Фактор-многообразия, порожденные голономными распределениями на гладких многообразиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

Ю. И. Шевченко

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]

Фактор-многообразия, порожденные голономными распределениями на гладких многообразиях

На гладком многообразии рассмотрено голономное распределение, которое порождает фактор-многообразие. С помощью структурных уравнений Лаптева и деривационных формул Акивиса определены голономное, полуголономное, внутренне и внешне неголономные гладкие многообразия. Доказано, что фактор-многообразие полуголономного многообразия является внутренне и внешне неголономным, а фактор-многообразие голономного многообразия голономно.

Ключевые слова: структурные уравнения Лаптева, деривационные формулы Акивиса, голономное распределение, фактор-многообразие, неголономное гладкое многообразие.

1. Уравнения Лаптева и формулы Акивиса

Для п -мерного гладкого многообразия Мп и расслоений кореперов над ним Лаптев [1] получил следующие структурные уравнения:

ёа1 = а3 ла'3, = а>к ла'к + ак ла'3к (I,... = 1,п)

= юк люь — юьк лю1 — а к л юк + а л а 1кь,...

(1)

где а ,&С, ,... — линейные дифференциальные формы. Уравнения (12) получены в результате продолжения квадра-

© Шевченко Ю. И., 2017

тичных уравнений (11), то есть при их внешнем дифференцировании с последующим разрешением по лемме Лаптева [1], причем возникают условия

вж лв = 0 ^ а[ж] = Ккьв,

Г Г

21 — 0 21 —0 л(ж)Ь ~ Л{1КЬ] ~

где квадратные скобки обозначают альтернирование, круглые скобки — симметрирование, фигурные скобки — циклирова-ние.

Аналогичные условия выполняются для форм высших порядков, в частности,

[ кь ] =^1КЬМ®М. (3)

Многообразие, для которого выполняются условия (2, 3) и аналогичные высших порядков, назовем [2] полуголономным

гладким многообразием МЩ соответствующего порядка. Если

условия локальной симметрии форм ювк, ювкь,... по двум последним нижним индексам вырождаются в условия симметрии: ю®ж] = 0, ®в[кь] = 0,... то будем говорить [3] о голономном

гладком многообразии МЩ .

Деривационные формулы Акивиса [4] для п -мерного гладкого многообразия Мп запишем в виде

ёх = ю'ё,, ёё, = + ю%г,

1^1 II (4)

к^—

ёёи = виек + в ек1 + ® егк + ® еик,...

где использовано обозначение Лаптева ёх — бесконечно малое смещение точки х по многообразию с точностью до 1-го порядка; ёГ — базисные векторы п -мерного линейного пространства Тп, касательного к многообразию Мп в точке х. Формула (42) получена в результате продолжения пфаффового уравнения (41), то есть при его внешнем дифференцировании с помощью структурных уравнений (11) в предположении

ddx = 0 и последующем разрешении по лемме Картана. Аналогично формула (43) является продолжением формулы (42), поэтому выполняются условия

e[и] = 0 ei[JK] = О-.. (5)

Касательные векторы 2-го порядка еи дополняют векторы

2

eI до базиса соприкасающегося пространства T з Tn причем

2 n

dim T = n + C2n+l = -{n + 3).

Касательные векторы 3-го порядка eIJK дополняют векторы 1-го и 2-го порядков eI, еи до базиса касательного про-

3 2

странства 3-го порядка T з T .

2. Касательные пространства 3-го порядка

Проальтернируем формулу (43) с учетом симметрии (51):

tfu ]ек +®Ke[ и ] к = 0 (6)

Если eи 1K g Tn, то равенства (6) разбиваются на две серии

-[IJ]K 4z±n

''J[ IJ ]eK = ш e[ IJ ]K

a)KreK = o, coKeи 1K = o,

из которых получим

',j[ij 1 = 0, e[ij]K

1 = 0 e[ij 1k = 0, (7)

что соответствует голономному гладкому многообразию М^ . Равенства (52, 72) дают симметрию векторов 3-го порядка ёцк по всем индексам.

