CC BY
87
Недорезов В.Г. ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТАЛЛОФОЛЬГОВЫХ РЕЗИСТОРОВ
На основе анализа физико-механических эффектов, действующих в конструкции металлофольгового резистивного элемента, разработана модель, описывающая их температурную зависимость сопротивления. С учетом тензорезистивного эффекта получена общая модель удобная для проведения расчетов. Проверка разработанной модели методом сравнения расчетных данных с экспериментальными результатами показала хорошую сходимость эксперимента с предложенной моделью. Представленная физико - математическая модель температурной зависимости сопротивления металлофольговых резисторов позволяет не только рассчитывать температурную зависимость сопротивления металлофольговых резисторов, но и осуществлять подбор материалов, обеспечивающих получение резисторов с исчезающее малым температурным коэффициентом сопротивления.
Основные тенденции и направления развития производства резисторов и резисторных компонентов в первую очередь, определяются изделиями, имеющими уникальные параметры по временной и температурной стабильности сопротивления, по величине токовых шумов, по точности обеспечения номинального сопротивления и т.д. Такими уникальными характеристиками обладают прецизионные и суперпрецизион-ные резисторы, изготавливаемые из сплавов: сопротивления в виде микропровода, микропроволоки и
металлургической фольги микронных размеров.
Вполне очевидно, что прогресс в изготовлении прецизионных и суперпрецизионных резисторов является особо важным, т.к. он определяет научно-технический прогресс в смежных областях, использующих эти изделия, и способствует созданию радиоэлектронной аппаратуры, приборов и комплексов, отличающихся высокой точностью, стабильностью, надежностью и качеством.
К изделиям, разработка которых стала возможной благодаря глубокой научной проработке, использованию прогрессивных групповых технологий и специальным конструкторским и материа-ловедческим решениям, относятся металлофольговые резисторы, сочетающие в себе достоинства проволочных резисторов с технологичностью изготовления полупроводниковых изделий [1]. Достижение высоких эксплуатационных характеристик этих резисторов, и, прежде всего, температурного коэффициента сопротивления (ТКС), обеспечивается за счет принципа термокомпенсации, который связан с терморезистивным эффектом, возникающим в системе резистивный материал - подложка из-за различия их температурных коэффициентов линейного расширения (ТКЛР).
Однако, физико - математическая модель температурной стабильности металлофольговых резисторов в настоящее время отсутствует. Это может быть связано с действительным ее отсутствием или с огромной тайной, которую создает по данному вопросу фирма «Vishay», являющаяся монополистом по данному направлению резисторостроения. Автором настоящей статьи за время работы в головном российском институте по резисторостроению опубликовано несколько статей по данному вопросу [2, 3] . В этой статье приводятся последние соображения автора в части физико - мате-
матической модели температурной стабильности металлофольговых резисторов.
При разработке данной модели ТКС были сделаны следующие допущения:
резистивная фольга жестко связана с подложкой, т. е. влияние клеевого слоя не учитывается;
толщина подложки намного больше толщины резистивной ленты, поэтому влияние фольги на подложку не учитывается;
температурные коэффициенты линейного расширения подложки и резистивного материала в рабочем интервале температур практически постоянны (это подтверждается экспериментально);
резистивная фольга вследствие малой ее толщины находится в резистивном элементе в плосконапряженном состоянии, а величина деформации - в упругой области.
С учетом этих допущений была разработана физико-математическая модель температурной зависимости сопротивления металлофольговых резисторов. При разработке модели учитывались следующие составляющие, вносящие вклад в температурную зависимость сопротивления: собственная температурная зависимость сопротивления исходной резистивной фольги и изменения сопротивления, обусловленные изменениями ее геометрических размеров и объема. Температурная зависимость сопротивления резистора в таком случае будет определяться выражением
I — I - изменение сопротивления резистивного материала (свободного) от температуры;
V я )сф
(я,)
I — I - изменение сопротивления резистивного материала (свободного) за счет изменения объе-
V Я0 )у сф
ма от температуры;
( я, ]
I — I - изменение сопротивления резистивного материала (приклеенного или напыленного) за
V Яо)упф
счет изменения объема от температуры;
В связи с тем, что в настоящее время для резистивных материалов, обладающих аномально низким ТКС, не существует единой теоретической концепции механизма электропереноса, а обычно применяемая модель Грюнанзена - Блоха [4] дает хорошее совпадение экспериментальных результатов с теоретическими только для некоторых чистых металлов, поэтому для описания температурной зависимости сопротивления свободной резистивной фольги можно воспользоваться выражением
где #20 - соответствует ТКС резистивной ленты при температуре 20 °С;
Р - характеризует температурную зависимость ТКС.
