным способом транспортировки грузов. Конструкция грузового контейнера обеспечивает сохранную перевозку грузов в любой комбинации морских, речных и сухопутных видов транспорта. При этом интенсифицируются процессы переработки грузов, минимизируются затраты в транспортных узлах, упрощается мониторинг Основным транспортным узлом в контейнерных перевозках является специализированный контейнерный терминал. На терминале осуществляется переработка грузов, прибывающих на морских и речных судах в импорте, а также по железной дороге и автомобильным транспортом в экспорте.

© Русинов И.А., 2012

Неотъемлемой частью специализированного терминала являются каналы переработки грузов, которыми в частных случаях являются морские или речные причалы. При разработке и эксплуатации терминалов возникает необходимость определения показателей качества процессов переработки грузов, характеризующих среднее время ожидания судов и среднее время пребывания судов на терминале, а также пропорциональных этим показателям - средних значений числа судов, находящихся в очереди или на терминале. Указанные показатели характеризуют качество услуг, так как ожидание в очереди приводит к существенным потерям для транспортных компаний. В результате, несмотря на увеличение грузооборота, излиш-

нее увеличение коэффициента загрузки каналов становится экономически нерентабельным. При этом величина убытков возрастает с увеличением числа судов, простаивающих в ожидании освобождения каналов.

В настоящее время широкое распространение получили детерминированные модели переработки грузов. При использовании детерминированных моделей предполагается, что прибытие к терминалу морских или речных судов представляет собой регулярный поток событий, в котором прибытия следуют одно за другим строго по графику через одинаковые промежутки времени. Однако детерминированные модели не отражают специфику функционирования специализированных терминалов. В действительности моменты прибытия судов к терминалу представляют собой нерегулярные потоки событий.

Процессы, протекающие при обработке судов, переходят из одного состояния в другое в случайные моменты времени. При этом меняется число судов, находящихся в очереди и число занятых каналов. Переход процессов из одного состояния в другое происходит в моменты, когда либо новое судно подходит к терминалу, либо освобождается один из каналов. Система содержит п+1 счетное множество состояний: Е Е, Е ---Е где п - число

0 ,1, 2, п, ^

судов, находящихся в системе, т. е. учитываются как суда, находящиеся в очереди, так и суда, которые находятся в обработке.

Как известно, суммарный поток моментов прибытия морских или речных судов к терминалу можно рассматривать как сумму потоков судов, принадлежащих различным компаниям и доставляющих различные грузы.

В то же время известно, что при взаимном наложении большого числа ординарных стационарных потоков с практически любым последействием получается поток, сколь угодно близкий к стационарному пуассонов-скому (простейшему) потоку. Будем также считать, что время обработки судна подчиня-

ется показательному закону распределения.

Принятые допущения о пуассоновском потоке прихода судов и показательном распределении времени обработки контейнерных грузов, позволяют использовать для описания процессов в контейнерных терминалах аппарат массового обслуживания. Применение аппарата массового обслуживания позволяет описать процесс обработки судов в контейнерном терминале с помощью линейных дифференциальных уравнений и представить выражения для вероятностных показателей качества процессов в аналитической форме. Однако применение существующих моделей массового обслуживания для определения вероятностных характеристик процессов обработки судов не представляется целесообразным, так как указанные модели неадекватно описывают указанные процессы в реальных условиях функционирования.

