Экстремальные задачи в классе отображений с симметрией переноса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.54

Л. С. Копанева

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В КЛАССЕ ОТОБРАЖЕНИЙ С СИММЕТРИЕЙ ПЕРЕНОСА

Найдены мажорантше области для двух функционалов, зависящих от значений отображения и производной в фиксированной точке из верхней полуплоскости, на классе отображений с симметрией переноса вдоль вещественной оси.

Область D комплексной w-плоскости будем называть областью с симметрией переноса вдоль вещественной оси на вектор Т, 7М), если D=L(D), где L(w)= =w+T. Каждая область с симметрией переноса неогра-ничена и конечна. Бесконечно удаленная точка w„=co может быть телом одного или многих простых концов границы области D. При преобразованиях L(w)=w+T области D возможны только два варианта: в среди всех простых концов неподвижными могут быть либо один простой конец, либо два простых конца В первом случае область D будем называть областью типа полуплоскости, во втором - типа полосы. В дальнейшем будут рассматриваться только односвязные области с симметрией переноса вдоль вещественной оси типа полуплоскости.

Пусть П={геС: lmz>0} и D есть односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси на вектор Т типа полуплоскости. По теореме Римана существует однолистное голоморфное отображение f. П->С такое, что ДП)=£). Отображение / будем называть отображением с симметрией переноса вдоль вещественной оси на вектор Т.

Отметим, что дня каждого отображения / с симметрией переноса вдоль вещественной оси на вектор Г, 7Ы), существует вещественное число /, 1>0, такое, 4to/z+^)= =J(z)+rT, keZ. Действительно, обозначим через ф отображение, обратное к отображению / Пусть h>o=/z0), где гоеП. Композиция ф(Дг)+7) является автоморфизмом верхней полуплоскости и, следовательно, ф(/(г)+7)= =az+d, где and- вещественные постоянные. Полагая z=z0 и (p(w0+T)rZo+t, находим о= 1 и cht. Таким образом, /z+r)=/z)+7’. По индукции устанавливаем требуемое равенство.

Обозначим через X,j множество всех голоморфных однолистных в верхней полуплоскости отображений f. П->С, удовлетворяющих условиям:

1) ДП)=£) есть односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси на вектор Т, Т>0, типа полуплоскости;

2) /(z+kt)=f (z}+kT,keZ;

3) lim (/(z)-z)=0, где y=Imz.

0

Теорема 1. Класс ХкТ обладает следующими свойствами:

1. Для каждого fsX,j и каждого weR отображение f„: U-+C,fJ_z)=J(z+m)-m принадлежит классу Ху

2. Для каждого f&Xtj и каждого />е[0; +«) отображение fp\ Yl-^C,f^z)=fiz+ip)-ip принад лежит классу Хф

3. Для каждого отображения feXtj выполняется равенство t=T.

Доказательство. Голоморфность и однолистность отображений fmnfpочевидны. Для каждого keZ имеем

fm(z+ki)=f{z+m+h) - m=fiz+m)+kT- m=fm{z)+kT,

fp(z+kt)=j{z+ip+kt) - ip=fiz+ip)+kT- ip=fp(z)+kT.

Проверим третье условие принадлежности отображений fmwfp классу ХКт- Для отображения fm имеем lim (/„(*)-*)= lim (/(z + m)-m-z) =

у-* КО y-++<D

= lim (f(z + m)~(z + m)) = 0.

1т(г+я»)=-у-^+«о

Аналогично для fp:

lim (/ (z)-z)=

lim (f(x + iy + ip)-ip-x-iy) =

= lim (f(x + i(y + p))-(x + i(y + p)j} = 0.

p+y-mx>

Значит, f„eX,j и fpsX,j- По второму условию принадлежности отображения / классу Х,_т имеем

lim (f (z+t)-(z+t))=\m (f(z)-z+T-t)=T-t.

y-*+во y—t+ao

С другой стороны, этот предел должен равняться нулю. Теорема 1 доказана.

В дальнейшем для определенности и простоты полагаем t=T=n и переобозначим Xuf=X%.

Таким образом, изучается класс Х„ всех голоморфных однолистных в верхней полуплоскости отображений / П—>С, удовлетворяющих условиям:

1) /n)=D есть односвязная область с симметрией

переноса вдоль вещественной оси на вектор Т=п типа полуплоскости; .

2) f(z + bt) = f(z) + kn,keZ\

3) lim (/(z)-z) = 0, гдеy=Imz.