Найдем число симметричных векторов е13к. Число векторов с различными сочетаниями индексов (например, е123) равно С1. Векторов, у которых два индекса принимают равные значения, отличные от третьего индекса (например, е112, е122),

всего 2С . Число векторов с одинаковыми значениями трех индексов (например, e111) равно п. Общее число различных векторов eIJK есть сумма

С3 + 2Cn2 + п = п (п2 + 3п + 2). (8)

6

Утверждение 1.Размерность касательных пространств

3

3-го порядка TH к голономному гладкому многообразию MЩ общего вида находится по формуле [3]:

3 2

dim TH = dim TH + n (n2 + 3n + 2) = - (n2 + 6n +11). 6 6

Количество независимых векторов eIJK для полуголоном-

ного гладкого многообразия Msn подсчитаем следующим образом. Подставим условия локальной симметрии (22) в уравнения (6):

®К (ЛиЛ + e[ IJ ]K ) = 0.

откуда в силу линейной независимости базисных форм а>К

e[IJ]К = ~^IJKeL . (9)

В полуголономном случае равенства (5) имеют место, а вместо равенств (72) выполняются более общие условия (9). Значит, число линейно независимых векторов eIJK в касательном пространстве 3-го порядка равно числу (8).

Утверждение 2. Размерность касательных пространств 3

3-го порядка TS к полуголономному гладкому многообразию

3

Msn совпадает с размерностью пространств TH :

3п

dim TS =- (n2 + 6n +11).

Теорема 1. Структурные уравнения Лаптева (1) для полу-голономного гладкого многообразия Msn соответствуют деривационным формулам Акивиса (4), в которых касательные векторы 2-го порядка ёи симметричные (51), векторы 3-го порядка в^ удовлетворяют условиям (52, 9), и выполняются аналогичные условия для векторов высших порядков. Голо-номному гладкому многообразию MH соответствуют касательные векторы высших порядков eI3, ё^,..., симметричные по всем индексам.

3. Неголономные гладкие многообразия

Рассмотрим гладкое многообразие со структурными уравнениями (1) и деривационными формулами (4) в предположении, что они получаются не в результате продолжений уравнений (1ь 41), а берутся в качестве исходных уравнений. Тогда не возникнет условий (2, 3, 5, 7, 9) и аналогичных им для

высших порядков, то есть формы а^, а1^,... не будут обладать даже локальной симметрией, а все векторы ёи, ё1Ж,..., станут линейно независимыми. В этом случае будем говорить о внутренне неголономном гладком многообразии M1N. Если вместо структурных уравнений (12, 13,...) имеют место более общие уравнения, например:

dюIJ = а1;1 ла1^ + а1С л а'ж + 0, ©] Фак л в)к,

то будем говорить о внешне неголономном гладком многообразии Л'Mn. Мы покажем, что существуют такие многообразия-NMn, которые являются внутренне неголономными многооб-

N > „/^

разиями Mn .

Утверждение 3. Размерности касательных пространств 2-го и 3-го порядков к неголономными гладким многообразиям находятся по формулам [3]:

2 3

dimT = n(n +1), dimT = n(1 + n + n2).

4. Распределение на многообразии

Рассмотрим распределение Tm (Mn) m -мерных подпространств Tm с Tn на гладком многообразии Mn, которое является полуголономным многообразием Msn , в частности, голо-номным многообразием MH . Произведем разбиение значений индексов:

I = (i, a); i,... = 1,m; а,... = m +1,n.

Поместим векторы ёг- в подпространство Tm и запишем их деривационные формулы

de. = coJe. +aJe'.r,

i i J i a iJ '

откуда следует

¿>ё" = 7Г]~ё.; 7 = а>\ a J ; ^ = d| a J .

' ' j ' =o, =°' i®a=°, ®J=o

Поскольку эти формулы показывают инвариантность совокупности векторов ei, на которые натянуто подпространство Tm = \ei ] касательного пространства Tn к многообразию-Mn в точке х, уравнения распределения Tm (Mn ) имеют вид

®a=jJ. (1°)

Продолжим пфаффовы уравнения (10):

Л + < =AJJKvK, Л;ж] = 0, (11)

где тензорный дифференциальный оператор действует следующим образом:

^ = ёЛ + ЛЖ - ла - ЛЖ.

