CC BY
33ЕСУЩИЕ ФРАКТАЛЫ!
(Продолжение. Начало в № 1 (12) за 2007г.)
Похоже, чт о природе доставляет удовольствие варьировать один и тот же механизм бесконечно различными способами.
Д. Дидро
Маргарита Ивановна Турбина,
редактор редакционно-издательского отдела Институт а мерзлотоведения им. П.ИМельникова СО РАН.
Фрактальная природа форм и моделей мысленной картины мира была для Б. Мандельброта в 60-е гг. прошлого столетия лишь слабым намеком на завершенную идею. Но он доверял своей интуиции и удерживал зреющие в сознании образы, распознавая годами вынашиваемые идеи в графиках, казалось бы, далеких друг от друга явлений [1].
Мандельброт работал в исследовательском отделе корпорации IBM и достиг больших успехов в математике и компьютерной графике. В середине 70-х гг. «компьютерные эксперименты» ученого чудесным образом сблизили абстрактную математику и реальные природные явления. Предложенные им методы изучения и язык описания окружающего нас мира позволяют не только обрабатывать огромные массивы данных, но и превращать результаты математических расчетов в «портреты» фрактальных структур, поражающих красотой и удивительным разнообразием форм, создаваемых «воображением» компьютера (рис. 1).
Облака, горный, лесной ландшафты и другие подобные конфигурации моделируются с помощью так называемых стохастических фракталов, описывающих случайные процессы, например, диффузионный рост кластеров, электрический про-
М. И. Турбина
бой и т.д. Основное отличие случайных фракталов от регулярных состоит не в точной идентичности структур исходному фрагменту, а в совпадении их статистических характеристик [2].
Простейшим природным случайным фракталом является траектория частицы, совершающей броуновское движение. На рис. 2 изображена броуновская поверхность, напоминающая горный массив над поверхностью моря [5]. Такие простые модели объектов можно получить даже при ограниченных вычислительных возможностях техники. Но построение пейзажей, выглядящих естественно, требует выдумки. По замечанию Б. Мандельброта, «... чтобы предметы отбрасывали тени, необходимо проявить недюжинную изобрет атель-ност ь. Тома понадобились бы, чт обы описать все подробности» [2, стр. 10].
Таким способным математиком оказался РФ. Фосс - один из коллег Мандельброта. Он предложил методы построения фрактальных броуновских поверхностей и объемов. Проявив большое воображение и умение, Фосс сгенерировал великолепные фрактальные пейзажи, которые выглядят очень естественно (см. фото вверху), а его изображения облаков по качеству сравнимы с работами лучших художников [2].
На фото вверху - фрактальная «планет а», восходящая над горизонтом своей «луны» [2; 3, стр. 661].
Рис. 1. Так «видит» компьют ер нашу Галактику - Млечный Путь [4].
Построенные «ландшафты» могут также описывать распределение на поверхности концентрации, температуры или какой-либо другой величины.
Особый вид случайных фракталов, более сложный, но весьма распространенный в природе, - фракталь-ныекласт еры. Это - хаотические фракталы, формируемые системой с множеством неупорядоченно движущихся частиц, которые слипаются с образованием разветвленного агрегата (кластера) (рис. 3). «Фракт альные агрегаты имеют нерегулярную ст рукт уру, но с дальними корреляциями в расположении частиц. Чисто случайное размещение частиц... не дало бы связного агрегат а» [6, стр. 365].
Исследование физики фрактальных кластеров началось с построения в 1981 г теоретической компьютерной модели для описания случайного движения частиц -модели агрегации, ограниченной диффузией, позволяющей выявить связь между фрактальными объектами и процессом роста, механизмов которого в природе существует множество. «Кристалл, например, растет в условиях, приближающихся к равновесным, он как бы ''пробует '' много конфигураций, прежде чем найдет состояние с наиболее ст абильной ст рукт урой... Однако для большинства реальных процессов роста время -эт о непозволительная роскошь. Например, живые биологические системы неравновесны. Фрактальные объекты ... растут в условиях, далеких от равновесных» [7, стр. 64].
Наблюдали фрактальную структуру вещества впервые в 1979 г. в агрегатах, сформировавшихся в воздухе из микроскопических частиц твердой фазы [6].
