CC BY
48
УДК 621.311.1.018.3
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКОВ УЗЛОВ НАГРУЗКИ
Н.Н. Харлов
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Определены составляющие энергетических спектров напряжений и токов узлов нагрузки с резкопеременным и быстроизменяю-щимся режимом работы. На основе расчетных соотношений предложен «энергетический критерий качества напряжения». Рассмотрен пример практического использования полученных результатов.
Современные узлы нагрузки являются, как правило, потребителями несинусоидальных токов [1, 2]. Уровень их несинусоидальности определяется, прежде всего, составом электроприемников с нелинейными вольтамперными характеристиками. В некоторых случаях несинусоидальность токов является следствием несинусоидальности напряжения из-за нелинейности вольтамперных характеристик и несинусоидальности токов в других узлах нагрузки. Математическое описание несинусоидальных режимов в настоящее время базируется на использовании рядов Фурье, обеспечивающих учет дискретных составляющих спектров режимных параметров [3, 4]. Наличие в составе узлов нагрузки электроприемников с резкопеременным и быстроизменяющимся режимом работы (таких как дуговые печи, сварка и др.) приводит к появлению в составе спектров напряжений и токов как дискретных, так и непрерывных составляющих.
Современные приборы контроля качества электрической энергии позволяют контролировать спектральный состав напряжений и токов с достаточно высокой точностью и с заданной периодичностью, представляя результаты каждого измерения в виде бесконечной периодической функции представленной рядом Фурье. Такие результаты получаются при обработке одного периода контролируемого процесса. Сопоставляя результаты последовательности измерений, можно обнаружить, что коэффициенты их рядов Фурье существенно отличаются. В особенности данное утверждение относится к узлам нагрузки, имеющим резкопеременный и быстроизменяющийся характер работы. В этом случае можно заключить, что контролируемые процессы не являются, строго говоря, периодическими, а представляют собой случайные процессы, математическое описание которых в форме рядов Фурье является некорректным. Важнейшими характеристиками случайных процессов являются, как известно, их энергетические спектры.
При проведении расчетов, связанных с определением уровня несинусоидальности, нормировании показателей качества электрической энергии, определения вносимого вклада отдельных потребителей в ухудшение качества электрической энергии необходимо определять значения этих характеристик случайных процессов. Таким образом, возникает задача определения энергетических спектров напряжений и токов в электрических сетях на
основании выборочных результатов измерения спектральных характеристик в течение отдельных периодов основной частоты. Покажем возможность получения характеристик энергетического спектра на основе таких данных.
Случайный процесс изменения параметра режима Z(t) представляется в форме модулированного гармонического сигнала с постоянной частотой
Z(t) = ((t)cosmit + n(t)sinait, (1)
где ((t), n(t) - случайные процессы.
На временном интервале -NT<t<NT рассмотрим l-ую реализацию случайного процесса изменения напряжения или тока ((l)(t), продолжительностью (2N+1)T, где T=2n/ffl1=const - период основной частоты.
Выделив в пределах данного временного отрезка интервал времени продолжительностью T, заключенный между моментами времени -T/2<t<T/2, определим на основе значений процесса ((l)(t) в пределах этого интервала бесконечный детерминированный периодический процесс $¡)(í)
да да
sf(t) = ^ A0f cos km^ + ^ AP sin km^, k=1 k=1
где коэффициенты ряда определяются по формулам
2 T/2
A0o(k) = T í }(t)cos(km/)dt;
T T/2
2 T/2
Д"(/) = - í C(l4t)sin(kmfidt.
