Электротехнические комплексы с дис- кретными элементами и методы их моде- лирования и исследования Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК Югорского ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 г. Выпуск 2 (13). С. 50-63

УДК 621.313

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСЫ С ДИСКРЕТНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ И МЕТОДЫ ИХ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ

Г. В. Мальгин

Электротехнический комплекс - система, состоящая из преобразовательного, электро-технологического, передаточного, информационно-управляющего устройств, и предназначенная для реализации заданного технологического процесса.

Данному определению соответствует следующая структурная схема (рис. 1). Данная схема отражает установившиеся понятия в электроприводе (ГОСТ 16593-79), электрооборудовании (ГОСТ 16703-80), электротехнических изделиях (ГОСТ 18311-80), согласно которым электротехнический комплекс и содержит указанные на схеме элементы.

Рис. 1. Структурная схема электротехнического комплекса

ИЭЭ - первичный источник электрической энергии - обычно промышленная или автономная сеть постоянного или переменного тока.

ПрУ - преобразовательное устройство - обычно полупроводниковые статические, электромагнитные или электромеханические электротехнические изделия, обеспечивающие согласование имеющихся параметров электрической энергии ИЭЭ и параметров, необходимых для ЭТУ

ЭТУ - электротехнологическое устройство - обычно электромеханические преобразователи в электроприводе, электротепловые преобразователи в электротермии, электро-световые преобразователи в осветительных установках, осуществляющие главный процесс преобразования электрической энергии в другие виды энергии.

ПеУ - передаточное устройство - обычно механические передаточные устройства в электроприводе, теплопроводы, теплообменники в электротермии, световоды, рефлекторы, отражатели в устройствах освещения, осуществляющие согласование параметров полученной с ЭТУ технологической энергии с параметрами, необходимыми для реализации конкретного технологического процесса.

ТМ - технологическая машина - обычно исполнительный орган рабочей машины в электроприводе, количество теплоты, воздействующее на нагреваемый объект в установках электротермии, световой поток в осветительных установках.

ИУУ - информационно-управляющее устройство - обычно автоматические и автома-

тизированные системы управления, в последнее время включающие в себя микропроцессорную, компьютерную технику.

Некоторые элементы ЭТК могут отсутствовать в конкретной реализации комплекса, но в любом случае ИЭЭ, ЭТУ и ТМ принципиально необходимы, поскольку именно ими осуществляется технологический процесс, ради которого и создается ЭТК.

Совокупность ИЭЭ, ПрУ, ЭТУ, ПеУ составляет силовой канал ЭТК, в то время как ИУУ представляет собой информационный канал, который, не участвуя в преобразовании и передаче энергии, осуществляет управление этими процессами.

В силовом канале электрическая энергия ИЭЭ WИЭЭ поступает на ПрУ! Часть поступившей энергии рассеивается в ПрУ, составляя соответствующие потери энергии ДWПрУ Оставшаяся часть электрической энергии WПрУ = WИЭЭ - ДWП У передается ЭТУ Часть поступившей энергии рассеивается в нем, составляя его потери ДwЭТy Остальная часть энергии преобразовывается из электрической в технологическую, так что в результате оставшаяся часть энергии WЭТУ = WПрУ - ДWЭТУ поступает на ПеУ Часть поступившей энергии рассеивается в ПеУ, составляя его потери ДWПеУ Остальная часть технологической энергии WПеУ = WЭТУ - ДWПеУ передается ТМ. Технологическая энергия, поступившая в ТМ, расходуется на полезный эффект, заданный технологическим процессом.

Следует иметь в виду, что описанная последовательность прохождения энергии по элементам силового канала ЭТК составляет суть прямого преобразования энергии. В то же время в определенных условиях конструкция ЭТК допускает возможность обратного движения энергии (рекуперация энергии). Например, это всегда возможно в случае использования в качестве ЭТУ электрической машины, обладающей так называемым свойством обратимости.

Бурное развитие полупроводниковой техники привело к широкому внедрению различного рода полупроводниковых преобразователей: управляемых и неуправляемых выпрямителей, инверторов тока и напряжения, статических преобразователей частоты и напряжения, других устройств. Поэтому к настоящему времени и в эксплуатации, и в разработке находится большое количество электротехнических комплексов, содержащих преобразовательные устройства на базе полупроводниковой техники.

