CC BY
8
УДК 624.074: 539.3 Аунг Зо Лат,
аспирант кафедры «Теоретическая механика» МГУПС (МИИТ)
Мещеряков Владимир Борисович,
д. т. н., профессор, профессор кафедры «Теоретическая механика» МГУПС (МИИТ),
89636226158, 84956114586, e-mail: [email protected]
ЭКСЦЕНТРИЧНЫЙ ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР МАССИВНОГО
ТЕЛА ПО КОЛОННЕ
Aung Zaw Latt, V.B. Meshcheryakov
ECCENTRICAL LONGITUDINAL IMPACT OF A MASSIVE BODY ON THE COLUMN
Аннотация. Рассмотрена задача продольного упругого удара при двухосном эксцентриситете. Определение параметров контактной силы выполняется на основе теории Герца. Нелинейное интегральное уравнение решается численным методом Эйлера. Пространственные колебания стержня после удара рассматриваются с учетом сформировавшихся к этому моменту времени начальных условий. При описании изгибных и крутильных колебаний учитываются деформации сдвига.
Ключевые слова: эксцентричный продольный удар, теория Герца, деформация сдвига.
Abstract. The problem of the longitudinal elastic impact under biaxial eccentricity is considered. The parameters of contact force are determined using Hertz's theory. Nonlinear integral equation is solved numerically by Euler 's method. The spatial rod oscillations after impact are sought as a solution of the respective initial value problem. The model of bending and torsional motion takes into account the possible shear deformation.
Keywords: eccentric longitudinal impact, Hertz's theory, shear deformation.
Рассмотрим продольный удар массивного тела, падающего с некоторой высоты на колонну (рис. 1) при наличии эксцентриситета ex в плоскости наибольшей жесткости ZOX и эксцентриситета e„ в плоскости ZOY. В точке удара благодаря де-
У
планации возникает секториальный эксцентриситет:
е = е • е .
Ю У X
Поведение колонны (тонкостенного стержня с двумя плоскостями симметрии) описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. Изгиб и кручение рассматривается с учетом деформаций сдвига [4]. Продольное движение вдоль оси Z:
, d2 щ , d2 ып EA —± - pA —^ = 0
dz ^
дt'
(1)
Рис. 1. Расчетная схема; поперечное сечение Изгиб в плоскости наибольшей жесткости
ZOX:
EI
д ф д2ф —^ - pI —ф . ,
y dz2 Py dt2 " y
■ + GAfxx У y = 0,
GAfx
д2у д2у д2 ф
xx *-pA Ж-pA—=0
дг2
SÜ-
Sz
= У y +ф y .
Изгиб в плоскости ZOY:
EL^-Pix^ + GAf ух = 0,
dz2
д t2
GAf д2Ух-pA^=0
GAfyy dz2 pA dt2 pA dt 2=0,
S^y dz
= У x + Фх •
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
Кручение вокруг продольной оси Z:
EI,
dz2
- GId Фи-Р10
дФ
d 12
+ GAfrarayra= 0 (8)
Системный анализ. Математика. Механика и машиностроение
ш
дг2 РА а2 РА %2 " '
дг
-УИ+ФИ.
(9)
(10)
т
2/3
и2(0, t) -
1
РАс0
псп
ехр| _у—t Iх
Ч ю t
I P(x)dx + 2 £ ( _1)п | Р(т^т
,0 п = 1 пР
2L
2 фх _2 „ С
2
cl
с
0,2-5 Фх+^-Ух =0, дх гх
П,
'х Л „2
2~ 2
—8 Ух-5 Фх =0;
= Ух+Фх-
фх(г) = Аехр^), ~{(ъ) = ВехрО.г).
Подстановка этих выражений в уравнения (13) приводит к характеристическому алгебраическому уравнению:
Контактная сила при ударе определяется из нелинейного интегрального уравнения, составленного на основе теории Г. Герца [6]:
(х2 )(к2 _х2)
2 2 ЦхГх
- 0.
(15)
- v/—Iр(т)(/ -т)Л-«2(0,1)_и(0,1). (11) т 0 у '
Перемещение и2(0,1:) торцевого сечения без учета эксцентриситета имеет такое выражение [1]:
Здесь обозначено: К0 — э/с0, Кх — э/сх, Цх - с^Сх.
В статье [1] были получены приближенные выражения корней уравнения (15):
(12)
Здесь t -— - время пробега отраженной С0
волны, у - коэффициент внутреннего трения, учитывающий неупругое сопротивление в материале по теории Е.С. Сорокина [5].
Для определения дополнительного перемещения и(0,1:) (за счет эксцентриситетов) необходимо решить систему уравнений (2)-(10).
