CC BY
34
ВЕСТНИК
ПРИАЗОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2000 г. Вып.№9
УДК 537. 851.001.5
Гейзер А. А.1, Гейзер О. А.2
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГЕНЕРАТОРЕ ИМПУЛЬСОВ НА ОСНОВЕ ИНДУКОНА
На базе основных уравнений теории электромагнитного поля получено дифференциальное уравнение, описывающее электромагнитные процессы в низкочастотной колебательной системе с распределенными параметрами - индуконе. При этом использовались также выражения многофакторной электродинамики. В работе приводится решение полученного уравнения для упрощенной схемы электропитания магнитно- импульсного устройства, которая в своей основе содержит инду-кон. Сравнение теоретических и экспериментальных результатов дает хорошее совпадение, что свидетельствует о правильности полученных уравнений.
В настоящее время в схемах электропитания различных устройств находят применение индуконы, т.е. такие устройства, которые построены на основе энергетических колебательных систем с распределенными параметрами. Будем называть в качестве таковых системы, в которых циркулирует энергия порядка от нескольких десятков Джоулей и более, и обкладки конденсатора колебательного контура служат одновременно в качестве витков катушки индуктивности. Выше названные колебательные системы находят применение в схемах генераторов, служащих для электропитания различных установок [1 - 5], которые будем называть магнитно-импульсными устройствами (МИУ), в связи с чем возникает задача расчета таких систем.
Для составления уравнений, описывающих электромагнитные процессы в схемах электропитания МИУ, рассмотрим упрощенную принципиальную схему на основе индукона, представленную нарис. 1, где будем считать, что верхняя обкладка конденсатора заряжена положительным электрическим зарядом, а нижняя - отрицательным. При замыкании ключа К по пластинам начинают течь токи Д и 12, направление которых показано на рис.1. Выберем для удобства проводимого анализа декартову систему координат и направим оси х, у, г так, как показано на рис. 1,2.
Вывод уравнений для зарядов и токов, к Считая пластины бесконечными плоскостями, и пре-
небрегая током смещения, находим:
Мй I
О;
" =3
| Й dl = I, откуда Н 2а = I, или В = ¡и0 Н =
2 а
Здесь Н - напряженность магнитного поля, создавае-Рис. 1 - Схема электропитания мая током I протекалощим по элементу контура длиной
МИУ на основе индукона dl \ъ.- ширина пластин индукона; В - индукция созда-
ваемого магнитного поля; /л0 - магнитная постоянная.
Используя эти выражения, определяем величину индукции магнитного поля Ву между
пластинами, учитывая при этом направление векторов индукции магнитного поля В в пространстве между ними, создаваемых токами 15 и Ь, (рис. 2)
В, = ^(1,-1,). (1)
1111 "ГУ, канд. техн. наук, доцент
2111 ТУ, специалист, аспирант
Выбирая гауссову поверхность в виде бесконечно тонкого параллелепипеда длиной и считая поток напряженности электрического поля Ег через боковую поверхность равным О, находим:
{ Д, сЬ = е0 Е„ 2а = откуда Е„ = —= . 3 е0 2а аг 2 е0
Где Оп - нормальная составляющая индукции электрического поля; си - бесконечно малый элемент заряженной поверхности пластины; е0 - электрическая постоянная; Еи- нормальная составляющая напряженности электрического поля; dq - элемент заряда пластины; ст - поверхностная плотность заряда пластины индукона. Напряженность поля Ех между пластинами получим по принципу суперпозиции
Рис. 2 - Поперечный разрез индукона
Е =---— (ах + о Л.
2еп v 1 2>
(2)
В(1)и(2)1и а зависят от координаты г и от времени 1
^ дВ,
Интегрируя уравнение закона электромагнитной индукции [6] roí Е = -
дВ
дг '
площади ограниченной контуром, изображенным на рис. 1 и преобразуя, получим:
ди ^В
+ 1 хгх -12г2 = Естор+А-
по
(3)
д1 , . < , схор д1
где и = Ь Ех -напряжение между пластинами в точке с координатой г в момент времени X, рх - удельное сопротивление материала 1-ой пластины, /, - плотность тока в первой пластине, (Жх
1"х - —;— сопротивление единицы длины 1- ой пластины Аналогичные обозначения имеют аг
соответствующие параметры, отнесенные ко 2- ой пластине Подставляя в (3) выражения (1) и (2), получим:
2е,
о V
да, да, -- +-
dz dz .