Так, классическая теория обслуживания предусматривает исследование многоканальной системы, причем число приборов равно числу каналов. Каждый канал может обслуживаться одним прибором независимо от других каналов (система массового обслуживания без взаимопомощи). Кроме того, каналы могут обслуживать все свободные приборы или часть свободных приборов (СМО с полной или частичной взаимопомощью). Вероятности переходов системы из состояния Еп в состояния Е т. е. вероятность обслуживания одной заявки зависит от числа работающих каналов обслуживания. Результирующая интенсивность обслуживания в п-ом состоянии определяется на основе принципа линейной суперпозиции, т. е. равна суммарной интенсивности всех приборов обслуживания и кратна расчетной интенсивности одного прибора ц0. Таким образом, результирующая интенсивность обслуживания в этом случае не может превышать т. е. р,р < ^^0, а интенсивность обслуживания одним прибором р,0 не меняется в зависимости от состояния СМО. Помимо этого, процесс обслуживания считается непрогнозируемым и неуправляемым, т. е. администратору СМО

неизвестно число заявок, которые в ближайшее время поступят в систему, и он не может в зависимости от состояния СМО менять интенсивности приборов обслуживания.

В реальных условиях функционирования терминала процессы переработки грузов не адекватны указанным допущениям. Именно поэтому рассматривается централизованная система обработки грузов, управление которой осуществляется администратором (диспетчером) терминала. Администратор определяет дисциплину очереди и дисциплину обслуживания, а также производит распределения человеческих и технических ресурсов между отдельными каналами. В случае необходимости, когда очередь судов существенно возрастает, администратор может привлечь дополнительные ресурсы, тем самым существенно увеличивая интенсивность обработки грузов отдельными каналами. Однако во многих случаях в виду ограничения фронта перегрузочных работ результирующая интенсивность системы становится меньше суммарной интенсивности отдельных технических средств. Таким образом, в реальных условиях результирующая интенсивность обработки грузов, как правило, не бывает кратной средней интенсивности обработки р,0 и в отдельных случаях может превышать величину $р,0.

Указанные особенности централизованной системы обработки контейнерных грузов требуют, чтобы разрабатываемые вероятностные модели учитывали возможность изменений интенсивности отдельных приборов обслуживания в зависимости от состояния СМО. Однако классическая теория массового обслуживания оперирует с постоянными значениями интенсивности отдельных приборов восстановления. Поэтому одним из основных научных результатов настоящей работы является развитие классической теории массового обслуживания с учетом специфики функционирования контейнерного терминала, т. е. с учетом возможности изменения значения интенсивности обслуживания отдельными приборами в зависимости от состояния СМО.

Рассмотрим контейнерный терминал, включающий £ каналов, на вход которых поступает

простейший поток судов (заявок) с интенсивностью А . Расчетная интенсивность обработки каждым причалом равна ц0. Однако результирующая интенсивность процесса может меняться в зависимости от его состояния. Результирующая интенсивность обработки грузов в состоянии Е=гп^. где гп - коэффициент интенсивности обработки может быть как целым, так и дробным числом. Как правило, когда заняты все причалы, т. е. п>£ предполагается что г =const (обычно г =г ).

п ^ п тах-'

Возможностью «перескока» системы через состояние (например, из Еп в Еп+2 или из Е в Еп+1 минуя состояние Еп+1 и Еп) за малый промежуток времени dt можно пренебречь, как величиной высшего порядка малости.

Величина гп характеризует результирующую интенсивность обработки контейнерных грузов в состояние Еп, гп может быть как целым, так и дробным числом, а в отдельных случаях превышать величину £.

Наглядное представление о марковском процессе обработки грузов дает квадратная матрица интенсивностей простейших потоков прихода судов и обработки грузов. Если рассматривать п+1 состояние системы, то матрица интенсивностей имеет вид:

X =

Ео Еі Е2 Ез • • Еп_і Еп Е ^п+1

" 0 X 0 0 . . 0 0 0"

ГіМ0 0 X 0 . 0 0 0

0 Г2 М-0 0 X . 0 0 0

0 0 Г3 М0 0 . 0 0 0

0 0 0 0 . . 0 X 0

0 0 0 0 . . ГпМ0 0 X

0 0 0 0 . . 0 Гп+іМ 0 0 _

Е

Ег

(1)

Е„_1

Е„

Матрице интенсивностей соответствует ориентированный граф состояний, в котором размер ребра, связывающий два последовательных состояния, равен соответствующей интенсивности перехода из одного состояния в другое. Указанный граф состояний приведен на рисунке.

