CC BY
12
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. Математическое моделирование задач механики
УДК 539.3
В.Е. Рагозина, Ю.Е. Иванова
РАГОЗИНА ВИКТОРИЯ ЕВГЕНЬЕВНА - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: [email protected]
ИВАНОВА ЮЛИЯ ЕВГЕНЬЕВНА - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, е-mail: [email protected] [доцент кафедры механики и математического моделирования Инженерной школы Дальневосточного федерального университета] Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН Радио ул. 5, Владивосток, 690041
Эволюционное уравнение одномерной осесимметричной задачи распространения деформаций изменения формы
Аннотация: Рассматривается решение одномерной задачи с осевой симметрией о движении поперечной ударной волны от цилиндрической полости в нелинейно-упругом несжимаемом пространстве, вызванном скручивающей нагрузкой на границе. Применение метода сращиваемых асимптотических разложений приводит в прифронтовой области ударной волны к эволюционному уравнению. Полученное уравнение принципиально отличается от эволюционных уравнений, описывающих движение плоских продольных и поперечных ударных волн.
Ключевые слова: нелинейная упругость, несжимаемость, ударная волна, эволюционное уравнение, метод возмущений.
Введение
Волновые процессы передачи по нелинейно-упругой среде сдвиговых деформаций имеют закономерности, принципиально отличные от тех, которые задают механизмы объемного деформирования. Объемная деформация изучена достаточно полно в [4, 7-9, 12], в частности благодаря наличию аналогий с гидро- и аэродинамикой и разработанным в этих областях методам математического исследования. Для процессов поперечного деформирования на сегодняшний день получено сравнительно мало ключевых результатов, это направление требует дальнейшего анализа. Отметим, что для плоских одномерных задач при наличии деформационной анизотропии известны два варианта волн разрыва деформации: волна плоскополяризованного типа и волна круговой поляризации [5, 6]. Первая может изменить только интенсивность предварительного сдвига, вторая корректирует его направленность. Кроме того, применение метода малого параметра к задаче об одномерной плоской сдвиговой волне в несжимаемой среде без предварительных деформаций показало [2], что прифронтовая область волны в главном определяется решениями нового эволюционного уравнения, отличного от уравнения Хопфа. Действительно, угол наклона характеристик для эволюционного уравнения сдвиговой волны оказался зависящим не от удельного импульса, а от удельной кинетической энергии. Для обобщения перечисленных результатов далее рассмотрим одномерный процесс распространения осесимметричных деформаций по несжимаемой упругой среде. Предположение о несжимаемости среды принимается с целью сосредоточить внимание на эволюции граничных возмущений для деформаций изменения формы.
© Рагозина В.Е., Иванова Ю.Е., 2016
Общие модельные соотношения и рассматриваемая краевая задача
Общая система уравнений движения изотропной несжимаемой упругой среды в системе декартовых координат xi (i=1, 2, 3) в представлении Эйлера имеет вид
CVJ = Р (*' + VUVJ )' = "> + " V ' 2av = " + " ~ " - '
W(I,I2) = (a-|д)I + aI2 + bl2 -kI/2-Qlf + cI4 + dI¡ + kI^I2 +..., (1)
=-pbj (5k- -2aj), Ii =a»' I2 = ayaji.
Uaik
В (1) ui и vi - компоненты векторов перемещений и скорости, aij, Gij - компоненты тензоров деформаций Альманси и напряжений Коши-Эйлера, p=const - плотность среды, p - функция добавочного гидростатического давления, W(Ii,I2) - функция упругого потенциала (плотность распределения внутренней энергии, отнесенная к р), ц - модуль сдвига, a, b, c, d, k, 0, к - упругие постоянные более высокого порядка. Точкой над символом в (1) и далее обозначена частная производная по времени, индексом после запятой - частная производная по соответствующей координате, по повторяющемуся индексу принято соглашение о суммировании.
