Электромагнитное поле в метрическом тензоре общей теории относительности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.3

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В МЕТРИЧЕСКОМ ТЕНЗОРЕ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

А.П. Будехин

В статье рассмотрены некоторые теоретические аспекты зависимости метрического тензора в ОТО от потенциалов электромагнитного поля. Показано, что при этом из уравнения Эйнштейна вытекают уравнения Максвелла.

Ключевые слова: метрический тензор, общая теория относительности, электромагнитные потенциалы, уравнения Эйнштейна и уравнения Максвелла.

Часть I

Рассмотрим воображаемый эксперимент, предложенный Аароновым и Бомом [1], в котором электроны испытывают дифракцию на двух щелях (рис. 1).

I и.-"" I 1 3 \ 1 !//2 \! ' і

її і

1 1 I і\ 1 4 1

Рисунок 1.

1. -источник;2. -щели;3. -детектор;4. -соленоид

Частицы одинаковой энергии, испущенные источником, проходят через экран с узкими щелями. За экраном расположен поглотитель электронов с подвижным детектором, который измеряет частоту попадания £ (х) электронов в небольшой участок поглотителя на расстоянии х от оси симметрии. Частота зависит от местоположения детектора и пропорциональна вероятности того, что отдельный электрон, вылетевший из источника, достигнет этого участка поглотителя. Очевидно, что при этом будет наблюдаться картина, объясняемая интерференцией двух амплитуд по одной от каждой цели. При равной амплитуде разность фаз 8 0 = ф1 - ф2 определяет интерференционную кривую £ (х).

Допустим, что опыт со щелями проводится в магнитном поле. В этом случае, согласно Ааронову и Бому, должно действовать следующее правило: магнитное поле изменяет фазу на величину, равную интегралу от векторного потенциала вдоль траектории движения электрона: Математически это выглядит так:

ф1 = ф1 (В = 0)+ д| А

1

ф2 = ф2 (В = 0) + q| А

где

8 = ф1 (В = 0) -фаза волны, бегущей по траектории (г) без магнитного поля, д-заряд

электрона.

Интерференционная картина в этом случае определяется разностью фаз 8 = ф1 (В = 0)-ф2(В = 0) + д |А ё£= 80(В = 0) + д |А

1-2

1-2

где : 8 0 = ф1 (В = 0)- ф (В = 0) и разность двух интегралов заменена интегралом по замкну-

той траектории. (1-2).

Отсюда следует, что кривая £ (х) сместится при наложении магнитного поля. Эксперимент, подтверждающий правильность вышеизложенного, был поставлен Чамберсом [2]. Причем, в его опыте в области движения электронов поле было задано очень тонким соленоидом таким образом, что магнитная индукция равнялась нулю, присутствовал лишь векторный потенциал А, . Поэтому отпадает возможность интерпретировать смещение картины

за счет силового воздействия магнитного поля на движущиеся электроны.

Как можно объяснить результаты данного эксперимента? Возможно такое объяснение: геометрия пространства зависит от электромагнитного поля. Включение электромагнитного поля приводит к деформации пространства и, следовательно, к смещению интерференционной картины.

Так как за геометрию пространства- времени отвечает метрический тензор gm , то

вполне логично предположить, что он зависит от векторного потенциала электромагнитного поля

В первом приближении рассмотренный эффект можно учесть вводя в метрический тензор аналогично гравитационному потенциалу члены, зависящие от векторного потенциала А,, :

&

q

\2

Ат

V

(2)

г тс

У

где: , =1,2,3, О- гравитационная постоянная, М и т некоторые массы, д - электри-

ческий заряд, с- скорость света.

Из (2) при вычислении разности фаз в первом приближении по Аполучается (1).

