Еще раз о стандартной коммутационной формуле Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕЩЕ РАЗ О СТАНДАРТНОЙ КОММУТАЦИОННОЙ ФОРМУЛЕ*

H. А. Вавилов1, А. В. Степанов2

I. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ», канд. физ.-мат. наук, [email protected]

Анатолию Владимировичу Яковлеву, одному из тех, кто научил нас, что Математика — это то, что можно объяснить

В настоящей заметке мы обобщаем и усиливаем полученные в нашей работе [3] и в работе Рузби Хазрата и Чжанг Дзухонга [24] относительные стандартные коммутационные формулы и приводим для них [ну] совсем простые доказательства.

Пусть К — ассоциативное кольцо с 1, СЬ(п, К) —полная линейная группа степени п над К. Как обычно, е обозначает единичную матрицу, а е^ — стандартную матричную единицу. Для £ € К и 1 < г = з < п через (£) = е+£е^ обозначается соответствующая [элементарная] трансвекция. Идеалу I < К сопоставляется элементарная подгруппа

Е(п,1) = (■%(£), £ € К, 1 < г = з < п).

В свою очередь, относительная элементарная подгруппа Е(п, К, I) уровня I определяется как нормальное замыкание Е(п, I) в Е(п, К). Рассмотрим гомоморфизм редукции р/ : СЬ(п, К) —> СЬ(п, К/1) по модулю I. Главная конгруэнц-подгруппа СЬ(п, К, I) — это ядро гомоморфизма редукции р/, а полная конгруэнц-подгруппа С(п, К, I) —это полный прообраз центра группы GL(n,К/I) относительно р/.

Для двух подгрупп Е,И < О через [Г, Н] обозначается их взаимный коммутант, т. е. подгруппа, порожденная всеми коммутаторами [/, Н], где ] € Г, Н € Н. Заметим, что наши коммутаторы левонормированы, [х,у] = хух-1у-1. Двойной коммутатор [[ж, у], г] обозначается просто [х, у, г].

Один из наиболее часто используемых результатов теории линейных групп над кольцами — абсолютные стандартные коммутационные формулы

[СЬ(п, К), Е(п, К, I)] = Е(п, К, I) = [Е(п, К), С(п, К, I)],

первая из которых утверждает в точности, что группа Е(п, К, I) нормальна в СЬ(п, К), а вторая является ключевым инструментом при проведении редукции уровня. На стабильном уровне эти формулы были получены Хайманом Бассом [18]. Позже Леонид Васерштейн [5] понизил на 1 оценку на стабильный ранг бг(К) кольца К.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-8464.2006.1) и РФФИ (гранты №08-01-00756, 09-01-00762, 09-01-00784, 09-01-00878, 09-01-91333, 09-01-90304). Кроме того, авторы благодарят Университет Белфаста, Университет Билефельда, Аэрокосмический Университет (Пекин), Университет Перуджи и Школу Математики и Физики (Лахор) за гостеприимство во время наших размышлений на тему релятивизации с несколькими параметрами.

© Н.А.Вавилов, А.В.Степанов, 2010

Вскоре после этого Андрей Суслин, Леонид Васерштейн, Зенон Боревич и первый автор [11], [12], [33], [1] заметили, что для почти коммутативных колец эти формулы справедливы при любом п > 3. Напомним, что кольцо К называется почти коммутативным, если оно конечно порождено как модуль над своим центром. В дальнейшем Игорь Голубчик, Александр Михалев (ст.), Сергей Хлебутин и Энтони Бак перенесли их на широкие классы некоммутативных колец [7], [8], [13], [14]. В работах [4], [9], [10], [15], [17], [19-23], [30], [32], [34] можно найти еще несколько их доказательств, много дальнейших ссылок и подробное обсуждение их роли в структурной теории.

В то же время, какое-то условие типа коммутативности или конечномерности здесь необходимо. Это вытекает из приведенных Виктором Герасимовым [6] примеров колец, для которых Е(п, К) нетривиальным образом выделяется свободным сомножителем в СЬ(п, К). Ясно, что для таких колец нет никаких нетривиальных аналогов стандартных коммутационных формул.

Пусть теперь А, В < К — два идеала кольца К. Естественно спросить, что можно сказать про взаимные коммутанты конгруэнц-подгрупп и элементарных групп уровней А и В? Приведенные выше коммутационные формулы отвечают частному случаю, когда одна из этих групп абсолютна.