Построенные на базе полупроводниковых элементов преобразовательные устройства отличаются от преобразователей другого типа (электромашинных или электромагнитных) целым рядом преимуществ. Среди них можно назвать такие как: низкие потери энергии на управление и регулирование (высокий КПД), высокую плавность процесса регулирования, низкую инерционность процесса регулирования, надежность, легкость автоматизации управления технологическими процессами.

Наряду с новыми техническими возможностями, которые открыла преобразовательная техника, появился и ряд особенностей функционирования таких устройств и их влияния на процессы, протекающие в электротехническом комплексе в целом.

Как известно, основными элементами современных преобразовательных устройств электротехнических комплексов являются полупроводниковые приборы дискретного (ключевого) действия. Такой прибор представляет собой электрический ключ, имеющий два устойчивых состояния: «прибор открыт» и «прибор закрыт». В открытом состоянии полупроводниковый элемент обеспечивает прохождение тока в цепи в любом или только в одном направлении, а в закрытом состоянии прибор не пропускает ток, т. е. размыкает цепь.

Все силовые полупроводниковые элементы дискретного действия можно разделить по способу управления ими и направлению проводимости на следующие группы:

1. Элементы с односторонней проводимостью:

а) неуправляемые приборы;

б) приборы с ограниченным управлением;

в) полностью управляемые приборы.

Классификация силовых коммутационных полупроводниковых элементов

Название прибора

Схемный

символ

Реальные

вольт-амперные

характеристики

Идеальные

вольт-амперные

характеристики

Элементы с односторонней проводимо стью

Неуправляемые

приборы

Диод

(выпрямительный элемент, вентиль)

Х7

Приборы с ограниченным управлением (не полностью управляемые)

тиристор

(управляемый выпрямительный элемент, управляемый диод, управляемый вентиль)

_7"

V

Динистор

(диодный тиристор, переключающий диод)

обращенный

тиристор

“У.

Полностью

управляемые

Запираемый

тиристор

(двухоперационный

тиристор)

транзистор

\

\

\

%

Элементы с двусторонней проводимостью

Приборы с ограниченным управлением (не полностью управляемые)

симметричный

тиристор

(симистор)

симметричный

переключатель

(симметричный

динистор,

симметричный

тиристор)

Полностью

управляемые

1 \

\ и

1 1. і \

и \ и

К-

Рис. 1.2. Классификация силовых полупроводниковых элементов

и

2) Элементы с двусторонней проводимостью:

а) приборы с ограниченным управлением;

б) полностью управляемые приборы.

Согласно этой классификации, на рис. 2 приведены основные силовые полупроводниковые элементы, которые используются при построении преобразовательных устройств.

Свойство дискретности полупроводниковых элементов преобразовательных устройств, естественно, распространяется и на свойства электротехнического комплекса в целом.

Развитие полупроводниковой техники привело к широкому внедрению в промышленности и в быту нового типа регулируемых электроприводов - электромашинно-вентильных систем. Примерами таких систем могут служить синхронные генераторы, работающие на вентильную нагрузку (рис. 3), частотно-управляемые асинхронные двигатели (рис. 4-6), вентильные двигатели (рис. 7-9), асинхронные каскады (рис. 10) [6].

В результате, в общем случае процессы, протекающие в электротехническом комплексе, приобретают дискретно-непрерывный характер: переключение полупроводниковых элементов из одного состояния в другое приводит к скачкообразному (дискретному) изменению параметров электротехнического комплекса, в то время как в интервалах между переключениями электротехнический комплекс ведет себя как непрерывная система.

Рис.3. Синхронный генератор, работающий на вентильную нагрузку (выпрямитель часто выполняют неуправляемым):

СГ - синхронный генератор;

УВ - управляемый выпрямитель;

БУВ - блок управления выпрямителем;

2Н - сопротивление нагрузки.

Рис. 4. Автономная система СГ-ПЧ-АД:

СГ - синхронный генератор;

ПЧ - преобразователь частоты;

АД - асинхронный двигатель (чаще всего с короткозамкнутым ротором).

Рис. 5. Частотно-управляемый АД (позволяет осуществлять регулирование частоты вращения в широком диапазоне): В - выпрямитель;

РН - регулятор напряжения;

И - инвертор;

АД - асинхронный двигатель.