Изменение сопротивления свободной резистивной фольги от температуры за счет изменения ее объема и геометрии определяется
(1)
где
сопротивления резистора от температуры;
I + й1
Я ^ ^ (а + йак + йк)
К° )у СФ Р0-^
а • к
где 1, а, h - геометрические размеры элемента фольги;
da, dh - изменение геометрических размеров от температуры.
Если изменение геометрических параметров определяется температурным коэффициентом расширени-
-II - 1------- . (4)
Уф I Ро )1 + аф (Т-Т0)
В соответствии с [5]
йр (3&У А <&а &к & ^
р V ^ а к I ) ,
где О - коэффициент Бриджмена;
dV - изменение объема фольги при изменении температуры от То до Т.
При отсутствии анизотропии температурного коэффициента линейного расширения
йР = -30(Т -Т0) .(5) Р
С учетом подстановки (5) в (4) и после преобразований, получим
(;|) = 1> - 30 •аф (Т - Т Ж1 -аф (Т - Т )] . (6)
Для приклеенной фольги выражение подобно (3), только
йр ^йУ йа йк й1 \
-^- = -0-----О1 ---+-----+ — (7)
р V ^ а к I )
йа й1 , ч
—, — - изменение длины и ширины элемента резистора, равное ап(1 -Т0), а изменение высоты
а I
у = аф (Т - То ) + 2м(аф -ап )(Т - То ) • (8)
После преобразований и подстановки выражений (5-8) в уравнение (3), получим
ч
.Я
-{1 - О [ 2ап (Т - То ) + аф (Т - Т ) + 2р(а*-ап )](Т - Т )};
0 )у сф (9)
[1 -аф (Т - То)-2м(аф -ап )(Т - То)] ■
После подстановки выражений (2) им
|-Я-) =1 + а20 (т - То) + Р(т - То) + 2(аф-ап )(Т - То )(и+ °М-0 )■ (10)
После подстановки выражений (2), (6) и (9) в исходное уравнение (1) и его преобразования по-
лучим
1о)^г\± ±о) ^ф ^пЖ* *о)
у р
Выражение для ТКС, полученное из данной формулы, имеет вид
ТКС = а2о + Р(Т - Т ) + 2 (аф — ап ) + G^ - G) . (11)
Первое составляющее в данном выражении соответствует ТКС резистора при комнатной температуре, вторая составляющая характеризует крутизну изменения ТКС от температуры и третья определяется тензорезистивным эффектом.
В связи с тем, что коэффициент Бриджмена, входящий в выражение (11), представляет собой «вещь в себе» достаточно сложно определяемая величина, удобнее выразить третью составляющую через коэффициент тензочувствительности.
Коэффициент тензочувствительности является количественной характеристикой тензорезистивного эффекта и определяется как относительное изменение сопротивления от деформации:
к=■ ,12!
где £ - относительная деформация.
Коэффициент тензочувствительности зависит от свойств материала, направления приложения деформации и направления протекания тока.
В связи с отсутствием общей физико-математической модели, устанавливающей эту связь, автором сделан вывод зависимости коэффициента тензочувствительности, из которой вытекают частные случаи.
Вывод формулы производился при следующих допущениях:
материал, подвергаемый деформации, является изотропным;
деформация сжатия (растяжения) находится в упругой области;
изменения сопротивления в материалах обусловлены изменениями размеров и объема, а не структурной перестройкой.
Рассмотрим образец, подвергаемый деформации, в виде прямоугольного параллелепипеда. Пусть направление протекания тока совпадает с осью х параллелепипеда. Деформация образца осуществляется в произвольном направлении, не совпадающем ни с одной из главных осей. В этом случае деформация будет полностью описываться тензором деформации с шестью независимыми коэффициентами.
