CC BY
39
Ь
9,36%, 5,41 и 3,82%. Итак, увеличение размеров областей Qi (суперэлементов V\ ) приводит к уменьшению погрешности решения. Базовая модель композита содержит 110800 узловых неизвестных, ширина лента системы уравнений (СУ) МКЭ равна 761. Смешанная модель (при Ь = 10Н) имеет 8280 неизвестных, ее лента СУ МКЭ (шириной 761) занимает в 13,4 раза меньше объема памяти ЭВМ, чем лента базовой модели.
Литература
1. Фудзии, Т. Механика разрушений композиционных материалов / Т. Фудзии, М. Дзако. - М.: Мир, 1982.
2. Матвеев, А.Д. Уравнения связи модулей упругости с жесткостными коэффициентами однородных конечных элементов / А.Д. Матвеев. - Деп. в ВИНИТИ 2000, №3195-В00.
3. Матвеев А.Д. Проектирование плоских композитов на основе связей модулей упругости с жесткостными коэффициентами однородных конечных элементов / А.Д. Матвеев. - Деп. в ВИНИТИ 2000, №2989-В00.
4. Постнов, В.А. Численные методы расчета судовых конструкций / В.А. Постнов. - Л.: Судостроение, 1977.
5. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де-Фриз. - М.: Мир, 1981.
6. Матвеев, А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов / АД Матвеев. - Деп. в ВИНИТИ 2000, №2990-В00.
7. Матвеев, А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения / А.Д. Матвеев // ПМТФ. - 2004.- №3. - С.1б1-171.
8. Самуль, В.И. Основы теории упругости и пластичности / В.И. Самуль. - М.: Высш. шк., 1981.
9. Метод конечных элементов / П.М. Варвак [и др.]. - Киев: Высш. шк., 1981.
--------♦'----------
УДК 630.378 Н.И. Казначеева
ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩИЕ РЕЖИМЫ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА ЛЕСОМАТЕРИАЛОВ
Построены формулы для расчета энергосберегающих режимов движения плотов путем нахождения значения стационарного функционала энергии, затрачиваемой при транспортировке лесоматериалов.
В настоящее время темпы роста стоимости углеводородного топлива существенно превышают стоимость лесоматериалов, поэтому формулирование энергосберегающих режимов транспорта лесоматериалов становится особенно актуальным. Это означает необходимость постановки и решения задачи минимальных экономических затрат на путь доставки продуктов производства к потребителю. В свою очередь это предполагает, что из всего возможного множества вариантов параметров движения лесотранспортных единиц необходимо выбрать один (или близкий к нему), наиболее экономичный.
Транспортируемые по воде в пучках хлысты и сортименты в процессе проплава впитывают влагу, поэтому с позиции классической механики необходимо исследовать задачу в общем случае, как для тел с переменной массой при движении.
Решение транспортной задачи построим на развитии представления основного уравнения классической механики
йр/& = йшы/& = Гд - Гс, (1)
здесь р - импульс;
т - транспортируемая масса; и - скорость;
Гд - движущая сила;
Гс - сила сопротивления движения; t - время.
Уравнению (1) соответствует множество скоростей и ускорений движения. Задача ставится таким образом, чтобы найти наиболее энергосберегающие.
Умножив левые и правые части (1) на скорость и , получаем
или
ийти/йг = Гд и — Гс и , (2)
ийти/йг = N —Мс, (3)
где N - мощность двигателя;
N - мощность силы сопротивления.
Запишем представление левой части уравнения (3) для тел с переменной массой при их транспортировании
ийтийг = итйи/йг + и2 йт/йг = ¥ т йи2/йг + и2йт/йг. (4)
В то же время для кинетической энергии тел с переменной массой при движении можно записать
й(¥ ти2)/йг = ¥ т йи2/йг + ¥ и2йт/йг. (5)
Из представлений (4) и (5) следует, что
й(¥ ти2)/йг = ийти/йг — ¥ и2йт/йг. (6)
В том случае, когда транспортируемая масса остается постоянной, представление (6) переходит в
й(¥ ти2/йг = итйи/йг. (7)
На основании (6) формула (3) примет вид
й(¥ ти2)/йг = N — Мс — ¥ и2йт/йг. (8)
Выполнив интегрирование (8) по времени от г0 до г1 , получаем представление энергии в виде функционала
¥ (т1 и21 — т0 и20 ) = /(Ид Ис — ¥ и2 йт/йг) йг = М(х, и, г)йг, (9)
здесь подинтегральная функция М зависит от трех переменных: координаты движения х, скорости и и времени г.
Таким образом, поставленная задача представления энергосберегающих режимов транспортировки пучковых плотов может быть поставлена как нахождение основных параметров движения в условиях минимума затрачиваемой энергии по пути перемещения [1]. Видно, что этому условию соответствует стационарное (экстремальное) значение функционала
/М(л, и, г)йг -^тт, (10)
в такой постановке данная задача становится задачей вариационного исчисления [2] с закрепленными координатами начала и конца траектории пути лесосплава.
Отметим, что при такой постановке решаемая задача для плотов становится частной по отношению к общей задаче повышения эффективности движения лесотранспорта. В этом случае задача минимизации энергетических затрат на транспорт решается как нахождение стационарного функционала (10), для этого необходимо, чтобы подинтегральная функция М удовлетворяла уравнению Эйлера
й(дМ/ди)йг = дМ/дх. (11)
После подстановки значения М, согласно (2), (3), (9) в (11), получаем уравнение
й(Гд — Гс) / йг = 0, (12)
или после интегрирования получаем
Гд — Гс = С1 , (13)
здесь С1 - постоянная интегрирования.