На стабильном уровне эта задача детально изучена в чрезвычайно занимательных работах Алека Мейсона и Уилсона Стотерса [26-29]. Процитируем для примера основной результат работы [29]. Формально на страницах 334 и 337 работы [29] сформулированы чуть более слабые результаты, но, как отмечается в [27, 28], доказано там именно это.

Теорема 1. Пусть п > вг(К) + 1, 3. Тогда для любых двух идеалов А, В < К имеет место равенство

[СЬ(п, К, А), СЬ(п, К, В)] = [Е(п, К, А), Е(п, К, В)].

Если, кроме того, кольцо К коммутативно, то

[Е(п, К, А), С(п, К, В)] = [Е(п, К, А), Е(п, К, В)].

Доказательство этого результата в [29] опирается на лемму Уайтхеда и теорему Басса—Васерштейна об инъективной стабилизации для функтора К]_. Нет, конечно, никакой надежды обобщить первую из этих формул. В [25], [14] приведены примеры, показывающие, что даже для очень хороших коммутативных колец она, вообще говоря, не имеет места даже в абсолютном случае, когда К = А = В.

С другой стороны, до самого последнего времени не было никаких опубликованных аналогов этих результатов в метастабильной области. Недавно авторы [3] заметили, что, пользуясь методом разложения унипотентов [32], можно в основном обобщить вторую из этих формул на случай произвольных коммутативных колец. К сожалению, перенести эту формулу на другие группы на таком пути совсем непросто. Поэтому в [3] мы поставили задачу получения других доказательств, использующих локализацию или релятивизацию [31].

Эта задача была тут же решена в работе Рузби Хазрата и Чжанг Дзухонга [24]. А именно, они предложили несколько важных технических улучшений метода локализации—пополнения, которые позволили им дать локализационное доказательство результатов, при этом даже не для коммутативных, а для квазиконечных колец. Напомним, что кольцо называется квази-конечным, если оно является индуктивным пределом почти коммутативных колец.

Напомним также, что метод локализации—пополнения был введен Энтони Баком [14] как альтернатива методу локализации—склейки Квиллена—Суслина, а в дальнейшем Рузби Хазрат, авторы и Виктор Петров [2], [15], [16], [20], [22] предложили несколько радикальных упрощений, которые значительно увеличили применимость этого метода.

Сформулируем теперь основной результат работы [24].

Теорема 2. Пусть К — квазиконечное кольцо, п > 3. Тогда для любых двух идеалов А, В < К имеет место равенство

[Е(п, К, А), СЬ(п, К, В)] = [Е(п, К, А), Е(п, К, В)].

В настоящей работе мы покажем, что теорема 2, а для коммутативных колец и вторая формула теоремы 1 сразу вытекают из абсолютных стандартных коммутационных формул, которые для произвольных квазиконечных колец доказаны уже в работе Энтони Бака [14]. По совершенно загадочным причинам этого не заметили ни авторы статей [26-29], ни мы сами [3], ни авторы работы [24].

Для специалиста идея этого нового доказательства может быть изложена двумя фразами. С одной стороны, фактор-группа большего из рассматриваемых коммутантов по меньшему живет в К\(п, К, АВ + ВА), на котором группа Е(п, К) действует тривиально в силу абсолютной стандартной коммутационной формулы. С другой стороны, группа Е(п, К, А) является Е(п, К)-совершенной, что позволяет еще раз прокоммути-ровать с Е(п, К) и заключить, что рассматриваемая фактор-группа тривиальна.

В то же время, это ни в малейшей степени не умаляет ценность работы [24]! Более того, мы считаем, что предложенное там для доказательства теоремы 2 усовершенствование метода локализации—пополнения является замечательным достижением в теории линейных групп над кольцами само по себе, вне всякой связи с относительными коммутационными формулами!

Кроме абсолютных стандартных коммутационных формул доказательства основных результатов настоящей работы опираются только на следующие очевидные (и хорошо известные) утверждения, справедливые для совершенно произвольных ассоциативных колец. Первое из них — это лемма о трех подгруппах, второе является стандартным упражнением на коммутационную формулу Шевалле, которое мы каждый год предлагаем студентам первого курса, третье и четвертое в коммутативном случае доказаны в [29], а в общем случае вытекают из вычислений в [26] и [28]. Для полноты в [3] (леммы 1-3) мы воспроизвели простые доказательства этих фактов.

Лемма 1. Пусть Г,Н,Ь < О — нормальные подгруппы в О. Тогда

№Н\,ь] < №Ц,Н] ■ г [Н,ь]].