T T/2
Определим преобразование Фурье детерминированного процесса $§(() на интервале -T/2<t<T/2, полагая, что вне пределов этого интервала его значения равны нулю. Спектральная плотность преобразования определяется следующим выражением:
= j )(t)e—jm,dt =
I
(-1) *
l2®Ä(k)
+j I
(—1)k 2k®i Ak
k2®2 — ю2
sin
f -rrr, \
пю
Подобным образом определяются процессы $10 на основе значений процесса £м(0, заключен-
ных в пределах интервалов (-Т/2+иТ)<1<(Т/2+иТ) и их спектральные плотности:
Т/2+пТ
ОП‘\ю) = | $ }(Г)е ->«А =
£ (-1) *+12ЮЛЩ[) +
^ к2 а2 -а2
(-1)к гкоДЦ )
+1£
к а, -о
Sin
Спектральная плотность 1-й реализации случайного процесса определится как сумма спектральных плотностей $П(0, полученных на всех интервалах времени:
О(>) = £ ОП\а) =
= £
£ (-1)к+12оАЩ) +
К2..2 „2
к=1 к а1 —а
£ (-1)к 2ко1Апк) кк к—2 -а2
sln
/ \ 2ппо
па 1—
Энергетический спектр процесса определяется в соответствии с [5] как предел удвоенного квадрата модуля полученной спектральной плотности, усредненной по времени и по ансамблю реализаций при Л^ад:
F(а) = Пт 2 тх{О (1)(а)О( V)} =
я ^ад Т (2N +1)
2
= 11т-
хт1
£
£
£
Т (2Я +1)
£ (-1)к+12оАЩ) + кк к а2 -а2
+ .£ (-1)к 2ко1Апк) кк к2а2-а2
(-1) ^оА') “
- 2 2 2 1 т а! -а
sm
/ \ 2ппо
па -1—
-1 £
(-1)т 2 та1 Д
1 т2а2 -а2
V)
па
sm
Здесь черта над 6{а) означает знак сопряжения, а символ те1{| - определения математического ожидания.
После перемножения и некоторых преобразований получаем следующую формулу для определения энергетического спектра рассматриваемого случайного процесса:
4о в1п
хт
п=N 1=ы
£ £ е
п=-Я1=-Я
^ (о) = 11т
N ^ад
-2(п-1).
п(2Ы + 1)
(-1)к+‘ АП> +1(- 1)к4"'Гка1
к=1 к а - о
(-О"1 Дщ—-1(-1)т 4Гта
• 21 па
4а 81П I —
= 11т -
п(2Ы +1)
ХИ1 Щ£ ^ ]+ +
-я^к=1 т=1 (к — -а )(т — -а )
+ 11т-
I п=Я 1=Я 1 ~2(п-'1 )по
хт1 £ £е О
п(2№ + 1)
££ (-1)к+т (Ак) дс —+Дк Д^кт—'
к= т=1 (к— - о2 )(т2а2 - а2) ,
В частности, если случайные процессы £(7),п(0 - стационарные, то математические ожидания попарных произведений коэффициентов Фурье не будут зависеть от номеров индексов и,/ и от их разности. Далее рассматривается этот случай.
При принятом допущении первое слагаемое можно переписать в следующем виде:
. -21 ПО
4о1 эт I —
^(®) = 11т-------
1 п(2Я +1)
£|££ (-1)к+т (щд > д>2+т1{д; > д:т)}кто2)
^ 1 (к2®2 -®2)(т2®2 -о2)
N V к=1 т=1
|---| х
п V —1
х££ (-1)к+т(щ{Д ДУ2 + Щ{Д{1)А!'}ктш1) _ (кО2 - о2 )(тО2 - (О2)
—-эт |---------|х
п V о1
(ак +°Т)ог + (°кг +^кг)к 2—2 +
к=1 (к 2—12 -о2)2
££
(-1)к+т ((Д;ат + О + (а"ат + Кт )кто2)
(к2о2 -о2)(т2о2 -о2)
где ак,ак,ак,ак - математические ожидания и дисперсии, а К0кт, К0кт - корреляционные моменты соответствующих коэффициентов Фурье, определяемые для случаев, когда и=/.
