Физическое моделирование в примерах решения задач в области теплообменных и гидродинамических процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рис.4

Проведенные нами систематические измерения скорости (вдоль семи сверхкритических изотерм и критической изохоры) показали, что на всех изотермах наблюдаются минимумы скорости ультразвука, которые вырождаются по мере ухода от критической точки по любым термодинамическим путям. Причем, характер изменения на левых и правых ветвях скорости различен, так как отражает свойства сверхкритического пара и докритической квазижидкости. Минимум мини-морум скорости приходится на точку, близкую к критической и составляет 249,7м / с.

Изложенная методика ультраакустических измерений оказалась настолько эффективной, что позволила обнаружить и проанализировать релаксационные процессы флуктуационной природы в воде в критической области[7].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Ерохин Н.Ф., Кальянов Б.И. Теплофизика высоких температур. 1979. Т. 17. № 2. С. 290.

2. Ерохин Н.Ф. Компаниец В.И. Приборы и техника эксперимента. 2005. № 4. С. 127.

3. Колесников Е.А. Ультразвуковые измерения. М.: Изд-во стандартов, 1970.

4. Кальянов Б.И, Макаров Л. Т. Акустический журнал. 1966. Т.14. № 4. Вып.2. С. 294.

5. Del Grosso V.A., Mader C.W. Speed of sound in pure water. Journal. Acouct. Soc. Amer., 1974. V. 52. № 5. P. 1442-1446.

6. Александров А.А., Ларкин Д.К. Теплоэнергетика. 1976. № 2. С. 75.

7. Ерохин Н.Ф. Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 1980. Т. 31. Вып.12. С. 763.

В.В. Мартыненко, Т.М. Абрамович

ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРИМЕРАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В ОБЛАСТИ ТЕПЛООБМЕННЫХ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Одним из основных направлений современной педагогической науки и образовательной практики в настоящее время стало исследование моделей, их свойств и методов моделирования. Применение моделирования в образовательных исследованиях связано с многообразием его функций и возможностей. В определенном смысле моделирование следует понимать как специфический способ познания, при котором одна система как объект исследования воспроизводится в другую, то есть модель. В зависимости от характера используемых в научном исследовании моделей различают несколько видов моделирования.

В статье особое внимание уделено физическому моделированию, которое характеризуется физическим подобием между моделью и оригиналом и имеет целью воспроизведение в модели процессов, свойственных оригиналу. Часто к данному виду моделирования прибегают в тех случаях, исследователь сталкивается с задачами весьма сложными по своему физическому содержанию. При изучении таких задач приходится вводить множество разнообразных величин, каждая из которых рассматривается как самостоятельная переменная. Именно здесь возникают основные трудности, связанные с количественным исследованием.

Выйти из этого затруднительного положения дает возможность метод, позволяющий непосредственно на основании анализа постановки задачи найти связь между отдельными группами величин и соединить их в безразмерные комплексы строго определенного вида [1].

Переход от обычных физических величин к величинам комплексного типа, которые составлены из тех же величин, но в определенных сочетаниях, зависящих от природы процесса, создает важные преимущества. Прежде всего, достигается уменьшение числа переменных. Вместе с тем при исследовании задачи в этих величинах более отчетливо выступают внутренние связи, характеризующие процесс, и вся количественная картина в целом становится более ясной. Наконец, новые переменные обладают еще одной важной особенностью. Очевидно, заданное значение комплекса может быть получено как результат бесчисленного множества различных комбинаций составляющих его величин. Это значит, что при рассмотрении задачи в новых переменных исследуется не единичный частный случай, а бесконечное множество различных случаев, объединенных общностью свойств. Таким образом, новые переменные по самому своему существу являются обобщенными.

Замещение обычных переменных обобщенными является основной чертой рассматриваемой системы исследования. Методы построения и применения обобщенных переменных нашли свое отражение в теории подобия.