Рассмотрим подробно систему уравнений вид (5)-(7). Применяя интегральное преобразование Лапласа [3], получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений в области изображений:
^ 0
к 1
с0 2Гх28(цХ _ 1)
V
8 2г>3(ц2 _ 1)
(16)
X -±
V
8 Цх
к
V
С0 2 Г28 Цх _1)
8 Ц 2гхУ цх (цх _ 1)
(17)
Решение системы уравнений (13)-(14) имеет
ух (г) = В3 сЬ (Х2 г) + В4 э Ь (Х2 г).
(13)
ёъ
= В1сЬ(А,12) + В25Ь(А,12) + + В сИ (К2 Ъ) + В эЬ (К 2).
(14)
В уравнениях (13) введены такие обозначения: 8 - параметр интегрального преобразования, сх - ^ОГ^^р - скорость распространения волны
сдвига в плоскости У2, с0 - ^Е/р - скорость распространения продольных волн при изгибе, гх - у/1х/А - радиус инерции сечения стержня в
плоскости изгиба.
Частные интегралы системы уравнений (13) можно искать в виде экспоненциальной функции с неизвестным параметром X:
Выбрав начало отсчета координаты Ъ в верхнем сечении, запишем граничные условия для случая шарнирного закрепления стержня:
¿Фх
■(2 = Ь) = 0,
аъ Ет
Р-е Р-е
ЬвАГ '
1У(2 = о) = 0, 1У(2 = Ь) = 0.
Опуская очевидные подробности, получаем:
г)
<к ет
th (К L)
_ сИ (К ъ)
х
М ( ъ ) = - ЕЕ а фх (ъ) =
Х V / х аъ ('
_ Ч
аъ Е1х ^ь)
--sh z)
-а -
Р-е„
ЬаЛГ
зЬ (^ Ь)
Р- е.
Ъ Е1х
- сЬ (^ ъ)
В5 ъ+ Б6 -
Р е„
ь х2 алг
' (1 + сЬ(Я.2Ь)) '
8Ь(М)- §ь(л2ь) сЬ(М)
Константы В и В определяются на основе двух последних граничных условий:
Вс =---—-—,
5 ^2ЬЕ1Х
Вб =
Реу Р- еу (1 + сЬ(Х2Ь))
х2шх ьх2 ал sh(х2Ь) '
Р е.
У 1 2
^Е1х
Р е„
+-
Ь ^ алг
Реу
Фх(2)= У
(1 + сЬ(Л.2Ь)) (Х2 Ь)
сЬ(А,1 г)
(сЬ (Х2 ъ)-1)- (Х2 ъ)
и
с1/ ЕТ
гь (^ ь )
г)
- вЬ г)
Р-е„
^2ЬЕ!х
гь (^ ь )
- сЬ (^ ъ)
Изогнутая ось стержня несимметрична; аппроксимируем ее таким выражением:
Для рассмотрения численного примера запишем выражения интересующих нас параметров, относящиеся к сечению стержня при Ъ = 0,35 Ь, в котором функция (18) имеем максимум:
1(0,35Ь)=
65
Р-е„
ь х2алг
(1 + Ц^ьЬ )) ( ^^ ( 0,35Ь ^"О)" ( 0,35Ь X 2)
Мх (0,35Ь) = -Е1Х^Ц(),35Ь) =
ш
= -Р-е„
- сЬ (0,35Ь
При достаточно большой длине Ь можно не учитывать отраженные волны и запаздывание сигнала:
|У(0,35Ь) =
Фх(0) =
0,65 Р- е„ Р-е„
^"Е1х Ьл:САГ Р-е„ Р-е„
Мх (0,35Ь) = 0,65Р-еу
Реу
еу-Фх(0,8)=- у
Ре
^Е1х ЬЕ1 В области оригиналов имеем такие выраже-
ния:
^у(0,35Ь,г ) = 0,65-Мс1 Т1}р(т)ат+—в— }р(х)ах,
рАх 0 0 РЛЬсх 0
Мх(0,35ЬД) = 0,65ву Р
х
Системный анализ. Математика. Механика и машиностроение
ш
еу-Фх(0,1) -
Р 1х
г 1Ра т_ 71а х 1Ра т
"0 0
Т а б л и ц а 1
Используя возможности аналогии, запишем решения для изгиба в другой плоскости и для кручения:
^(0,35Ь,1 )--Ма т1|р(т)ат + —^ 1 Р(х)ат, р1/0 ^ РАЬсу0
^ш(0,35ЬД )--М а X, ?Р(х)ах + ^ 1 Р(т)ёт,
РТю О О РАг О
ех-Фу (0,1) -
Р Ту
11ра Х_1X! 1ра X
■'0 0
еи"Фи (0,1) -
РI,
Г 1Ра х_ 7Х11Ра х
■'0 0
Исходные данные
Наименование и размерность Числовые значения
Масса ударяющего тела т, кг 24
Начальная скорость удара, м/с 2,5
Площадь поперечного сечения Л, м2 0,0138
Высота колонны Ь, м 6
Моменты инерции: 1х, м4 1у, м4 1ю, м6, Т 4 Iа, м 1,725 -10_5 7,681-10_4 1,300 -10_6 1,235 -10_5
Первые собственные периоды колебаний: Т^ Tx, Ty, Ти, мс 2,32 19,53 125,31 74,17
Эксцентриситеты: ех, м ех, м 2 ею, м 0,001 0,001 0,000001
Контактная жесткость, -гт ТТ _3/2 Ко, Н - м 3 -109
Коэффициент внутреннего трения У 0,025
контактной силы Р(1) :
-12/3
Р(1) Кп
1 1
х
- у01—1а х1 Ра х _
Ш0
0
Му( 0,35Ь,1)- 0,65 ех Р (1), Вш( 0,35Ь,1)-0,65 еш Р (1).