+ Vi -12^ = Есгор+
2 а
Из закона сохранения заряда (уравнения непрерывности) Л\> у =
деления зарядов и токов на пластинах (учитывая, что только ]г Ф- 0), следует
д\2 di,
dt dt
dp
dt dt
дах _ dix di dz
да
dt
г
dz '
(4)
[7] для распре-
(5)
• h где ix= —
а
/2 = — - линейные плотности токов на пластинах. а
Дифференцируя (4) по времени и учитывая (5) получим
/д212 чдг2
где с ■■
д21л - '
дг
1
2с'
д212 g0агх д\х ейаг2 д\2 _ е0 а
dt2 dt2 J h ~dt h dT~~h dt~
(6)
- - скорость распространения электромагнитных волн.
Л Iй о
Полученное нами уравнение (6) описывает электромагнитные процессы в схемах электропитания МИУ на. основе индукона и является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных с постоянными коэффициентами.
Начальные и граничные условия. Для рассматриваемой схемы, начальными условиями, как видно из рисунка 1, являются: 11(2,0) = 1? (г,0) = 0, и(г,0) = ист.
Соответственно граничные условия запишутся £ виде: 11 (Од) = 0; 12 (¿Л) = 0; I] (¿Д) = ^(ОД). ¡1 и 12 должны быть периодическими функциями по ъ, так как используется приближение бесконечных пластин, а на самом деле длина пластин конечна. Период не может быть равен I, так как в этом случае будет Ь (ОД) = = 0 и 12 (ОД) = II (£Л) = 0, т. е. не будет перетекания зарядов с 1-ой пластины на 2-ю и обратно.
Удовлетворить граничным условиям можно, предположив, что 12(гД) = \\{1-г,Х) (при этом должно быть Г! = г2). Тогда I) и 12 можно разложить в ряд Фурье
w А К • (2и + Х)лг А. . (2и + 1)ят
и п 2£
п=-ао л=0
т/ А • (2Л + 1 )л.. ч А 1Ч„. (2и + 1)тгг
и=-со и=0
II - разлагается только по синусам, так как I] (Од) = 0. Подставляя (7) в (6) получим при Г1 = г2 = г
1 ^ V/ Л» Л, А /л (2п+1)тгг 1 л2 ^ 1Л2 А /Л . (2п+\)лг
(2" + 1) А"(/)С°5 21 + 2 ) 2/ -
2} 2£ 2с2 ¿Й 2£ И % 2£
'±(-1Y 1 COS(2n+l)7rZ = izfifbzL'.
> 1 О U Ai
h 2£ h dt
Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решим вначале
однородное уравнение, для чего приравняем к нулю его правую часть.
. (2п + \)лг (2п + Х)лг Собирая коэффициенты при sin--—- и cos-—- в однородном уравнении
и учитывая линейную независимость sin и cos получим
1 V £п аг* 1 л2
2cz h 2 4£ } п
или
•• •
А„ + 2/?А„ +<а2 Аи = 0, (8)
0 е0с2аг аг л с, ,ч . ,, где р =---=-; соп =-(2я + J); А ДО] = 0 - чтобы удовлетворить начальным уело-
/? pt q h
виям.
Составим характеристическое уравнение
Я2+2рЛ + 0)2„ = 0,
решением которого является выражение
х = -Р±4Р2-со2п.
Результат решения зависит от соотношения Р и ov Здесь возможны 3 случая: 1 случай, когда р > ш„, 2 случай, когда Р = ю„, и 3 - ий случай, когда Р < шп, представляющий наибольший практический интерес для схем питания МИУ. Для 3- его случая имеем
аг лс
<
(2п +1), откуда п> —
/
2аг£ _
/л0И 2£ 2 улju0hc
Тогда
Ап=е~'п(апвтПп1 + Ь„со&Пп(). Используя начальные условия Ап (0) = 0 находим что Ьп = 0. В этом случае окончательно имеем
Ап=апе~<" 8тП„Г (9)
где П„ = л]й)2„ - р2 - собственная частота колебаний индукона.
