Электротепловая аналогия в задачах термо и электрокапиллярного дрейфа жидких капель Текст научной статьи по специальности «Физика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Saffman P.G., Taylor G. The penetration of a fluid into a porous medium or a Hele-Shaw cell containing a more viscous fluid // Proc. Roy. Soc. London. A. 1958. 245. 312-329.

2. Ламб Г. Гидродинамика. М.; Л.: Гостехиздат, 1947.

3. Park C.W., Homsy G.M. The instability of long fingers in Hele-Show flows // Phys. Fluids. 1985. 28, N 6. 1583-1585.

4. Tanveer S. Surprises in viscous fingering //J. Fluid Mech. 2000. 409. 273-308.

5. Hill S. Channelling in packed columns // Chem. Eng. Sci. 1952. 1. 247-252.

6. Smirnov N.N., Nikitin V.F., Ivashnyov O.E., Maximenko A., Thiercelin M., Vedernikov A., Scheid B, Istasse E, Legros J. C. Microgravity investigations of instability and mixing flux in frontal displacement of fluids // Microgravity Sci. Technol. 2004. 15, N 2. 35-51.

7. Звягин А.В., Ивашнев О.Е., Логвинов О.А. О влиянии малых параметров на структуру фронта неустойчивого вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2007. № 4. 27-37.

Поступила в редакцию 05.11.2008

УДК 536.25:537.36:538.4

ЭЛЕКТРОТЕПЛОВАЯ АНАЛОГИЯ В ЗАДАЧАХ ТЕРМО- И ЭЛЕКТРОКАПИЛЛЯРНОГО ДРЕЙФА ЖИДКИХ КАПЕЛЬ

А. А. Суворов1, Е. В. Тимохин2, А. А. Чайка3

Рассматривается аналогия в задачах о стационарных термокапиллярном дрейфе при малых числах Пекле и электрокапиллярном дрейфе капли одной вязкой жидкости в другой безграничной вязкой жидкости при наличии постоянных градиентов температуры или электрического потенциала на бесконечности.

Ключевые слова: термокапиллярный дрейф, электрокапиллярный дрейф.

The paper concerns an analogy in the problems of a steady thermocapillary drift with low Peclet numbers and with the electrocapillary drift of a viscous drop in an unbounded viscous liquid. The motion is considered to be caused by the constant temperature gradient or by the electrical gradient at infinity.

Key words: thermocapillary drift, electrocapillary drift.

1. Постановка задач. Будем считать, что все параметры жидкостей (плотность р, коэффициенты динамической вязкости п, теплопроводности Л, электропроводности а вне капли и соответствующие величины р, П, Л', а' для жидкости внутри капли) постоянны, кроме коэффициента поверхностного натяжения 7. Тогда обе рассматриваемые задачи относятся к классу капиллярных движений [1], а интегральным итогом решения этих задач является нахождение формул для скоростей электрокапиллярного дрейфа (ЭКД) Ve и термокапиллярного дрейфа (ТКД) V7 капли. Для задачи ЭКД 7 зависит от скачка электрического потенциала {р} = р — р' на границе раздела фаз и величины плотности поверхностного заряда q двойного электрического слоя (ДЭС), которая определяется термодинамическим соотношением Гельмгольца—Липпмана—Гиббса [1]: q = —dj/d{p], а для ТКД 7 зависит от локального значения температуры T поверхности раздела: 7 = 7(T).

В собственной системе отсчета, связанной с центром масс капли, обе задачи обычно сводят к стационарному обтеканию капли однородным на бесконечности потоком с неизвестной заранее скоростью Uo (направленной по оси Oz и равной —Ve для электрической задачи и —Vj для тепловой) и в случае малых чисел Пекле (чтобы в первом приближении можно было пренебречь конвективным переносом тепла)

1 Суворов Александр Александрович — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: suvorov. [email protected].

