Энтропийный метод построения вероятностных моделей поведения потребителя Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 330.4

ЭНТРОПИЙНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПОВЕДЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЯ

А.В. Гетманчук, М.М. Ермилов

Авторы предпринимают попытку вероятностного описания экономического поведения потребителя. За теоретическую основу при этом был выбран принцип максимума энтропии, при котором любая система достигает равновесного состояния только при максимально возможном значении энтропии.

Ключевые слова: энтропия, энтропийный метод, вероятностные модели, поведение, потребители.

В данной статье предпринимается попытка вероятностного описания экономического поведения потребителя. За теоретическую основу при этом быш выбран принцип максимума энтропии, согласно которому любая система достигает равновесного состояния только при максимально возможном значении энтропии. Применение данного принципа для оценок распределений получило распространение в середине XX в. Физик Эдвард Джейнс (E.T. Jaynes, USA) выпустил ряд работ, посвящённыгх изучению свойств таких оценок. Придерживаясь основнык идей, положенных в основу этой методики, мы применим её для непрерывных распределений. Допустим, что рассматривается некоторая система (условно назытаемая потребителем), состояние которой характеризуется n непрерытныыми переменными. Значения этих

переменный образуют вектор x= xp ..., xn)T. Применительно к экономике этот вектор может назытаться вектором потребления; его элементы равны количествам единиц товаров и услуг. Числовые значения этих элементов рассматриваются как случайные переменные, распределение которык описывается заранее

неизвестной плотностью вероятностей f (x).

Согласно некоторым детерминистским моделям экономики, основанным на вариационных принципах, значения основных показателей определяются как координаты экстремальной точки заданной целевой функции. Поскольку в данной статье преследуется цель оценки влияния случайных отклонений, указанный выше вариационный принцип нуждается в обобщении. Рассматриваемая плотность f(x) должна определяться требованием достижения максимума некоторого функционала. Напомним, что аргументом функционала являются не переменные, а функции. В нашем случае этой функцией

является плотность вероятности. Так как вектор спроса х предполагается непрерывным, функционал должен иметь вид интеграла по многомерной области х сО . Довольно часто в качестве О выбирается п-мерный ор-тант с неотрицательными элементами, х > 0. Функционал должен быть построен таким образом, чтобы в нём бышо отражено влияние на спрос, одновременное стремление к максимуму двух величин. В число этих величин, естественно, входит целевая функция, как и в классических моделях. Кроме того, сюда входит энтропия естественных случайных колебаний, в какой-то мере свойствен-нык всякому потребительскому спросу. Разумеется, количество мыслимых моделей функционалов не ограничено. В данной статье отдано предпочтение наиболее простой среди них — аддитивной модели, в которой максимизируется сумма целевой функции и энтропии. В таком случае функционал (лагранжиан) однозначно представляется интегралом

ВД = Ц...{^х) [л(х) - р1п£(х) - ¿0 - рАрт х]апх

О

Здесь введены обозначения:

Л (х) — целевая функция, зависящая от вектора потребления х;

р > 0 — регулируемый числовой параметр, определяющий вклад энтропии в функционал. Меняя величину этого параметра, можно уменьшать или увеличивать роль случайных колебаний;

Л0, Л — множители Лагранжа, априорно неизвестные;

р = ( р13 р2, ... рп ) т - вектор задан-

ный рышочныгх цен.

Приравнивая нулю вариацию данного функционала, после стандартных преобразований получаем общее уравнение, которому должна удовлетворять плотность вероят-

ностеи

f(x):

lnf(x) = lnC + Л(x) - X • (n, x)

/

(1)

lnC

v P у

Отсюда следует

f (x) = C • exp

Л(x) 3 T

-------X • p x

P

(2)

JJ... J f( x )d" x = 1 .

f(x) = C(X) •[u(x)]1p exp{—X • pTx); f(x) = [u(x)]1/p exp|ja{X)-X^pTxj,

(3)

