Научная статья на тему 'Флуктуации амплитуды и лучевого вектора в приближении марковского процесса'

Флуктуации амплитуды и лучевого вектора в приближении марковского процесса Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
54
7
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Власова О. К., Приходько Л. И.

Рассмотрены флуктуации луча и амплитуды волны вдоль луча в случайной в среднем однородной среде в приближении геометрической оптики. Решение задачи основано на представлении процесса рассеяния в виде динамических стохастических уравнений типа уравнения Ланжевена. В предположении, что радиус корреляции флуктуации диэлектрической проницаемости мал по сравнению с расстоянием, рассеяние можно рассматривать как процесс Маркова и перейти от динамических уравнений к уравнению Эйнштейна-Фоккера [1]. В результате решения уравнения Эйнштейна-Фоккера получена плотность вероятности положения и направления луча и амплитуды волны.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Власова О. К., Приходько Л. И.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Флуктуации амплитуды и лучевого вектора в приближении марковского процесса»

РАДИОФИЗИКА УДК 550.388.2

ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ И ЛУЧЕВОГО ВЕКТОРА В ПРИБЛИЖЕНИИ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА

О. К. Власова*), Л. И. Приходько

(.кафедра физики атмосферы)

Рассмотрены флуктуации луча и амплитуды волны вдоль луча в случайной в среднем однородной среде в приближении геометрической оптики. Решение задачи основано на представлении процесса рассеяния в виде динамических стохастических уравнений типа уравнения Ланжевена. В предположении, что радиус корреляции флуктуаций диэлектрической проницаемости мал по сравнению с расстоянием, рассеяние можно рассматривать как процесс Маркова и перейти от динамических уравнений к уравнению Эйнштейна-Фоккера [1]. В результате решения уравнения Эйнштейна-Фоккера получена плотность вероятности положения и направления луча и амплитуды волны.

Решение задачи диффузии луча е помощью представления флуктуационного процесса марковским рассматривалось в целом ряде работ (см., напр., [1-3]), однако для полного описания рассеяния волны необходимо учесть и флуктуации амплитуды вдоль луча.

Рассмотрим уравнение эйконала и уравнение переноса для амплитуды нулевого приближения геометрической оптики [4]

(Уг¥>)2 = £, 2(Уг<р УгА)+АА<р = 0,

(1) (2)

где А — амплитуда, <р — фаза волны, поле имеет в каждой точке структуру плоской волны

и=Ае

е = п2 — диэлектрическая проницаемость среды, которую представим в виде суммы регулярной и случайной составляющих

£ = £0+ £[.

Уравнению эйконала (1) эквивалентны уравнения луча [4]

йг

= 5,

с1{пБ)

= Угп,

(3)

(1а ' (1а где 5 — единичный вектор касательной к лучу, который для среды в среднем изотропной является также и нормалью к фазовому фронту, а — длина дуги, пройденной лучом,

V

л/ё '

(4)

Уравнение переноса (2) можно записать в виде динамического стохастического уравнения для амплитуды. Из определения (4) следует

= А93 = сНУ .

Учитывая, что 5УГЛ = (1А/(1а, получим вместо (2)

Представим теперь уравнения (3), (5) в виде динамических уравнений вида с

йБ

= 5) + 5),

(6)

где £>г-(А,5) — детерминированные, а /¿(А, я) — случайные функции. Если случайные функции обладают следующими свойствами: 1) /¿(А,«) — гауссово случайное поле в пространстве (к, я); 2) т,8)}= 0, 3) (Нк,8)Ш,8'))=26(8-8')х А',«), то плотность вероятности для системы (6), т.е. функция

Р8(х) = {8пШ - х)} (здесь — решение (1), соответствующее определенной реализации /(&, я), а усреднение проводится по множеству всех реализаций /), удовлетворяет уравнению Эйштейна-Фоккера

дР8(х) , а

Эх,

д2

дхкд%1

В уравнении (7) введено обозначение

~дРш(х,у,з

Ры(х,х,8)Р3(х)]= 0. (7)

дх,

у=х

Центр гидрофизических исследований.

Для реальных задач корреляционная функция не удовлетворяет условию ¿-корреляции, в этой связи под у, я) следует понимать величину

(8)

Для больших по сравнению с радиусом корреляции я, я^яо, можно использовать формулу

Ры(х,у) =

1

(Мх,8Шу,8>)ё8>.

О)

Для представления уравнений (3), (5) в виде уравнения (6), как показано в работе [1], следует от переменной а перейти к переменной г, вдоль которой первоначально направлен луч, иначе условие 3 не может быть выполнено. Этот переход требует ограничения флуктуаций направления луча, а именно:

<4>«1- (Ю)

Из решения задачи диффузии луча [1] следует, что (10) можно представить в виде

О

Го

< 1,

(11)

где Го — радиус корреляции флуктуаций неоднород-ностей диэлектрической проницаемости.