Запишем дифференциальные уравнения (11) подробнее и используем уравнения (10):

АЛа + аа = (Лак + ЛйЛ"к )ак,

У У у 11к ф ]к' ' (12)

АЛ"-Ла а + а"=Л"как.

ф (] ф 1р грк

Утверждение 4. Фундаментальный объект Л распределения Тт (Mn ) имеет подобъект Л^* .

5. Голономное распределение

Проальтернируем дифференциальные уравнения (121) фундаментального подобъектаЛ" и используем выражения (2^:

АЛр ] = (Лар ]к + ЛЛ-Ъ )ак, (13)

где альтернирование производится по крайним индексам в квадратных скобках. Получили дифференциальные уравнения для компонент тензора неголономности И* = Лу] (см. [5])

распределения Тт (Mn).

К тензору неголономности И* можно прийти при преобразовании структурных уравнений (11) базисных форм Ж распределения Тт (Mn), которые запишем подробнее:

ёю1 = Ж лаС + ю" лю'а, ёю" = ю1 лю"+юф лю*. (14)

Подставляя пфаффовы уравнения (10) распределения Тт (Mn ) в структурные уравнения (142), получим:

=юф лЖд-ЛЖ) + И*с1 лЖ. (15)

При аннулировании тензора неголономности Nрр = 0 распределение Tm (Mn ) называется голономным, а уравнения (15) принимают вид

da; = ap лП;, П; = а; — л.а1 . (16)

В этом случае система аР = 0 вполне интегрируема. Она выделяет m-мерное подмногообразие Mm с Mn , причем ограничение распределения Tm (Mn ) на подмногообразие Mm является касательным расслоением Tm (Mm ) . Структурные уравнения подмногообразия Mm дают уравнения (141):

da1 = а л а, а1 =а>'\ .

j j .1ар=0

Подмногообразие Mm является типовым слоем расслоения Mn = Mm (Fn-m ) со структурными уравнениями (141, 161), базой которого служит (n — m) -мерное фактор-многообразие Fn-m — множество m-мерных подмногообразий, огибаемых подпространствами голономного распределения Tm (Mm (Fn—m )).

6. Неголономность фактор-многообразия

Исследуем гладкое многообразие Fn—m со структурными уравнениями (16i). Найдем внешние дифференциалы форм (162) с помощью структурных уравнений (12, 141):

dn; = арл а + а л ар — лраг — л;ар )+ + ®1 л ^л;—л;р а. —л;ар + а; ).

Учтем симметрию компонент фундаментального подобъ-екта Л. голономного распределения Tm (Mm (Fn—m )) и используем дифференциальные уравнения (122):

1 /-\а у а , у /а а а I а а I а а 1\ ,

ёПф =юф лау+Сл (Жу - Лфюу - ЛЮ ф - ЛРуа ) + 1 / а а , а а у л у а , л а ■

+ а л Ж - аф + ЛЖ - Лфсу + лрЖ ). Преобразуем 1-ое слагаемое с помощью обозначения (162):

юрла;=аур лп;+сл (л^-ЛЮ-ЛЮ лл>ч.

Подставим эти выражения в предыдущие уравнения

ёПа=ПулПа + аул (С -Л" с - Ла а' - Л" С) +

ф ф у V фу 1ф у 1 уф 1фу '

+ 2С л Юаф] + (Лаф. - ЛфЛа )С л С.

[ф] фч 1ф чу '

Воспользуемся уравнениями (22)

ёП = ПфлПа + ау лПа +

ф ф у фу

(17)

+(Л*.] -ЛфЛЛ]у+ 2Ъу])®'л®4,

П = Су - ЛфСу - ЛуСф - ЛфуС - 2фС. (18)

Преобразуем последнее слагаемое в структурных уравнениях (17). Для голономного распределения Тт (Mm (Рп-т)) из уравнений (13) следует

ЛЛ ]к + Л?ф Л к -Ъ = 0.