1

C(X, —) = exp P

1

колебания спроса становятся пренебрежимо малыми. Выше уже было отмечено, что при этом практически все значения вектора потребления локализуются в малой окрестности точки условного максимума функции и(х). И, таким образом, в пределе р ^ + 0 модель сводится к классической модели рационального потребителя

lim f (x) ^ max [ C • u(x)]

n _^ -l-fl V J

1/P

p^+Q

T

p x=q

Нормировочная константа удовлетворяет условию равенства единице интеграла от плотности (2) по Q

ОбщиИ вид функции плотности позволяет сделать вид для любоИ неоклассической функции л (x) , при условии

p ^+Q; pX = const данная модель стремится к классической детерминированной модели рационального потребителя, в которой плотность вероятности вырождается в дельта-функцию. Это происходит потому, что при малыгх p все главные особенности плотности локализуются во всё более ма-лоИ окрестности точки максимально достижимого значения целевоИ функции, что и соответствует основополагающей идее модели рационального потребителя.

Опыт работы с моделью рационального потребителя подсказывает, что нередко плодотворным оказывается подход, когда непосредственно от целевоИ функции переходят к её логарифму.

В этоИ связи положим л(x) = lnu( x) . Тогда согласно (2) получим

2. Противоположный случай — большие значения параметра р ^ .

Напомним, что он соответствует большим стохастическим отклонениям потребления, когда они по преимуществу определяются законом максимума энтропии. Довольно понятно, что такие колебания потребления, по порядку сравнимые со средними значениями, могут позволить себе лишь потребители, не стеснённые в средствах.

Нетрудно видеть, что при этом влияние целевой функции (точнее, её логарифма и( х)) в пределе исчезает, а остаётся лишь экспоненциально убывающий множитель

lim f(x) ^ C • exp {-X • pTx).

|а(А,—)

_ Р _

В выражении, записанном форме (3), несколько более удобно анализировать зависимость плотности от структуры функции и(х) . Рассмотрим на качественном уровне два крайних противоположных случая малых и больших значениях параметра р.

1. Выясним основные качественные особенности спроса при малых значениях параметра р. Это тот случай, когда случайные

р^+ад

Таким образом, можно сделать довольно общий вывод относительно экономического поведения обеспеченных потребителей:

Возможность потребления обеспеченных потребителей есть случайная многомерная величина, в пределе имеющая экспоненциальный закон распределения. При этом потребление каждого вида товаров асимптотически не зависит от потребления всех остальных видов. Кроме того, можно заметить, расходы на все виды товара имеют распределения одинакового вида (экспоненциального).

3. Найдём некоторые особенности вычисления математического ожидания, дисперсии и прочих моментов распределений (3).

Будем считать плотность вероятности функцией, параметр которой X- При этом интеграл от этой плотности обязан быть равен единице всегда, при любом X. Следовательно, все производные по этому параметру от этого интеграла должны быть равны нулю. После приравнивания первых двух производных нулю приходим к выводу, что выполняются следующие равенства

дц д!

д 2 ц

var

/pTx\ =—; \V / Q7

{ p Tx ) = -

dXz

Начальные моменты функции u(x ) также выражаются через введённую функцию fd(X, power)

C

(uk(x)) = -

Я,

V

p

/_____

(

C

1

Л

= exp

(

M

Я,

V pj

Я- + k

v P j

О (

(5)

M

7 1

Я, — + k

В равенствах (4) и (5) подразумевается, что после всех указанных в них действиях, значение параметра X полагается таким, чтобы были выполнены два требования. Во-первых, это условие нормировки (интеграл от плотности всегда должен быть равным единице), и, во-вторых, условие на установленный средний размер расходов потребителей

/ т \ Эм

\р V= ЭЯ=q ■

(6)

Аналогично, приравнивая нулю производные от интеграла по вектору р, получим выражение для математического ожидания вектора х

дц

Я-( х) =

Эр1

(7)

Далее, полагая, что интеграл не зависит от параметра ОС = 1/ р, определяющего степень функции иО(Х), получаем математическое ожидание логарифма этой функции

(Н=^ (я( рт4 - м).