Лемма 2. Пусть п > 3. Тогда для любого идеала А в К выполняется равенство

[Е(п, К, А), Е(п, К)] = Е(п, К, А).

Лемма 3. Пусть п > 2. Тогда для двух любых идеалов А и В в К выполняется равенство

Е(п, К, А)Е(п, К, В) = Е(п, К, А + В).

Лемма 4. Пусть п > 3. Тогда для двух любых идеалов А и В в К выполняются включения

Е(п, К, АВ + ВА) < [Е(п, К, А), Е(п, К, В)] < [СЬ(п, К, А), Е(п, К, В)] <

< [СЬ(п, К, А), СЬ(п, К, В)] < СЬ(п, К, АВ + ВА).

Теперь у нас все готово для доказательства нашего первого основного результата, являющегося широким обобщением результатов работ [3], [24].

Теорема 3. Пусть п > 3, а К — произвольное кольцо, над которым выполняются абсолютные стандартные коммутационные формулы. Тогда для любых двух идеалов А, В < К имеет место равенство

[Е(п, К, А), СЬ(п, К, В)] = [Е(п, К, А), Е(п, К, В)].

Доказательство. По лемме 2

[Е(п, К, А), СЬ(п, К, В)] = [[Е(п, К), Е(п, К, А)], СЬ(п, К, В)].

Так как все фигурирующие здесь подгруппы нормальны, из леммы 1 вытекает включение

[Е(п, К, А), аЬ(п,К,В)] <

< [Е(п, К, А), [Е(п, К), СЬ(п, К, В)]] ■ [Е(п, К), [Е(п, К, А), СЬ(п, К, В)]].

Применение к первому множителю в правой части абсолютной стандартной коммутационной формулы позволяет немедленно заключить, что он совпадает с [Е(п, К, А), Е(п, К, В)].

С другой стороны, применяя ко второму множителю в правой части лемму 4, мы можем заключить, что он содержится в

[Е(п, К), СЬ(п, К, АВ + ВА)] = Е(п, К, АВ + ВА) < [Е(п, К, А), Е(п, К, В)].

Таким образом, левая часть содержится в правой, обратное же включение очевидно.

Следующее усиление теоремы работы [3] утверждает, что вторая коммутационная формула из теоремы 1 справедлива для совершенно произвольных коммутативных колец независимо от условий стабильности.

Теорема 4. Пусть К — коммутативное кольцо, п > 3. Тогда для любых двух идеалов А, В < К имеет место равенство

[Е(п, К, А), С(п, К, В)] = [Е(п, К, А), Е(п, К, В)].

Для доказательства достаточно слово в слово повторить доказательство теоремы 3, заменив там всюду ОЪ(п, К, В) на С(п, К, В), а ссылку на лемму 4 — ссылкой на следующую, чуть более сильную лемму 5 (см. [29], [26]). Для полноты воспроизведем ее доказательство, в котором мы до самого последнего момента сознательно не пользуемся коммутативностью.

Лемма 5. Пусть К — коммутативное кольцо, п > 2. Тогда для двух любых идеалов А и В в К выполняется включение

[СЬ(п, К, А), (п, К, В)] < СЬ(п, К, АВ + ВА).

Доказательство. Рассуждаем точно так же, как в доказательстве леммы 3 работы [3]. Возьмем произвольные х £ СЪ(п, К, А) и у € С(п, К, В). Тогда х = е + х\, х-1 =

е + Х2 для некоторых Х1,Х2 € М (п, А) таких, что Х1 + Х2 + Х1Х2 =0 и у = ае + у1, у-1 = @е + у2 для некоторых у1,у2 € М(п,В) и некоторых а, в € К таких, что их классы в К/В являются там центральными единицами, причем ав = 1 (шоё В). Ясно, что

уХ2у-1 = (ае + ух)Х2(ве + у2) = аХ2в (шоё АВ + ВА).

Таким образом,

[Х,у] = (е + Х1 )у(е + Х2)у-1 = (е + Х\)(е + а.Х2в) (шоё АВ + ВА).

Осталось заметить, что для коммутативного кольца правая часть сравнима с (е + Х\)(е + Х2) = е по модулю АВ + ВА.

В некоммутативном случае [Х,у] € ОЬ(п, К, А П В), но нет никаких очевидных причин, чтобы [Х,у] € ОЬ(п, К, АВ + ВА). И действительно, в работе [28] приведен пример некоммутативного кольца К, бг(К) = 2, и идеала А < К таких, что [Е(п, К, А), С(п, К, А)] > [Е(п, К, А), Е(п, К, А)].