Методы теории подобия с успехом могут быть использованы в тех случаях, когда уравнения, представляющие собой решение задачи, включают в себя большое число параметров. Многочисленность аргументов (свойство типичное для рассматриваемых задач) приводит к существенному осложнению исследования. Тем самым простые и ясные физические идеи, составляющие содержание общих физических законов, предстают перед нами в форме чрезвычайно сложных уравнений. Обработка этих уравнений с помощью аппарата теории подобия позволяет упростить исследование, представив обобщенные переменные в виде комплексов величин, объединенных в одно целое теми связями, которые заложены в самой модели процесса. Использование методов теории подобия дает возможность оптимизировать результаты численного решения или эксперимента. Для получения практически используемых математических модельных соотношений на основе сказанного выше, требуется оптимизировать эксперимент. Для этой цели может быть использован метод математического планирования многофакторного эксперимента, в котором роль факторов выполняют безразмерные комплексы физических величин.

Однако следует заметить, что в рассматриваемой системе исследования есть свои недостатки. Прежде всего, это объясняется отсутствием у данной теории необходимого объема физических представлений, который так необходим для правильной постановки задачи. В этом случае должен быть достигнут такого уровня глубины и конкретности физических идей, который достаточен для вывода уравнений, определяющих процесс.

Но, тем не менее, если применение теории подобия, возможно, то ей, несомненно, следует отдать предпочтение виду того, что ее аппарат значительно проще, а методы данной теории не уступают в отношении насыщенности получаемых результатов.

Далее мы рассмотрим несколько примеров задач основанных на теории подобия и используемых для исследования некоторых теоретических проблем порошковой металлургии, получения защитных порошковых покрытий в частности.

1. Модель воздействия потока газа на сферическую частицу.

Мы будем рассматривать стационарные потоки жидкости или газа.

Предположим, речь идет об обтекании твердого тела (частицы порошка в газопорошковой

струе).

Из параметров, характеризующих газ в уравнения движения газа (вязкой жидкости) входит только кинетическая вязкость v = г) / р (в м2/ с), а функциями подлежащими определению решением уравнений Навье-Стокса является скорость потока v и отношение р / р (р » const), где р - давление в потоке [2].

Кроме того, необходимо учесть граничные условия в зависимости от формы обтекаемого тела и его размеров. Форму тела принимаем заданной - сфера. Тогда геометрический параметр -радиус сферы R. Скорость натекающего на сферу потока = v0 (см. рис. 1):

Рис. 1.

Таким образом, любой тип движения газа определяется тремя параметрами: V, у,,, К Из этих величин можно составить только одну независимую комбинацию:

Яе =

Р^оЯ _

(1)

Любой другой безразмерный параметр должен быть функцией Re.

Поле скоростей, полученное решением уравнений Навье-Стокса можно записать в виде:

(2)

,Яе - безразмерная функция от безразмерных величин г =г/Я иЯе. Из выражения (2) следует, что обтекающие сферу (вообще говоря, тело любой заданной формы) потоки подобны, если у них совпадают числа Рейнольдса (Re).

На этом принципе основано моделирование потоков жидкости или газа. По аналогии с (2) можно записать для давления в потоке

Р

= Ро^(*

Яе

(3)

причем величина p0 имеет размерность давления и

Ро = Р^ •

(4)

Посредством (3) можно вычислить силу Fg, действующую на обтекаемое тело, силу сопротивления.

Вычисление приведет нас к величине

Б = ру^(Яе)

(5)

S = п R - площадь поперечного сечения.

Обычно силу лобового сопротивления записывают в виде

С§ру0

(6)

где Cg - коэффициент лобового сопротивления, причем согласно (5):

Cg = Cg (Яе).

(7)

2. Модель теплообмена сферической частицы порошка с горячим газом при газотермическом напылении покрытий.

2

1) Для решения тепловых задач широко привлекаются модели на основе характерных для тепловых процессов критериальных безразмерных величин.

Так, например, для решения задач о нагревании сферической частицы в среде с высокой температурой Т можно использовать уравнения теплообмена (в сферических координатах) [3]:

г2 дг{ дг ) 8t

-яДЬ

дг

= a<Ti-T2] (9)

r=R

Индекс "1" относится к газу, индекс "2" - к частицам.