Из теоремы о сходимости последовательности областей к ядру следует, что отображения / из класса Хю удовлетворяющие дополнительному условию df (П)=

=Цу4, где у* есть попарно непересекающиеся простые

иг

кривые, уходящие на бесконечность, образуют плотный подкласс X*" в классе Х%. В [1] показано, что для каждого отображения feX%" существует числовое непрерывное отображение Х:[0; +<»)-> R, Х(т) такое, что /(z)= = lim (£(z,t)-/t), где £(z, т) является решением диф-

Т-»+сс

ференциального уравнения

dq(z>x) = ctUx)-q(z,x) (])

дх 2

с начальным условием £(z, 0)=z.

Можно доказать, что для каждого кусочно-непрерывного отображения X отображение /(z)=lim (£(z,t)-/t)

принадлежит классу Х% (здесь £(z, т) является решением дифференциального уравнения (1)). Таким образом, все кусочно-непрерывные отображения X порождают плотный подкласс Л"*', при этом АУ'сАУсХ*.

Известно, что при рассмотрении экстремальной задачи на некотором классе достаточно решить ее на плотном подклассе.

43

Рассмотрим на классе Хп два функционала

где z - фиксированная точка из верхней полуплоскости. В силу первого свойства класса Х% справедливы равенства:

fm(z) - z =j[z+m) - (z+m), ln/M'=ln/(z+m).

Полагая в них т=- Rez, получаем, что множество значений функционала /,(/) {IJJ)) совпадает со множеством значений функционала h(/) =Л‘У) - iy (h(f) = W(jy)\ где у = Imz.

Теорема 2. Область значений функционала I\{f)= =fliy) ~ ‘У на классе Хх принадлежит кругу Kt:

|/, - /(у + ln(l - 62))| < lncth ^, где Ь=е~у.

Доказательство. Запишем уравнение (1) в виде dq _\ + ps ch 1 - ps ’

(2)

где р(т) = е Im<;(l), s(t) = е-<^ьк*«т» ОтДелим в (2) действительную и мнимую части. Получим

d\mq 1-р2 ”^Г"|1-Р5|2 ’

rfRe<;

dx

-2 pirns |l-pj|2 ’

Re?((V,0)=0.

(3)

Очевидно, что

dp

eh

1-р2 . .

р-------,р(0)=6. Следова-

|1-р»|2

тельно, р монотонно зависит от т. Уравнению (2) рав-

носильно

d(q - гг) /1 + ps Л

уравнение —^----L = / —-— 1 , интегри-

dh U_PS ) рование которого по переменной т в пределах от 0 до оо, с учетом начального условия C,(iy, 0) =iy и условия lim (<; (iy, т ) - /т )=/ (iy ), приводит к равенству

f(iy)-iy = 2i\-^-dx.

о 1-Р

После замены в этом интеграле переменной т на р имеем

f(iy)-iy = 2i\^—^dp. о 1-Р

Непосредственное вычисление интеграла дает

f{iy)~ iy ~ i ln(l - b2) = 2; f-^Ц- dp .

о 1~P

Отсюда, оценивая сверху модуль левой части, получаем

| f(fy )-гу-Лп(l-fc2 ) | <2 j-Ц-ф = 2 .

01—р ОI—р

Вычисление последнего интеграла приводит к неравенству, указанному в теореме 2.

Следствие 1. Для каждой точки границы круга существует отображение в плотном подклассе Хх. Действительно, для 8е[0; 2я) рассмотрим

Re(e* [/, —iln(l—62 ) ]) = -21m J-^-ф.

о 1 ~ P

Наибольшее значение интеграл имеет при условии

Im(-e',6s)=l, т.е. s = е ^ 2 . В уравнении (3) сделаем замену т на р:

44

</Яе? = 7Гр^</р’ Ке^»т(р))|р-*в0-

Подставив s = е ^ 11, получим

dKeq = -^~°^ dp, Req(/y,0)=O.

Отметим сначала, что ReC(ry, т) = 0 для 0 = — и

2

о Зя

0 = —, и поэтому из равенства

Х(х) = Rе<;(/у, т) + /1пл(гу, т)

имеем

А,(т)=i In s(iy, т) = /' In

»jH)

Л

e e

/

= -0-^. 2

Интегрирование уравнения (1) с полученными Л.(т) приводит к отображениям из плотного подкласса Хх, вносящим концевые точки диаметра, лежащего на мнимой оси.