Исследование структуры вещества в твердом состоянии с очень низкой плотностью, выявившее содержание в нем фрактальных кластеров, показало, что диапазон масштабов, в котором проявляются фрактальные свойства образований, ограничен, с одной стороны, размером частиц, формирующих агрегаты (от 1 до 10 нм), с другой, - размером самих агрегатов (от 10 до 10 000 нм). Таким образом, в структуре вещества имеются различные масштабы, внутри которых можно говорить о самоподобии [6].
Фрактальные кластеры вызывают интерес из-за своей распространенности в природе. Например, в определенных условиях фрактальные агрегаты формируют гели и аэрогели. Исследования последних начались еще в 30-е годы XX века, однако они были ограничены из-за малой доступности этого объекта. Аэрогели представляют, по сути, новое физическое образование. Их нельзя отнести ни к газообразным, ни к твердым, ни к жидким веществам. Аэрогели обладают специфическими физико-химическими свойствами, поэтому представляют интерес для использования в современных технологиях [8].
Фракталами являются также некоторые типы атмосферных аэрозолей (частицы дыма, вулканический пепел и др.). Изучаются их оптические и транспортные свойства, так как степень участия этих образований в атмосферных процессах зависит именно от указанных качеств [8].
Физические условия формирования фрактальных агрегатов веществ еще требуют изучения. Однако уже накопленные данные о закономерностях их образования позволяют создавать материалы с необычными физическими свойствами, например, наноструктуры, жидкокристаллические системы, твердые вещества с пористостью до 99%, а также разрабатывать новые технологии борьбы с накипью в паровых котлах и энергетических установках [9].
Имитационная модель агрегации, ограниченной диффузией, оказалась применимой к описанию образования так называемых «вязких пальцев». Такие структуры формируются в пористых средах при вытеснении вязкой жидкости менее вязкой или воздухом. Физика этого процесса определяется динамикой движения границы. Палец выступает в сторону продвижения фронта вытеснения, опережая остальную его часть [2]. Интересно отметить, что по мере разрастания структуры пальцы расширяются и на определенной стадии они расщепляются на концах - возникает разветвленная структура. Эксперименты по росту вязких пальцев при вытеснении нефти водой в пористых средах показали их фрактальность [2].
Изучение описанного процесса представляет непосредственный интерес для разработки нефтяных месторождений, т.к. вязкие пальцы образуются при закачивании воды в центральную зону нефтеносного слоя с целью обеспечения выхода нефти на поверхность. Паль-цеобразование существенно уменьшает эффективность такого метода. Если не применять специальных способов предотвращения или снижения интенсивности формирования вязких пальцев, то лишь небольшое количес-
Рис. 2. Боуновская поверхность [5, стр. 264].
Рис. 3. Фрактальный класт ер [folk.uio.no].
тво нефти достигнет скважин, расположенных на внешней границе месторождения [2, 7]. Эта проблема представляет практический интерес также для гидродинамики и физики пористых сред.
Идеи масштабной инвариантности развивались и при изучении явлений просачивания. Случайное распространение жидкости через твердые пористые тела, например, воды через почву, приводит к образованию фрактальных структур, известных как перколяционные кластеры. Это явление описывается очень интересным процессом - перколяцией (рвгсоШюп), названным так потому, что жидкость в среде ведет себя словно вода в кофеварке при просачивании сквозь кофейную гущу.
Теория протекания относит подобные процессы к так называемым критическим явлениям. Они характеризуются «критической точкой», в которой определенные свойства системы резко меняются. Физика критических явлений своеобразна и обусловлена «геомет рией беспорядка» [10], а «... самоподобие, господствующее в критических т очках, способствует успешному раскрытию взаимосвязей междуподобием и фракт алами» [11]. Показано, что процесс протекания приводит к образованию множества интереснейших фрактальных структур [2].
В природе такие процессы происходят при просачивании воды или радиоактивных отходов в разломы горной породы. Здесь важен вопрос, останутся ли вредные отходы локализованными в каком-то объеме или будут продвигаться дальше.
Фракталы устанавливают взаимосвязь между геометриями в различных масштабах. Поэтому они позволяют описывать и понимать связь микроскопического поведения систем с тем, что мы наблюдаем в макроскопическом масштабе. Исследование различных природных объектов показало, что их поверхность может быть шероховатой и даже фрактальной вплоть до масштабов молекулярного уровня. Это определяет свойства поверхности в таких процессах, как катализ, смачивание и напыление.