Рассматриваем неограниченное пространство, занятое несжимаемой средой, с цилиндрической полостью. Граница полости в цилиндрических координатах r, у, z задается уравнением r=r0. До момента t=0 деформации в среде отсутствуют. С момента t=0 граничные точки начинают движение по закону
V2
r = r0 = const, ф = ф0+ф01 + , Фо ^ 0, (2)
в котором ф0, х - угловая скорость и угловое ускорение. Все точки среды также совершают движение по окружности, поэтому для поля перемещений имеем
Ur(r,t) = r(1 - cos ф), Ыф (r,t) = r sin Ф, u= 0, ф = ф(г,0 = ф-фо. (3)
Как следствие системы уравнений (1) и формул (3) для функций ф(гД), p(r,t) получаем систему уравнений
•
Д+ рг Ч.ф,.г + (р +1) ГФ; +... = r ^
С2 '
ф)Т(1 + Заг2ф2) + ^(з + 5аг2ф2) + ... = -^, (4)
■V ■ / г \ ■ / с
р ^ и, а + й + к + б/ . 2а + 2й + 2и + к Р = ~, С~ = —, а =-, р =-^-.
р IX
Из дифференциальных уравнений (4) второе служит для определения поля перемещений, а первое необходимо для последующего нахождения неизвестной функции p(r,t).
Передним фронтом граничных возмущений (2) является ударная волна - цилиндрическая поверхность разрывов деформаций и напряжений. На ней должны выполняться геометрические, кинематические и динамические условия совместности разрывов [3, 10]. Для рассматриваемой задачи эти условия при отсутствии предварительных деформаций приводят к соотношениям:
-л —
< )= 0 4(, )= —^ > К ]Ц ) = 0
( л (5)
/г(0 = г0 +1а^ о-.= с^+|(п)2+...I
где квадратными скобками обозначен разрыв величины, заключенной в них, на ударной волне, G - скорость движения ударной волны в направлении единичной внешней нормали, т - отличная от нуля компонента волнового вектора разрыва, ф- - вычисляется непосредственно после поверхности разрыва.
Метод сращиваемых асимптотических разложений
Для применения метода сращиваемых асимптотических разложений определим безразмерные переменные задачи:
2
г — г0 -4 г — г0 — С _3 — 2 ( г0ф0 ^3
5 =-0 8 , т =-0-8 , V = ф8 2, 8 = 1 , (6)
Г Г V С )
где в - малый параметр задачи. Запись уравнений (4) и краевого условия (2) в переменных (6) позволяет методом последовательных линейных приближений построить решение, задающее динамику среды в окрестности нагружаемой границы:
v ( m ) = f0 ( m ) ^ - m + £ {-f ( m ) s 2 + f ( m ) s} + s2 J2 Д m ) s3 - /'( m ) s2 + f, ( m ) s [ +
+£ J-1 fo"(m)s4 -|fo2 (m ) f0'(m ) s3 + 2 /"(m ) s3 - f2'(m ) s2 + f3 (m ) s +
(V)
0 m2 + ....
где fi(m), i=0, 1, 2, 3 - неизвестные функции. Получение этого решения подробно рассмотрено в [11]. Данное решение назовем внешним. В области его неравномерности, где существенными становятся нелинейные эффекты, необходимо определить дополнительное, внутреннее решение. Переход к области внутреннего решения задается переменными n = s4s, m, v(n, m). В рассматриваемом случае искомую функцию v(n, m) достаточно представить рядом по степеням малого параметра, кратным трем:
v(n, m) = v (n, m) + s3v3 (n, m) +...
