CC BY
52
ZhabinAleksandrBorisovich,doctor of technical sciences, professor, Zha-bin. [email protected],Russia, Tula, Tula state university,
PolyakovAndreyVyacheslavovich, candidate of technical sciences, technical director, Polyakoff-an@mail. ru, Russia, Tula, JSC Expert Center of Technological Safety
УДК 622.236.732
ЭРОЗИЯ ПОВЕРХНОСТИ ГОРНЫХ ПОРОД ПРИ ОДИНОЧНОМ УДАРЕ АБРАЗИВНОЙ ЧАСТИЦЫ С УЧЕТОМ ОБРАЗОВАНИЯ
ЛУНКИ ВЫКОЛА
Е.А. Аверин
Предложен метод определения объема горных пород, уносимого с поверхности массива при ударе одиночной абразивной частицы. В основу метода положены расчетные схемы, полученные путем применения к проблеме разрушения высокоскоростными гидроабразивными струями горных пород и других хрупких материалов методов механики разрушения. В механике разрушения разрушение материалов рассматривается как процесс зарождения и развития трещин.
Ключевые слова: математическая модель, гидроабразив, эрозия.
Технология гидроабразивного разрушения заняла прочное положение в современной промышленности, постоянно развивается и совершенствуется, растет количество отраслей производства и стран, освоивших этот способ. Необходимо отметить, что процесс гидроабразивного разрушения носит эрозионный характер, т.е. в результате воздействия струи, несущей твердые частицы, происходит разрушение и удаление только поверхностного слоя материала определенного объема без нарушения его внутренней структуры. Т.е. причиной уноса материала при эрозии служит ударное разрушение.
Поскольку большинство горных пород являются хрупкими [5], то в монографиях [2, 3], на результатах которых основывается данная работа, проводились исследования именно хрупких материалов. Процесс эрозии хрупких материалов обусловлен образованием поперечных трещин при ударе частицы о поверхность.
В работе [2] была получена система уравнений относительно углов распространения трещины при ударе абсолютно твердой сферической частицы по упругому полупространству (символическое обозначение в идеализированной схеме удара частицы абразива по горному массиву):
2 2,2 2,2 2 1/,ч2і/ л2
Gi cos al + G2cos a2 + G3cos аз-—(gi + G3) = — (gi-G3) ;
2 2 2 1
G1 cos al + G2cos a2 + G3cos a3 = — (gi + G3);
2 2 2 cos al + cos a2 + cos a3 = 1,
(1)
где a1t a2 и a3 - углы распространения трещины, которые нормаль п образует с осями координат (на площадке с нормалью п и образуется трещина); &j, а2 и а3 - главные напряжения напряженно-деформированного состояния горного массива при ударе частицы абразива, причем s1 > s2 > s3.
В системе уравнений (1) первое (верхнее) уравнение является зависимостью квадрата касательной составляющей вектора распределенной нагрузки на площадке с нормальюп; второе (среднее) уравнение - нормальной составляющей; третье (нижнее) - касательной нагрузки. Неизвестны-
2 2 2 ми считаются величины cos2 a1, cos2 a1 и cos2 a1.
Данную систему уравнений предлагается решать методом Гаусса, т.к. для систем (матриц иже с ними) ограниченного размера является менее трудоемким по сравнению с другими методами, а также позволяет однозначно установить, совместна система или нет и, если совместна, найти её решение[4].
Обозначим
2
cos al = x; 2
cos a2 = y;
(2)
2
cos a3
z.
Тогда система примет вид
22
2 1 2 1 2
g2x + g2y + G = 4(g1 -g3) + 4(g1 +g3) ; G1x + g2 y + G3z = ^2(g1 + g3);
(3)
x + y + z = 1.
Для удобства перепишем:
x + y + z = 1;
G1x + g2 y + G3z = ^2(g1 + G3);
2 2 2 1 2 1 2 G2x + g2y + g2 = 4(gi-g3) + 4(gi + g3) .