Подставив (9) в (7) получим законы изменения токов в пластинах индукона
(2п + 1)ят
= ^Гапе~1П sinQnt sin-
и=0
I2(z,0 = Z(-l)4^'siníV eos
21 ' (2« + X)nz
(10)
21
í
Рис. 3 - Картина Рис. 4 - Картина
силовых линии конденсатора индукона до включения ключа К
силовых линии конденсатора индукона после включения ключа К
Отыскание амплитуды тока. Из выражений (10) видно, что в них неопределенной остается величина амплитуды колебаний а«. Для ее определения подставим величины (10) в неоднородное дифференциальное уравнение (6). При этом предварительно сделаем следующие замечания. В правую часть выражения (6) входит частная производная от напряженности стороннего поля. Для ее нахождения выразим, прежде всего, саму величину напряженности стороннего поля. Ее появление связано с тем, что в результате замыкания ключа К (смотри рисунок 1) возникает тангенциальная составляющая электрического поля конденсатора индукона, которая и будет являться той самой сторонней напряженностью, под действием которой происходит движение электрических зарядов по пластинам индукона. Наглядно это можно схематически изобразить в виде картины силовых линий напряженности поля конденсатора до включения ключа К и после его включения - рисунки 3 и 4.
До включения ключа поле конденсатора однородно (краевыми эффектами пренебрегаем) и изображено на рисунке 3. В этом случае силовые линии перпендикулярны пластинам конденсатора и никакого движения зарядов не будет. После включения ключа, нижний левый конец пластины (см. рисунок 1) приобретает положительный потенциал и силовые линии начинают смещаться вправо, примерно так, как показано на рисунке 4. В результате такого смещения, на пластинах индукона появляется тангенциальная составляющая и по ним начинает протекать электрический ток. Величину этой составляющей, согласно рис. 4, можно определить по формуле
Естор=Ее"/г' sin Q„t , (П)
где Е - напряженность электрического поля между пластинами индукона в момент времени равном нулю.
Наличие множителя ' в выражении (11) обусловлено тем, что с течением времени амплитуда колебаний в индуконе уменьшается а, следовательно, уменьшается и напряженность стороннего поля.
Естественно, что наличие напряженности стороннего электрического поля подтверждается экспериментально. Так, например, при снятии осциллограммы напряжения между противоположными концами одной из пластин индукона видно, что до замыкания ключа К (см. рисунок 1) разность потенциалов равна нулю, а после его замыкания она становится равной Ucm и изменяется во времени по синусоидальному закону.
В выражения (10) и (11) входит множитель е ~fu , величина которого зависит от постоянной Р и времени t. Так как амплитуда колебаний определяется в момент времени t —¥ 0, следовательно, величина коэффициента e'pt «1 и его можно рассматривать как некий постоянный множитель. С учетом замечаний изложенных выше, неоднородное уравнение (6), при подстановке в него величин (10) будет иметь вид
1 к » / lW„ лг . _ ^ (2w + l);rz 1 тг »/. ,42 • ~ , • {2п+\)лг --г£(~1) (2л + 1) a, siniVfcos---— +-гЕ(2« + 1) smfV sin —---+
+ —-У(-1) П„а„ sinO i cos-------Т Q2o sinf2„ism-----
2c я=о 7 " " " 2t 2c2„To " " " 2*
f0ar » л „ . (2w+lWz s^ar ^ л (2я + 1)ttz ^а^Естор л.ч
cosO / sin---— + ——Y. (-1) a cosO t cos ---— = -5-—. (12)
h to " " " It h »=o " 2i h dt K '
Значение правой части выражения (12) найдем путем дифференцирования формулы (11)
Б (Л
по времени, в результате получим: Cln Е cos CIni .
h
В момент времени t —>0 выражение (12), с учетом значения его правой части, будет иметь
вид:
s0ar
J2, . (2п + \)лг е0аг « , Л (2п+\)лг s0a
I &„<** sin --—----1) Ппап cos-^—-f— = -f- Г2„ Е.