(8)

Если функция и(х) является однородной функцией первой степени, то для неё выполняется уравнение Эйлера

Э

—ua (х)х = аиа( х) ■ Эх

(9)

Едва ли не центральным моментом всех прикладных моделей, в которых используются те или иные целевые функции (ЦФ), является вопрос получения оценок всех тех параметров и коэффициентов, которые и определяют конкретный вид ЦФ. Теория не может считаться законченной, пока она не даст указаний относительно процедур (алгоритмов) вычисления необходимых оценок. Выясним, каковы могут быть эти алгоритмы, если множитель и(х) в (3) представим обобщённой функцией Кобба-Дугласа

П

и(х) = П Х°к’ (О1 + ••• + Оп = 1).

к=1

Распределение величины расходов потребителя

Пусть П — мерная плотность вероятности имеет вид

Дх) = С • иО (х)ехр (-X-рт х). (10)

Здесь С — некоторый нормирующий коэффициент, который обеспечивает равенство единице интеграла от этой плотности по всему пространству возможных значений вектора х > 0.

Теперь рассмотрим, какими свойствами будут обладать такие распределения, если целевая функция и°(х) представляет собой какую-либо однородную функцию степени О. Для этого перейдём к новой системе координат р, ^

р4 = Pkxk; k=(1,.,n-1)

(її)

р= Р1Х1 + Р2Х2 + ••• + РпХп

Новая случайная переменная р представляет собой суммарные потребительские расходы. Заметим, что согласно преобразованию (11), автоматически выполняется равенство

Что касается явного вида функции

то она зависит как от области доР

пустимых значений вектора х с О , так и от конкретного вида целевой функции, т. е. и11 Р( х). Её определение — отдельная математическая задача, которая в некоторых случаях может оказаться достаточно трудоёмкой.

Поскольку якобиан данного преобразования равен

J

Эх

Э^

п -1

П Pk

k=1

то, с учётом принятого выше предположения об однородности целевой функции иО(х), плотность вероятности (10) в новых

1

переменных записывается следующим образом

С

f (Р I) = —-и“ (||4 / Рк 11) Р“+"-1 ехР(-Гр)

П Рк

к=1

(12)

4 * 0;

і 4

к=1

1

V к=1 У

Согласно (12), произошло статистическое разделение случайных величин: вектора

% и скаляра р. Таким образом, доказана.

Теореми 1. Если целевая функция и“ (•) представлена однородной функцией степени а, то в рамках энтропийного метода потребительские расходы оказываются случайной величиной, подчиняющейся гамма-распределению степени а + п.

Следствие. Плотность распределения переменных р, % представляет собой про-

изведение двух плотностей

^р, %) = f4 (%) • fр (р);

fр (Р) =

Г

Г(а + п)

Ра+п-1 ехр (-Гр) ;

(13)

П рк

к=1

Ц иа (|4к /р^||)¿п%

41+...4п=1

^7 и“(|4к/Рк||).

7(0) = | ^(0,х)ёпх.

(14)

Здесь обозначено пространство интегрирования. Как правило, под ним будет пониматься ортант с положительными (неотрицательными) значениями координат вектора х > 0. Таким образом, плотность вероятности равна

Г(0,х) = ^ё)- ^ (15)

Как показывает предварительный анализ распределений, зависящих от параметра, довольно часто математические ожидания многих величин определяются производными по параметру. Эти производные могут вычисляться как от плотности распределения, так и от интегралов этой плотности. Поэтому ниже рассматриваются их статистические свойства. В дальнейшем для краткости любую производную по векторному параметру мы будем называть градиентом.

Поскольку вне зависимости от значения параметра интеграл от плотности по определению равен единице, выполняются равенства

д

—Г(0,х)ёпх = 0 ^ д0

(16)

/ £(0,х) д01п[ £(0,х)]а"х = 0.

о

Общие свойства распределений

В дальнейшем мы исследуем некоторые статистические свойства распределений вида (10). В порядке обобщения обозначим

Шх) ту функцию, которая играет роль исходной для исследуемой плотности вероятности. Здесь 0, х — соответственно векторный параметр и вектор спроса на товары и услуги. Параметр 0 является детерминированным, а вектор х — случайный п -мерный вектор. Экономическая природа параметра, его размерность, характер зависимости от

него функции ^ (0, х) будут уточняться в дальнейшем по мере необходимости.