Ясно, что самое правое из равенств в лемме 4 не имеет места даже для самых хороших коммутативных колец и даже для абсолютного случая. С другой стороны, лемма 2 утверждает, что в абсолютном случае самое левое неравенство в лемме 4 превращается в равенство. Оказывается, подлинная причина этого состоит не в том, что В = К, а в том, что идеалы А и В комаксимальны.

Теорема 5. Пусть п > 3, а К — произвольное кольцо, над которым выполняются абсолютные стандартные коммутационные формулы. Тогда для любых двух комак-симальных идеалов А, В < К, А + В = К, имеет место равенство

[Е(п, К, А), Е(п, К, В)] = Е(п, К, АВ + ВА).

Доказательство. Заметим, прежде всего, что по леммам 2 и 3

Е(п, К, А) = [Е(п, К, А), Е(п, К)] = [Е(п, К, А), Е(п, К, А) ■ Е(п, К, В)].

Таким образом,

Е(п, К, А) < [Е(п, К, А), Е(п, К, А)] ■ [Е(п, К, А), Е(п, К, В)] <

< [Е(п, К, А), Е(п, К, А)] ■ СЬ(п, К, АВ + ВА).

Коммутируя это включение с Е(п, К, В), мы видим, что

[Е(п,К,А),Е(п,К,В)] <

< [[Е(п, К, А), Е(п, К, А)], Е(п, К, В)] ■ [СЬ(п, К, АВ + ВА), Е(п, К, В)].

Абсолютная стандартная коммутационная формула, примененная ко второму множителю, показывает, что он содержится в

[СЬ(п, К, АВ + ВА), Е(п, К, В)] < [СЬ(п, К, АВ + ВА), Е(п, К)] = Е(п, К, АВ + ВА).

С другой стороны, применение к первому множителю леммы 1, а потом снова абсолютной стандартной коммутационной формулы показывает, что он содержится в

[[Е(п, К, А), Е(п, К, В)], Е(п, К, А)] < [СЬ(п, К, АВ + ВА), Е(п, К, А)] <

< [СЬ(п, К, АВ + ВА), Е(п, К)] = Е(п, К, АВ + ВА).

В сочетании с леммой 3 это завершает доказательство теоремы.

Ясно, что мы владеем всеми ингредиентами этих доказательств для всех классических групп и групп Шевалле. Детали будут приведены в следующих работах авторов.

С другой стороны, теперь, в свете работы [24], мы можем следующим образом уточнить задачу 4 работы [3], в которой предлагалось обобщить кратную коммутационную формулу на относительный случай.

Проблема. Пусть R — квазиконечная алгебра над коммутативным кольцом A конечной размерности Басса—Серра £(A) = d < ж, а n > 3. Пусть, далее, Ai, . .., Am < R — идеалы кольца R, m > d + 1. Докажите, что тогда

[GL(n, R, Ai), GL(n, R,A2),..., GL(n, R, Am)] =

= [E(n, R, Ai), E(n, R, A2),..., E(n, R, Am)].

Очевидно, что, в отличие от результатов настоящей работы, доказательство этого более общего результата не может быть столь же простым и потребует всей силы локализационных методов, развитых для этой цели в [14-17], [20-24].

В заключение авторы благодарят Рузби Хазрата и Чжанг Дзухонга за многочисленные полезные обсуждения, и за незабываемую рыбу по-сычуаньски.

Литература

1. Боревич З. И., Вавилов Н. А. Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1984. Т. 165. С. 24-42.

2. Вавилов Н. А., Петров В. А. О надгруппах Ep(21, R) // Алгебра и Анализ. T. 15. 2003. Вып. 3. С. 72-114.

3. Вавилов Н. А., Степанов А. В. Стандартная коммутационная формула // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2008. Вып. 1. С. 9-14.

4. Вавилов Н.А., Степанов А. В. Линейные группы над общими кольцами. I. Основные структурные теоремы // Вестн. Самарского ун-та. 2009.

5. Васерштейн Л. Н. О стабилизации общей линейной группы над кольцом // Мат. сб. 1969. Т. 79. Вып. 3. С. 405-424.

6. Герасимов В. Н. Группа единиц свободного произведения колец // Мат. сб. Т. 134. 1987. Вып. 1. С. 42-65.

7. Голубчик И. З. О полной линейной группе над слабо нетеровыми ассоциативными кольцами // Фундам. и прикладн. мат. Т. 1. 1995. Вып. 3. С. 661-668.