2 Тимохин Евгений Владимирович — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

3 Чайка Александр Александрович — вед. специалист ЗАО "Голлард", e-mail: [email protected].

описывают фактически одной системой уравнений [1-3]

■ V)V + Ур = nДv + р§, ё1у V = 0, ДФ = 0, р'^' ■ + Ур' = n'Дv' + р'Е, Й1у V' = 0, ДФ' = 0,

(1)

где V и V', р и р' — скорости и давление вне и внутри капли; § — вектор гравитационных сил, который будем считать коллинеарным скорости "о натекающего потока; функция Ф = ф для задачи ЭКД и Ф = Т для задачи ТКД жидкой капли.

Потенциальную силу тяжести в (1) можно учесть введением модифицированного давления р * = р±рдг и р' = р' ±р'дг, где знаки выбираются в зависимости от направления оси Ог (при этом векторы "о и § должны быть связаны так, чтобы в итоге действующая на каплю полная сила равнялась нулю). При малых числах Рейнольдса (Ие = раПо/п ^ 1, Ие' = р'аПо/п' ^ 1) можно пренебречь инерционными членами в (1) и рассматривать задачи капиллярного дрейфа в линейном приближении Стокса.

Подчеркнем, что в собственной системе отсчета для задачи ТКД "собственные" температуры Т* вне и Т' внутри капли отсчитываются от невозмущенной температуры точки, в которой в данный момент находится центр капли. Тогда в произвольной точке пространства температуры Т и Т' определяются выражениями [2]

где А — величина заданного внешнего градиента температуры (А > 0, если направление УТ совпадает с направлением оси Ог, и А < 0 в противоположном случае), То (го) — не возмущенная каплей температура в некоторой начально-отсчетной точке го, г — координата точки, в которой в данный момент времени находится центр капли. Таким образом, все неизвестные функции, а также подлежащая определению скорость натекающего потока "о при произвольной зависимости 7 = 7(Т) параметрически зависят от времени или от координаты г центра капли, поскольку

Аналогичные зависимости можно выписать и для задачи ЭКД, заменив температуры Т и Т' в (2) на электрические потенциалы ф и ф', а величину А — на напряженность электрического поля —Ео.

Отметим, что без учета силы тяжести и в линейном приближении Стокса задача ЭКД сферической ртутной капли в растворе электролита [1] была решена В.Г. Левичем еще в 1947 г. При этом был получен неожиданный результат: внутри капли течение имело вид сферического вихря Хилла, а вне — потенциального потока, т.е. капля при ЭКД не испытывала сопротивления (выполнялся парадокс Д'Аламбера в вязких средах). Аналогичный результат для ТКД, но уже в приближении Озеена и с учетом отклонения формы капли от сферической был получен в работе [2]. А в [3] на основе электрокапиллярно-вихревой модели шаровой молнии и с учетом динамической обратимости вихря Хилла было показано, что решение Левича для электрокапиллярного дрейфа капли при условии р = р' является точным решением полной нелинейной системы (1) для любых чисел Рейнольдса, когда еще реализуется ламинарное обтекание. В этом случае учет нелинейных инерционных членов в (1) приводит лишь к перераспределению давления вне и внутри шаровой молнии, но таким образом, что скачок этого дополнительного давления равняется нулю на сферической границе раздела фаз.

При наличии вертикального градиента температуры и учете силы тяжести задача ТКД сферического пузыря в приближении Стокса была рассмотрена в [4]. Возможное осаждение малого пузыря в более плотной жидкости, когда поверхностные термокапиллярные усилия вызывают ненулевую интегральную силу тяги (превышающую выталкивающую силу Архимеда), было названо в [5] "парадоксом падающего пузырька". Однако в теоретической части работы [4] приведены лишь постановка задачи, некоторые предположения и итоговая формула для частного случая зависания (левитации) пузырька без указания полного решения задачи. Эта недосказанность позднее послужила причиной появления ряда работ, в которых тонкости механизма ТКД остались непонятыми, а некоторые ошибочные результаты и выводы (см., например, [6]) даже попали в справочную литературу [7]. Попытка разобраться в причинах подобных заблуждений и предпринята в данной работе.