иі ■р-1 "

Г1 п ■Н<|— 11 —^— № — "—[»■—" <^4— -Я шт

иг

Ъ

Рис. 6. Схема циклоконвертора (статического преобразователя частоты с непосредственной связью)

БУИ

Рис. 7. Вентильный двигатель постоянного тока (управляется как двигатель постоянного тока изменением величины питающего напряжения): И - инвертор;

СД - синхронный двигатель;

ДПР - датчик положения ротора;

БУИ - блок управления инвертором.

Рис. 8. Вентильный двигатель переменного тока (со звеном постоянного тока в преобразователе): УВ - управляемый выпрямитель; иУ - управляющий сигнал;

Д - дроссель;

И - инвертор.

Рис. 9. Вентильный двигатель переменного тока (без звена постоянного тока в преобразователе): ЦК - циклоконвертор;

БУ - блок управления циклоконвертора;

ДПР - датчик положения ротора.

Рис. 10. Асинхронно-вентильные каскады (АВК):

ВП1, ВП2 - вентильные преобразователи;

ЦК - циклоконвертор;

ТР - трансформатор;

АД - асинхронный двигатель с фазным ротором.

Таким образом, важным свойством (которое с принципиальной необходимостью должно быть учтено) электротехнических комплексов является наличие и непрерывных, и дискретных элементов.

Моделирование электротехнических комплексов с дискретными элементами содержит следующие основные этапы: выбор степени адекватности отражения математической моделью динамических процессов в технологической части комплекса; выбор формы записи и запись дифференциальных уравнений математического описания динамических процессов; выбор способа определения в общем случае неизвестных моментов переключения дискретных элементов; выбор эффективного метода решения уравнений динамики электротехнического комплекса; построение алгоритма моделирования комплекса в целом, с учетом поставленных перед моделированием задач (анализ, проектирование, синтез, оптимизация).

Традиционные методы моделирования электротехнических комплексов различных назначений с дискретными элементами исходят из следующего описания электромагнитных и электротехнологических процессов. Во-первых, моделирование электротехнологической части (механической, тепловой, световой, акустической), как правило, осуществляется упрощенно, с выделением лишь основного эффекта. Во-вторых, уравнения динамики процессов записываются отдельно для каждого промежутка времени между двумя соседними переключениями дискретных элементов. В результате получается набор последовательно сменяющих друг друга на интервале наблюдения процессов систем уравнений. Сами уравнения могут быть записаны в виде системы дифференциальных уравнений первого или второго порядков, линейных или нелинейных. В ряде случаев используются интегральные уравнения. В-третьих, «сшивание» решений уравнений для отдельных интервалов време-

ни осуществляется, исходя из фундаментальных законов непрерывности переменных состояния в энергоемких элементах (индуктивный и емкостной элементы, инерционный и упругий элементы, теплоемкий и теплопроводный элементы). Как уже отмечалось, сами эти моменты времени, при которых осуществляется «сшивание», в общем случае заранее не известны и определяются в процессе решения уравнений динамики.

Характерный подход к моделированию в традиционном случае сводится к следующему [1, 3]. Для интервала непрерывности t ! (и, 4+1] на основании общих законов теории цепей записывается интегро-дифференциальное уравнение:

ік + \

Ь-^ї + ЯІ + С-1 #Ійі = Е, I(ік) = Ік, і ! (и,ік+і],

(1)

где I - матрица-столбец выбранных независимых токов (например, в соответствии с методом переменных состояния); Ь, Я, С - квадратные матрицы параметров цепи; Е - матрица-столбец заданных э. д. с. источников.

При традиционном подходе интегро-дифференциальное уравнение (1) необходимо преобразовать к дифференциальному либо путем однократного дифференцирования его правой и левой части, либо сведением к системе уравнений первого порядка, записанной в нормальной форме Коши.

В первом случае имеем дифференциальное уравнение второго порядка:

Ь-^І + Я-А-І + С-Ч = АЕ, І(ік) = Ік, і ! (ік, ік+1].

(2)

Во втором случае необходимо записать каждое уравнение системы относительно первой производной. Для получения системы дифференциальных уравнений первого порядка производится замена переменных

Хк + 1

# Ійі = О, О (ік) = Ок, і ! (ік, ік+і],

(3)

где Q - матрица-столбец зарядов, переносимых токами I с момента времени t = tk. Перенесенный заряд накапливается создавая перепад напряжений:

0 = Си, t ! ^к, tk+1], (4)

где и - матрица-столбец напряжений на энергоемких элементах.

