CC BY
80
ФАКТОРЫ УПОРЯДОЧЕННОСТИ В ЗАДАЧЕ ПРОГНОЗА
Владимир Викторович Филатов
ФГУП «СНИИГГиМС», 630091, Новосибирск, Красный пр., 67, гл. научный сотрудник, доктор физико-математических наук, тел. 222-47-22, e-mail: [email protected]
Олег Юрьевич Светозерский
ФГУП «СНИИГГиМС», 630091, Новосибирск, Красный пр., 67, ведущий инженер, тел. 222-47-22
Рассмотрены возможные критерии прогноза, основанные на изучении упорядоченности земной коры и связанные с вычислением фрактальной размерности, оценке степени дифференциации и изучении свойств аттракторов, характеризующих эволюцию динамических систем, в результате воздействия которых возникли месторождения.
Ключевые слова: критерии прогноза, факторы упорядоченности, фрактальная
размерность, динамические системы, аттракторы.
ORDERING FACTORS IN A PREDICATION PROBLEM
Vladimir V. Filatov
Federal State Unitary Enterprise «Siberian Research Institute of Geology, Geophysics and Mineral Resources» (FGUP «SNIIGGiMS»), 67, Krasny Pr., Novosibirsk, 630091, Russian Federation, main scientific associate, Doctor of Science, tel. 222-47-22, e-mail: [email protected]
Oleg Yu. Svetozersky
Federal State Unitary Enterprise «Siberian Research Institute of Geology, Geophysics and Mineral Resources» (FGUP «SNIIGGiMS»), 67, Krasny Pr., Novosibirsk, 630091, Russian Federation, lead enginee, tel. 222-47-22
The article proposes one of possible predication criterion based on investigation of orderliness of the Earth’s crust. It is related to calculus fractal dimension, an estimation of a degree of crust differentiation and research characteristic of attractor some hypothetical geodynamics systems.
Key words: prognosis criterion, ordering factors, fractal dimension, dynamic systems, attractors.
В работе [1] для формирования рационального комплекса методов и построения прогнозных параметров при поисках залежей углеводородов была использована схема, базирующаяся на анализе эволюции динамических систем. При этом основной упор был сделан на реконструкции аттракторов гипотетических динамических систем, в результате воздействия которых возникли месторождения углеводородов.
Схема реконструкции такого аттрактора, основана на теореме Такенса [2] и подробно описана в [1,3]. В поведении реконструированного аттрактора фактически представляли интерес два параметра:
- Форма траектории аттрактора (если полученный аттрактор описывает траекторию, имеющую четкую геометрию, то исследуемая величина
соответствует некоторой динамической системе, если траектория хаотична, то наблюдаемый процесс случаен);
- Корреляционная размерность аттрактора, позволяющая оценить размерность фазового пространства (количество признаков, определяющих эволюцию геодинамической системы).
В частности на рис. 1 показаны аттракторы, реконструированные по различным наборам данных, измеренных в процессе комплексных геофизических работ. Из приведенных рисунков можно понять отличие в наборах данных. На рис. 1а аттрактор имеет выраженную геометрическую форму, а на рис. 1Ь аттрактор представлен бесформенным облаком.
Рис. 1. Примеры аттракторов, реконструированных по различным измеренным
данным
Поведение реконструированных аттракторов, и послужили одним из критериев при формировании оптимального комплекса методов.
Попытаемся взглянуть на этот критерий несколько шире. Помимо того, что поведение реконструированного аттрактора может рассматриваться, как признак самоорганизации системы, оно иллюстрирует еще одно свойство самоорганизующихся геологических систем, на котором мы остановимся подробнее.
Упорядоченность как критерий прогноза
В работах исследующих основные принципы строения самоорганизованных рудных комплексов, например [4,5,6], сформулировано положение, которое может иметь существенное значение для развития прогнозно-поисковой технологии: месторождения являются наиболее
упорядоченными участками земной коры.
Рассмотрим, как это положение может быть реализовано в конкретных прогнозных задачах.
Вообще понятие «упорядоченность», «порядок» равно как и «хаос», в абсолютном смысле не имеют строгого определения. Но, в прикладных задачах,
а
Ь
важно не абсолютное определение, а умение сравнивать относительную степень хаотичности (или упорядоченности) различных состояний систем.