8. Голубчик И. З., Михалев А. В. О группе элементарных матриц над PI-кольцами // Исследования по алгебре. Тбилиси, 1985. С. 20-24.

9. Петров В. А., Ставрова А. К. Элементарные подгруппы изотропных редуктивных групп // Алгебра и Анализ. 2008. Т. 20. Вып. 4. С. 160-188.

10. Степанов А. В. О нормальном строении полной линейной группы над кольцом // Зап. науч. семин. ПОМИ. Т. 236. 1997. С. 166-182.

11. Суслин А. А. О структуре специальной линейной группы над кольцом многочленов // Изв. АН СССР, Сер. Мат. Т. 141. Вып. 2. 1977. С. 235-253.

12. Туленбаев М. С. Мультипликатор Шура группы элементарных матриц конечного порядка // Зап. науч. семин. ЛОМИ. Т. 86. 1979. С. 162-169.

13. Хлебутин С. Г. Некоторые свойства элементарной подгруппы // Алгебра, логика и теория чисел. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 86-90.

14. Bak A. Nonabelian K-theory: the nilpotent class of K1 and general stability // K-Theory. 1991. Vol. 4. N4. P. 363-397.

15. Bak A., Hazrat R., Vavilov N. Localization-completion strikes again: relative K1 is nilpotent by abelian // J. Pure Appl. Algebra. 2009. Vol. 213. P. 1075-1085.

16. Bak A., Stepanov A. Dimension theory and nonstable K-theory for net groups // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 2001. Vol. 106. P. 207-253.

17. Bak A., Vavilov N. Structure of hyperbolic unitary groups I. Elementary subgroups // Algebra Colloquium. Vol. 7. N 2. 2000. P. 159-196.

18. Bass H. K-theory and stable algebra // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. N22. 1964. P. 5-60.

19. Hahn A. J., O’Meara O. T. The classical groups and K-theory // Grundlehren Math. Wiss. Vol. 291. Berlin: Springer-Verlag et al., 1989.

20. Hazrat R. Dimension theory and non-stable K1 of quadratic module // K-theory. 2002. Vol. 27. P. 293-327.

21. Hazrat R., Petrov V., Vavilov N. Relative subgroups in Chevalley groups // J. K-theory. 2008. P. 1-13.

22. Hazrat R., Vavilov N. K1 of Chevalley groups are nilpotent // J. Pure Appl. Algebra. 2003. Vol. 179. P. 99-116.

23. Hazrat R., Vavilov N. Bak’s work on K-theory of rings (with an appendix by Max Karoubi) // J. K-Theory. 2009. Vol. 4. N1. P. 1-65.

24. Hazrat R., Zhang Zuhong. Generalized commutator formula // Comm. Algebra. 2009. P. 1-

10.

25. van der Kallen W. A module structure on certain orbit sets of unimodular rows // J. Pure Appl. Algebra. Vol. 57. N 3. 1989. P. 281-316.

26. Mason A. W. A note on subgroups of GL(n,A) which are generated by commutators // J. London Math. Soc. 1974. Vol. 11. P. 509-512.

27. Mason A. W. On subgroups of GL(n, A) which are generated by commutators. II // J. reine angew. Math. 1981. Vol. 322. P. 118-135.

28. Mason A. W. A further note on subgroups of GL(n, A) which are generated by commutators // Arch. Math. 1981. Vol. 37. N5. P. 401-405.

29. Mason A. W., Stothers W. W. On subgroups of GL(n, A) which are generated by commutators // Invent. Math. 1974. Vol. 23. P. 327-346.

30. Petechuk V. M. Stability structure of linear groups over rings // Math. Studii. 2001. Vol. 16. N 1. P. 13-24.

31. Stein M. R. Relativising functors on rings and algebraic K-theory // J. Algebra. 1971. Vol. 19. N1. P. 140-152.

32. Stepanov A., Vavilov N. Decomposition of transvections: a theme with variations // K-Theory. 2000. Vol. 19. P. 109-153.

33. Vaserstein L. N. On the normal subgroups of the GLn of a ring // Algebraic K-Theory, Evanston 1980 Lecture Notes in Math. Vol. 854. Berlin: Springer et al., 1981. P. 454-465.

34. Vavilov N. Structure of Chevalley groups over commutative rings // Proc. Conf. Nonasso-ciative Algebras and Related Topics (Hiroshima, 1990). London: World Sci. Publ. et al., 1991. P. 219-335.

Статья поступила в редакцию 10 октября 2009 г.