Для этого необходимо выписать систему граничных условий для каждой из задач. Считая для простоты, что распределения скоростей, давления, электрических потенциалов (или температур) обладают

Т (г,1)= То (го)+ А(г — го)+Т*(г), Т'(г,1)= То(го)+ А(г — го) + Т* (г),

(2)

ь

ь0

аксиальной симметрией относительно оси Oz, проходящей в направлении Uo через центр масс капли, можно выписать и соответствующие системы граничных условий. Для наших целей достаточно и частного случая сферической поверхности R = a = const, где a — радиус капли. Тогда для задачи ЭКД эта система в сферических координатах (r, в) будет иметь вид [1, 3]

r

r = a: dr

ж: v — U0k. /

p*

p0 = const, V^ — -E0k, k = cos вег — sin вед;

и

П

иг

П

0,

dve dr

ив = ив;

ив

= Ve y (М);

,ди'г диг 2 [г] —-ц — dr dr

+

2y( М)

(3)

Р*

p ;

д^ / дю'

-а — + dive qve = 0, -а + dive q\e = 0, dr dr

где Vg и dive — соответственно поверхностные градиент и дивергенция. Очевидное требование ограниченности величин |v' |, p' и ю' при r — 0 подразумевается.

Для задачи ТКД аналогичная система будет иметь вид [1, 2, 4]

> ж: a:

и

v — U0 k.

p

иг

0, ив

p0 = const,

и' ;

VT — Ak, k = cos вег — sin вев;

v,

dr r , dv'r dr

П

diJr

dr

+

dr r 2Y(T)

(4)

T = T',

a

дТ _ , ОТ'

dr dr

p* p *;

Требование ограниченности всех величин при г ^ 0 здесь также подразумевается. Система граничных условий при отклонении формы капли от сферической приведена в [2].

Условия в третьих и четвертых строках систем (3) и (4) — равенство касательных и нормальных составляющих тензоров напряжений при наличии капиллярных эффектов за счет переменного поверхностного натяжения; условия в пятой строке (3) следуют из закона сохранения заряда для внешней и внутренней областей капли в предположении, что ДЭС является идеально поляризованным [1, 3]; условия в пятой строке (4) выражают равенство температур и теплопотоков на границе раздела фаз.

При аналогии в зависимостях 7 = 7и 7 = 7(Т) формальные различия в системах граничных условий обусловлены лишь разницей между условиями в пятых строках систем (3) и (4). Однако это различие принципиально: условия в (4) позволяют решать тепловую подзадачу независимо от гидродинамической, а при ЭКД электрическая и гидродинамическая подзадачи взаимосвязаны и решать необходимо всю задачу совместно.

При наличии переменного поверхностного натяжения член 2^/а может и не обусловливать гидродинамические течения вне и внутри капли. Баланс нормальных напряжений на границе раздела фаз в этом случае будет обеспечиваться перераспределением давления при возможном изменении формы капли. Но ненулевой член в балансе касательных напряжений будет всегда генерировать капиллярные движения у поверхности раздела [1], что при линейной зависимости

Y(T) = Y0 + J(T — T0), Y = dj/dT = const,

(5)

в задаче ТКД может приводить к стационарному самодвижению капли как целого, т.е. к ее дрейфу.