В то же время с учетом (1) можно записать, что
йти/йг = Гд — Гс = С1, (14)
или после интегрирования
mu = C1 t + C2, (15)
где постоянная интегрирования C2 = m0u0, поэтому (15) перепишем в виде
mu = Cit + m0u0 . (16)
С учетом (13) выражение (16) примет вид
mu = (Fd - Fc) t + m0u0 . (17)
Согласно полученной формуле (17) имеют место следующие характерные режимы движения лесо-транспорта, обеспечивающие минимальные энергетические затраты.
Первому режиму соответствует условие
(Fd - Fc) = Ci = 0, C2 *0, (17,а)
это режим равномерного движения для тел постоянной массы
u = u0, m = const (18)
и режима переменной скорости, согласованной с изменением массы тела в процессе движения
u = m0u0 / m, (19)
видно, что с ростом массы транспортируемого тела во времени (сплав лесоматериалов в плотах) скорость движения со временем должна несколько уменьшаться (и наоборот).
Из условия (17,а) для плотов [3] следует выражение
Nd u-1 = ¥ cx pS u2, (20)
здесь сх - коэффициент сил сопротивления движения; p - плотность жидкости; S - характерная площадь.
Согласно (20) получаем следующую формулу, связывающую мощность двигателя со скоростью движения
Nd = ¥ схpS u3, (21)
из которой следует выражение для скорости движения
u = m0u0 m1 = (2Nd / cxpS)113 . (22)
Равнономерному движению тел постоянной массы соответствует скорость
щ = (2Nd/cxpS )1/3. (23)
Второму режиму движения соответствует условие
Fd - Fc = Ci * 0, C2 = 0, (24)
или
mu = ( Fd - Fc )t = C1 t . (25)
При C1 >0 имеет место ускоряющееся движение, при С1 = 0 следует равенство сил, а при С1 < 0 происходит торможение и отсутствие движения. Из (25) следует представление скорости движения
u = C1 m-11 = a t, (26)
здесь параметр а можно рассматривать как ускорение, которое постоянно для тел с неизменяющейся массой и переменно для тел с переменной массой (уменьшается при возрастании массы и увеличивается при ее уменьшении). Согласно (2), (3), (24) и (26) для плотов можно записать выражение
Nd = ¥ cxpSu3 + mau, (27)
или
Nd = ¥ cxpSa313 + ma21. (28)
Формула (28) описывает наиболее экономичное изменение мощности двигателя при разгоне транспортного средства.
Третьему режиму, как обобщающему, соответствует значение постоянных интегрирования
С1 = та ?0 и С2 = т0и0 ?0, поэтому сразу запишем выражение для мощности двигателя
N = ¥ счрБ(и0 + аг)3 + та(и0 + аг). (29)
Видно, что при ускорении а > 0 происходит разгон движения от равномерного, при а < 0 имеет место
торможение.
Таким образом, построенные режимы движения с постоянной скоростью, постоянным ускорением (замедлением) и их суперпозиция являются основными энергосберегающими при транспортировке лесоматериалов водным путем.
Отметим, что для оценки изменения массы сплавляемой древесины в процессе проплава можно воспользоваться формулами водопоглощения, полученными в [4].
Литература
1. Минаев, А.Н. Вариационный метод решения задачи транспорта лесоматериалов / А.Н. Минаев, М.В. Та-рабан // Изв. СПбЛА. - СПб., 2005. - Вып. 172. - С. 59-64.
2. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М.: Наука, 1974. - 431 с.
3. Водный транспорт леса / А.А. Камусин[и др.]; под ред. В.И. Патякина. - М.: Изд-во МГУЛ. - 434 с.
4. Патякин, В.И. Проблема повышения плавучести круглых лесоматериалов / В.И. Патякин. - М.: Лесн. пром-сть, 1976. - 264 с.
--------♦'----------
УДК 514.7 А.В. Вяткин
ТЕСТИРОВАНИЕ ЯВНЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ТИПА РУНГЕ-КУТТЫ В ТОЧКЕ ОСОБЕННОСТИ ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ*
Представлены и исследованы два алгоритма интегрирования переменного шага 2-го и 4-го порядков точности на основе явных методов типа Рунге-Кутты применительно к поведению решения задачи двух тел в точке особенности задачи. С целью оценки адекватности вычислений проверен закон сохранения энергии системы, а полученное решение сравнено с аналитическим.
Задача многих тел широко известна, ее постановка уже давно не составляет большого труда. Однако при ее решении возникает сложность с выбором эффективного численного метода, результаты которого соответствуют физическим законам, характерным для данной модели. Подобные исследования встречаются в [1]. Здесь в качестве такого закона рассматривается закон сохранение полной механической энергии системы. Исследуется поведение решения в точке особенности, а именно, когда расстояние между двумя точками стремится к нулю. Тестирование проводится на задаче двух тел. В этом случае можно получить условно аналитическое решение и сравнить его с численным.
Далее будем предполагать, что даны п материальных точек, для каждой из которых на начальный
момент времени г0 заданы следующие величины:
• масса т.;
• координаты в пространстве г'■ = (г*, ту- , г7);
• начальные скорости = (V*, Х1^, V7'-),
* Работа поддержана грантами РФФИ №08-01-00621 и Президента НШ-3431.2008.9.