Важнейшей величиной, связанной с этой функцией, является статистический интеграл

В (16) возникает векторная величина, равная градиенту логарифма плотности вероятности. В дальнейшем для краткости мы будем для неё использовать обозначения

Л = Л(х,0) = 1п [^ х,0)].

Таким образом, математическое ожидание градиента логарифма любой плотности по произвольному параметру (скалярному или векторному) всегда равно нулю

—л) = 0.

Уд0

(17)

Здесь угловые скобки ^••^ обозначают математическое ожидание от величины, стоящей в них. Из последнего равенства, непосредственно из условия нормировки (15) получаем следствие

(18)

о

I— лЛ = — 1п [ 7(0)].

\дв I д0

Здесь введено аналогичное обозначение

Ло = 1п[ Ъ(0,х)].

Согласно (18), математическое ожидание градиента логарифма исходной функции совпадает с градиентом логарифма статистического интеграла.

Предполагая все подынтегральные функции достаточно гладкими, продифференцируем ещё раз второе равенство (16)

J f(0

Q

Я я

,x)£ Л(0,х)-ЯгЛ(0,х)^ x + Я0 Я0

+ J f(0,x)

Q

Я2

Я0Я0

A(0,x)dnx = 0 .

Откуда, учитывая (17), получаем общее выражение для матрицы ковариации градиента логарифма

>т

cov [ЯЛ(0,х)] = -^ЯЯ тЛ(0,х )^

5= —; Я0

Я

2 л

Я0Я0т cov( ЯЛ) s ^ЯЛ • ЯЛт ^

(19)

(и) =(Я ln [Z(0) ], c )

В частности, рассмотрим два случая.

1. Пусть Лп — линейная функция пара-

метра, т. е.

Л0 = C + aT0 (C = const; a = const) .

Поскольку в этом случае вторые производные автоматически обращаются в нуль,

ЯЯТ1и fo(0,x) = O, то

cov(dA0) = ЯЯт ln [ Z(0) ].

(22)

V 4 ' \ //

Аналогичным образом получаем выражения для матрицы ковариации градиента логарифма исходной функции

соу (ЯА0) =ЯЯт1п[ Z(0) ]-^ЯЯт А0^, соу(ЯА0) = ^ЯА0ЯА^-(ЯА0)(ЯА0)т == (20) = (ЯА0ЯА ^ -(Я М) (Ят 1п^ .

Таким образом, доказана.

Теорема 2. Согласно (18), (20), математическое ожидание градиента логарифма исходной функции и его ковариационная матрица определяется соответствующими производными от статистического интеграла.

Из равенств (18), (20) нетрудно получить два наиболее простых, но также и важных следствия из неё.

Следствие 1. Пусть С = с(0) — произвольный вектор, не зависящий от х.

Допустим, рассматривается функция, равная скалярному произведению

( Я А 1

и = — Л, с

\Я0 )

Тогда её математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

1 Т

1. Пусть А^ = — 0 В0 + а • 0,

где В — симметричная постоянная матрица. Из (20) получим

соу(ЯА0 ) = ЯЯТ1п [ 7(0) ] - В. (23)

Следствие 2. Некоторые статистические свойства оценок наибольшего правдоподобия (ОНП).

Как известно, ОНП соответствуют вектору 0 *, являющемуся корнем функционального уравнения

Я Я Я

-Л(0) = 0 о -Л, =-1п[Ч0)]. (24) Я0 Я0 Я0

Согласно (17) и (18), эти равенства точно выполняются для математического ожидания левых частей этих уравнений. То есть одно из необходимых условий несмещённого оценивания при этом действительно выполнено. В тех случаях, когда ОНП находится вблизи истинного значения параметра 0, то с точностью до линейного приближения можем написать уравнение для Д 0 — случайной погрешности оценки

ЯЯт А(0) • Д 0 = -Д ЯА (0),

где в правой части стоит случайный вектор, обладающий нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей (18). Отсюда получаем ковариационную матрицу вектора оценки 0

соу(0* ) = ^ЯЯт Л(0, х)^. (25)

Или, учитывая (15)

соу(0* ) = [(ЯЯт А0) - ЯЯт 1п7(0)]-1 (26)

Отдельный интерес представляет случай, когда (Л(0 ,х)^ является линейной функцией параметра 0 , т. е. имеет следующий вид

var (и )= ст (ЯЯт1п [ Z^)]-^1^^ ) c. (21) Ао(0, x) = C( x) + c(x)T 0.