Независимо от вида функции 7 = 7(Т) решение тепловой подзадачи в данном приближении представляется в форме [7]

Х-Х'

) COS в + Tq, Т' =

r

Т = Ла{а + 2Х + Х> г2

3 АХг 2А +А'

cos в + T0,

тогда как решение гидродинамической части общей задачи ТКД зависит от вида данной функции.

r

2

Заметим, что в электрогидродинамической задаче для капли с поверхностным зарядом q$ простого слоя [8] и при р = р соответствующая система граничных условий при замене р на T будет почти идентична (кроме условий при r ^ ж) системе (4), а не (3). В итоге эта задача будет аналогична задаче о термокапиллярном движении при квадратичной [7, 9] зависимости

7(Т) = 7о + ^ а(Т - Tmin)2, а = d27/dT2 = const > 0, (7)

вблизи точки минимума термокапиллярной кривой (т.е. при T ~ Tmin), когда вместо затухающего ТКД будет генерироваться деформационно-сдвиговое течение с тороидальными вихрями Тейлора внутри капли [8, 9]. Заметим, что в задачах ЭКД с большим диапазоном изменения {р} электрокапиллярная кривая

1

7(М) = 7о - 2 а(М - Mmax) , а = d2~f/d{p}2 = const > О, (8)

имеет уже точку максимума: max7 = 70 при {р} = {p}max, которая соответствует нулевому значению заряда ДЭС.

2. Анализ стандартных предположений и частных решений задач капиллярного дрейфа. Отмеченная выше независимость тепловой подзадачи при малых числах Пекле от гидродинамической создает иллюзию, что в целом задача ТКД жидкой капли должна решаться проще, чем задача ЭКД. Эта кажущаяся простота привела к тому, что предпринятые в ряде работ попытки получить достаточно общие результаты (по аналогии с задачей определения силы сопротивления при обтекании сферической частицы [10] стоксовым потоком), в том числе для произвольной зависимости 7 = j(T), привели, как уже упоминалось, к ошибочным результатам и общим выводам [6], растиражированным позднее в литературе справочного характера [7, 11].

Основная причина подобных заблуждений связана с тем, что 7 = 7({р}) в задаче ЭКД, а физический смысл (как и в большинстве задач электродинамики) имеет именно разность потенциалов или приложенное электрическое поле E = —Vp, тогда как в задаче ТКД физический смысл имеет уже значение самой температуры T в силу зависимости 7 = j(T), а не только VT. Это особенно важно в уравнении для скачка нормальных компонент тензора напряжений {prr}, соответствующего четвертой строке в (4). Желание обойти проистекающие отсюда трудности в решении полной задачи ТКД (при произвольной зависимости 7 = 7(T) или учете силы тяжести) обычно проявляется в следующих стандартных предположениях и встречающихся в ряде работ неявных допущениях:

(a) предположение о сохранении сферической формы капли часто сопровождается заменой {prr} на лапласовский скачок давлений (как в гидростатике), иногда граничное условие для нормальных компонент тензора напряжений просто игнорируется;

(b) обычно в задачах ТКД рассматривают гидродинамические функции тока вида [7]

1 2

г > а: Ф = - a Uq

2

r-+Dr--{D + l)a-a2 a r

г < а: Ф' = ^a2f/0(3 + 2D)

r4 a2

a4 r2

sin2 в,

(9) sin2 в,

где уже учтены граничные условия, которые соответствуют первой и второй строке системы (4); D — коэффициент, определяемый остальными условиями системы (4); иногда неявно предполагают, что даже для произвольной зависимости 7(T) и при учете силы тяжести скорость Uo = const;

(с) фактически в ряде работ отождествляются T и T* из (2), что может быть справедливо для случая протекания неизотермических химических реакций на поверхности или в объеме капли [12, 13], т.е. при хемотермокапиллярном дрейфе, но не при наличии внешнего VT.