(4)
Приводим систему (4) уравнений к «треугольному» виду. Для начала исключаем хиз второго и третьего уравненийуказанной системы:
194
х + у + г = 1;
о1х + о2у + о3г = 2 (о1 + о3);
2 2 2 1 2 1 2 °1х + ^2У + о3 = 4(°1 -^3) + 4(^1 +°з) ,
о
о і
х + у + г = 1;
1
о і
0]Х + о2 у + ^г — (о^ + оу + 0]_г) = — (о + 03) — ©1;
2222221 21 22 х + °2 У + °2 — ^ +°^у + °0 = 4(о1 —03) + 4(о1 +°з) —°ь
х + у + г = 1;
У (о2 — °1) + г (о3 — °1) = 2(о3 — °1); у(о2 — °12) + г(о3 — °і) = 2(°3 — °2)-
(5)
Далее исключаем из третьего уравнения полученной системы (5) у:
х + у + г = 1; у(о2 —о) + г(03 —о) = — о); о
у (о22 — о2) + г (о2 — о2) = 1 (032 — о2),
о
х + у + г = 1; у (о2 — о) + г (о — — о);
у (о22 — о2) + г (^32 — о2) — у (о2 + о) — г (о2 — о )(о2 + = 1 (о2 — о2) — (о2 + о)
о
2
о
х + у + г = 1; у (о2 — о) + г о — ох) = ^2(о3 — о);
г (о3 — °1)(°3 — о2) = |(°3 — °1)(°3 — °2)-
(6)
1
Из системы (6) очевидно, что г = —. Далее находим у:
у (о 2 — о{) + г о — СГ1) = -^(о 3 — СГ1) о у (о2 — СГ1) + ■1(о3 — СГ1) = -2(о3 — СГ1) о (7)
2 ^ 1 / ' 3
о у (о2 — СГ1) = 0 о у = 0 и, наконец, х:
х + у + г = 1 о х + 0 +1 = 1 о х = 1
2 2
(8)
Проверка правильности решения данной системы уравнений путем ее решения методом Крамера приводит к следующему результату:
ГЇеК Ах ) = 1 °1°2 (о2 — о1) + °1°3(°1 — о3) + °2°3 (о3 — о2 ) ёй(А) 2 (о2 — С1) + С1С3(о1 — С3) + о2о3 (о3 — о2)
а^( Ау)
0;
ёе1;( А)
ёеКАх) = 1 °1°2(о2 —о1) + °1°3(°1 —о3) + °2°3(°3 —о2) = 1
(9)
ёе<А) 2 а1°2(о2 — о1) + °1°3(°1 — о3) + °2°3(°3 — о2) 2
Как видно, полученный результат аналогичен результату, полученному при решении методом Г аусса.
Тогда
2
ооб а1
1
х = 2;
2
а1 = 45°; ооб2 а2 = у = 0; о а2 = 90°;
а3 = 45°.
(10)
2
ооб а3
Полученный результат предлагается трактовать следующим образом. Углы а}и а3 представляют собой радиальные трещины, образующие поверхность конусообразной формы - лунку выкола. Тот факт, что
а,/=а3указывает на то, что в основании конуса находится круг; таким образом, данный конус является прямым круговым. Угола2 - поперечная трещина. Такая картина согласуется с [7], где говорится, что при ударе твердой частицы сферической формы по поверхности хрупкого материала образуются трещины конусообразной формы и трещины, перпендикулярные к оси направления удара частицы.
Частица абразива при этом как бы вписана в конус-лунку таким образом, что поверхность конуса является касательной к поверхности частицы. Такое допущение позволит связать геометрические параметры частицы с аналогичными характеристиками лунки выкола. Данное предположение косвенно подтверждается тем, что по мере заглубления частицы в тело (горный массив) радиус лунки пропорционально увеличивается (рис. 1).
Рис. 1. Степени внедрения частицы абразива в массив
Далее определим объем удаляемой горной породы при ударе одиночной частицы абразива. Расчетная схема представлена на рис. 2.В ней пока пренебрегаем углом а2.
Объем удаляемой горной породы при ударе одиночной частицы абразива в расчетной схеме, показанной на рис. 2, определяется как объем прямого кругового конуса-лунки выкола, который рассчитывается по формуле [1]
где 5'осн - площадь основания конуса; И- высота конуса.
Так как в основании конуса находится круг (что обосновано несколько выше), то его площадь определяется по формуле
где Я - радиус основания. Далее, чтобы различать этот параметр, будем обозначать его Яэ.
Значение высоты конуса ^можно найти, рассмотрев треугольник, вершинами которого являются следующие точки:
- точка касания поверхности конуса-лунки выкола и сферы-частицыабразива;
- вершина конуса-лунки выкола;
- центр окружности, обозначающей частицу абразива.