С учетом (3) и (4) уравнение (1) приобретает вид:

Ь-А-І + ЯІ + и = е, І(ік) = Ік, и(ік) = и, і ! (ік,ік+і].

(5)

В результате интегро-дифференциальное уравнение (1) преобразуется к системе дифференциальных уравнений первого порядка, записанной в нормальной форме Коши:

А-І = Ь- [Е - ЯІ - и]

йі

Аи = С-11, І(ік) = Ік, и(ік) = ик, і ! (ік,ік+і].

Систему уравнений (1.6) можно записать в матричной форме:

(6)

А

йі

І Ь- Е - Ь-1 Я I - Ь-1' І

и = 0 + . С- I 0 * и

(7)

!(tk) = 1к, Щtk) = ик, t ! (^к, tk+1].

Возможно также уравнения (6) записать в стандартной форме представления системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши:

Ах = АХ + F, X(ік) = Хк, і ! (ік,ік+і],

(8)

где X - обобщенный вектор переменных состояния системы; Л =

Г1 Е

- 1—Я | -г1 ■

. С-1 | 0

- обоб-

щенная матрица параметров системы; Е =

0

- обобщенный вектор воздействий.

Таким образом, традиционный подход к моделированию предполагает сведение уравнения (1) к одной из стандартных форм: либо к форме (2), либо к форме (8).

Полученные уравнения позволяют определить электромагнитные процессы для тех случаев, когда электротехнический комплекс в целом допускает моделирование электрической цепью. В действительности, электротехнологический элемент в составе электротехнического комплекса (рис. 1) заставляет использовать специфические модели, отражающие динамические процессы преобразования электрической энергии в другие виды энергии. В частности, если электротехнологический элемент представляет собой широко распространенный асинхронный электропривод, то тогда может быть применена математическая модель приводного электродвигателя в фазной системе координат. Система дифференциальных уравнений имеет вид:

СУл С

У С

СУс С

Л

С

СУь С

СУс

с

= р.]Мэ - Мс , 0);

бх = ш,

= ил - Ял1л ; = ив — Яв1в; = ис - Яс1с ; — иа Яа1а;

-- иь Яь1ь ;

= ис - ЯЛо;

(9)

где

Мэ =- ЬшР [1л {1а 8Ш р + 1ь БШ ^ р + Д—^ + 1с - -—■ — +

+ 1в ^1а 8Ш ^(р----3— ^ + 18Ш р + 1с БШ ^р +—3—1 +

+ 1с ^1а 8Ш^р +—3— ^ + 1ь si.Il^р-------3— ^ + 1с БШ р^ ].

(10)

Система алгебраических уравнений математической модели асинхронного двигателя имеет вид:

В этих уравнениях Уа, Ув, Ус, Уа, Уь, Ус, Іа, ів, іс, іа, іь, іс - потокосцепления и токи соответствующих обмоток статора и ротора (токи обмоток являются компонентами вектора X уравнения (8)); ~ - частота вращения ротора двигателя; { - угол поворота ротора; Ыа, ив, ис, иа, иь, Ыс - напряжения на соответствующих обмотках статора и ротора; Яа,Яв, Яс,Яа, Яь,Яс - активные сопротивления обмоток статора и ротора; ЬаА, Ьав, Ьас, Ьаа, Ьаь, Ьас - индуктивности, соответствующие потокам рассеяния обмоток

г У8 () л

статора и ротора; ьт = —- главная взаимная индуктивность между фазной статор-

іп

ной и фазной роторной обмотками; () - зависимость рабочего потокосцепления от результирующего тока намагничивания (для насыщенной машины - зависимость нелинейная); МЭ - электромагнитный момент, развиваемый валом асинхронного двигателя; р - число пар полюсов двигателя; ] - приведенный к валу двигателя момент инерции вращающихся частей; Ыс (~, і) - приведенный к валу двигателя момент сопротивления приводного рабочего механизма.

Подчеркнем, что система уравнений (9) фактически содержат в своем составе уравнения динамики механической подсистемы электротехнического комплекса, а именно уравнения:

Уа = ЬаАІА + У8 ;

іп

Ув = Ьавів + У ;

іп

Ус = Ьасіс + У8 ;

іп

Уа = Ьааіа + У8 ;

іп

Уь = Ьаьіь + У8 ;

іп

Ус = Ьасіс + У8 ,

іп

(11)

где:

= р ]Мэ - ыс , г));

(12)

% = <"■ (>3>

В соответствии с традиционным подходом эти уравнения являются упрощенной математической моделью механической подсистемы и не учитывают ее собственных динамических процессов. В действительности современные задачи требуют одинакового уровня адекватности математических моделей различных подсистем [2, 4, 5].