0

Г1^ Г2^0

Рис. 1

Рассмотрим, какими свойствами должна обладать матрица интенсивностей, а, следовательно, и граф состояний, чтобы в СМО протекали пуассоновские процессы. Для этого необходимо, чтобы все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, были пуассоновским (простейшими), т. е. элементы матрицы интенсивностей (1) не изменялись во времени. Таким образом, коэффициенты г (п=1,2,3...) могут принимать любые целые или дробные положительные значения, но должны оставаться постоянными величинами. Такая матрица обычно называется простейшей матрицей, а соответствующий случайный процесс простейшим марковским процессом. Аналогичным образом граф состояний (см. рисунок), из которого каждому ребру соответствуют постоянные значения интенсивностей, будем называть простейшим графом состояний.

На основе графа состояний может быть составлена стохастическая матрица переходов. При этом следует учитывать, что, как показано выше, ввиду отсутствия «перескока» событие V может быть только одним из трех событий Е ,,Е ,Е ^,( v=n-1,n, п+1). Соответственно,

п-1 ’ п п+1 4 ' ’

каждая строка и каждый столбец стохастической матрицы не должны содержать больше трех ненулевых элементов. В соответствии с изложенным выше представим вероятности перехода системы из одного состояния в другое следующим образом:

Е0 —

Е Х-^Е0

PQ0 = l-Xt Р01 = Xt

Рю =

r Un

n 0

rn+lU0

\<n<S

n>S

- - X + ц0 = X

. - ц

— — X +

=x

- = Ц

Mo

Тогда стохастическую матрицу переходов можно представить в виде матрицы:

J(t=

1-М

E

Idt

о

о

r\i0dt 1-(l+rn0 )dt Idt о

о r2\i0dt 1-(Х+г2ц0)dt Mt

S-i

о

о

о

о о ... 1 -(l+rn-1n0)dt Idt

о о ... rn\i0dt 1 -(l+rn^0)dt

о

о

(2)

Строкам матрицы соответствует состояние En(t), а столбцам - En+1(t). Осуществив операцию транспонирования над левой и правой частями выражения PT (t + dt) = PT (t)J(t), получим: P(t + dt) = JT (t) P(t),

где JT(t) - матрица, транспонированная к матрице переходов J(t),

P(t) - вектор столбец вероятностей размерностей n*1.

Представим (2) в виде:

P(t+dt) = [JT(t) - En ] P(t) + P(t),

Перенесем P(t) в левую часть, тогда:

P(t + dt) - P(t) = [ JT(t) - En ] P(t),

Разделив левую и правую части (2) на dt,

получим: p'(t) = Rp(t),

E

о

о

о

о

где - R = -1 [ Jт (1) - Еп ] матрица, которая имеет вид:

К =

Р р Рг Р-. р п р 1 ;+1

-Я 0 0 0 0 р0

я -(Я+ Г2^0 ■■ 0 0 0 р

0 я -(Я + Г2Ц0) ■■ 0 0 0 р2

0 0 Я ■■ 0 0 0 Рз

0 0 0 ■■■ -(Я+?;,-іМ'0) ГА 0 Р;-

0 0 0 ■■■ я -(Я+ГА) Г;+1^0. Р.

Первые п+1 дифференциальных уравнений системы обработки грузов можно также представить в виде:

/,0'(?) = -ХР0(0 + ^о Ц(0

%'(0 = Ц, (0 -(Х+г^о)^ (0 + г2ц0 Р2 (О

(3)

Ш = ^-.(0-(Ь + ^о)Ш + г„+1Цо ^і(0 , и = 1,2,3...

Будем считать, что процесс обработки грузов является марковским случайным эрго-дическим, то есть по истечению достаточно продолжительного промежутка времени (теоретически при 1^-да) вероятности состояний систем обработки грузов практически не зависят от того, в каком состоянии систем находилась в начальный момент времени при 1=0 и не зависит от самого промежутка времени. Такое допущение возможно, т. к. все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, являются простейшими, т. е. все элементы матрицы интенсивностей (1) являются постоянными величинами.