В частности, с учетом предположения (а) и неявного допущения (с) использование в [6] вместо формул типа (9) интегральных законов Факсена и теоремы взаимности Лоренца [10] привело к следующей формуле (которая названа принципиальным результатом работы [6]) для так называемой термокапиллярной силы:

JL

2(77 + Г]')

F1 = -cUm I ^ / VeldS, (10)

в которой игнорируется вклад переменной величины 7 в ргг и , что случайно дает правильный результат для скорости дрейфа лишь в простейшем случае (5) линейной зависимости 7 от Т и при отсутствии силы тяжести.

r=a

В этой связи подчеркнем широко известный результат [10]: если обтекание сферической частицы (твердой или жидкой) задано функцией тока достаточно общего вида

те

Ф(г, в) = £ (Anrn + Bnr1-n + Cnrn+2 + Dnr3-n) Gn (cos в)

1

= - a2U0

n=2

2 -, те

r ^ r , ^ a a2 a r

sin2 в + ^ Bnr1-n + Dnr3-n) Gn(cos в), (11)

n=3

где Gn — функция Гегенбауэра первого рода порядка n и степени -1/2, то сила сопротивления частицы равна

Fz = J (prr cos в — pre sin в) dS = -4nnD2 = —4nr¡aU0D, (12)

r=a

где D2 = aUoD в обозначениях (9) или во второй записи ряда (11). Знак " —" в формуле (12) обусловлен выбором направления оси Oz по скорости натекающего потока Uo и знаками в выражениях для компонент скорости через функцию тока:

1 <9Ф _ 1 <9Ф

Vr г2 sin в дв ' Ve г sin в дг '

в отличие от [10], где ось Oz направлена против Uo и

1 дФ 1 дФ

Vr =--9 ■ л т^Г, Щ

r2 sin в дв r sin в dr

При D = 0 формулы (9) описывают вне капли однородный потенциальный поток, который имеет нулевую завихренность и дает нулевую силу сопротивления, а внутри капли — сферический вихрь Хилла.

Для дальнейшего анализа полезно привести общие выражения для компонент тензора вязких напряжений при n = 2 из первого равенства формулы (11) и при r = a из (9):

2 + D

Prr = -зГ] (2C2r + D2/r2 + 2B2/rA) cos в\г=а = Sr¡U0-cos в,

a

Pre = -3г] (С2г + В2/г4) sin 9\г=а = 3r¡U0 sin в,

где C2 = 0 в силу граничных условий при r

Иногда полную силу сопротивления (12) представляют в виде

Fz = Fn + Fs, Fn = j prr cos вdS = —4nn (D2 + 2C2a3 + 2B2/a2)

FS = J pre sin в dS = 8nn (C2a3 + B2/a2) ,

(13)

где Fn называют сопротивлением формы, а Fs — поверхностным сопротивлением [10]. Заметим, что для твердой сферы из-за обнуления на поверхности производной

^L = Uo^±lRcose = о при D = -3/2 or a

Fn зависит лишь от распределения давления:

Fn = Fp = — J p cos в dS = 2nnaU0 FS = 4n^aU0,

тогда как для жидкой капли Fp = —f pcos edS = — (4n/3)D2 = Fn. Это замечание и анализ общих формул (13) показывают, что для жидкой капли первое предположение (а), вообще говоря, некорректно, а формула (10) для термокапиллярной силы Fj в общем случае ошибочна. Лишь в отсутствие силы

тяжести и при О = О = 0 из условия ^ =0 для = Fs можно найти Еп по формулам (10) и (13). Фактически так в [7] при О = 0, отсутствии гравитации и линейной зависимости (5) и определяется скорость стационарного ТКД капли

2aAXJ . dj

(2А +А')(2г? + 3 г/)' 7=9T'

^ = ■ woJ.o^. 7=^, (14)

которая совпадает с классическим результатом [2].

Соответствующая формула Левича имеет вид [1, 3]

т 7 JJ aqE0 dj , .