Аналогичным образом объясняется изменение фазы под влиянием электрического поля равное дф ё 1 - зависимость компоненты метрического тензора gm от скаляр-

ного потенциала электрического поля:

& 00

2

(3)

г тс

V У

Интерпретируя таким образом эксперимент Аароннова и Бома, можно пойти дальше, обобщив (2) и (3) следующими выражениями:

& тт

& 00

2

г

тс

2

тс

2

г

тс

2

+

Отсюда становиться понятным появление членов с электромагнитным потенциалом в уравнениях теории поля. Рассмотрим, например, уравнение Дирака, воспользовавшись связью матриц с метрическим тензором:

іі+іі = 2qmnI (5)

где I - единичная матрица

Э

і----т (по т нет суммирования, , =1,2, 3), входящий в уравнение Дирака, распи-

Член

Эх

шется с учетом (4) и (5) так:

іИ

э

Т-^Ат Т + с

= тТ

(6)

здесь

70, - обыкновенные матрицы Дирака.

Замена во втором члене выражения (6) оператора нием тУ, даёт:

іИ

э

Эх,

его собственным значе-

іИ

Э

тТ

(7)

При выводе (7) использовалась формула Так же просто получается и член ^ р

А, = %

(8)

Рассмотренный пример позволяет сделать ещё один вывод: при получении уравнения поля из принципа экстремума действия в лагранжиан не следует вводить члены с электромагнитными полями, так как это приведёт к двойному учету этих полей. Например, в

2д

уравнении Дирака получается члены

Ат , что неверно.

Таким образом, приняв соглашение, что метрика содержит члены с электромагнитными векторами потенциалами, приходится встать на путь единой теории поля. Так как в этом случае остаётся лишь одна система уравнений для метрического тензора, которой подчиняются и гравитационные и электромагнитные поля. Пусть это будет система уравнений Эйнштейна-Гильберта. Следовательно, из неё при некоторых предположениях должны получаться и уравнения Максвелла. То есть уравнения Максвелла должны быть заложены в уравнениях Эйнштейна-Гильберта и вытекать из них, потому что метрический тензор содержит члены с электромагнитным векторным потенциалом.

Удобно исследовать этот момент, положив нулю в метрике члены гравитационного поля и считая электромагнитные поля слабыми доопределить g , 0 так:

gт0 » А (9)

^ тс

В этом случае, в качестве приближения для уравнений Эйнштейна- Гильберта с нулевой правой частью получаются уравнения [4] Максвелла:

ШуЕ = 0

гоИ-— = 0

Эt

(10)

Нужно отметить, что (10) получается лишь при выполнении гармонических координатных условий:

с

Эх0

=0

(11)

(12)

Рассмотрим эти условия в приближении слабого поля:

<іа.Ь = Ла/З + ИаЬ

где: л00 =1; л0і = 0;лу- = -£у-

где Иар - функции координат, абсолютные значения которых малы по сравнению с единицей.

Из (11) и (12) получаются такие уравнения:

И = И = И = И

Г1П "22 '*30 1144

—И = 0 Эxi ;

Из (11 ) с учётом (4) при ]=0 - следует [4].

То есть, условие калибровки Лоренца. При ]=0 полагая к ^ получим:

ЭА

Эxi

=0

(12а)

Э

-АЛ = Л1 — = 0 дхг 1 1 дх1

То есть, тоже самое, что и (12а)

Алгебраическое условие (11), как это видно из (4), так же выполняется.

Следовательно, для того, чтобы из уравнений Эйнштейна-Гильберта вытекали уравнения Максвелла, необходимо, чтобы в первом приближении метрический тензор имел вид:

q

1 +

тс 2

q

qр

тс

q

тс

А

q

тс

2 А2

q

2 А3

V

тс

АА 2 4 А1А2

т с

тс

АА т2с4 А1 А3

тс

q

2 А2

А

тс

23

V

-^АА 2 4 А2 А3 т2с4

q А1А3

2 4

тс

1 +

qр

2

тс

q

2 А2 А3

т 2 с 4

~^АА 2 4 А2 А3 т2с4

V

тс

У У

и выполнялось условие:

ЭА

Эxi

(13)

При таком определении метрического тензора уравнение геодезической содержит си лу Лоренца [4]

Iх=\е,ь -+н ]у}

где: £ = с1

и0+\иv\J ра+...

тс

(14)

0

Внешний вид метрического тензора (13) вызывает вопросы, ставящие под сомнение разумность полученных результатов:

а) в тензоре есть члены, зависящие от обратной величины массы, что это за масса;

б) наличие различных масс и зарядов у разных тел приводит к тому, что для различных тел оказывается различной метрика пространства-времени.