Второе слагаемое после преобразований представляется в следующем виде:
4о1 э1п2
( ™ ^ па
Р2(о) = 11т
яп(2 N +1)
2 N —
х£(2 N +1 - р)[Ьр (о) + кр (-о)] = 4
( ™ А
по
Э1П
р=1
х 11т £| 1 -
р=1
N^»“I (2N +1) г р
(кр(о) + кр(-о)) =
. —1 . 2 = 4 —Б1П
по
£ (кр(о)+кр(-о)),
р=1
где р=и—г;
х
-mi -je
^ 2 pno
hn-i (o) = hp (o) =
(-1)k+m (Á^Al Q2 + A'«1 Am1 kmrnj) (k 02-o2)(m2ffli2-o2)
zz-
k=1 m=1
Здесь
zz'
k=1 m=1
( —1) ((akam + Kpkm )o + (akam + Kpkm )kmo1 )
(k V - o )(m O2 — o )
ák = ml{A<kr>}, oíI = 11^-AI1 -1}, a'k = m\{Á'kl)}, aH = i^AI'-1},
Kpkm = m\{(A.nk - ak )(Ai^ - ai )},
K"pkm = mi{(Á'l¡¡¡) - akXAm) - a')}.
Если математические ожидания попарных произведений коэффициентов Фурье не зависят от разности р, выражение для F2(o), используя соотношения, приведенные, например, в [6], можно переписать в следующем виде:
. 2(пт }
4o1 sin I — I
F2<» =------------_L°lÍ ¿ (hp (°) + hp (-°)) =
p=1
n
4o
zz
p=1 k=1 m=1
no
sin" I----------I X
n l Ю,
л'(!) A'(!)
Xzz
(-1rm(m1{ A^’ o+ m^Al ^kmoj)
(k2o12 -o2)(m2o12 - o2)
X2ccsí 1-pnrnL\=íow Ых
lo ) n lo)
(-1)k+m((¿O. + Km o + (aam + Km )kmo¡) (k2o12 -o2)(ra2o12 - o2)
x| 2nz5(o+vo1) -1
xzz
zz
k=1 m =1
-zz
F„ (o) = —1 sin
(-1)k+m ((akam + кi o + (g1 ¿m + ^ )kmop (k2o12 -o2)(ra2o12 - o2)
2n V=w ^-^^5(°+v°1).
zr / \ 4o1 . 2 Fh (o) = —1 sin2 n
(-1)k+m ((ak am + Km )o2 + (a¡ am + K h )кт6°) (k2o12 -o2)(ra2o12 - o2)
(-1)k+m((a„am + Km )o2 + (ak ~am + Km )kmo¡)
(2)
(k2o12 -o2)(ra2o12 - o2)
(3)
Полученные выражения дискретной и непрерывной составляющих спектров позволяют ввести «энергетический критерий качества напряжения», учитывающий случайный характер изменения режима электрической сети и присутствие в спектре напряжения непрерывной составляющей. Данный критерий представляет собой отношение полной мощности спектра исследуемого напряжения к мощности нормативного спектра напряжения с синусоидальной формой и постоянной, соответствующей номинальному напряжению амплитудой ин:
киэ =-
где
j Рд(o)do + j FH (o)do) - j Fhom (o)do f F (o)do
j hom ^ S
-100%,
Здесь а к, а" - математические ожидания, а Цт, К"т - корреляционные моменты соответствующих коэффициентов Фурье, определяемые для случая, когда и£/.
Полученные формулы позволяют определить дискретную и непрерывную составляющие энергетического спектра процесса:
4а.
jFhom(o)do = j2nü¡¡[S(o +o1) +5(o -o1)]do = 4nLH2.