И „=о 2£ к ^о 2£ И
Для координаты г —>0 последняя формула запишется следующим образом:
» \ / п п I п
п п-0 п
Для первой гармоники, т.е. при п = 1, получим
И " И Откуда найдем амплитуду этой гармоники
Е г
Выразим её через напряжение между обкладками индукона в начальный момент времени 11ст
= ~~ ■ (13)
пг
По формуле (13) можно определять амплитуды токов не только первой гармоники, но и всех остальных, так как на всех частотах индукон представляет собой колебательный контур, который в режиме резонанса обладает только активным сопротивлением [8]. Естественно, что для каждой гармоники в выражении (13) должна фигурировать своя амплитуда напряжения ист.
Подставляя в формулу (10) полученное значение амплитуды из (13), окончательно определим законы изменения токов в пластинах индукона
1,(х.О-¿^.""йпП./
- 2( (.4)
! ' Д Лг 1 ' " И
Определение законов изменения напряжения. Найдем законы изменения напряжения между пластинами индукона. Для этого воспользуемся выражениями (14), подставив их в (5). Проведя соответствующие преобразования, получим выражение для законов изменения напряжения между пластинами индукона
00 TJ
U(z,t) = £-£=«?->" (y9sin£V+n„cosiV)
n=О П_
(2n+\)nz , . (2n+\)nz cos-----(-1) sin-
(15)
2£ 21 Экспериментальные исследования, проведенные на макете пылеуловителя выполненного в виде индукона и возбуждаемого на частоте первой гармоники, показали правильность полученных в настоящей работе результатов, так как наблюдается совпадение расчетных и опытных
данных. Однако для практического использования предложенной методики расчета схем питания МИУ на основе индукона, необходимы уточнения учитывающие, например, влияние конструкции и используемых электротехнических материалов на параметры возбуждаемых колебаний, в связи с этим необходимы дальнейшие исследования, которые могут быть предметом самостоятельной работы.
Выводы
Использование уравнений многофакторной электродинамики позволило составить довольно простое уравнение, описывающее электромагнитные процессы в схемах электропитания магнитно- импульсных устройств на основе индукона.
Решение полученного уравнения показало, что оно достаточно правильно описывает процессы, протекающие в индуконе, о чем говорит сравнение теоретических и экспериментальных результатов.
В результате экспериментов нашлось подтверждение наличия напряженности стороннего электрического поля, которую необходимо учитывать при анализе процессов в индуконе, что и было сделано ранее в [6] в виде введения дополнительного члена в уравнение закона электромагнитной индукции.
Перечень ссьиюк
1. А с 943617 СССР, МКИ G 01 R 33/12. Устройство возбуждения электромагнита.
2. А с 1465114 СССР, МКИ В 03 С 3/00. Устройство электропитания пылеуловителя.
3. А с 1252202 СССР, МКИ В 60 М 7/00. Устройство электроснабжения для высокочастотного транспортного средства.
4. Волков И. В , Закревский С. И. Преобразователь с распределенными параметрами для стабилизации тока в переменной нагрузке. //Электричество. - 1984. - N 10. - С. 40 - 43.
5. А с 181753 СССР, МКИ 21g, 36. И 05 h. Электромагнит бетатрона на энергию до 10 Мэв.
6. Гейзер А. А. Использование некоторых выражений закона электромагнитной индукции. // Электричество. - 1996. - N 10. - С.73 - 76.
7. Гейзер А. А. Закон сохранения заряда в классической электродинамике. //Вестник Приазов. гос. техн. ун - та: Сб. науч. тр. - Мариуполь, 1997, - Вып. 3. - С. 261 - 263.
8. ЗерновН. В. Карпов В. Г. Теория радиотехнических цепей. - М,- JL: Энергия. - 1965,- 892 с.
Гейзер Альфред Альбертович. Канд. техн. наук, доцент кафедры физики, окончил Томский институт радиоэлектроники и электронной техники в 1968 году. Основные направления научных исследований - применение импульсных электромагнитных полей в промышленности; электродинамика.
Гейзер Олег Альфредович. Аспирант 111 ТУ, окончил Приазовский государственный технический университет в 1999 году. Основные направления научных исследований - теплофизика, автоматизация и экология тепловых агрегатов в металлургии.