Ve = ~U° = "о—I о / I 2/ ' 9 = "ТГТ- (15)

2n + 3r]' + q2/a d{ю}

Из нее следует, что при положительном заряде (q > 0) внешней обкладки ДЭС скорость Ve направлена против приложенного поля E0 = —Vю, тогда как при q < 0 она направлена по внешнему полю. Следовательно, в окрестности точки максимума электрокапиллярной кривой (8) происходит смена знака заряда q (так называемая перезарядка двойного электрического слоя), где Ve в соответствии с (15) меняет направление, проходя через нулевое значение. При этом две стороны капли оказываются противоположно заряженными по закону cos в, что генерирует деформационно-сдвиговое течение с безразмерными функциями тока [14, 15]

Ф = Бз(1 — 1/r2)sin2 в cos в, Ф' = Б'3(r5 — r3) sin2 в cos в, (16)

которые для внешнего течения соответствуют формуле (11) при n = 3. Заметим, что такие функции тока возникают в задаче с поверхностным зарядом простого слоя [8], в задаче ТКД [9] с зависимостью (7), и подчеркнем, что капиллярные течения с функциями тока (16) или (11) в случае n ^ 3 не дают вклада в силу сопротивления и не приводят к передвижению центра масс капли, т.е. не вызывают ее дрейфа, тогда как в работе [9] это допускается.

Аналогично из (14) видно, что при J < 0 знаки V7 и A = VT^ совпадают, т.е. капля будет дрейфовать к более нагретой жидкости, а при J > 0 дрейф капли будет происходить в обратном направлении.

Поэтому при квадратичной зависимости (7) следовало бы ожидать смены знака у V7 и U0 = — V7 в окрестности минимума термокапиллярной кривой и начала возвратного дрейфа капли по аналогии со сменой знака у Ve в задаче Левича в окрестности максимума электрокапиллярной кривой.

Однако здесь такая "аналогия" ошибочна, ибо капля из-за инерции после нескольких затухающих колебаний (существование которых доказано в [9]) зависает в плоскости равновесия. Вокруг и внутри капли будут генерироваться термокапиллярные течения с функциями тока (16). В случае начала возвратного дрейфа капля опять попадает в область с меньшей температурой и вновь будет притягиваться к плоскости равновесия, тогда как при ЭКД капля в результате возможной перезарядки ДЭС будет отталкиваться от соответствующей плоскости и лишь при q = 0 может левитировать на ней. Такое принципиальное различие в поведении капли в окрестности плоскости равновесия обусловлено отличием в зависимостях Y = J(T) в (7) и J = Y({ю}) в (8). Это различие физических смыслов для температуры T в задаче ТКД и для разности электрических потенциалов {ю} в задаче ЭКД уже подчеркивалось выше.

Заметим, что для функций тока (9) выполнение условия баланса касательных напряжений, соответствующего третьей строке (4), при любой зависимости Y = Y(T) с учетом решений (6) тепловой подзадачи приводит к выражению [7]

D= 2г? +Зг?' -Ма Ма = -^ (17)

2(77 + 770 (т? + 7?0(2А +А')' 77С/0'

где Ma — число Марангони. Из (17) при Ma = const (например, в случае зависимости (5) и в отсутствие силы тяжести, когда p = p* и p' = p') следует формула (14). Полная сила Fz для стационарного ТКД в данном случае должна обращаться в нуль. Удобно, используя формулы (12) и (17), представить Fz в виде [7]

Fz = -A^aUoD = FT + F7 = 0, FT = 2«щЩ±У-и0, F, =-, ^^

П + П 0 1 (п + пО(2А + А')'

где Ет — сила вязкого сопротивления (формула Адамара-Рыбчинского), — термокапиллярная сила. Прямая проверка показывает, что в этом случае тождественно выполняется граничное условие на {рГг}, соответствующее четвертой строке (4).