Изменение сопротивления под воздействием деформации £ , если направление этой деформации составляет с осями х, у, z углы а , р , у , будет иметь вид:
X + dX _ X_ p (Y + dY)(Z + dZ) pYZ
X
/ p— , (13)
YZ , (1З)
где р,р\ - удельное сопротивление материала до и после воздействия деформации;
йХ, dY, йХ - изменение размеров в направлении осей х, у, z, соответственно. После преобразования выражения (13) получим
йЯ Л а 1 + ег
--- 1 г------1 , (14)
R )є p (1 +ЄУ )(1 +Є2 )
Учитывая выражение (7) и после преобразований получим
= G (Ex +Ey +Ez )+ 1 • (15)
Подставив (15) в (14), получим dR') f1 +G (£x + sy + sz )]-(1 + sx) ,
--- =-------7-----ч-----------------1 • (16)
R Ss (1 +Ey )(1 +Ez )
Если обозначить составляющие деформации s на оси x, y, z как sx = s • cosa ; Sy = s- cos Р ; s'=s* cosy , (17)
то деформация по главным осям будет определяться следующими соотношениями:
sx = s^-v-(s’y + sZ); sy = s^~U'(sX+SZ); sz = s^-M-(S'x + s'y), (18)
где u - коэффициент Пуассона.
Подставив данные соотношения в уравнение (16), получим dR Л f1 + G (S'x +S'y +S'z )(1 - 2u)]'[1 +SX -u'(s'x +S'z )] ^
R Js [1 +s'y -U'(s'x + s'z )]'[l + s'2-U'(s'x +s'y )] ( )
После перемножения, исключения малых второго порядка и разложения данного выражения в ряд Маклорена получим
|~Rj = Gє • (1 — 2^)(cosa + cosp + cosу) + є •[cosa — л • (cosp + cosy)] —
-s' [cosy - u' (cosa + cosp)] - s' [cosp- u' (cosa + cosy)] • (20)
Разделив правую и левую части данного выражения на деформацию, получим общий вид изменения коэффициента тензочувствительности К в зависимости от характеристик материала и углов a, Р, у для случая деформации объемного образца в произвольном направлении по отношению к направлению протекания тока
K = G' (1 - 2u)' (cosa + cosp + cos у) + (cosa - cosp - cos у) + 2u' cosa . (21)
Рассмотрим частные случаи, вытекающие из данного выражения:
1. Одноосное напряженное состояние, когда направление протекания тока совпадает с направлением деформации, т.е. a = 0 ,/? = 90е,у = 90' (продольный тензоэффект) .
Уравнение (21) преобразуется к виду
K^ = G(1 -2u) +1 + 2u , (22)
где k0 - продольный коэффициент тензочувствительности.
2. Одноосное напряженное состояние, когда направление протекания тока перпендикулярно приложенной деформации, т.е. a = 90 ,/? = 0°,;^ = 90 (поперечный тензоэффект) .
Уравнение (21) преобразуется к виду = G(l-2/и)- \ , (23)
где - поперечный коэффициент тензочувствительности.
3. Плосконапряженное состояние, когда направление протекания тока составляет с деформацией углы 0(а(90 ,0(/?(90и,у = 90 . Если угол р выразить через угол а , то уравнение (16) преобразуется к виду
Kx = G'(1 -2u) '(cosa + sina) + (1 + 2u)cosa-sina , (24)
где Kx - коэффициент тензочувствительности в зависимости от угла a при плосконапряженном состоянии.
Полученные из общего уравнения частные случаи для коэффициентов тензочувствительности совпадают с выражениями, приводимыми в литературе, например [6].
В экспериментальном плане наиболее просто определяется продольный коэффициент тензочувствительности [7], поэтому выразим коэффициент Бриджмена через продольный коэффициент тензочувствительности •
K^ = G(1 — 2л) + 1 + 2л^G = 1 + 2л K« , (2b)
2/л — 1
Тогда
ТКС = a20 +p{T — To) + 2(a# —an)| * +| — | Л — 1 + | — • (26)
где єх,Є ,Є2 - составляющие деформации в направлении осей x, y, z, соответственно.
ЖС — а20 +P(T _ To) + 2(аф _ап)
AR і _/ і
— — 1 а20 + 2(аф _ап)'
R
1 + 2м_ K^ 2м_ 1
1 + 2м_ K^ 2м_1
■(м_ 1 ) + м
■(м _ 1 )+м
(27)
(Т _ To ) + ^(Т _ To )2
После построения физической модели ТКС металлофольгового резистора необходимо определить условия, при которых обеспечивается минимальный ТКС в диапазоне рабочих температур.