Фрактальная геометрия порождает новый уровень постижения природы. Появилась возможность количественно изучать явления, которые до этого считались иррегулярными и слишком сложными, чтобы исследовать их методами точной науки. Для многих объектов в природе простой фрактал, имеющих одну фрактальную размерность, - слишком грубое описание [2]. Для построения детальной картины требуется уже не одна, а целый спектр фрактальных размерностей, который свойстве-
нен так называемым мультифракталам, характеризующимся неоднородностью (здесь - неравномерное распределение точек множества по фракталу) [2, 12].
Понятие о мультифракталах было введено в 1969 г. Мандельбротом в ходе изучения турбулентных явлений. Позже он использовал его при анализе изменчивости биржевых цен, а также рассматривая распределение положений и светимости галактик [13]. Исследования мультифракталов показали полезность их применения при анализе экспериментальных данных, получаемых в различных областях естествознания [2].
Наиболее содержательные фрактальные формы выявляются с использованием специальной аппаратуры и при обработке результатов измерений. Фрактальный анализ применяется к графикам, описывающим процессы, и распределению величин в пространстве, множествам особых точек, траекториям движения, то есть к геометрическим объектам, возникающим в ходе исследований [6]. Сейчас еще нет приборов, дающих на выходе сигнал, пропорциональный фрактальной размерности, но существуют методы, показывающие подход к ее определению [8].
Природные процессы оставляют свою фрактальную «подпись» в порождаемых ими структурах не только в нашем подлунном мире, но и в царстве небесных тел. «Наша Галактика полна явлениями, которые показывают и строгий порядок, и бурлящий хаос, и сложные фракт алы» [13, стр. 165]. О фрактальной структуре внегалактической вселенной Мандельброт начал размышлять уже в 60-е годы. Позже он отмечал, что исследование скоплений галактик стимулировало развитие фрактальной геометрии. «Сверхмассивные элементы (галактики) в реальном пространстве и т очки в абст рак-тном небе математика нашли друг друга [13, стр. 269]. Математическое описание фрактальных свойств распределения галактик Мандельброт дал в 1977 г. в своей книге «Фракталы: форма, случай и размерность».
Фрактальность на всех уровнях Вселенной преподносит нам сюрпризы и направляет мысль в русло захватывающих воображение научных гипотез. Так, например, фракталы привели индийского физика Буру Сидхар-та к попытке построить вселенную «с изрезанной береговой линией» от мельчайших масштабов микромира до самых больших космических масштабов. Ученый доказал, что существует универсальное соотношение между размером системы и числом ее элементов, и оно выполняется с масштаба Планка вверх до масштаба Вселенной [13].
Космофизик д.ф.-м.н. В.И. Козлов предположил, что математической моделью постулируемого им исходного состояния материи - «протоквантона» - может быть необычный математический объект - «кант орово (фрактальное) множество [14, 15]. Правдоподобность гипотезы В.И. Козлова подтверждается исследованиями английского физика Мохаммеда Эль Нашие [16]. Главная его идея - использовать множество Кантора в качестве модели квант ово-механического прост ранст ва-времени. Особенность этой модели заключена в уникальной способности канторова множества устранять разрыв между дискретным и непрерывным.
Есть здесь и сюрприз, но уже для исследователей «золотого сечения». Американский математик Р. Маул-дин доказал теорему, согласно которой размерность Хаусдорфа б для множества Кантора есть не что иное ...
Рис. 4. Брюхоногий моллюск наутилус помпи-лиус (а) и его перламутровая раковина (б) [4; http://contex.narod.ru/moll/nautilus.html].
как знаменитая «золотая пропорция» t= 1,618... (точнее, d = 7Л)! [17]. Этот результат, на первый взгляд, кажется интригующим, но воспринимается с необычайным интересом. Теорема Маулдина, придавая особый смысл модели (множеству Кантора), делает золотую пропорцию некой фундаментальной константой квантово-механического пространства-времени [18].
Французский астроном Лоран Нотталь «... проде-монст рировал, чт о непрерывное, но недифференци-руемое пространство-время с необходимостью фрактально. Фракт альность предполагает ст рук-т уры на всех масшт абах или в широком диапазоне мас-шт абов, и Нотталь обобщил принцип относительности так, что законы природы должны быть верны в любой системе координат независимо от ее сост ояний движения и масштаба. Состояние масштаба связано с пространственным и временным разрешением, которым описывает ся данная физическая система. Он назвал получившуюся теорию Теорией Масштабной Относит ельности [13, стр. 137].