3. Решение задач капиллярного дрейфа при учете силы тяжести. Однако в общем случае из (17) следует D = D(Ma) = const, что возможно при 7 = const или Uo = const. Более того, при Uo ^ 0 (например, вблизи точки минимума термокапиллярной кривой (7)) формально |Ma| ^то и для значения Fz на основании (12) получается неопределенность типа 0 • то. В этом случае целесообразно исходить не из квазистационарных функций тока (9), а из общего решения в первой записи ряда (11) при A2 = 0. Это приводит к функциям тока вида

Ф = £>2 (г - —) sin2 в, Ф' = aD2((-} " f-) sin2 в, (18)

которые при D2 = a3g(p — р)/3п описывают возможную левитацию капли в поле силы тяжести при зависимости (5). Подобный частный случай для зависания пузыря был рассмотрен в [4], а для задачи ЭКД функции тока вида (18) могут описывать неустойчивую левитацию шаровой молнии [3] в гравитационном поле Земли при р = р. Подчеркнем, что капиллярное течение с функциями тока (18) генерирует во внешнем потоке ненулевую завихренность и, согласно формуле (12), дает ненулевую силу сопротивления Fz = (4n/3)a3д(р — р), которая компенсируется выталкивающей силой Архимеда.

Как уже подчеркивалось выше, для ТКД с функциями тока (9) формула (17) справедлива при любой зависимости 7 = j(T), но только в случае линейной функции (5) скорость дрейфа U, число Марангони Ma и коэффициент D = D(Ma) можно считать постоянными величинами. Рассмотрим для определенности случай, когда векторы U и g противоположно направлены. Тогда

Р* = (р + pgz)\r=a = V ^ Uo cos в + рдаcos в + Роо, 3 + 2D

р'* = (р' + p'gz) I г=а = 5г/-Uo cos в + р'да cos в + ро,

а выполнение граничного условия на {prr}, соответствующего четвертой строке (4), позволяет найти искомую величину V^ = —Uo скорости дрейфа, где

2а\А7 2а2д(р — р')(т] + ?/)

0 (2А +А')(2г? + 3г/) 377(277 + 3?/) ' 1 J

Подстановка (19) в (12) с использованием (17) дает для силы сопротивления выражение Fz = (4n/3)a3д(р' — р), что с учетом выталкивающей силы Архимеда приводит к нулевому значению полной силы, действующей на каплю при ее стационарном ТКД. Случай сонаправленности векторов Uo и g рассматривается аналогично с заменой p* = p — pgz и p^ = p — рgz.

С точки зрения авторов, основной вопрос в теории капиллярного дрейфа: каким образом переменное поверхностное натяжение "узнает", когда ему следует генерировать завихренность во внешнем потоке и, следовательно, ненулевую силу? — в рамках стационарного подхода остается без ответа. А в работах о термокапиллярном [16] или электрокапиллярном [17] разгоне капель генерация и диффузия завихренности во внешнем течении не рассматривались.

Подчеркнем, что в общем случае система (1) для задачи ЭКД при сформулированных предположениях является точной, а для ТКД — приближенной по малым числам Пекле. Отсюда следует, что на задачу ТКД нельзя автоматически распространить важный результат, полученный в [3], где была впервые конспективно отмечена электротепловая аналогия между этими задачами.

Кроме этого принципиального отличия в задачах стационарного капиллярного дрейфа при отсутствии силы тяжести за рамками обсуждения стандартных предположений типа (a)-(c) остались еще три важных вопроса:

1) насколько корректно использование приближения Стокса во внутренней задаче ТКД пузыря, когда Re' ^ 1 может быть лишь для пузырей очень малых размеров;

2) для каких сред и когда уточнение решения тепловой задачи можно искать в виде возмущений по малому числу Пекле, а не по числу Прандтля, игнорируя скачок температуры [18] на границе раздела фаз за счет вязкой диссипации в неравномерно нагретой жидкости;

3) в каких случаях необходимо учитывать перекрестные электротермокапиллярные эффекты (например, джоулеву диссипацию и связанные с ней изменения температуры в задачах ЭКД) и могут ли они приводить к существенным изменениям в гидродинамике обтекания и интенсивности процессов теплообмена?