С этой точки зрения указанное на рис.1 отличие в поведении аттракторов позволяет рассматривать его, как признак упорядоченности системы.
Рассмотрим еще несколько критериев относительной упорядоченности, рассматриваемые в физике открытых систем. В качестве таких критериев могут быть выбраны, например, сравнение значений показателей Ляпунова, энтропии Крылова-Колмогорова-Синая, а также фрактальные размерности рассматриваемых систем.
Оценка показателей Ляпунова
Показатели Ляпунова тесно связаны с поведением аттрактора динамической системы, моделирующей поведение реальной геодинамической системы.
К сожалению, показанное выше визуальное отличие в поведении аттракторов не позволяет использовать его как критерий при оценке степени упорядоченности. Поэтому остановимся кратко на одном из вариантов численной реконструкции динамической системы, в результате эволюции которой и возникает смоделированный аттрактор.
Допустим, размерность т фазового пространства модели известна (возможность оценки этой размерности рассмотрена в [1,3]). Построим набор векторов состояния системы, отвечающих последовательным точкам траектории:
y(n) = (Ут(п), ym-l(n),... , yi(n)).
Соотношения, связывающие компоненты вектора состояния в два последовательных дискретных момента времени, можно представить в виде
' У1( П + 1) = У 2 ( n X
У 2 ( n + 1) = У 3( n X
<............... (1)
Ут-1( П + 1) = Ут ( П X
.Ут (П + 1) = f (У1 (П), У2 (П),..., Ут (П)).
Использование соотношений (1), при известной функции f, определяющей связи между параметрами, в принципе позволяет прогнозировать эволюцию системы. Характеристика упорядоченности определяется возможностью формировать с помощью функции f прогнозные параметры (в хаотической
системе такой параметр будет носить случайный характер, в абсолютно
детерминированной системе параметр будет давать однозначный прогноз). Степень упорядоченности можно оценивать по совпадению полученного прогнозного параметра с известной информацией.
Другой более общей характеристикой системы являются так называемые показатели Ляпунова [7], характеризующие экспоненциальный закон разбегания траекторий аттрактора. Можно сказать, что устойчивость системы в смысле показателей Ляпунова характеризуется горизонтом прогноза.
Рассмотреть связь показателей Ляпунова с горизонтом прогноза можно на примере системы Ресслера [8]. Отметим, что даже для этой относительно
простой системы старшие показатели Ляпунова меняются в зависимости от внешнего воздействия, определяя различные режимы поведения системы от простого периодического до полностью хаотического.
Поэтому надеяться на получение с помощью этих показателей, восстановленных из системы (1), значимых оценок для реальных систем, по-видимому, не приходится.
На рис. 2 показано сравнение поведение обычного аттрактора Ресслера (рис. 2а) и аттрактора, прогнозируемого по одной координате с шагом прогноза 30. (в данном случае шаг - это количество последовательных временных точек). Из сравнения рисунков видно, что даже при относительно небольшом интервале прогноза в результате можно получить значительные погрешности. Аналогичную картину можно наблюдать на примерах аттракторов, построенных по реальным данным. Хотя можно отметить, что при явном отличии прогнозных и реальных данных, сохраняется внешнее сходство этих аттракторов и значит можно сделать определенные выводы о возможном поведении системы в целом.
а Ь
Рис. 2. Поведение обычного аттрактора Ресслера (рис 6а) и аттрактора, прогнозируемого по координате х с шагом прогноза 30
Если мы имеем дело с полным комплексом данных то ситуация с прогнозом меняется, в этом случае горизонт прогноза увеличивается. На рис. 3а показано поведение аттрактора Ресслера, прогнозируемое по комплексу данных с шагом 30. Оно практически неотличимо от поведения обычного аттрактора. Но при дальнейшем увеличении шага прогноза опять проявляются существенные отклонения (рис. 3Ь).
Эти примеры говорят о том, что можно сконструировать функцию / из системы (1), которая отражает реальные связи между параметрами динамической системы. А именно наличие таких связей позволяет прогнозировать значения любого из параметров системы на основе информации о других параметрах. При этом сравнение реального и модельного аттракторов может являться критерием правильности подбора функции/.