Если к = ф, то

ЛЧ ф+Л Л ф-Ъф= (19)

Условие симметрии (112) при 3 = у, к = ф дает

Ла = Ла ^ Ла = Ла У\уф Л у ]ф Л гфу ]'

поэтому равенства (19) принимают вид

Л[гРЧ] -Л[ЧГЛ]Р = ЪЧф.

Подставим их в структурные уравнения (17):

= П лПа + ау лПф + Nф.С л С,

ф ф у фу ф1Ч ' (20)

N = Ъ.. ф + 2Ъа ■ о .

фу чф ф[у]

Назовем Nву объектом внешней неголономности фактор-

многообразия Fn_m.

Проальтернируем формы (18) по нижним индексам с учетом условия симметрии (112):

С помощью условия локальной симметрии (22) получим

П[Р7] = ^РгВ®8 + _ 2А%г])а'. Наконец, используем условие антисимметрии (23):

Щ] = + , = в + 24^]. (21)

Назовем объектом внутренней неголономности фактор-многообразия Рп_т.

Теорема 2. Фактор-многообразие Рп_т, порожденное го-лономным распределением на полуголономном гладком многообразии МЩ = Мт (^П_т), является внешне и внутренне него-

N N

лономным гладким многообразием Ьп_т.

7. О полуголономности и голономности фактор-многообразия

Если объект внешней неголономности обратится в

нуль:

= о « в = _24Р^ (22)

то структурные уравнения (201) упростятся

йПв=ПгвлПв + а7 лПР .

Р Р 7 Р7

Ыа

Гл

Если аннулируется объект внутренней неголономности

X

' Р7 :

N7 = 0 « Р = _2ЦМ, (23)

то выражения (211) примут вид

= !>*, (24)

причем условия (2з, 24) дадут Л"р7)* = 0, Л"* = 0. В случае, когда Л"7* = 0 условие локальной симметрии (24) станет условием симметрии: Пр,] = 0.

Теорема 3. Если объекты внешней и внутренней неголо-номности Ырру, N"7 обратятся в нуль, то фактор-многообразие Рп_т станет полуголономным гладким многообразием РЩ_т (1-го порядка). Если к тому же условие локальной симметрии форм Пр7 выродится в условие симметрии, то полу-голономное фактор-многообразие ¥Щ_т превратится в голо-

номное гладкое многообразие Ен_т.

п_т' а -кТа

Объекты неголономности N № , N7 фактор-многообразия-Рп_т выражаются по формулам (202, 212) через коэффициенты. В выражениях (24) стоят коэффициенты Значит, в случае голономного гладкого многообразия МЩ, когда-Л!Ж1 = 0, справедлива

Теорема 4. Фактор-многообразие Рп_т, порожденное го-лономным распределением Тт (Мт (Еп_т)) на голономном гладком многообразии МЩ = Мт (¥п_т), является голономным гладким многообразием Ен_т.

8. О тензорности объектов неголономности

Найдем дифференциальные сравнения для компонент объектов внешней и внутренней неголономности И.., Ифу с целью установления возможности условий (22, 23). Для этого нужно продолжить пфаффовы уравнения (22), в которые входят формы юСж]. Их внешние дифференциалы получаются при альтернировании структурных уравнений (13):

ёю[ж] = Ю[Ж] люЬ - ЮЬ[к л юС] - Ж л С] +С л Ю[Ж]Ь .

Во 2-ом и 3-ем слагаемых раскроем альтернирования и произведем перегруппировку

ёс>Сж] = сСзк] лс[ - с[ьк] лсС - (25)

I Ь Ь I ( )

-ю[3Ь] лск +с лю[ж]Ь.

Продифференцируем уравнения (22) с помощью структурных уравнений (11, 25):

(АЪзкь +ЮЖ]Ь) лС = 0.

Разрешим эти квадратичные уравнения по лемме Картана и запишем результат в виде дифференциальных сравнений по модулю базисных форм

АЪк + с[ж]ь = 0 (той с).

Запишем эти сравнения подробнее для величин Ъф, Ъ, Ъфу, Ъфу, формирующих тензоры неголономости Иф. , Ифу , и учтем уравнения распределения (10):

А.-ЪюС +ю ]ф= а

-ЪЮ+Ю[фу] 1 =0, АЪ -Ъаф + сфу = 0,

АЪф7-*;гаф -ЪфСс + Стг = 0.