(27)

Функциональное уравнение, определяющее оценку ОНП, и ковариационная матрица статистических погрешностей этой оценки соответственно имеют следующий вид

Я

Я0ln [ Z(0) ]

:ф);

cov(0*) = -[ЯЯт lnZ(0)]-1

(28)

0*

u(x) = П( C1kX1k + c2kx2k Т

k=1

(a1 +... + an = 1, a > 0).

ЗДЄСЬ (31 X2 ... xn) :

X,

X1n

Аналогично, векторы цен на эти товары будем обозначать

(Р1 Р 2 - Р n )

P

11

V P21

.. P1n

.. P 2n

2n

Целевой функции (29) соответствует мультипликативная исходная функц.ия, принимающая следующий вид

Теперь можно рассмотреть реализацию полученных общих выражений для некоторых частных случаев целевой функции и(х) (ЦФ). Довольно естественно в качестве отправной ЦФ выбрать хорошо известную о 6í ёое^ Кобба-Дугласа, с некоторыми необходимыми изменениями. Допустим, на данном рынке предлагаются видов товаров и услуг по фиксированным ценам, определяемым вектором р = ( р1з р2, ... рп )т. Ана-

логично записывается вектор потребления

х=(х15 х^ ... хп)т. Его элементы равны количествам единиц приобретённых товаров или услуг.

С самого начала мы будем предполагать, что товар (услуга) каждого вида может предлагаться на продажу двумя группами производителей — как местными, так и производителями иных регионов. Все товары, поступающие из иных регионов, мы будем называть импортными. Можно, конечно, и усложнять модель, вводя различие между импортными товарами, поступающими из разных регионов (стран). Но это усложнение целесообразно ввести позже, а сначала следует проанализировать те изменения в спросе, которые порождаются возможностью потребителя выбора между местными и импортными товарами.

Рассмотрим ЦФ следующего вида

fo(0,x) = nfok(0k ,xkX

k =1

fok(0k,xk) = (cTxk)““k • exP •(РА)

(30)

(c1 C2 ... cn )=|

c11 ... c1n

С21 ... С2п,

Здесь к = 1,2,...,П — номера очередного вида товара. Каждому такому номеру соответствуют частные значения скалярных

и векторных параметров. Параметры а, X являются общими.

Логарифм мультипликативной ЦФ есть сумма частных ЦФ

Ao(0,x)=Ё Aok(0k ,xk);

k=1

(т т \т

аь ск, Рк)

Здесь, в соответствии с (30)

Л0к = аак •1п (стхк )- ^ •(Ртхк ). (31)

Частные математические ожидания, согласно (18), равны

Я

,Я0,

до)=Я11п [ Z(0k)] .

Здесь Z(0 k) есть частный статистический интеграл

да да

(29)

векторы

dx

2-

Z(0k)=j dxi к cTxk p ■ exp ■( pTx k)

0 0

Для того, чтобы вычислить данный двойной несобственный интеграл, перейдём к паре новых переменных

1Х1 ... Хп)

спроса местных и импортных товаров. Здесь первая и вторая строки образованы соответственно количествами местных и импортных товаров.

% = !x^ т =

^ c Л

C1k c2k

.P1k P2k,

Якобиан этого преобразования

в

% _ Txk; T =

'1k v2k

Pik P2k

„aak +1

nikk

После подстановки и некоторых преобразований частный статистический интеграл оказывается равным

7 (й ) Г(а ' “к + 1

7к(°к.)=

xa-ak +1 s \a-ak +1

^2k

P2k

V^2ky

"'ik

(32)

C2k C1k

P2k Pik

Здесь Г(...) — гамма-функция. Логарифм этого интеграла

ln [ Zk(0k)] = ln [Г(а ■ ak + 1 ]-

(а • ik + 2)lnX + L(Ck, Pk);

“'k’Fk-

с \ а- аь +1 с \ 2-2ь +1

ln 1 C2k - 1 C1k

V p2k ) V p1k у

ln|PlkC2k - p2kcik| .