Несмотря на то, что теория Л. Нотталя пока не принята широким кругом физиков, она стимулировала появление новых интересных идей. Это относится, в частности, к граничным областям современной физики, т.е. мелким масштабам длины и времени (микромир, элементарные частицы), крупным пространственным масштабам (космология) и длительным масштабам времени [13].
Расширение горизонта наших знаний позволило сделать «... невероятно большой шаг от зрелого яблока, падающего в вашем саду, до скопления галактик, собирающихся в мегафракт алы» [13, стр. 313]. Мы осознали, что на гигантски разных масштабах действуют одинаковые законы физики. К тому же основных законов, по которым живет Природа, не так уж много. Поэтому рано или поздно все должно повториться, даже если законы эти сложны [13, 19]. В действительности «... мы живем посредине между квантовым миром и миром космологическим, в которые нелегко попасть... наши попытки проникнуть в части мира очень малого и очень большого масшт аба являют ся т акими волнующими и вызывающими экскурсиями!» [13, стр. 282]. Оказавшись в царстве фракталов «... Алиса заметила бы, чт о, когда
она растет, окружающий ее мир ведет себя довольно ст ранно: он то непредсказуемо изменяет ся, то вдруг ст ановится абсолютно т аким же, каким был ранее, и невозможно понять, выросла она или нет. И так в каждой т очке» [19, стр. 62].
Человек может создавать фракталы, но всемогущая Природа, творящая свои чудеса и таинства, делает это с особым искусством и тонкостью. Самое прекрасное в том, что мы способны находить в них источник вдохновения, настоящего искусства и науки. Одним из таких необыкновенно загадочных чудес являются спирали. Логарифмическая спираль приводила в изумление художников, математиков, архитекторов. Ее изучал известный швейцарский математик Якоб Бернулли (1654-1705) и обнаружил самоподобие этой кривой. Ученый был настолько очарован, что назвал логарифмическую спираль чудесной - spira mirabilis (лат.) - и просил выгравировать ее на своей надгробной плите вместе с эпитафией «Eadem mutata resurgo» (лат. - Пусть измененный, вос-ст ану тем же) [20, стр. 16].
Спирали можно встретить в самых разнообразных созданиях Природы, например, в завитках далеких галактик (см. рис.1), в ракушках на берегу моря, в узорах паутины и растительном мире: спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев и расположены семечки в подсолнечнике, спирально закручиваются усики растений [4]. Спирали являются как бы строительными блоками живого мира. Ядро клетки, например, состоит из двойной спиральной структуры -ДНК, содержащей в себе генетический код формирующегося организма.
Мы живем в закрученной в спираль структуре небесных тел, разглядывая наш «дом» только сбоку и отразив молочную белизну звездного скопления в его названии -«Млечный Путь». Вид этой Галактики в целом мы можем представить по ее компьютерному «портрету» (см. рис. 1).
«Мы не т олько живем в спиральной раковине, подобно самым заурядным брюхоногим, - спирали окружают нас повсюду на земле, и, по всей видимости ... ни одна форма жизни без них не обходит ся. Раковина моллюска Nautilus pompilius*начинает ся с микроскопически
Рис. 5. Фрактальность одного из видов цветной капусты [4].
* Наутилус помпилиус (кораблик) существует на нашей планете почти без изменений 450 млн. лет (рис. 4, а). Это один из моллюсков, выживших со времен динозавров. Его иногда называют «живое ископаемое». Раковина наутилуса покрыта перламутром и на протяжении его жизни растет (рис. 4, б). Наутилус стал символом роста и обновления, а также внутренней красоты в природе. Его раковина - один из природных объектов, символизирующих золотое сечение, пропорцию которого х = 1,618... , можно найти во многих органических структурах: от костей человека до спирального расположения семян подсолнуха. Платон назвал эту пропорцию «ключом к физике космоса» [4].
малой затравки и растет все последующие годы» [20, стр. 14]. При этом каждый вновь образующийся слой раковины сохраняет исходную форму (рис. 4, б).