Помимо перехода от а к г, как показано в работах [3, 2], для записи уравнений луча в виде (6) целесообразно воспользоваться методом последовательных приближений. Поскольку

2 >г0, (12)

то из неравенства (11) следует

(13)

и диэлектрическую проницаемость можно записать следующим образом:

£ = £о + аеа, а< 1. (14)

Итак, перейдем в уравнениях (3) от длины дуги к координате г, вдоль которой первоначально направлен луч, и представим решение в виде ряда по степеням а. С точностью до 0(а2) уравнения, описывающие диффузию луча

йг± йБ± а

~с =—Vr±£a,

йг

йг 2е

получим 2]:

(15)

о

где г± = г±{х,у}, 5± = 5±{3х,3у}.

Остановимся подробнее на получении динамического уравнения типа уравнения Ланжевена (6) для амплитуды волны исходя из выражения (5).

Как и в случае решения задачи диффузии луча, переходим сначала от длины дуги а к координате г, вдоль которой первоначально направлен луч:

^ Л (16)

йг

1

I 2\/ё

Очевидно, что выражение (16) также справедливо, если выполнено условие (10). Далее воспользуемся методом последовательных приближений, предполагая, что малым флуктуациям диэлектрической проницаемости (13) соответствуют малые флуктуации амплитуды и луча:

А = А0 + аАа + О(а2),

Г, ~Г|и + пГ|„+0(п2).

5± = -$±о + «5±а + 0(а2).

Получим из (16) в нулевом и первом приближении по а уравнения для амплитуды

с1А0

йг ЗАа йг

= 0,

2е0 (Ну $±а

Умножая второе уравнение на а и складывая с первым, представим уравнение для амплитуды

с точностью до 0(а2

йА аАо деа йг 4ео дг

получим из решения луче

^ (Ну

(17)

Выражение для (Ну вых уравнений (15)

а

2Ёо

тогда

(Ну 5] =

а

2£П

д2еа Эх2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д2£а\ .

В результате динамическое уравнение для амплитуды имеет вид

йА йг

аАо I 1 деГ

2е0 I 2 дг

\дх>2

д2е'

ду-

А

йг' > (18)

Уравнение (18) вместе с уравнениями (15) можно представить как систему уравнений типа уравнения Ланжевена, если ввести случайный пятимерный процесс к = к{х,у,8х,8у,А} в соответствии с обозначениями (6). Далее следуем вышеописанной схеме перехода от динамического уравнения к уравнению Эйнштейна-Фоккера для плотности вероятности решения к(г) системы (15), (18). Коэффициенты уравнения Эйнштейна-Фоккера для первых четырех координат случайного процесса к = к(х,у,8х,8у,А) уже были получены в [1,2]:

2 9

р р п £а

где О — коэффициент диффузии луча при распространении в случайной в среднем однородной среде.

Остается вычислить коэффициенты, связанные с амплитудой.

В соответствии с (6) и (18) иА = 0. Найдем коэффициент РА,4 по формулам (8), (9):

PAA(x,y,z) =

_ (У2Al

—¡4

и " 1 д£а

Л 2 dz .

(d2gá , д2е'а » , , W2 ду'2 1

2 dz'

(92£g 92е" i dx"2 ду"2

dz'. (20)

Представим (20) в виде суммы интегралов:

f^ = ^(i/i+2/2+2/3+2/4)'

Дадим определения и вычислим эти интегралы.

д2Р

h =

d£a<K\d,= / 2 dz dz'/ Va

dzdz'

dz',

где

Р(г-п = £а{Г)-а{Г')

— функция корреляции неоднородностей диэлектрической проницаемости. Предполагая далее, что неоднородности изомерны и р = р(г2) = р[(х — х')2 + + (У ~~ У')2 + (z — z')2) [5], вычислим соответствующие производные

д2Р = 4 d2P {z _ z>f _ dzdz' d(r2)2 dr2'

Пусть функция корреляции имеет вид гауееоиды р = е-

го — определяет радиус корреляции неоднородностей диэлектрической проницаемости. Тогда

h = 24

е r'2/ro г2 dr ■

~r'2/r° dr 1=0,

поскольку вычислять коэффициенты уравнения Эйншейна-Фоккера следует в точке х = у, где

х = х', у = у'.

Рассмотрим теперь интеграл ¡2

h =

d2p"

dz" I dz'

Вводя относительные координаты х' — х" = х, у' —у" = у, z' — z" = z и координаты центра тяжести

±(х' + х") = х0, ¡(y' + y")=yo, ¡(z' + z") = z0, получим

h = el

dztfi

crp dzdx2

dz.

о о

В выбранных переменных р = р(х2 + у2 следовательно,

dx2dz В результате

(Х = у = 0) = 4e-'W

4'

'2=44-2-

г0

Интеграл /3 имеет вид

/я =

dz'

dx>2

Г d2e

а dz'dz" ) =

dx"2

= e2

ca

dz'

dzQ • 2

л

- a*p

dx4

dr.

о 0

Поскольку ¥§(x = y = 0)= 12e^r2/ro \, то

h =

dx4'

12z2e2

'0

r4 ro

e-r 'ro dr = 6e2\/n-iT.