Во внутренних переменных на нулевом шаге метода из системы (4) получим эволюционное уравнение задачи:
2g,n + 3а(1 + n)2 g2g,„ +-3*. = 0, g = v,.,.. (8)
;+n
Отличие полученного уравнения (8) от уравнения квазипростых волн заключается только в том, что g во втором слагаемом правой части имеет вторую, а не первую степень, как в классическом уравнении Хопфа (квазипростых волн). Именно в этом заключается отличие в нелинейных закономерностях распространения по среде деформаций изменения формы от закономерностей в распространении деформаций изменения объема. Последнее слагаемое в уравнении (8) отражает затухание интенсивности для цилиндрической волны за счет изменения в геометрии поверхности разрывов. Общее решение уравнения (8) можно представить в виде
h, = F ^ m - 3 ah,2ln (; + n)j, h,, = g, (1 + n)3, (9)
где вид произвольной функции F определяется краевыми условиями на границе и полученным внешним решением (7). Из (9) следует, что характеристики в плоскости m, n будут логарифмиче-
скими кривыми, вдоль них сохраняет постоянное значение функция h0, а интенсивность g0(m, n) с увеличением радиуса будет затухать. Сравнение внешнего и внутреннего решений позволяет выбрать частное решение (8) в виде
A
go (n, m ) =-V • (10)
(1 + n )32 Откуда получаем, что
Vo (it, m)= Am + ^o (n), (11)
(1 + n )32
где w0(n) - неизвестная функция, для определения которой необходимо выполнить краевое условие на ударной волне:
Vo (n, m)| = 0. (12)
o v /lm=m0(n)
Уравнение эйконала позволяет записать обыкновенное дифференциальное уравнение для определения положения фронта ударной волны в нулевом приближении:
dm° = |(1+ n)2 Vo2m (mo (n),n), (13)
где m(n)=m0(n)+s m1(n)+_ - неизвестная функция, связывающая координаты m и n на фронте ударной волны.
Проинтегрировав уравнение (13) и проведя сращивание внешнего и внутреннего разложений, получим решение в виде
i \ m a ln (1 + n)
Vo (n, m) = ""-~y + 7, J- (14)
(1 + n )/2 2 (1 + n)/2
Заключение
Итак, рассмотренные механизмы поведения осесимметричной сдвиговой волны в наиболее простом случае краевого условия (2) позволяют построить приближенное аналитическое решение. Для более общих краевых условий они становятся основой для численных расчетов. Кроме того, полученное решение может найти применение для задач с большей размерностью, так как известно, что в малых областях в окрестности ударной волны многомерные волны ведут себя локально как одномерные.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Буренин А.А. Об ударном деформировании несжимаемого упругого полупространства // Прикладная механика. 1985. Т. 21, № 5. С. 3-8.
2. Буренин А.А., Рагозина В.Е., Иванова Ю.Е. Эволюционное уравнение для волновых процессов формоизменения // Известия СГУ. Серия «Математика. Механика. Информатика». 2009. Т. 9, вып. 4, ч. 2. C. 14-24.
3. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 с.
4. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи математических наук. 1959. Т. 14, № 9. С. 87-158.
5. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Московский лицей, 1998. 412 с.
6. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Современные проблемы математики. Вып. 7: Классические и неклассические разрывы и их структуры в нелинейно-упругих средах с дисперсией и диссипацией. М.: МИАН, 2007. 150 с.
7. Пелиновский Е.Н., Фридман В.Е., Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные эволюционные уравнения. Таллин: Валгус, 1984. 156 с.
8. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложение к газовой динамике. М.: Наука, 1978. 688 с.
9. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975. 288 с.
10. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964. 308 с.
11. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.
12. Чигарев А.В. Стохастическая и регулярная динамика неоднородных сред. Минск: Технопринт, 2000. 426 с.
THIS ARTICLE IN ENGLISH SEE NEXT PAGE
Mathematical modelling of mechanics problems
Ragozina V., Ivanova Yu.
VICTORIA RAGOZINA, Ph.D. (in Physico-Mathematical Sciences), Senior Researcher, e-mail: [email protected]
YULIYA IVANOVA, Ph.D. (in Physico-Mathematical Sciences), Researcher (corresponding author), e-mail: [email protected] (Associate Professor, Department of Mechanics and Mathematical Modeling, School of Engineering, Far Eastern Federal University) Institute of Automation and Control Processes 5 Radio St., Vladivostok, Russia, 690041
The evolution equation of the one-dimensional axisymmetric problem of the propagation of deformations
Abstract: In the article, consideration is being given to the solution to the one-dimensional axial symmetry problem dealing with the transverse motion of a shock wave. The shock wave that propagates from the cylindrical cavity in a nonlinear elastic incompressible space is a result of a torsional load at the border. The application of the method of matched asymptotic expansions leads to the evolution equation in the frontal region of the shock wave. The obtained equation differs fundamentally from the evolution equations describing the propagation of plane longitudinal and transverse shock waves. Key words: nonlinear elasticity, compressibility, shock wave, evolution equation, perturbation method.