Расчеты проведены в соответствии с кон-Ингегральное уравнение для определения цепцией, изложенной в статье [1]. Нелинейное интегральное уравнение (19) решалось численным методом Эйлера. Шаг счета по времени был принят равным 10 мкс. На рис. 2-5 показаны графики изменения во времени силовых и кинематических параметров процесса удара по колонне. Пунктирные линии построены без учета деформаций сдвига по теории В.З. Власова [2].
В табл. 2 и 3 приведены максимальные значения параметров, характеризующих процессы удара и колебаний после удара. Отметим, что деформации сдвига заметно влияют на частоты сво-В качестве примера рассмотрим колонну бодных колебаний. Это наглядно видно на рис. 3 в виде двутавра № 60. Исходные данные приведе- и 5. На амплитуды перемещения и скорости небольшое влияние проявилось только в плоскости
222 е е2 е2
у | ех | ею
Р Тх Р Ту РТю
11 11 х1 1 Рах _ -1 ах1Рах
Ь 0 0
с0 0
-ехр
рЛс,
1Р(х)ат + 2 £ (_1)п 1(х)ах
псп 1
У—t |х 2L )
(19)
ны в табл. 1.
После окончания удара начинаются свобод- наибольшей
ные пространственные колебания. Начальными
жесткости.
Изгибные и крутильные колебания в рас-
условиями в этих колебаниях служат перемещения смотренной задаче являются вторичным явлением
и скорости, зафиксированные в момент окончания основной процесс - продольное движение попе-
удара (p(t) = 0). Частоты изгибных и крутильны1х речных сечений, в котором отсутствуют деформа-колебаний определялись по специальной програм- ции сдвига.
ме, составленной на основе уравнений статьи [3]. В расчетах были учтены частоты с первой по четвертую.
2
е
у
2
е
х
2
е
ю
кН
160
120
80
40
0
20 15 10 5 0
Нм2
мс
0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0
0 2 4 6
30
20
10
кНм
Рис. 2. Контактная сила при ударе. Бимомент в сечении г = 0,35Ь
кНм
8
-10
мс
0 2 4 6 8 10
мм
Рис. 3. Изгибающие моменты М^ и М„ в сечении г = 0,35 Ь
х у
м/с
-0.5
мс
мс
8 10
мс
0 2 4 6 8 10
-1.0-^-1---мс
02468 10 02468 10
Рис. 4. Перемещение и скорость при ударе и колебаниях после удара сечения колонны г = 0,35 Ь
0
МПа
МПа
60 40 20 0 -20 -40
0
2
4
6
8
» мс
10
40 20 0 -20 -40 -60 -80
0
Л 1, ' 1 > 1 11 Л
1 t i 1 /1 . 1 1 /л ' ' '/Л. •
, 1 Щ fi 1 » 1 Il t 1 X II 1 л I 1 1 111
\: 1 II 1 A 1 II 1/ JUI 1 uA
Г 1 ' ' ! ' ii
мс
2
4
10
Рис. 5 Нормальные напряжения в точках 1 и 2 сечения z = 0,35 L
6
8
Т а б л и ц а 2
Наименование и размерность Числовое значение
Контактная сила P, кН 133,75
Длительность удара, мкс 1570
Перемещение торца u2, мм 0,33
Скорость ù2, м/с 1,02
Ускорение u2, a/g 950
Т а б л и ц а 3 Параметры в сечении z = 0,35 L при изгибных
Наименование и размерность Числовое значение
С учетом сдвигов Без учета сдвигов
Перемещение ^ , мм 5,06 5,05
Изгибающий момент Мх, кНм 7,38 6,64
Изгибающий момент Му , кНм 20,66 20,49
Бимомент Вш, Н- м2 17,19 17,06
Нормальные напряжения в точке 1, МПа 53,6 50,8
Нормальные напряжения в точке 2, МПа 67,6 66,1
колебаниях после удара. Это показано на рис. 6. Максимальное значение напряжения составит 31,8 МПа.
