Фильтрационный перенос воздухом консервативной примеси (температуры и теплоты) сквозь стену Текст научной статьи по специальности «Математика»

-►

СТРОИТЕЛЬСТВО

УДК 532 (531+512.81)

М.Р. Петриченко, Д.В. Петросова, М.В. Петроченко

ФИЛЬТРАЦИОННЫМ ПЕРЕНОС ВОЗДУХОМ

КОНСЕРВАТИВНОЙ ПРИМЕСИ (ТЕМПЕРАТУРЫ И ТЕПЛОТЫ) СКВОЗЬ СТЕНУ

Фильтрационный перенос консервативной примеси можно использовать для стилизации теплопередачи через ограждающую конструкцию. Роль консервативной примеси при этом играет температура, роль концентрации — безразмерный температурный напор:

0:= е[0,1]; йТ _-(-Тс)й0.

Тк-Тс

Здесь индексы к и с относятся соответственно к горячей и холодной поверхностям стены (рис. 1).

В условиях плавно изменяющегося фильтрационного движения (поток вдоль оси х; гидравлические элементы потока — функции ограниченного роста) для средней скорости фильтрации используется формула Дюпюи:

V = кЫ;

/ :_- й йх

/

Р_ ч ЯР

йх

д

' дТ

ЯТ

8

Т _Я(Тк-Тс))0.

йх

8

йх

V _

кЯ(Тк -Тс)й0

йх

где Я — индивидуальная газовая постоянная воздуха (Я = 287 Дж/(кг-К) = 287 м2/(с2-К)).

Ниже рассматриваются простейшие задачи, связанные с применением формулы Дюпюи.

Коэффициент фильтрации к предполагается известным [1].

Пусть известны температуры Тк, Тс на плоскостях соответственно х = 0 и х = 5. Требуется найти: распределение температуры в стене; тепловые потоки, выносимые фильтрующимся воздухом сквозь стену. Температура считается консервативной (по Верно) примесью, не влияющей на коэффициенты переноса. Уравнение теплопередачи (Фурье) в данном случае имеет вид

где к — коэффициент фильтрации, Ы — градиент пьезометрического напора. По определению и используя предположение о совершенности фильтрующегося воздуха, можно записать:

Р_

ч 8Р,

й 20 йХ 2

--^

| _ 0; йХ 1

X :_х е [0,1];

укЯ (Тк - Тс)

8v

Предельные условия:

0(0 )_0(1)-1 _ 0.

(1)

(2)

Рис. 1. Схема фильтрации сквозь стенку.

Пунктир — чистая теплопроводность, сплошные линии — фильтрация

Дробь s=

akR (T -T)

gv

— безразмерна; оче-

видно, это число подобия — фильтрационный аналог числа Рэлея [1]. Пусть s = s0 = const. Тогда решение задачи имеет вид

Q(X ) = l]n--

sn 1 - qns

qo:=

d е

dX

q :=

0 1 q0 s0X = 1 - exp (-S0);

X=0

d е

0

q0

q1 := q (1) =

dX 1 - q0s0 X

/ de

dX

q0

(3)

'X=1 1 % 5° Переменную q естественно называть концентрацией теплового потока.

В силу (3) ql>q0. Очевидно, что 9(Х) ^ X,

причем двойная стрелка означает равномерную сходимость по переменной X. Выражениям для плотности теплового потока q можно придать симметричный вид, исключив координату X: ехр (°е)(1-ехр (-5°)) _

q=

q\ =

exp (s0 )-1

Рис. 2. Влияние фильрацион-ного числа Рэлея на концентрацию напора (линейная или консервативная фильтрация)

и в твердом теле — линейное. С увеличением 5° распределение температуры фильтрующегося воздуха отклоняется от линейного (см. рис. 2). Точно так же тепловой поток, передаваемый воздухом по ходу фильтрации, возрастает. При этом

q\

— = ехр 5°.

qo

По ходу воздушного потока происходит своеобразная фильтрация примеси температуры, причем концентрация е(^ < 1. Падение температуры наблюдается на выходе из стены. При этом одновременно увеличивается концентрация q/q0 теплового потока, т. е. «вынос» теплоты из стены. В размерных переменных

<2-т; ^ ( )=|(г„- Ге ,

где X — коэффициент теплопроводности воздуха.