■Лг

-HXk) .

В соответствии с (24) (где в качестве параметра взят вектор цен р к) после дифференцирования логарифма частного интеграла получаем математическое ожидание спроса на товар (услугу) к-го вида

(%)

1

Xp

naak +1 l2k

1k

(aak +1)'

%

n2k

n2kk - %k n2k - %

V

c„

Co

Ч ч/1к ч/2к у.

Непосредственно из (32) следует выражение для математического ожидания суммы частных расходов на приобретение данного вида товара

(чк) = (ра+Р2кх2к) = ч'аак • (34)

а + 2п

Найдём плотность распределения частной ЦФ. В формуле произведём замену переменных

С1А = V' £

С1кХ1к + С2кХ2к = ^

Его якобиан

d(x1k,x2k) _ 1

d(£,v)

C1kC2k

v £

-v 1 - £

v

C1kC2k

Согласно теореме 1, величина параметра а + 2п

Ч , если учесть, что число переменных равно 2п. Далее, нетрудно видеть из (30), что д

В результате подстановки новых переменных (£^) совместная плотность их распределения принимает следующий вид =

v

а +1

exp(-7v[(n1k - n2k ) £ + n2k ]).

= С

С1кС2к

(0 < V < +ад; 0 < ^ < 1) .

Здесь С — некоторый нормирующий множитель. Чтобы найти распределение переменной V, необходимо эту совместную плотность проинтегрировать по переменной £. В результате получим плотность распределения значений целевой функции

= С(аК [ехр (-^п2к ■ v) --ехр(-^Пік ■ V)]>

( ИкЪк )0

аа, +1 аа +1

П2к - nikk

n2k - Пи

\а+1

(35)

С(а) _

V

(л*1 - П2+1 )•г(а+1)

(X2k)

-1

Xp

2k

( nk +1)

(33)-

Момент произвольного порядка распределения (35) определяется общей функцией

(Vй) = ^ С(а\ (т = 1,2,...).

С(а + т)

(36)

Таким образом, мы рассмотрели вероятностное описание модели поведения потребителя на основе энтропийнык методов. В качестве примера приведена целевая функция в виде обобщенной функции Кобба-Дугласа.

Источники и литература

1. Janeys Е.Т. 1957. nformationTheory and Statistical Mechanics, Ph. Rev. 106, 620

2. Janeys E. T. 1982. On the Rationale of Maximum-Entropy Methods, Proc. IEEE, 70.

3. Сарычев В. Т. Спектральное оценивание

Getmanchuk A.V., Yermilov V.V. ENTROPY METHOD FOR CONSTRUCTING PROBABILISTIC MODELS OF CONSUMER BEHAVIOR

The author attempts to describe the probability of economic behavior of the consumer. For the theoretical basis for this was chosen maximum entropy principle, in which every system reaches equilibrium only at the maximum possible value of the entropy.

Keywords: entropy, entropy method, probabilistic models, behavior, consumers.

ГЕТМАНЧУК Андрей Владимирович, родился в 1957 г., окончил Челябинский политехнический институт (1979), канд. техн. наук (1985), доцент кафедры инженерно-технологических дисциплин и сервиса, зам. руководителя Центра организации научно-исследовательской работы Российского университета кооперации. Автор 73работ. E-mail: agetmanchuk@rucoop.ru

ЕРМИЛОВ Михаил Михайлович, родился в 1950 г., окончил Московский физико-технический институт (1968), старший преподаватель кафедры инженерно-технологических дисциплин и сервиса Российского университета кооперации. Автор более 30 работ. E-mail: mermilov@rucoop.ru

методами максимальной энтропии. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1994. 257 с.

4. Вильсон А. Дж. Энтропийные методы моделирования сложных систем. Перев. с англ., «Наука», М., 1978, 248 с.

5. Попков Ю. С. Макросистемные модели пространственной модели. М.: КомКнига, 2008, 240 с.

6. Сороко Л.М. Принцип максимальной энтропии и его применение для решения обратных задач, «Физика элементарных частиц и атомного ядра», 1981, т. 12, вып. 3, с. 754-795.