На основе полученных соотношений проведено исследование энергетических спектров напряжений и токов на одном из предприятий со значительным количеством электроприемников с нелинейными вольтамперными характеристиками и переменным характером работы. Изменение нагрузки по отношению к мощности питающего трансформатора находилось в интервале 20...45 %. Измерения выполнены прибором AR-5 производства фирмы Circutor (Испания). Предварительным исследованием установлено, что процессы изменения напряжений и токов в основном соответствуют сделанным в настоящей статье допущениям относительно стационарности процессов £(t),n(t) (1). Всего было получено 7 реализаций процессов изменения напряжений и токов на суточных интервалах времени, причем в течение суток контроль параметров режима осуществлялся с интервалом в 20 мин. Представление об уровне искажения напряжений и токов в узле подключения предприятия (шины
0.4 кВ понизительной подстанции) дают значения их коэффициентов несинусоидальности, рис. 1.
Составляющие энергетических спектров напряжения и тока одной из фаз, рассчитанные по ур. (2, 3) приведены на рис. 2, 3.
Значение критерия Киэ составило 11,8 %. Мощность непрерывной составляющей энергетического спектра напряжения составила 0,167 % от суммарной мощности процесса. Мощность непрерывной составляющей энергетического спектра тока составила 16,85 % от суммарной мощности процесса.
Выводы
1. Выборочный контроль показателей качества электрической энергии обеспечивает определение дискретной и непрерывной составляющих энергетического спектра напряжений и токов, что позволяет более полно характеризовать режимы и качество напряжения в узлах электриче-
= e
Лап 2004
Рис. 1. Значения коэффициентов несинусоидальности напряжения и тока в узле нагрузки
-19 -17 -15 -13 -11 -9 -7
-5 -3 -1 1 3 5 7 9
Относительная частота ш/со1
----Огибающая —Рд (ш/ш1)
11 13 15 17 19
Относительная частота со/со1
----Рн (и/со1)
Рис. 2. Дискретная (а) и непрерывная (б) составляющие энергетического спектра напряжения узла нагрузки
а
б
ских сетей с резкопеременными и быстроизме-няющимися процессами изменения нагрузок.
2. Полученные расчетные соотношения обеспечивают определение т.н. «энергетического критерия
качества напряжения», представляющего собой обобщение показателей качества напряжения по отклонениям, колебаниям и несинусоидально-сти. Преимущество данного критерия по сравне-
FH (co/w1) д2 FA(ü)AdI) А
Относительная частота ш/ш1 --------Рн (со/со1)
Рис. 3. Дискретная (а) и непрерывная (б) составляющие энергетического спектра тока узла нагрузки
нию с существующими заключается в возможности учета случайного характера изменения параметров режима, присутствия в спектрах напряжений и токов как дискретных, так и непрерывных составляющих, их влияния на потери электрической энергии и на нагрев оборудования.
3. Значительный вес непрерывной составляющей энергетического спектра тока в суммарной мощности процесса при переменном характере нагрузки говорит о необходимости учета этой составляющей при определении потерь электрической энергии в элементах электрической сети.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Гармоники в электрических системах / Пер с англ. Дж. Аррила-га, Д. Брэдли, П. Боджер. - М.: Энергоатомиздат, 1990. -320 с.: ил.
Харлов Н.Н. Спектры токов электрических нагрузок городских электрических сетей // Ползуновский альманах (АГТУ).
- 2004. - № 4. - С. 252-255.
Жежеленко И.В. Высшие гармоники в системах электроснабжения промпредприятий. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 184 с.
Кучумов ЛА., Харлов Н.Н., Картасиди Н.Ю., Пахомов А.В., Кузнецов АА. Использование метода гармонического баланса для расчета несинусоидальных и несимметричных режимов в системах электроснабжения // Электричество. - 1999. - № 12. - С. 10-22. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. I. Изд. 2-е перераб. и доп. - М.: Советское радио, 1974.
- 552 с.: ил.
Микусинский Я., Сикорский Р. Элементарная теория обобщенных функций. Ч. I. Пер. с англ. - М.: Иностранная лит-ра, 1959. - 80 с.
а
б