В общем виде эта задача решается следующим образом
* 2
J ТКС(Т)• dT ^ min ^ 0
(28)
||а20 + Р(Т _ To) + 2(аф _ап)
осле интегрирования
а20 _Р Т0 + 2 (аф _ап )
1 + 2м_ K» (м_ 1)+м 2м _1
(29)
После интегрирования, получим
1 + 2м_ Kt
а20 _Р^ Т0 + 2(аф _ап )•
2м_ 1 1 + 2м_ Kt
(м_ 1)+м
• (Т _ Т )+|(Т22 _ Т12) — 0
2м_ 1
(м _ 1) + м
+|(Т2 + Т ) — 0
а
+ "т(Т2 + Т1 _ 2Т0) + 2(аф _ап)
1 + 2м_ K^ 2м_1
■(м _ 1)+м
- 0
(30)
где Т2, Ті, To - максимальная, минимальная и комнатная температура, соответственно, в рабочем диапазоне температур;
Все величины, входящие в данное выражение являются постоянными (в рамках разработанной модели), кроме а2о (величина ТКС при температуре 2 0 °С). Для обеспечения минимальных значений ТКС в рабочем интервале температур необходимо решить данное уравнение относительно а2о •
Определение величины а2о в рамках полученной модели проведем для металлофоль гового резистора типа Р2-67 на основе лучшей отечественной резистивной фольги из сплава «Х».
Рабочий диапазон температур Т, Т для резистора типа Р2-67 задается минус 60...+ 125 °С.
В результате решения уравнения (30) исходное значение а2о для обеспечения минимального значения температурного коэффициента сопротивления в рабочем диапазоне должно составить +11,32•Ю-6 °С-1 (или 11,32 ppm).
Расчетные температурные зависимости сопротивления исходной фольги из отечественного сплава «Х» - и резистора Р2-67, обеспечивающие минимально возможное значение ТКС при выбранной конструкции и материалов приведены на графике (рисунок) . На этом же графике представлена температурная зависимость реального резистора типа Р2- 67 с температурной зависимостью сопротивления близкой к расчетной. Различие в температурных характеристиках идеального и реального резистора показано на нижней вставке к данному графику. Расхождение значений идеального и реального резистора обусловлено, в большей степени, отклонением температурной зависимости сопротивления исходной резистивной фольги от расчетной и, в меньшей степени, связано с погрешностью определения физических характеристик материалов, входящих в данную модель и определяющих точность сходимости экспериментальной и расчетной кривой.
Отечественная резистивная фольга из «Х» - сплава, которая по параметрам близка к «С» -
сплаву фирмы «Vishay», и обеспечивает в резисторах в рабочем диапазоне температур минус 60. + 125 °С минимальные значения ТКС на уровне ± (2.3) ppm.
Металлофольговые резисторы, разработанные НИИ электронно-механических приборов и выпускаемые в настоящее время, не уступают по температурной стабильности сопротивления резисторам фирмы «Vishay» на основе сплава «С».
или
или
Рисунок Температурные зависимости сопротивления исходной фольги и резисторов на основе отечественного сплава «Х»: Ш - исходная фольга; - резистор с минимально возможным ТКС; О - реальный резистор
Выводы:
Таким образом, в статье представлена общая физико - математическая модель температурной зависимости сопротивления металлофольговых резисторов удобная для проведения расчетов, пользуясь которой можно не только определять температурную зависимость сопротивления резисторов, но и обеспечивать подбор материалов, обеспечивающих получение резисторов с исчезающее малым температурным коэффициентом сопротивления.
ЛИТЕРАТУРА
1. Каталог фирмы «Vishay».
2. Недорезов В.Г. Температурная зависимость сопротивления металлофольговых резисторов// Электронная техника. Сер. Радиодетали и радиокомпоненты. - 1988, - Вып. 2(71), - с. 22-25.
3. Недорезов В.Г. Зависимость коэффициента тензочувствительности керметных резистивных материалов зависимости от направления протекания тока и деформации// Перспективные материалы,2003 - №3, - С. 95-100
4. Займан Дж. Электроны и фононы. - М.: ИЛ, 1962. - 488 с.
5. Рузга З. Электрические тензометры сопротивления. М.: Мир,1964, 365с.
6. C. Canali et. al. Strain sensitiviti in Thick-films resistors. Trans. on Comp. Hybr. & Man. Techn. v. CHMT-3, № 3, 1980, рр.421-423.
7. Недорезов В.Г. Физико-механические эффекты резистивной проволоки из прецизионных сплавов сопротивления/ А.В. Кузнецов, В.Г. Недорезов, В.И. Старкин // Электронная техника. Сер. Материалы . - 1990, - Вып. 8(253), - с. 63-66.