Здесь а2 = ——— - коэффициент температуропроводности; Х2 - коэффициент теплопро-Ср2Р2

водности материала частицы; Ср2 - теплоемкость и р2 - плотность частицы; Т1 - температура

газа; Т2 - температура частицы.

Если в (8 - 9) ввести безразмерные координаты I, г и температуру 0 согласно:

г = Яг*, 1*=р0 = ^1 е = (Ю)

Я2 Т1-Т20

тогда (8-9) можно записать в виде:

*2 36 59

* - - ' г г or

* ^ * 1 " дг'1 5Fo'

_59 <3г*

= Bi-9,Bi =

aR

* 1 г =1

(11)

2

где В1 - критерий Био; Бо - число Фурье.

Здесь система безразмерных критериев 9, Вк Бо и г взаимосвязаны уравнением - решением уравнений (11) [3]:

е = г(ш,Ро,г), (12)

которые решают проблему нагревания частицы в потоке газа за счет явления теплопроводности (8) сферы при граничных условиях (9).

Отметим, что при В1« 1 из (11) следует, что градиентом температуры 99 / дг можно пренебречь и решить задачу о нагревании частицы при продвижении ее в потоке газа от начала потока до детали (дистанция напыления) так, как если бы частица нагревалась без учета времени теплопроводности в ней. Именно такую модель мы применяем при расчете дистанции напыления покрытий горячей газопорошковой струей (см. ниже).

В этом случае необходимость в решении (12) отпадает.

2) Из теоремы подобия для случая теплообмена следует, что коэффициент теплоотдачи а в (9) должен быть представлен функцией безразмерных критериев

Re =

PjV2R

ill

Pr =

rijC

P2

(13)

(14)

Здесь Яе - число Рейнольдса, Рг - число Прандтля.

Используя методы теории подобия, можно поставить тепловой эксперимент при обдуве сферы потоком в лабораторных условиях и найти выражение для а; имеем в диапазоне 10 < Яс < 105 согласно [3]:

а = —!- ^ + 0,6Ре1/2Рг1/3 2К

(15)

Отметим, что величина в скобках в (15) называется числом Нуссельта Ми и безразмерна. В общем виде

а = —. 2К

(16)

Критерий равномерного прогрева частиц порошка потоком Ы << 1 можно записать в виде:

■ = —!- *+0,3 Ке^Рг ^2 ^2

(17)

3. Модель вихревых потоков шлака в кристаллизаторе при электрошлаковой наплавке (ЭШН).

При рассмотрении данной модели предполагается, что частицы порошка под действием гидродинамических сил, а также сил, порожденных воздействием внешнего магнитного поля, транспортируются через шлак в область формирования композиционного покрытия (см. рис. 2) по прогнозируемым траекториям.

Для оценки скорости вихревого движения шлака в ванне воспользуемся системой уравнений магнитной гидродинамики. Имеем [4]:

<ЭУ

а

у

ав

= — Ур + г|Лу+ |В

1в]

го1Е =--, ШуВ = 0, ШуЕ = 0,

с*

divV = 0 (шлак предполагается несжимаемы м),

го1В = ц^ + |лхт V В 7]

(18)

Здесь В = Вс + Ь _ вектор магнитной индукции, причем Вс - постоянная его составляющая; р - давление в потоке; V - вектор скорости потока шлака; г| - коэффициент сдвиговой вязкости шлака; j - плотность тока в ванне; Е - напряженность электрического поля; ^ - постоянная составляющая плотности тока; т - магнитная проницаемость шлака; а - коэффициент его электропроводности.

Полная плотность тока в шлаковой ванне:

j = к =аЕ

Выполняя в (18) простые преобразования, находим:

= -Ур + Г|Ау+ (б ,

— + <У V

а

(19)

(20)

«ЗВ

¡да — = ДВ + ца гсЛ | В

(21)

В (20-21) для нахождения целей удобно перейти к безразмерным переменным, если ввести характерные оценки величин р I, / (для координат), V , ](Г Во = Вс, р0уд давления). В безразмерных переменных мы получим:

а

<3v d.*^*^* >> * 1 ПпНа2 Haz I — +f V у = -V р +—Av +—--LB 4--I

Re

Re-Re,

m

Re

B

oB 1 * I*

—- =-А В +rot f В

a* Rem 1 ■

(22), (23)