Пусть к(X) = к/(X);/(X) > °, X е (°,1). Тогда

^^ ^ (т т )

5 = 5°/(X), где 5° := —°——-— . Тогда уравне-

ние (1) принимает вид

gv

d 2е

dX

- S0 f (X)

de I = 0.

dX,

(1.1)

X = 1-ехр(-5о9), ее[°,1]. (3.1) 1 - ехр (-5°)

Итак, при малых значениях 5°, (5°<<1), распределение концентрации е(^ такое же, как

Предельные условия — прежние, (2). Тогда

1 = Л - S0F (X) , где F (X) := ]fdx; q(X) q0

q (X )=1

q0

- M0F (X)

; q (1)=T

0

q0

- S0q0F (1)'

(4)

e(X )=q0 J r

dt

°1 - -Ш Р ()'

причем dF/dX > °.

Пусть е = 1. Тогда X = 1, и для определения q0 получаем условие

1 = Ц_ . (5)

°1 - () '

Возможны следующие ситуации: 1. В качестве модельной функции для коэффициента фильтрации, увеличивающегося по ходу фильтрационного потока, можно взять / (X) = X» Тогда

F (X) =

X

m+1

m +1

+ 0.

s

0

s

0

Строительство -►

И поэтому q1 - q0 ^ 0 (практически достаточно ш > 3). Поэтому в поровом пространстве стены с коэффициентом фильтрации, возрастающим по степенному закону вдоль фильтрационного потока, выравнивается концентрация теплового потока; концентрация же температурного напора 0 распределяется по линейному закону.

2. ЕслиДХ) = (1 — Х)ш, т. е. коэффициент фильтрации уменьшается по ходу фильтрационного

потока воздуха, то X) _

1 - (1 - X)

ш+1

- 0. Вы-

q _

1 - Soqo (X - X)

при X1 < X < X2;

q _

qo

1 - ^0 ((2 - X1)

при X2 < X < 1.

Концентрация ql конечна, если < -

1

qo (( - Xl)

Определение q0 производится по формуле (5):

- +

1 _ q0 Xl + — 1п 1

¿0 1 - soq0 ((2- ^) qo (1 - X2)

1 - qo ((2- Xl) Пусть X2 - X1: = А << 1. Тогда 1 _ q0 + А2 +

ш-1т *>0 40 * ш

+... + —-— А +..., и концентрации теплового

ш

потока в начале и в конце фильтрационного потока составят соответственно

qo _-

1 1

'.0А2 А4 .0 А2 0

_0А2;

ql _ q (1)_ у

_10__ ¿0А Л q

_ „2*3 _qo,

- SoqoF(1) 1 - А

тока

„2л3

Пусть величина концентрации теплового по-<< 1, тогда при А<<1, = 0(1),

¿0 А2

Ш +1 ш^ю

вод аналогичен выводу пункта 1.

3. Если /(X) = х(Х, X2), 0 < X1 < X2 < 1, где X — характеристическая функция отрезка (X, X2), то

Г (X)_ 0, для 0 < X < X1;

Г(X)_X-X1, для X1 <X<X2;

Г (X)_ X2 - X1, для X2 < X < 1. Значит, в силу (4)

q _ q0 при 0 < X < Xl;

qo

s2А3 << 1. Значит, при наличии «тонкой» фильтрующей прослойки в стене и ограниченном значении фильтрационного числа Релея происходит перехватывание (выравнивание) концентрации теплового потока по ходу фильтрации. То же относится и к концентрации температуры.

Если же .У0 А2 _ О (1), 80 _ О (а-2 )>> 1 (фильтрационное число Релея велико), тогда ¿о А3 _ О (а-1 )>> 1, и никакого выравнивания

концентрации теплового потока нет. При этом, как видно, концентрация температурного напора почти всюду равна нулю.