На основе уравнений (3) производится исследование системы переработки грузов в динамических режимах.

Режим работы контейнерного терминала, при котором вероятности Рп нахождения системы в состоянии п не зависит от времени, называется стационарным режимом. Таким образом, контейнерный терминал имеет предельные стационарные режимы. Характери-

стики этих режимов зависят не от того, в каком состоянии контейнерный терминал находился в начальный момент времени, а от принятой дисциплины обработки грузов, т. е. от распределения ресурсов контейнерного терминала.

Для определения значений вероятностей отдельных состояний системы в стационарных режимах необходимо приравнять к 0 значения производных состояний, т. е. левых частей системы уравнений (3).

Распишем систему уравнений более подробно, перенесем в каждом уравнении одно из слагаемых в левую часть. В результате получили:

г, Но Р\ ~ К

г2\1оР2 = (Ь + г1\10)Р1-'кР0 *зИо ^3 = (^ + *2Мч>)^2 ~

Глйч) ~ (Л + Гп-\\^о)Рп-1 ^"^-2

Введем обозначение у = — и назовем ее

М"0

приведеннои плотностью потока прихода судов. Выражение соотношении между стационарными значениями вероятностей отдельных состоянии:

Р = -г

р2 = — УР =— V2 Р0

гг

Рз = - ¥Р =— V 3Ро

Рп= - ¥Р,_і = ^~ V пРо

г

(4)

п

г

Используя выражение (4) получим нормировочное условие:

где г0 берется равным 1.

1-І—-V ”

"=0 п Г

Соответственно, выражение для вероятности нулевого состояния системы, т. е. вероятности того, что в момент прихода судна в порт все причалы будут свободны, определяется выражением:

1

Р0 = -

1

П г

-¥

(5)

Будем считать, что при презультирующая интенсивность системы равна гшахр,0. Обычно S’=S т. е. равна числу причалов. Однако в отдельных случаях S’ может быть как больше, так и меньше числа причалов ^ В дальнейшем, если это не будет оговорено, будем считать S’=S. Тогда:

Р .

Р. =

П -

¥

П -

Нормировочное условие можно записать следующим образом:

Р„

¥'

П г. П г

1-1

Ґ \а ¥

=1 .

Вторая сумма (6) представляет сумму членов геометрической прогрессии. Отсюда:

Р = —

-'о Л-1

1

¥

- + -

¥

(7)

П Г П г, (1

¥

)

п=1

Выражение (7) является наиболее общим выражением для вероятности того, что в момент прихода судна в порт все причалы свободны. В зависимости от дисциплины обработки грузов (без взаимопомощи, с полной или ча-

стичной взаимопомощью, а также в случаях, когда интенсивность обработки грузов отдельными причалами меняется в зависимости от состояния системы) значение коэффициентов г., а, следовательно, и элементов матрицы интенсивностей и переходов будет меняться. Соответственно будут меняться и выражения для вероятностей состояний системы. Но все они могут рассматриваться, как частные случаи выражений (4) и (7). Стационарный режим системы существует только при выполнении следу-

¥

< 1

(6)

ющего условия:

гшах

Если взять г =S (как это достаточно часто

шах ^ ^

встречается на практике), то условие существования стационарного режима можно записать в виде: ф, = ^<1 ,

где ф - коэффициент загрузки системы обработки судов.

Из этих условий следует, что среднее число судов, обрабатываемых в единицу времени всеми S причалами, должно быть больше среднего числа судов, поступающих в терминал в единицу времени. Если это условие не выполняется, то число мест в очереди считается бесконечным, а в терминале не будет стационарного режима. Действительно при ¥-Гшах (ф>1), процесс неограниченно перемещается в сторону состояний с большим числом d, и очередь будет неограниченно возрастать. Тогда при ¥-Гшах (ф>1), для любого конечного й НшPs+й = 0, т. е. система должна обязательно про ити состояние S+d и не вернуться в него. Действительно при гтх=¥, как видно из (5) и (6), вероятности Р0 и Р равны 0. При г <¥ эти выражения теряют

п * * шах ' * *

физический смысл.