На этом и основана методика прогноза, базирующаяся на использовании реконструированных аттракторов.
а Ь
Рис. 3. Поведение аттрактора Ресслера, прогнозируемое по комплексу данных с шагом 30 (а) и сравнение обычного аттрактора Ресслера (сплошные линии) с аттрактором, прогнозируемым по комплексу параметров с шагом 45
(пунктирные линии) (Ь)
Оценка фрактальной размерности
Использование фрактальной размерности является еще одним способом численной оценки упорядоченности хаотических систем. При этом необходимо учитывать, что обычно в геологии нас не интересует однородная среда. Как правило, реальные геологические объекты являются неоднородностями, причем неоднородностями фрактальными. Поэтому их фрактальная размерность отличается от топологической размерности, которая, в зависимости от характеристик искомого объекта может равняться двум или трем.
Здесь следует отметить важную особенность использования фрактальных характеристик реальных сред. Все наблюдаемые закономерности действуют только в определенном диапазоне масштабов, что необходимо учитывать, как на этапе формировании модели, так и на этапе заключительных выводов.
Так, фрактальная размерность заведомо хаотической системы (например, системы, в которой происходило пассивное накопление деформаций, в частности, отвалов) тоже может отличаться от топологической.
В соответствии с этим для оценки степени упорядоченности целесообразно рассматривать две фрактальные характеристики объекта: корреляционную размерность реконструированного аттрактора, характеризующего
гипотетическую динамику возникновения объекта, и фрактальную размерность совокупности неоднородностей (разного рода аномальных зон),
характеризующих геометрическое положение объекта.
Дифференцированность параметров
Максимально равновесное состояние характеризуется неизменностью значения каждого параметра в любой точке системы. То есть для геологических объектов, это означает, что в «равновесной» (наиболее хаотичной) системе,
например, химический состав не меняется во всем объеме. А упорядоченные участки характеризовались бы тем, что в них наблюдается наибольшее отличие свойств различных параметров.
Однако здесь имеют место те же особенности, что и в случае анализа фрактальной размерности. Т. е. дифференциацию в качестве критерия упорядоченности целесообразно использовать только в том случае, когда изучаемая система является самоорганизующейся.
Таким образом, можно отметить, что использование факторов упорядоченности позволяют сформировать новые прогнозные параметры, причем не только в рудных задачах. Это подтверждается апробацией предложенных схем на реальных полевых материалах.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Филатов В.В. Синергетические аспекты интерпретации геолого-геофизических данных [Текст]/ Филатов В.В., Светозерский О.Ю. - М.: ГЕОКАРТ- ГЕОС, 2010. - 136 с
2. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence.[Text] // In: Dynamical Systems and Turbulence. Lecture Notes in Mathematics / Eds D. A. Rand, L.-S. Young / Berlin: SpringerVerlag, 1980. V. 898. P. 366-381.
3. Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций). [Текст]. М: Издательство физико-математической литературы, 2001. 296 с.
4. Иванюк Г.Ю. Самоорганизация рудных комплексов. Синергетические принципы прогнозирования и поисков полезных ископаемых. [Текст] / Иванюк Г.Ю., Горяинов П.М., Пахомовский Я. А., Коноплёва Н.Г., Яковенчук В.Н., Базай А.В., Калашников А.О. - М.: ГЕОКАРТ-ГЕОС, 2009. - 392 с.
5. Калашников А.О. Прогноз и поиск месторождений по степени структурновещественной упорядоченности участков земной коры [Текст] // Разведка и охрана недр, 2, 2008. С. 9-13.
6. Калашников А.О. Степень дифференцированности геохимического поля как поисковый признак [Текст] // Разведка и охрана недр, 3, 2008. С. 34-40.
7. Былов Б. Ф. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости [Текст] / Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. - М., 1966. - 576 с.
8. Ressler O.E. Chemical Turbulence: Chaos in a Small Reaction-Diffusion System. [Text] // Z.Naturforsch. a 31, 1976. P. 1168-1172.
© В.В. Филатов, О.Ю. Светозерский, 2012