Ответы на эти вопросы требуют возврата к общим уравнениям [1, 18] теплопередачи в неравномерно нагретой жидкости, уточнения постановок граничных условий с перечислением исходных предположений и отдельного анализа. Результаты работы были анонсированы в тезисах докладов Всероссийской конференции [19] "Современные проблемы механики сплошной среды", посвященной памяти Л.И. Седова, и Международного аэрокосмического конгресса [20].

Авторы выражают признательность В.Л. Натяганову за постановку задачи и полезные обсуждения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-08-00712).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959.

2. Братухин Ю.К. Термокапиллярный дрейф капельки вязкой жидкости // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1975. № 5. 156-161.

3. Натяганов В.Л. Ломоносов и загадки природного электричества. Часть 1. Парадоксы шаровой молнии // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 6. 42-49.

4. Young N.O., Goldstein J.S., Block M.G. The motion of bubbles in a vertical temperature gradient //J. Fluid Mech. 1959. 6, N 3. 350-356.

5. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: ИЛ, 1960.

6. Subramanian R.S. The Stokes force on a droplet in an unbounded fluid medium due to capillary effects //J. Fluid Mech. 1985. 153. 389-400.

7. Кутепов А.М., Полянин А.Д., Запрянов З.Д., Вязьмин А.В., Казенин Д.А. Химическая гидродинамика: Справочное пособие. М.: Квантум, 1996.

8. Мелчер Дж., Тейлор Дж. Электрогидродинамика: обзор роли межфазных касательных напряжений // Механика: Сб. пер. 1971. № 5. 66-99.

9. Гупало Ю.П., Редников А.Е., Рязанцев Ю.С. Термокапиллярный дрейф капли при нелинейной зависимости поверхностного натяжения от температуры // Прикл. матем. и механ. 1989. 53, вып. 3. 433-442.

10. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976.

11. Subramanian R.S., Balasubramaniam R. The Motion of Bubbles and Drops in Reduced Gravity. Cambridge: Cambridge University Press, 2001.

12. Головин А.М., Гупало Ю.П., Рязанцев Ю.С. О хемотермокапиллярном эффекте для движения капли в жидкости // Докл. АН СССР. 1986. 290, № 1. 35-39.

13. Редников А.Е., Рязанцев Ю.С. О термокапиллярном движении капли с однородным внутренним тепловыделением // Прикл. матем. и механ. 1989. 53, вып. 2. 271-276.

14. Натяганов В.Л. Некоторые особенности электрокапиллярного движения капель // Механика деформируемых сред. М.: Изд-во МГУ, 1985. 33-35.

15. Натяганов В.Л., Чайка А.А. Сингулярный метод в ЭГД течениях Стокса для сферических капель с поверхностным зарядом // Газовая и волновая динамика. М.: Айрис Пресс, 2005. 327-335.

16. Антановский Л.К., Копбосынов Б.К. Нестационарный термокапиллярный дрейф капли вязкой жидкости // Прикл. механ. и техн. физ. 1986. № 2. 59-64.

17. Суворов А.А. Электрокапиллярный разгон проводящей капли в постоянном электрическом поле // Сб. докл. VIII Междунар. конф. "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей". СПб.: СПбГТУ, 2006. 92-95.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

19. Натяганов В.Л., Суворов А.А., Тимохин Е.В. Аналогия в задачах термо- и электрокапиллярного дрейфа жидких капель // Тез. докл. Всерос. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды", посвященной памяти Л.И. Седова. М.: НИИ механики МГУ, 2007. 128-130.

20. Natyaganov V.L., Nerchenco V.A., Suvorov A.A., Chaika A.A. Analogy for problems of thermocapillary and electroca-pillary drift of fluid droplets // Proc. 58th IAF Congress. Hyderabad, 2007. 222-225.

Поступила в редакцию 15.12.2008