На самом деле это так. Рассматриваемая концепция по существу сводится к геометродинамическому подходу, то есть к толкованию динамических эффектов, как к проявлению некоторой сложной геометрии пространства и времени. А раз, так, из того факта, что разные физические объекты взаимодействуют по разному, следует, что для них геометрия будет различной. Так, например, для нейтрального тела метрика будет диагональной, а для заряженного тела - нет.

Тут как бы происходит появление дополнительной степени измерения без ввода такой на самом деле.

Масса, стоящая в знаменателе, соответствует массе тела, для которого вычисляется метрика. То есть, это тело считается движущимся в некоторых внешних гравитационных электромагнитных полях, задаваемых соответствующими потенциалами. Понять (13) можно рассуждая следующим образом. Можно охарактеризовать некоторую область пространства с полевой точки зрения, определённой функцией от таких величин, как энергия, импульс, момент количества движения, спин. Так как энергия самая существенная из них, то в первом приближении по видимому достаточно ограничиться только ей. Таким образом, метрика в данной точке пространства в первом приближении зависит от энергетических характеристик этой точки, то есть от полной энергии, которая в свою очередь зависит от взаимодействия с окружающей материи.

gMV )= gMV (Т"му ) (16)

где Т -тензор энергии импульса.

Так как g -безразмерная величина, обращающаяся в 1 при отсутствии взаимодействия, то разумно предположить следующую зависимость:

§му (а) = §му

ГБ +Е Л

пот соб

Б

соб

(17)

где: Бсоб Бпот - собственная, потенциальная энергия малой области, окружающей

X.

(17) хорошо согласуется с (13). Отсюда как раз и получается, что метрика зависит от того, какое тело находится в данной точке, так как энергия точки зависит от взаимодействия этого тела с окружающей материей. А, так как

Е =тс , то понятно происхождение члена в знаменателе величин, входящих в метрических тензор. Это масса тела, находящегося в той точке пространства, где определяется метрика. Если сдвинуться чуть в сторону от траектории движущегося заряженного тела, то этот член исчезнет, но останется поле, создаваемого этим телом в точке наблюдения. Таким образом, при перемещении заряженной частицы, она изменяет метрику вдоль траектории.

Заключение

Исходя из вышеизложенного можно констатировать, что предположение о зависимости метрического тензора от потенциалов электромагнитного поля приводит к следствиям:

1) метрический тензор не является диагональным,

2) уравнение Энштейна-Гильберта содержит в себе уравнение Максвелла,

3) уравнение геодезической линии, являющейся в римановой геометрии аналогом уравнения Ньютона, содержит в себе силу Лоренца,

4) Как будет показано в следующей статье недиагональность метрического тензора приводит к расслоению четырёхмерного пространства-времени на 3 подпространства:

а) 3+1 мерное пространство, которое мы ощущаем нашими органами чувств,

б) тонкое пространство-времени, определённые образы которого могут наблюдать экстрасенсы,

в) сверхтонкое пространство без времени, недоступное, по видимому, никому.

5) пункты 2 и 3 позволяют рассматривать данный подход как некоторый шаг на пути к единой теории поля.

The paper is devoted to considering some theoretical aspects related to dependence of metrical tensor in general relativity theory on electromagnetic field potentials. It is shown how Einstein equations imply the Maxwell equations.

The key words: metrical tensor, general relativity theory, electromagnetic field potentials, Einstein equations, Maxwell equations.

Список литературы

1. Aharonov Y., Bohm D., PHYS.Rev., 115,485 (1959) см. так же Кемпфер Ф. Основные положения квантовой механики стр. 201-205. Мир М 1967.

2. ChambersR.G., Phys. Rev. Letters, 5, 3 (1960).

3. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс Н. Феймановские лекции по физике т.6. стр. 18-22 Мир.М. 1966 г.

4. Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности. стр. 154. Наука. М. 1969 г.

Об авторе

А.П. Будехин - ст. преподаватель, Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, dodzo@yandex.ru