Для решения уравнений вида (8) используются аналитические, численно-аналитические и численные методы.

Аналитические методы широко применялись на начальных стадиях исследования систем с дискретными элементами. Согласно этим методам решение уравнения (8) записывается как сумма свободной и принужденной составляющих. Свободная составляющая соответствует процессам, протекающим в отсутствии источников энергии при ненулевых начальных условиях, принужденная - процессам, имеющим нулевые начальные условия, но при наличии источников энергии. Для нахождения свободной и принужденной составляющих отыскиваются корни характеристических уравнений, а собственно решение уравнения (8) записывается в виде суммы соответствующих экспоненциальных функций с соответствующими постоянными интегрирования.

Численно-аналитические методы базировались на использовании различного вида рядов (тригонометрических, степенных), в частности рядов Фурье. Переменные состояния записываются в виде суммы ряда Фурье, коэффициенты которого определяются численно.

Решение уравнения (8) представляется в виде полного ряда Фурье относительно периода Т:

1„ , „„„„..о , „ .о _ _ 2г

X(d) = ^2 Х0с + /X cos уд + x7J sin уд), d = ~t, ~ = 2. (14)

C = 1

Здесь коэффициенты ряда:

Xcc = GTCXi = B [Flc (di) — F-,c ($2)k(tk+1, tk)]Xi, у = 0 (1) з, (15)

r

Xc

= GTSXi = 1B—1 [— Fcs (di) + Fcs (&2) k(tk+1, tk)]Xi, у =1 (1) 3. (16)

В частности, при tk = 0, tk+i = T/ 2 = h:

Xcc = r B—1 Dc (у, B)[— I + (—i)c k(h,0)]Xi, у = 0 (i) 3, (17)

r

Xc

(18)

= Г b-Ds (у, B)[ I + (—i)7 k(h,0)]Xi, у = 0 (i) з,

где Dc (у,B) = B2 (у21 + B2)-1, Ds (у,B) = уВ2 (у21 + B2)— - простейшие матричные дроби; k (tk+i, tk) - переходная матрица состояния;

F-,c (d) = cos уд^с (у, В) + sin &iDs (у, В), i = 1,2, у =0 (1) з,

Fls (d) = cos уд^5 (у, В) — sin &ЮС (у, В), i = 1,2, у =1 (1) з.

При этом система должна быть нерезонансной на интервале T = 2h, то есть должно выполняться условие:

det(/I + В2) ! 0, В = М, у = 0 (1) з.

r

Далее с заданной погрешностью необходимо найти k (tk+i, tk). Кроме переходной матрицы состояния в системах, содержащих дискретные элементы, необходимо найти и моменты переключения tk и tk+1 этих элементов.

Основу численных методов составляет переход от дифференциальных уравнений (2), (8) к разностным алгебраическим уравнениям, путем аппроксимации непрерывных процессов их дискретными представлениями. Численные методы позволяют наиболее детально и подробно исследовать динамику электротехнического комплекса.

Численные методы непосредственно применяются к уравнениям вида (2) и (8), при этом хорошо разработанные численные методы оказываются адекватными стандартным формам записи дифференциальных уравнений: методы Рунге-Кутты, Адамса-Башфорта - система дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши (8), методы Нестрема - система дифференциальных уравнений второго порядка (2). К настоящему времени использование численных методов является наиболее распространенным способом решения систем дифференциальных уравнений. Все численные методы принято классифицировать по общим признакам на одношаговые и многошаговые; явные, неявные и полуявные; да-стадийные; порядка точности р, а также по многим специальным признакам. Рассмотрим несколько распространенных численных методов, используемых для решения уравнений вида (8) при традиционном подходе к моделированию динамики электротехнических комплексов.