Проальтернируем дифференциальные сравнения (263, 264) по нижним индексам одной серии

^Лаг ■ -1 — Л/г-1 " к + Р ■! -1 = 0,

Р[у ] к[у] Р ["[' ]-] '

АЛ" п — Л" ] — Л" „ .*7] + *га[Я] = 0.

■[Р7] у[7 Р] <[Р] 7] [' [Р]7]

Согласно условиям (3) последние слагаемые сравнимы с нулем, поэтому

!] _ Лв-*Р =0, Л», _ Ль"Р] _ !У] =0. (27)

С помощью дифференциальных сравнений (261, 262, 27)

найдем сравнения для компонент объектов неголономности

N а М7 : 1УРд> 1 Р7 •

Ш" — Л* + а" ]Я — 21,а[-" = 0,

Ру ук Р [у ]Р к [у ] Р '

ШР . — Ла * — ЛР*7 + аР ] ■ — 2Л", *] — 2ЛР = 0.

Р7' 47 Р Р. 7 [Р7] У [7 Р] Ф[] 7]

Раскроем альтернирования в слагаемых, содержащих множитель 2, и приведем подобные члены:

— (Кк + К, — лк-у )** + ]0 = °

Ру '«к- ш[у]Р

7—(Лп + ^—Л )*Р—(Л—лЛр + ЛР )* + *Р7У =0. Воспользуемся свойствами (23, 24):

Щу + "в]Р = 0, ¿N7 + *м■ = 0. (28)

Если выполняются условия

"в]Р= 0, "Р■ = 0, (29)

то дифференциальные сравнения (28) принимают тензорный вид

¿N1 = 0, ¿N7= 0.

Теорема 5. Объекты внешней и внутренней неголономно-

та

' фу

сти Иа№, Иа фактор-многообразия NFInN_m полуголономного

многообразия Msn удовлетворяют дифференциальным сравнениям (28), то есть в общем случае не являются тензорами.

Следствия:

1) если выполняется условие (29]), то Иф — тензор, поэтому при Иф = 0 фактор-многообразие является внутренне неголономным многообразием ;

2) если справедливо условие (292), то Иф — тензор, поэтому при Ифу = 0 фактор-многообразие является внешне

неголономным многообразием NFn_т ;

3) если выполняются условия (29), то объекты внешней и внутренней неголономности Иф, Ифу — тензоры, поэтому при их аннулировании фактор-многообразие является, вообще говоря, полуголономныммногообразием Р1_т.

Список литературы

1. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. М., 1966. Т. 1. С. 139—189.

2. Шевченко Ю. И. Голономные и полуголономные подмногообразия гладких многообразий // Диф. геом. многобр. фигур. Калининград, 2015. Вып. 46. С. 168—177.

3. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.

4. Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977.

5. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности I // Тр. геом. семин. М., 1971. Т. 3. С. 49—94.

Ju. Shevchenko

Quotient manifolds generated by holonomic distributions on smooth manifolds

On a smooth manifold holonomic distribution which generates the quotient manifold is considered. Using structure Laptev equations and Akivis derivation formu^ holonomic, semi-holonomic, internally and externally non-holonomic smooth manifolds are defined. It is proved that the quotient manifold of semi-holonomic manifold is internally and externally non-holonomic, and quotient manifold of holonomic manifold is holonomic.

Key words: structure equations of Laptev, derivational formulae of Akivis, holonomic distribution, quotient manifold, non-holonomic smooth manifold.

УДК 514

А. М. Шелехов

Московский педагогический государственный университет [email protected]

Об «окошках» в параллелограмме

Задав два параметра, можно построить новый параллелограмм внутри заданного. Бесконечное повторение этой процедуры (с разными, вообще говоря, параметрами) приводит к некоторому предельному положению — «окошку». Положение последнего и его размеры определяются последовательностью параметров. Рассмотрены примеры, приведены числовые оценки.

Ключевые слова: параллелограмм, бесконечное произведение, формула Валлиса, симметрические многочлены.

© Шелехов А. М., 2017