Удар с эксцентриситетами величины 1 мм за счет изгиба и кручения колонны довел напряжения до 67,6 МПа. На практике такие размеры эксцентриситета могут оказаться непредвиденными и привести к нежелательным последствиям.
МПа
40
20
-20
-40
мс
0 2 4 6 8 10
Рис. 6. Нормальные напряжения в сечении z = 0,35 L при центральном ударе
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
0
Если рассмотреть ту же задачу без эксцентриситетов, то останутся в силе результаты, приведенные на рис. 2 (контактная сила), рис. 4. Колонна будет испытывать только сжатие при ударе и нормальные напряжения сжатия-растяжения при
1. Аунг З. Л. Мещеряков В.Б. Поведение тонкостенных стержней при ударных нагрузках // Известия Транссиба. 2012. №3 (11). С.113-123.
2. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М. : Физматгиз, 1959. 568 с.
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
Корн Г.А. Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М. : Наука, 1973. 832 с.
Мещеряков В.Б., Чефанова Е.В. Динамика тонкостенных стержней открытого профиля // Вестник МИИТа. М. 2000. Вып. 3. С. 123-130.
Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М. : Госстройиздат, 1960. 131 с. Hertz H. Über die Beruhrung Fester Elastisher Korper (On the Contact of the Elastic Solids) // J. Reine und Angewandte Mathematik. 1882. B. 92. S. 156-171.
УДК 629.114.2 Кузнецова Марина Григорьевна,
аспирант кафедры «Техническая физика и теоретическая механика», Белорусский государственный университет транспорта, тел.: +375(232)952951
ДЕМПФИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТЕЙ В ТРАНСПОРТНЫХ РЕЗЕРВУАРАХ С ПЕРЕГОРОДКАМИ
M. G. Kuzniatsova
LIQUID OSCILLATIONS DAMPING IN ROAD TANKS WITH BAFFLES
Аннотация. В работе выполнен анализ компьютерного моделирования перетекания жидкости в резервуаре автоцистерны, позволяющий установить особенности его нагружения и параметры диссипации энергии перевозимых жидких грузов. Созданы конечноэлементные модели резервуаров цилиндрической формы с перегородками различной формы и типов в среде инженерного пакета ANSYS Workbench. Получены зависимости давлений в резервуаре от размера перфорации перегородки. Также выполнен расчет диссипации энергии по всему объему резервуара за время одного периода колебаний жидкости для случая сквозных горизонтальных перегородок и установлен размер отверстия, при котором диссипация энергии достигает максимального значения.
Ключевые слова: резервуар автоцистерны, транспортировка жидкости, гидродинамическое давление, диссипация энергии жидкости.
Abstract. In the article the analysis of liquid sloshing in road tank reservoir simulation is made. It allowed to obtain features of road tank loading and parameters of the transported liquid cargo energy dissipation. Finite element models of cylindrical tanks with baffles of different shapes and types were created in engineering package ANSYS Workbench. The dependences of the pressure in the reservoir on the size of the perforation were obtained. Also computations of the energy dissipation in the reservoir during one period of oscillation in the case of liquid sloshing through horizontal partitions were made and the hole size for the maximum of liquid cargo energy dissipation was obtained.
Keywords: road tanker reservoir, liquid transporting, hydrodynamic pressure, liquid energy dissipation.
Введение
Несмотря на постоянное развитие трубопроводного транспорта, более половины объема жидких грузов перевозится железнодорожными и автомобильными цистернами. Встречающиеся на практике случаи неустойчивого движения транспортного средства с жидкостью объясняются колебаниями жидких грузов внутри резервуаров [1, 2]. Транспортируемые жидкие грузы обладают различными физическими свойствами, которые оказывают существенное влияние на перетекание их в резервуарах при переходных режимах движения. Вследствие аварий при перевозке жидких грузов могут возникнуть опасные условия для жизни и здоровья людей, загрязнение окружающей среды. Также возможны повреждения технологических резервуаров и транспортных средств.
Установка внутренних перегородок является основным способом ограничения подвижности жидкости в транспортных резервуарах за счет демпфирования продольных и поперечных колебаний жидкости. Существуют варианты схем установки перегородок, в которых их предполагается устанавливать горизонтально, вертикально либо под углом к продольной оси резервуара [3]. Различными авторами предложено множество вариантов размещения в цистернах устройств, демпфирующих колебания жидкости, однако оптимальное техническое решение до сих пор не найдено.