Определим среднее число судов, находящихся в очереди.

й = £ (п - s)р, = £ йр,+й = р £ й (-^-)й

п=Л+1

а=1

а=1

г

тах

+

где d=n-S чи 5ло судов находящихся в оче-

¥

реди: р = р

ГS Г0 S

П г

1 -1

Получим выражение для среднего числа судов, находящихся в очереди:

¥

— ¥5 г ¥ ^

л = Р ----------^------= р V

0 S ¥ *0 S-1

П Г (! - — )2 П Г((Гшах-¥)2

1=1

1=1

Определим среднее число судов, находящихся в терминале:

5-1 ^

^ = £ Прп = £ Прп + £ Прп .

п=0 п=0 п=5+1

Тогда среднее общее число судов в терминале:

5 ¥п

d2 = d + 5 -£ (5 - п) -5------------------------------------------------------------Р0

П Гп

п=0

п=1

П

Среднее время ожидания судна в очереди и среднее общее время пребывания судна в терминале определяются с помощью формул Литтла.

Среднее время задержки судна в ожидании процесса обработки из-за занятых причалов:

- = I = Рр ¥5+1 = Р) ¥5

Т ож л л 5-1 5-1 .

х ХП'•Д'та,-¥)г ^ 5П г(1 -ф)г

1=1 1=1

Среднее общее время пребывания судна в терминале:

- dy d 5 1

Т — — — —I---------I—

2 X X X X

= Т +1

ож X

5 - £ (5 - п) Р„

п=0

5 -£ (5 - п) Р„

п=0

Следует отметить, что независимо от значения у и 5 среднее число в терминале равно сумме среднего числа обрабатываемых судов и среднего числа судов, находящихся в очереди, Т е. ^ = doбр + (Л .

Соответственно, среднее число судов находящихся в обработке:

— 5 ¥п

= 5 -£ (5 - п)-^ .

Полученные вероятностные модели процессов переработки грузов позволяют произвести вероятностный анализ характеристик указанных процессов в общем случае с учетом возможной зависимости коэффициента интенсивности г от дисциплины переработки грузов.

Расчеты, произведенные на основе вышеприведенных выражений, позволяют администратору специализированного терминала решать вопросы о планируемой интенсивности потока прихода судов в определенный период времени с учетом допустимой длины очереди и достаточно высокой пропускной способности. Если во время указанного периода интенсивность прихода судов увеличивается по сравнению с планируемой, то администратор передает часть судов на смежный терминал.

Список литературы

1. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М., 1987.

2. Русинов И.А. Обработка и хранение рефрижераторных грузов на специализированном терминале. СПб. 2005.

3. Его же. Формализация и оптимизация процессов переработки рефрижераторных грузов на специализированных терминалах. СПб., 2008.

Rusinov Igor Alexandrovich

Admiral Makarov State Maritime Academy (St. Petersburg)

FORMALIZATION AND OPTIMIZATION OF CARGO HANDLING IN CONTAINERS AT

SPECIALIZED TERMINALS

The article considers formalization and optimization of cargo handling at a specialized terminal as an open-loop queuing system. The use of deterministic models presupposes that vessels are coming in at regular time intervals and according to the schedule. In practice, however, these intervals are irregular.

Key words: terminals, containerized cargo, probabilistic models, ships, berths, queuing system.

Контактная информация: е-mail: [email protected]

Рецензент - Зубарев Ю.Я., доктор технических наук, профессор кафедры вычислительных систем и информатики факультета информационных технологий Санкт-Петербургского государственного университета водных коммуникаций