Суть самоподобия хорошо выражена также в своеобразных структурах, образуемых гномонами, определение которым дал еще древнегреческий ученый Герон Александрийский (ок. 1 в.): гномон - это фигура (под термином «фигура» здесь понимается геометрическая фигура или просто число), которая, будучи добавлена к какой-либо другой, образует новую, подобную исходной. Во всех образованиях, где логарифмические спирали управляют размещением новых растущих элементов, каждое последующее приращение является гномоном по отношению ко всей структуре [20].
Организмы в целом и их внутренние функциональные системы формируются в результате развития в неравновесных диссипативных средах в процессе длительной эволюции, благодаря самоорганизации систем, самоподобных как в пространстве, так и во времени (см. рис. 7).
Масса живых существ различается на 21 порядок величины - от 10-13 (микробы) до 108 граммов (киты) [21]. Даже при таком большом различии веса и размеров организмов экономная Природа очень удачно проводит биологическую сборку на всех уровнях, выбрав фрактальную организацию многих живых структур.
Здесь фрактальность обусловлена тем, что внешний вид и внутреннее строение организмов заданы в их генотипе алгоритмически. Например, ветки дерева и само дерево подобны потому, что построены по одному и тому же алгоритму. Это относится и к кровеносной системе человека и животных, и к сложным листьям некоторых растений (рис. 5). Видимо, Природе, действительно, «дос-т авляет удовольствие» использовать один и тот же механизм, следуя и кратчайшей программе управления ростом [11], и оптимальности.
Фрактальность позволила увеличить площадь раздела фаз. Этим обеспечивается максимальная площадь обмена с окружающей средой и интенсификация метаболизма при минимальном общем объеме. Например, легкие, при своей ограниченной вместимости, способны организовать эффективный обмен между кровью и воздухом за счет очень большой его площади [21, 22].
Физиологи, проводящие количественный анализ свойств фрактальных структур в организме человека, отмечают, что их функции неодинаковы в различных органах, однако «... у них все же заметны некоторые общие анатомические и физиологические свойства. Фрак-т альные ответвления или складки значительно увеличивают площадь поверхности, необходимой для всасывания в тонком кишечнике (рис. 6), распределения или сбора различных веществ (в кровеносных сосудах, желчных протоках и бронхиолах) и обработки информации (в нервной системе)» [23, стр. 29].
Ритм сердечных сокращений у человека проявляет сходные закономерности в вариациях в различных временных масштабах во многом подобно тому, как объекты, обладающие инвариантностью к масштабу, проявляют сходные структурные закономерности в различных пространственных масштабах (рис. 7).
Рис. 6. Структ ура т онкого кишечника при различном увеличении обнаруживает сходство между крупными и мелкими деталями, кот орое говорит о самоподобии [23,
стр. 27].
Американские ученые Г. Вест, Дж. Браун и Б. Энквист показали, что, хотя живые существа трехмерны, их внутренняя физиология и анатомия таковы, что они действуют как четырехмерные. «Фракт альная геомет рия буквально дает жизни добавочное измерение» [21, стр. 1679].
Исследования фракталов в биологии постепенно охватывают все уровни организации живого: от молекул до экосистем. На молекулярном уровне изучается структура ДНК, РНК, белков, других макромолекул, их комплексов и т.д.; на субклеточном и клеточном исследуются фрактальные свойства пространственной организации мембран, ядер, распределения рецепторов и молекул адгезии (одна из вновь открытых молекул клеточной адгезии получила название «фракталкин»), морфология различных клеток и их ассоциаций [22].
§1
Щ
За в-К
* Я
11
25! ¡Ш?]
я
Рис. 7. В рит ме сердечных сокращений у человека проявляют ся сходные закономерности в вариациях различных временых масштабов: для инт ервалов 3,
30 и 300 минут быстрые флукт уации выглядят почти так же, как медленные [23, стр. 27].
Конечно же, фракталы не описывают адекватно все природные объекты, даже имеющие нерегулярную или разреженную структуру. Рисунки фрактальных множеств также являются упрощенной идеализацией действи-
тельности: вряд ли можно найти реальное образование, которое выглядело бы неизменным при последовательном многократном увеличении. Но в приближенном виде принцип самоподобия проявлен в природе в турбулентном потоке жидкости, иерархической организации живых систем и во многом другом.