В уравнениях (22 - 23) введены безразмерные комплексы:

Re = Pq/qVq (число Рейнольдса), Л

Rem = ikjvq/q (магнитное число Рейнольдса), Ha = Bq/q /— (число Гартмана ),

V л

joh /q

П0 =

Br

-(критерий подобия токов)

(24)

В условиях ЭШН у нас

Ро = 2,5 • 1Q3 , Л = 10 2Па • с, ц = 1,3 • 10_6 —,ст я 5 • 1Q2 —1—.

м3 м Ом ■ м

BQ =6-10~2Тл,/0 =10~2м, jQ = 1Q6

(25)

Критериальные комплексы (24) получаются согласно (25):

Re = 12,5-103, Rem = 3,3-10~5, На = 0,13 и П0 = 0,22. С учетом этих оценок (весьма приблизительных, конечно), система уравнений (22 - 23) упрощается, и мы получим:

2 я

dv d*^* i* n* * ПпНа I*

—г+fV у = —V p +—y-L В

a > Re-Ren * c"

*

ffi

a* Re„

1 ,*r* -A b ■

(26) (27)

Нетрудно заметить, что (27) описывает процесс диффузии переменного магнитного поля

—*

Ь в среде и из известных из теории диффузии соотношений вытекает, что характерная диффузионная длина этого процесса

/0 . (28)

Am =

л/Re

Из (24 - 25) следует, что Ат » 2м, т.е. за время стабилизации Ь, магнитного поля Ь в шлаковой ванне, оно охватывает весь ее объем.

В дальнейших оценках мы исходим из квазистационарного режима МГД-процессов в шлаковой ванне, положим

8v _ *

8t

(29)

м

m

Проводя в (26) интегрирование по безразмерным поверхностям и контурам, мы получим оценочное соотношение

Re-Rem = СсДНа2, (30)

где

Со = Г1/Г2, (31)

и

r1=c[[jcBc]d/ , r2=^[rot v v ]d/ • (32)

Из (30) мы имеем оценку скорость v0 вихревого тока:

/'ПП0На

V -С1'2

v0 ~

2у/2

;2

(33)

Величина С0 порядка единиц. Тогда v0® 0,5 м/с.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гухман А.А. Введение в теорию подобия. М.: Высшая школа, 1963. С. 254.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. С. 736.

3. Нюдаев Б.Н. Техническая термодинамика. Теплопередача: Учеб. пособие для не энергетических специальностей вузов. М.: Высшая школа, 1988. С. 479.

4. Математические модели физических процессов: Материалы 9-й международной научной конференции / Отв. ред. Т.М. Абрамович. Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 2003. С. 214.

В.И. Переверзев

РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ НАД ИДЕАЛЬНЫМ ГАЗОМ УДАРНЫМИ СИЛАМИ

Допустим, что стенки замкнутого сосуда, в котором содержится идеальный газ, состоящий

из совокупности I элементов А Sj, способных перемещаться со скоростью U ст . Свяжем с молекулой поверхности А Sj, с которой сталкивается i-я молекула газа, систему отсчёта К2 , а с самим элементом систему отсчёта К1. В системе отсчёта К1 система отсчёта К2 движется со средней скоростью Uji. После соударения в течение весьма малого промежутка времени Xjt скорость i-й молекулы в неподвижной системе отсчёта К

—<-f —► V = 2U +2U -V

1 ]1 сту 7

где U • - скорость движения i-й молекулы газа в неподвижной системе К. При столкновении i -й молекулы газа с элементом ASi на неё действует ударная сила

- 2111 , - -

F =—-l\U +U —и

J'°P Т л °у '

л 4

где - масса i -й молекулы газа. В течении времени Tji соударения ее скорость относительно молекулы поверхности элемента ASj стенок сосуда, с которой она сталкивается, сначала уменьшается до нуля, а затем вновь достигает по модулю своего прежнего значения. На момент окончания явления удара точка соприкосновения в пространстве неподвижной системы отсчета K испытывает перемещение