Простейшим численным методом является метод Эйлера:

Хп+1 = Хп + к/(Хп, и), п = 0,1,..., (19)

где Хп, Хп+1 - решение уравнения (8) в точках, соответствующих моментам времени и и и+1; к = и+1 — и - шаг интегрирования; /(Хп, и) - правая часть дифференциального уравнения (8), рассчитанная в точке и. Метод (19) - это одношаговый явный численный метод первого порядка точности (р = 1). Существует неявный одношаговый метод Эйлера второго порядка точности (метод трапеций):

Хп+1 = Хп + 2к[/(Хп, и) + /(Хп+1, и+1)], п = 0,1,... ■ (20)

Наиболее распространенным является четырехстадийный (т = 4), одношаговый, явный метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности (р = 4):

Хп + 1 = Хп + 6[к + 2&1 + 2кг + кз], п = 0,1,...,

ко = /(Хп, и), к1 = /'Хп + 2 tn + 2^, (21)

кг = /' Хп + '2", tn + к), кз = /(Хп + кг, и + к).

К распространенным многошаговым методам относятся методы Адамса-Башфорта различного порядка точности. Двухшаговый метод второго порядка точности ( р = г) представляет собой:

Хп+1 = Хп + 2 [з/ (Хп, и)— /(Хп —1, и—1)], п = 0,1,... ■ (22)

Четырехшаговый метод четвертого порядка точности ( р = 4):

Хп+1 = Хп + 24[55/(Хп,4) — 59/(Хп—1,4—1) + 37/(Хп—г,4—г) — 9/(Хп—з,^—з)], п = 0,1,.... (23)

Оба этих метода являются одностадийными и явными. К неявным относится многошаговый метод Адамса-Мултона четвертого порядка точности (р = 4):

Хп + 1 = Хп + гк4 [9/ (Хп + 1, и + 1) + 19/ (Хп, и ) — 5/(Хп —1, и —1) + /(Хп—г, к—г)], п = 0, 1,... ■ (24)

На практике широко используется объединение явной и неявной формул в так называемый метод прогноза и коррекции, один из таких распространенных методов получается при объединении методов Адамса четвертого порядка (23) и (24).

Наряду с упомянутыми методами существуют более сложные численные методы Ших-мана, Гира, Батчера, Нерсета, Фельберга, Дормана-Принса, Розенброка [7-13] и др.

Вместе с тем большинство используемых численных методов базируется на их применении к стандартизованным формам записи дифференциальных уравнений процессов в электротехнических комплексах, а именно: либо в форме системы уравнений второго порядка (2), либо, чаще, в форме системы уравнений первого порядка (8) (нормальная форма Коши).

Поскольку моменты переключения дискретных элементов, как уже отмечалось, в общем случае неизвестны и должны быть определены в процессе расчета. Методам, способам и приемам их определения уделяется большое внимание.

Традиционный подход в этом вопросе заключается в создании отдельного блока в общем алгоритме расчета. Этот блок обеспечивает выполнение следующих функций: расчет токов и напряжений на дискретных элементах в каждый момент времени на участке непрерывности; определение на этот момент состояния дискретных элементов (открыт, закрыт); определение моментов переключения дискретных элементов; определение значений переменных состояния в момент переключения дискретных элементов.

Один из приемов определения моментов переключения дискретных элементов сводится к использованию интерполяции. Определив состояния дискретных элементов в п-й момент времени, их сравнивают с состояниями дискретных элементов в (п - 1)-й момент.

Если различается состояние хотя бы одного дискретного элемента, на основе интерполяции рассчитывают момент переключения. Этот момент отождествляют моменту перехода тока дискретного элемента через ноль (рис. 11).

+ + I 1п— 1] 4 4—1} (25)

Ьком — *п — 1 + • • • \ /

Ьп — 1 ЬП

Если на интервале [4—1, tn ] меняют свое состояния несколько дискретных элементов, то за истинное время переключения и<,м принимают наименьшее значение из рассчитанных по (25) 4ом. Однако считается, что происходит изменение состояния только у дискретных элементов, расчетное время переключения которых отличается от иом не более чем на некоторое заданное значение Дtk. При численной процедуре решения уравнения (8) Дtk принимают равным минимальному шагу интегрирования.

Далее, используя интерполяцию, находят значения переменных состояния на момент Ъом, расчет далее продолжается с этого момента с новых начальных условий, используя стартовый алгоритм численного метода. Необходимо заметить, что интерполяционная процедура, используемая для расчета момента переключения дискретных элементов и для расчета переменных состояния, должна быть согласована с методом численного интегрирования.