Последний интеграл

/4 =

dz'

dx'2

PßpH \

a dz' dz"

dy

//2

хо о 0

вычислим, производя те же операции, что и при вычислении двух предыдущих:

h = el

zdz-2

л

• diP d2xd2y

dr

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

= ^z2-r4 r0

x=y=0

1 ^

Таким образом, коэффициент Faa удовлетворяет следующему выражению:

£¡r0

Z г, Г- / 2

— + 2у/тг[ -

ro Vo

Поскольку должно быть выполнено условие (12), то первым членом в квадратных скобках можно пренебречь. В итоге получим

£0го \го/

или Од =ОА^- 16(г/го)2, т.е. диффузия амплитуды значительно больше, чем диффузия направления луча (16).

Нетрудно показать на примере вычисления

F,\s,(x.y. z) =

о

а2А0 деа 4е2 дх

х

1 де'а

2 дг>

Г

\дх"2

д2е"

" са

ду"2

dz"

dz'

что коэффициенты уравнения Эйнштейна-Фоккера РлБг = ^АБц = 0, поскольку соответствующие производные

сРр

( д2р \

= 0,

х=х', у=у

d2xjdx;

= 0,

/ Х:=Х,= 0

где Х(,X] = х,у.

Таким образом, уравнение Эйнштейна-Фок-кера для плотности вероятности решения системы (15), (18) с учетом (19) имеет вид

д2Р

^±^г±Рг = 0А5±Рг+0А- 7

dPz(r±,S±,A,z)

Ог ' г±' ' " а±' * ' дА2

(21)

с начальными условиями

Рг=о(г±, Л) = 5(г±) ¿(¿х) 8(А - Л0).

Для решения уравнения (21) воспользуемся методом разделения переменных и представим решение в виде Рг(г±,5±,А) = У(г±,8±)и(А). Тогда У(гх,5х) удовлетворяет уравнению

8V

— + S±Vr±V = DAs±V, ог

V(z = 0) = S(r±)S(S±),

решение которого при выбранных начальных условиях хорошо известно [6, 1]:

F(r±,S±) =

3 f J_

4n2D2z4 6XP I D

S2

ZÄ,

z

3 S±r± 3 r2

(22)

Очевидно, что II(Л) удовлетворяет уравнению и начальным условиям:

ои д2и

dz ~ а0А2'

U(z = 0) = S(A-A0),

(23)

где DA = DA(z) = \6DA2(z/r0)2.

Решение уравнения (23) получено в работе [7]:

иш =

1

4vrJ16 DA2 (ff dz

1/2

x

x exp

(Л-Л0)2

4J16M 2{ff dz, 0

V3

64vr D*A2(foY

1/2

exp

З(Л-Лр)2 64 D*A2(foy

(24)

где О* = Ог0 = у^т а2е2а/{Ае1).

Итак, получен совместный закон распределения флуктуаций луча и амплитуды вдоль луча. Флуктуации амплитуды не зависят от флуктуаций положения и направления луча. Дисперсия амплитудных флуктуаций равна

32

(Л-Л0)2 = у£>*Ло

Го

Поведение дисперсии амплитуды определяется отношением (г/го)3. Поскольку для перехода от динамических уравнений к уравнению Эйнште-йна-Фоккера необходимо выполнение ограничений (10), (12), то из решения (22) следует, что флуктуации положения луча ограничены пройденным расстоянием гораздо слабее флуктуаций направления [1], а именно

г2 < г2.

Дисперсия амплитудных флуктуаций, как следует из решения (24), ограничена, очевидно, еще более слабым условием

(Л-Л0)2<—.

го

Заметим, что выражения для дисперсии флуктуаций амплитуды в приближении геометрической оптики получены другими методами в работах [4, 5] и имеют тот же характер зависимости от величины z/го, что и в настоящей работе. Укажем также, что в [8] величина дисперсии амплитудных флуктуаций пропорциональна первой степени z/r, что существенно отличается от приведенных выше результатов.

Литература

1. Кляцкин В.И., Татарский В.И. // Изв. вузов. Радиофизика. 1971. 14, № 5. С. 707.

2. Власова O.K. Развитие метода диффузии луча и решение некоторых задач рассеяния. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. МГУ, физический факультет, 2004.

3. Комиссаров В.М. // Изв. вузов. Радиофизика. 1966. 9, № 2. С. 292.

4. Рытое СМ., Кравцов ¡O.A., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Ч. И. Случайные поля. М., 1978.

5. Чернов J1.А. Волны в случайно-неоднородных средах. М., 1975.

6. Фейнберг E.J1. Распространение волн вдоль земной поверхности. М., 1961.

7. Чандрасекар С. Стохастические процессы в физике и астрономии. М., 1947.

8. Гусев В.Д., Куницын В.Е. // Докл. РАН. 2000. 372, № 4. С. 476.

Поступила в редакцию 25.11.05

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.