2. Подстановка q: = йЭ^х = q(0) понижает порядок и линеаризует выражение (1.1):

й0-.0. / ^ ) _

(1.2)

Очевидно, что уравнение (1.2) совпадает с необходимым условием минимума для неотрицательных функционалов [2]:

^ ^)_ К (I)2+(/ (x «

\

й 0> 0;

s(q)_Л¿0/(x)q) й0>0. (6)

Именно в действительных фильтрационных потоках 55 = 0, 52 = 0, 5 — изотермическая вариация. При этом множество функций, минимизирующих (6), шире, чем класс решений уравнения (1). Действительно, решения (1.2) q е Х(1) (0, 1),

а функции, минимизирующие £(0), q е Ж,(1) (0,1) з

С(1) (0,1) . Какие решения (1.2) могут быть погружены в поле одного из функционалов (6), например 5^)? Прежде всего, интересуют решения с «почти постоянной» (медленно изменяющейся) концентрацией теплового потока. Уравнение Ла-гранжа для имеет вид

^ - */2 (x* •

(7)

Это — уравнение второго порядка, что позволяет ввести лишнее условие мягкости:

/йq

,

_ 0.

(2.1)

0_0

1

Тогда, в силу (7), (2) и (2.1) существует первый интеграл:

^ = ±5,4/2(X)2-/2(°)°2 . (8)

В (8) возникают две ветви решения — положительная и отрицательная. Физический смысл имеет положительная ветвь. В случае /(X) = 1 (постоянный коэффициент фильтрации) получается

q=q0ch (s0 е),

(9)

откуда ql = q0ch50. Для определения постоянной интегрирования q0 надо решить (9):

=-Un-

1+tg

s0q0 X

1 - tg

s0q0 X 2

(10)

Пусть в (1°) X = 1, е = 1. Тогда

„=.

5° ехр (5° ) +1

Если поток теплоты минимально изменяется с изменением температурного напора и удовлетворяет условию мягкости (2.1), то из этого следует:

п

1) q0 =-; 5° >> 1 и q0 = 0(1/5°)<<1. В этом

25°

случае в силу (9), (10)

qch (s0e);

2s

1 + tg

nX

> = — ln-

1 - tg

nX'

зависимостью коэффициента вязкости и фильтрации от температуры, например при больших перепадах температуры на плоскостях X = 0, X = 1. Тогда в силу (1.2)

dq

q = 0,

d a

(1.3)

где da: = 5(е^е.

Решение, удовлетворяющее предельным условиям (2), имеет вид

q = q0 exp (a);

e

J exp (-a(t ))dt

X=

J exp (-a(e))d e

(11)

где постоянная интегрирования q0 определена так: q0 :=

J exp (-a(e)) e . Тогда в силу первой из

0

формул (11) получаем

1

q = exp(a(e)) Jexp(-a(e))e.

0

Например, если s = const: = s0, то в силу (11) будет

q = ilexp (s0e);

s0 0

X = 1 - exp (-s0e); 1 - exp(-S0) '

= -Un-

1

s0 1 - X(1 - exp(-s0 ))' q = —exp(s0e)(1 - exp(-S0)).

(12)

2) q0 = 1; 5° << 1. Тогда в силу (9) распределение концентрации теплового потока вдоль фильтрационного потока практически постоянно и мало отличается от 1. В силу же (10)

е=X + О(X2). Получается, что решения задачи

на минимум Б^) не противоречат сильным решениям предельной задачи (1), (2);

3) возможен случай фильтрации «неконсервативной» примеси. Тогда фильтрационное число Рэлея зависит от концентрации температурного напора: 5 = 5(е). Такая постановка стилизует ситуацию, когда нельзя пренебречь

Эти формулы получены раньше (см. (3), (3.1)). При малых значениях 50, получается X= = е, т. е. распределение температурного напора такое же, как и при «чистой» теплопроводности. Наоборот, при 5° >>1 I* 1 —ехр(—50е), е ~ » 1п(1 —!)—1/50. Иначе говоря, при больших значениях фильтрационного числа Рэлея концентрация напора почти всюду равна нулю, кроме левой окрестности точки X = 1.

Возможность ослабления полученных решений можно провести по схеме предыдущего пункта. Производящий функционал

^ \2 1 dq 1 , „2

* (q )=J

da1 +q

V -

d a;

0

2

s

0

0

s

0

0

0

4

Строительство -►

Рис. 3. «Сильное» решение (12) и слабое решение (12') (штриховая линия и сплошная линия) совпадают при 50 ^ 0

и ^ т

Е _ }.й 0

достигает минимума, если

й2q п

^ - " __ 0,

причем можно поставить «лишнее» граничное условие:

^ | _ 0.