Таким образом, традиционные методы моделирования электротехнических комплексов с дискретными элементам содержат следующие характерные особенности: упрощенное, учитывающее лишь основные эффекты отражение процессов в технологической части; запись уравнения динамики либо (наиболее часто) в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме Коши, либо (в некоторых случаях) в форме системы дифференциальных уравнений второго порядка; определение моментов переклю-

чения дискретных элементов выделяется в отдельную задачу решения трансцендентных уравнений переключений; методы решения уравнений динамики основаны на приведении этих уравнений к стандартной форме записи, либо в форме дифференциальных уравнений второго порядка, либо в нормальной форме Коши.

Наряду с описанным выше традиционным подходом к моделированию электротехнических комплексов с дискретными элементами, постоянно происходит совершенствование как форм записи уравнений динамики, так и методов их решения, включая методы определения моментов переключения дискретных элементов. Основными направлениями указанного совершенствования являются следующие.

1. Учет взаимосвязи и взаимодействия отдельных подсистем электротехнического комплекса и “увязка” их в единую систему, охваченную едиными динамическими процессами.

2. Учет нарастающего количества физических эффектов, которыми при современном уровне развития производства и потребления энергии пренебречь оказывается невозможно.

3. Построение совокупной итоговой математической модели электротехнического комплекса в форме, в максимальной степени исключающей дополнительные трудоемкие процедуры обращения матриц, решения нелинейных алгебраических уравнений и т.д., которые всегда необходимы для сведения уравнения динамики к стандартизированным видам (нормальной форме Коши, дифференциальным уравнениям высокого порядка).

4. Построение проблемно-ориентированных численных методов, которые применимы к исходным уравнениям динамики электротехнического комплекса без их сведения к упоминавшимся выше стандартизированным формам.

5. Построение численных методов с такими свойствами, когда предусмотрен учет больших частот и большого разброса постоянных времени, вызванных наличием подсистем различной природы с различным темпом протекания переходных процессов, а также предусмотрены процедуры, позволяющие автоматически определять моменты переключения дискретных элементов в процессе расчета.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аветисян Д. А. Автоматизация проектирования электрических систем. - М. : Высш. шк., 1998. - 330 с.

2. Андреева Е. Г. Математическое моделирование электротехнических комплексов: монография / Е. Г Андреева, В. З. Ковалев; под ред. Ю. З.Ковалёва. - Омск : ОмГТУ, 1999. - 172 с.

3. Демирчян К. С. Моделирование и машинный расчет электрических цепей / К. С. Де-мирчян, П. А. Бутырин. - М. : Высш. шк., 1988. - 355 с.

4. Ковалев В. З. Классификация математических моделей электротехнических комплексов при глубокой взаимосвязи динамических процессов отдельных подсистем // Динамика систем, механизмов и машин : тез.докл. Междунар. науч.-техн. конф. - Омск, 1995. - Кн.1. - С. 13.

5. Ковалев Ю. 3. Построение иерархического набора математических моделей электромеханических преобразователей / Ю. 3. Ковалев, В. 3. Ковалев, В. В. Марголенко // Динамическое моделирование сложных систем : тез. докл. Всесоюз. науч.-техн. конф. - М., 1987. - С. 163-164.

6. Фисенко В. Г. Расчет переходных процессов электромашинно-вентильных систем. - М. : МЭИ, 1999. - 48 с.

7. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений : нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. - М. : Мир, 1990. - 511 с.

8. Холл Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Дж. Холл, Дж. Уатт. - М. : Мир, 1979. - 312 с.

9. Чабан В. И. Методы анализа электромеханических систем. - Львов : Высш. школа, 1985. - 189 с.

10. Чабан В. И. Математическая модель каскада трансформатор-преобразователь двигатель постоянного тока / В. И. Чабан, В. В. Самотный // Преоб. техн. в электроэнер., техн. установках и электроприводе : тез. докл. Республ. шк.- семин. молод. учен. и спец.

- Киев, 1988. - С. 50.

11. Gear C. W. Multirate linear multistep methods // BIT 24. - 1984. - Р. 484-502.

12. Gear C. W. Numerical initial value problems in ordinary differential equations / C.W. Gear.

- New Jersey, 1971. - 259 с.

13. Lambert J. Computational methods in ordinary differential equations. - London - NewYork

- Sydney -Toronto : J. Wiley & Sons, 1973.