Фрактальные структуры, определяющие свойства систем, являются внешним проявлением их внутреннего неравновесного состояния, балансирующего между порядком и хаосом. Именно эта способность - находиться на границе - придает фракталам особую эстетическую привлекательность: «Почему все же силуэт изогнутого бурями дерева без листьев на фоне вечернего неба воспринимается как нечто прекрасное, а любой силуэт высокого функционального университетского здания т аким не кажет ся, несмотря на все усилия архи-тект ора?... Наше ощущение прекрасного возникает под влиянием гармонии порядка и беспорядка в объект ах природы - т учах, деревьях, горных грядах или крис-т алликах снега. Их очерт ания - эт о динамические процессы, застывшие в физических формах, и определенное чередование порядка и беспорядка характерно для них» [24, стр. 159].
Силуэт дерева с причудливо изогнутыми
ветвями кроны очаровывает . Оз. Байкал.
Фот о В.Л. Ащина.
Тогда становится понятным, что же теряется в творениях человека по сравнению с природными - роскошь некоторой нерегулярности, непредсказуемости и хаоса, олицетворением глубинной тонкой структуры которого являются фракталы.
(Окончание следует) Литература
1. Глейк Дж. Хаос. Создание новой науки. - СПб, Амфора, 2001. - 300 с.
2. Федер Е. Фракталы / Пер. с англ. - М.: Мир, 1991. -254 с.
3. Мандельброт Б. Фракт альная геомет рия природы / Пер с англ. - М.: Инстит ут компьютерных исследований, 2002. -656 с.
4. гим1к1ресИа.огд
5. Кроновер Р. Фракт алы и хаос в динамических системах /Пер. с англ. - М.: Пост маркет, 2000. - 350 с.
6. Зосимов В.В., Лямшев Л.М. Фракт алы в волновых процессах//УФН - Т. 165, №4. -1995. - С. 361-400.
7. Сандер Леонард М. Фрактальный рост // В мире науки. -1987. - № 3. - Стр. 62-69.
8. Пот апов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. - М.: Логос, 2002. - 664 с.
9. Смирнов Б.М. Физика фракт альных кластеров. -М.: Наука, 1991.
10. Эфрос А.Л. Физика и геомет рия беспорядка. -М.: Наука, 1982. -267 с.
11. Шрёдер М. Фракт алы, хаос, степенные законы. - Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2001. - 528. с.
12. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракт алы и муль-тифракт алы. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотичес-каядинамика», 2001. -128 с.
13. Барышев Ю. и Пекка Теерикорпи. Фрактальная ст рукт ура Вселенной. Очерк развития космологии. -Нижний Архыз: Изд-во САО РАН, 2005. - 396. с.
14. Козлов В.И. Мир как квантовая флуктуация // Методологические проблемы развития науки в регионе. - Новосибирск: Наука, 1987. - С. 209-225.
15. Козлов В.И. Мир как «интерференция» флукт у-аций вакуума // Наука и техника в Якутии. - 2005. -№ 1 (8). - С. 56-61.
16. El Naschie M.S. On dimensions of Cantor set related systems // Chaos, Solitons & Fractals. - 1993. - № 3. -Р. 675-685.
17. Mauldin R.D. On the Hausdorff Dimension of Graphs and Random Recursive Objects. Dimensions and Entropies in Chaotic Systems // Proceedings of an International Workshop at the Pecos River Ranch, New Mexico, September 11-16, 1985. - С. 28-33.
18. www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321037.htm
19. Галиулин Р. От мавританских орнаментов к фракталам // Наука и жизнь. -1995. - № 8. - С. 59-65.
20. Газале М. Гномон. От фараонов до фракт алов. - Москва-Ижевск: Инстит ут компьютерных исследований, 2002. -272 с.
21. West Geoffrey B., Brown James H., Enquist Brian J. The Fourth Dimension of Life: Fractal Geometry and Allometric Scaling of Organisms // Science. - V. 283, № 4. -1999. - P. 1677-1679.
22. Фракталы и хаос в биологическом морфогенезе / В.В. Исаева, Ю.А. Каретин, А.В. Чернышев, Д.Ю. Шкуратов. - Владивосток, 2004.
23. Голдбергер Эри Л., Ригни Дейвид Р., Уэст Брюс Дж. Хаос и фракт алы в физиологии человека // В мире науки. -1990. - №4. - С. 25-32.
24. Айленбергер Г. Свобода, наука и эстетика // Пай-тген Х.О., Рихтер П.Х. Красота фракт алов. Образы комплексных динамических систем /Пер. с англ. - М.: Мир, 1993. - С. 141-153.