Для 0 е

имеем

И!-т}

Req (iy, т) = cos0^ lnj^“ln|^ j >

А(т) = cos0

ftalii-inllpl.e-Sl.

I 1 -b 1-p

Решая задачу Коши

I f e+")

, L 2)

\+e

dp = ~i 1-p2 )pch,p(iy,Oy=b,

находим р=р(т) в неявном виде

p fl-P T"8-r-x Ъ fl-b\

i-A2U + *J

1-p2

.l+pj

stn0

Таким образом, для произвольно фиксированной точки на границе круга К\ существует отображение А.(т), с которым интегрирование уравнения (1) приводит к отображению в плотном подклассе Хх, вносящему взятую точку.

Следствие 2. В классе Хх справедливы следующие оценки:

|Re/((y)| < lncth

21n2sh^£lm f(iy)£ 21n2ch^.

Равенства в оценках мнимой части реализуются на

( г-УЛ

2cos----- при А=0 и Х=я.

Ч 2 )

Теорема 3. В классе Х% справедливы следующие оценки:

функциях A(z) = А. + 2/ In

| Reln/'(/y) |^lncth^ , | argf'(iy) |£lncth^. Равенство в первой оценке реализуется на отображении h(z) = 2/ Inf 2 cos -1.

I 2)

Доказательство. Продифференцируем уравнение (1) по переменной Z . Получим

=------7-----7,С'(г,0)=1.

di 1 - cos(A. - q)

Проинтегрируем это равенство по т от 0 до +оо. С учетом начального условия Q'(z, 0) = 1 и равенства /'(z)=lim<;' (z,т) получаем

Ь»/'<*) = ]:----

i 1 - cos(A - <

о1 - cos(X - q)

Выполним замену переменной т на р:

In f'(z) = -2 J—^— ф + 2 J—ф. (4)

0Jl-p5 0Jl-p2

Вычислим второй интеграл и отделим действительную и мнимую части:

1п|/'(гу)| + 1п(1-£2) = -2 J Re5~p 2 ф,

1 0Jl-2pRes + p2

arg f\iy) = -2 J 1™S-----гф.

jl-2pRes + p

Найдем наибольшие значения отображений

gi(«)= , “■ 2, g2(")= 1 И

1-2ри + р

1-2ри + р

2 »

где и = cosa(p) = Res, 0<ы<1. Отображение g, убыва-

ет, так как g!(u)=

Р -1

£(*) =

(1-2ри + р2)2

2р-н(1 -р2)

< 0. Производная

Vl-w2(l - 2ри + р2 )2 2р

обращается в нуль при и0 = —~ < 1. Следователь-

1-Р

но,

2*| (р1)ф <ln|/,(^)[ + In(i_fe2)<2jJi^Pjf nJl-2p + p2 п 1 *1 + 2р + р2

(1 + р)ф

>/1-«оФ

~ 2|т~~ г й arg f'(iy) й 2 J—^

о 1 - 2ри0 + р 01“

ф-u^dp

■Р* " ' 0'1-2ри0 + р2

Отсюда непосредственными вычислениями приходим к неравенствам, указанным в теореме 3.

Из теоремы 3 следует, что квадрат

*2={/2еС: | Re/21 <А, 11ш/21 <А, А = lncth^}

является мажорантной областью для функционала

m=woyi

Теорема 4. Область значений функционала /2(/)=1п/(гу) на классе X* принадлежит кругу К3:

|/2 + 1п(1 - 62)| < -21п(1 - Ь),

где Ь=е~у.

Доказательство. Перепишем равенство (4) в виде

In f\iy) + 1п(1 -Ь2) = -2 )-L- dp.

01-Р*

Оценим

|ln/'(/» + ln(l-62)|<2j-^

1 1 ol-f

Подынтегральная функция

g(“) = / 1 . .

^/1-2ри + и

где и = cosa(p) = Res, 0<м<1, монотонно возрастает. Следовательно,

|ln/'(ry) + ln(l-fc2)|<2j-^-.

1 1 С1-Р

Непосредственное вычисление интеграла приводит к неравенству, указанному в теореме 4.

Отметим, что множество К^=К2глК2 является более точной мажорантной областью для функционала h(fr\nf(iy).

-ps

dp.

ЛИТЕРАТУРА

I. Копанева Л.С. Параметрическое представление отображений с симметрией переноса // Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск: ТГУ. (в печати).

Статья представлена кафедрой математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 28 февраля 1999 г.

45