REFERENCES
1. Burenin A.A. On the impact deformation of an incompressible elastic half-space. Prikl. Mekh. 1985(21);5:3-8. (in Russ.). [Burenin A.A. Ob udarnom deformirovanii neszhimaemogo uprugogo poluprostranstva // Prikladnaja mehanika. 1985. T. 21, N 5. S. 3-8].
2. Burenin A.A., Ragozina V.E., Ivanova Yu.E. Evolution equation for the wave processes of the form changing. Izv. SGU. Ser. Mat. Mekh. Inform. 2009(9);4:14-24. (in Russ.). [Burenin A.A., Ragozina V.E., Ivanova Ju.E. Jev-oljucionnoe uravnenie dlja volnovyh processov formoizmenenija // Izvestija SGU. Serija Matematika. Mehanika. Informatika. 2009. T. 9, Vyp. 4. Ch. 2. S. 14-24].
3. Bykovtsev G.I., Ivlev D.D. Plasticity theory. Vladivostok, Dal'nauka, 1998, 528 p. (in Russ.). [Bykovcev G.I., Ivlev D.D. Teorija plastichnosti. Vladivostok: Dal'nauka, 1998. 528 s.].
4. Gelfand I.M. Some problems in the theory of quasi-linear equations. Successes of Mathematical Sciences. 1959(14);9:87-158. (in Russ.). [Gel'fand I.M. Nekotorye zadachi teorii kvazilinejnyh uravnenij // Uspehi ma-tematicheskih nauk. 1959. T. 14, N 9. S. 87-158].
5. Kulikovskii A.G., Sveshnikova E.I. Nonlinear wave in the elastic media, M., Moskovskii Litsei, 1998, 412 p. (in Russ.). [Kulikovskij A.G., Sveshnikova E.I. Nelinejnye volny v uprugih sredah. M.: Moskovskij licej, 1998. 412 s.].
6. Kulikovskii A.G., Chugainova A.P. Modern Problems of Mechanics: Vol. 7: Classical and nonclassical discontinuities and their structures in nonlinear elastic media with dispersion and dissipation, M., Steklov Inst. Math., 2007, 150 p. (in Russ.). [Kulikovskij A.G., Chugajnova A.P. Sovremennye problemy matematiki. Vyp. 7: Klassicheskie i neklas-sicheskie razryvy i ih struktury v nelinejno-uprugih sredah s dispersiej i dissipaciej. M.: MIAN, 2007. 150 s.].
7. Pelinovskii Yu.N., Fridman V.E., Engelbrekht Yu.K. Nonlinear evolution equations, Tallinn, Valgus, 1984, 156 p. (in Russ.). [Pelinovskij E.N., Fridman V.E., Jengel'breht Ju.K. Nelinejnye jevoljucionnye uravnenija. Tallin: Valgus, 1984. 156 s.].
8. Rozhdestvensky B.L., Yanenko N.N. Systems of quasilinear equations and their application to gas dynamics, M., Nauka, 1978, 688 p. (in Russ.). [Rozhdestvenskij B.L., Janenko N.N. Sistemy kvazilinejnyh uravnenij i ih prilozhenie k gazovoj dinamike. M.: Nauka, 1978. 688 s.].
9. Rudenko O.V., Soluyan S.I. Theoretical foundations of nonlinear acoustics, M., Nauka, 1975, 288 p. (in Russ.). [Rudenko O.V., Solujan S.I. Teoreticheskie osnovy nelinejnoj akustiki. M.: Nauka, 1975. 288 s.].
10. Thomas T.Y. Plastic flow and fracture in solids, M., Mir, 1964, 308 p. (in Russ.). [Tomas T. Plasticheskoe techenie i razrushenie v tverdyh telah. M.: Mir, 1964. 308 s.].
11. Wisem J. Linear and nonlinear waves, M., Mir, 1977, 622 p. (in Russ.). [Uizem Dzh. Linejnye i nelinejnye volny. M.: Mir, 1977. 622 s.].
12. Chigarev A.V. Stochastic and regular dynamics of inhomogeneous media, Minsk, Tehnoprint, 2000, 426 p. (in Russ.). [Chigarev A.V. Stohasticheskaja i reguljarnaja dinamika neodnorodnyh sred. Minsk: Tehnoprint, 2000. 426 s.].