Ч й а/а_0

Тогда

q _ qocha(0), ql _ qochст(l).

q0 _ а(0)й0,

X

18ес )Л

0_

1 •

18ес )Л

Например, в линейном случае а = .00, и тогда в силу (13)

аг^

X _-

th| 2 ¿00

aгctg

th

1 + tg

1_—1п-

X aгctg

th| 1.

По определению а(0) — положительная монотонно возрастающая абсолютно непрерывная функция: а(0) > а(0) > 0 , если 0>0> 0. Значит, всегда ql > q0. Это означает, что тепловой поток на наружной (холодной) плоскости (X = 1) больше, чем на плоскости X= 0. Происходит перехват теплоты фильтрационным потоком воздуха по ходу фильтрации 0 < X < 1.

Тогда

0

q0X _ |sec) й^,

1 - tg

X аг^

Л

(12.1)

/ г

qo _ — aгctg

th

1

2 0

ч ч / /

q1 _ — ch (.0 )aгctg

th

-.л

ч ч^

(13)

q _ qoch (¿0 0).

Рис. 3 содержит сравнения распределений концентрации 0^), q(X) по формулам (12) и (12.1). При ^ +0 оба решения, сильное (12) и слабое (12.1), практически совпадают; различия начинаются, если = 0(1) и при больших

0

0

¿

0

0

0

0

значениях фильтрационного числа Рэлея концентрация напора почти всюду равна нулю, кроме левой окрестности точки X = 1.

Выводы.

1. Фильтрационная диффузия консервативной примеси (температуры и теплового потока) при конечных значениях фильтрационного числа Рэлея 5 >> 1 приводит к нелинейному распределению температурного напора по ходу фильтрации. При сильной неоднородности изменения коэффициента фильтрации по ходу

фильтрации происходит практически скачкообразное падение температуры на холодной грани. Наоборот, при малых значениях 5 << 1, 5 = = 0(1) наблюдается такое же изменение температурного напора, как и при чистой теплопроводности (линейное).

2. Распространение консервативной (и неконсервативной) примеси в фильтрационном потоке управляется положительным функционалом, необходимое условие минимума которого совпадает с уравнением переноса примеси в потоке. Вдоль хода фильтрации изменение теплового потока в среднем минимально.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Соковишин, Ю.А. Свободно-конвективный теплообмен [Текст]: Справочник / Ю.А. Соковишин, О.Г. Мартыненко.— Минск: Наука и техника, 1982.— 402 с.;

2. Петриченко, М.Р. Экстремальные задачи для фильтрационных потоков [Текст] / М.Р. Петриченко, В.Н. Бухарцев.— Saarbruken, Palmarium academic publ.— 2012.— 84 p.

УДК 621.311.22:075.8

В. Г. Киселёв

ОЦЕНКА ЗАЩИЩЕННОСТИ ПОДЗЕМНЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ ОТ КОРРОЗИИ

Постановка проблемы

Наружная поверхность подземных металлических коммуникаций (ПМК) в местах дефектов антикоррозионного покрытия или при отсутствии его подвержена интенсивному коррозионному износу, что и обусловливает использование различных мероприятий для их защиты от коррозии. Существенную роль в оценке выбора конкретного вида антикоррозионной защиты и оценке ее эффективности играют коррозионные измерения, включающие, прежде всего, измерение токов, сопротивлений и потенциалов. Особенно велика роль измерения стационарных и поляризационных потенциалов металлических сооружений, находящихся в электролитической среде. Так, например, в соответствии с ГОСТ 9.602-2005 [1] и ГОСТ Р 51164-98 [2], а также с рядом других отечественных нормативных документов, посвященных защите подземных металлических сооружений

от коррозии, для оценки эффективности электрохимической защиты (ЭХЗ) в первую очередь требуется обеспечить поляризационные потенциалы или потенциалы с омической составляющей ПМС в определенных пределах. При этом ГОСТ 9.602-2005 [1] указывает (в справочном порядке) конкретный метод измерения потенциалов — метод модельного электрода с использованием прерывателя тока, в то время как, например, соответствующие европейские нормативные документы требуют прежде всего использовать различные модификации метода отключения. Ситуация в этом направлении еще более обостряется в связи с активным участием нашей страны в международном разделении труда, особенно после вступления в ВТО. Рассмотрению основных проблем, связанных с распространением на нашей территории европейских методов измерения в области катодной защиты, в частности при оценке эффективности ЭХЗ