Рис. 2. Расчетная схема
(11)
(12)
Здесь известными считаются следующие величины: радиус частицы абразива Я(не путать с Яэ), угол при вершине конуса-лунки выкола (а = 45°), угол при точке касания поверхности конуса-лунки выкола и сфе-ры-частицыабразива (этот угол прямой, что вытекает из свойств касательной). Отсюда сразу легко найти угол при центре окружности из теоремы о сумме углов треугольника: 180°- 90°- 45° = 45° .Таким образом, мы получаем равнобедренный прямоугольный треугольник, стороны которого равны Я. Гипотенуза такого треугольника равна Ял/2. Высота конуса ^меньше этой величины на Я -8, где 8 - заглубление частицы абразива в массив, которое определяется по следующей формуле [3]:
где Я - радиус частицы абразива; р -плотность абразивной частицы; V-скорость абразивной частицы в момент удара; у- коэффициент Пуассона и Е- модуль Юнга.Последние два показателя в совокупности полностью характеризуют упругие свойства разрушаемого материала[6].
Отсюда следует, что высота «шапки» конуса-лунки выкола (т.е. той ее части, которая располагается под частицей абразива) в данной расчетной схеме постоянна и равна 0,414Я.
Значение Яэнайдем рассмотрев поочередно два треугольника. Первый из них имеет следующие вершины:
- вершина конуса-лунки выкола;
- пересечение центральной оси частицы абразива и линии поверхности горного массива;
- пересечение образующей поверхности конуса-лунки выкола и линии поверхности горного массива.
Здесь известны следующие величины: расстояние от вершиныкону-са-лунки выкола до точки пересеченияцентральной оси частицы абразива и линии поверхности горного массива равно 0,414 Я + 8; угол привершине конуса-лунки выкола равен 45°; угол при точке пересечения центральной оси частицы абразива и линии поверхности горного массива равен 90°, т.к. частица атакует поверхность массива по нормали. Подобный режим разрушения для хрупких материалов является оптимальным [2, 7].
Далее, вновь применив теорему о сумме углов треугольника, несложно установить, что угол при точке пересечения, образующей поверхности конуса-лунки выкола и линии поверхности горного массива, равен 45°. Таким образом, получаем равнобедренный прямоугольный треугольник со сторонами равными 0,414Я + 8 .
(13)
V
у
Тогда
И = Ял/2 - Я + 5 = 0,414Я + 5.
(14)
Т.е.
Яэ = 0,414Я + 5.
(15)
Кстати, гипотенуза этого треугольника является образующей конуса и равна (0,414Я + 8)л/2 .
С учетом (12), (14) и (15) выражение (11) примет вид
V = Р(0,414 Я + 5)3 = 1,047(0,414Я + 5)3. (16)
С учетом (13) выражение (16) можно преобразовать:
,3
(17)
ґ 2 Л
V = 1,047 0,414Я + Я 5р(1 -т2)р^2 5
4 Е
V
V
Таким образом, получена зависимость, позволяющая определить объем разрушаемой горной породы при ударе одной частицы абразива с учетом образования лунки выкола.
Список литературы
1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Гос. Изд-во технико-теоретической литературы, 1953. 608 с.
2. Гидроструйные технологии в промышленности. Гидроабразивное резание горных пород / В.А. Бреннер[и др.]. М.: Изд-во МГГУ,2003. 279 с.
3. Гидроструйные технологии в промышленности. Совершенствование гидроструйных технологий в горном производстве / В.А. Бреннер[и др.]. М.: Изд-во «Горная книга»; Изд-во МГГУ, 2010. 337 с.
4. Высшая математика для экономистов.3-е изд. Н.Ш. Кремер [и др.]/ под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. 479 с.
5. Распределение и корреляция показателей физических свойств
горных пород: справочное пособие / М.М. Протодьяконов
[и др.]. М.: Недра, 1981. 192 с.
6. Упругие деформации. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
Энергия упругой деформации: [Электронный ресурс]. Оптоэлектронные системы,2014. иКЬ: http://optoelectrosys.ru/teor/magistratura-teor/uprugie-
deformacii-modul-vunga-i-koefficient-puassona-energiva-uprugoi-defor-macii.html (дата обращения: 05.03.2014).
7. Эрозия / под ред. К. Прис. М.:Мир, 1982. 464 с.
Аверин Евгений Анатольевич, аспирант, evgeniy.averin. [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
ROCKSURFACEEROSIONBYELEMENTARYABRASIVEPARTICLESTROKEWITHPAYING
A TTENTIONTOINDENTEDJOINT
E.A. Averin
Themethodfordefinitionof the elementary volume taking off the rock surface during one abrasive particle stroking is proposed. The method is based on design diagrams that were got by application of fracture mechanics methods to the problem of rock and other fragile materials destruction by hydroabrasive jets. Materials destruction is considered as a process of joint’s germing and developmentin fracture mechanics.
Keywords: mathematical model, hydroabrasive, erosion.
Averin Eugene Anatolievich, postgraduate, evgeniy. averin. 90@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
