Экстремальная задача Бомана для преобразования Фурье-Ганкеля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 5-10 = Математика

УДК 517.5

Экстремальная задача Бомана для преобразования Фурье—Ганкеля *

Д.В. Горбачев

Аннотация. Решена экстремальная задача Бомана для неотрицательных функций с компактным носителем преобразования Фурье-Ганкеля. Для этого применяются квадратурные формулы Бесселя. Как следствие, дано новое решение n-мерной задачи Бомана для неотрицательных целых функций экспоненциального сферического типа, полученное W. Ehm, T. Gneiting и D. Richards.

Ключевые слова: Преобразование Фурье-Ганкеля, экстремальная задача Бомана, квадратурная формула Бесселя.

Пусть п € М, х = (х^...,хп) € Мп, ху = ^™=1 х^-yj — скалярное произведение векторов х,у € Мп, |х| = (хх)1/2, Бп = {х € Мп: |х| ^ 1} — единичный евклидов шар, А = ^П=1 д2/дх2 — оператор Лапласа, вирр / — носитель функции / (замыкание множества {х: /(х) = 0}), ха — характеристическая функция множества А (ха(х) = 1 при х € А и ха(х) = 0 иначе).

Многомерная экстремальная задача Бомана [1] для шара заключается в нахождении минимума величины —А^>(0) на классе характеристических в вероятностном смысле функций ^ € С2(Мп) с носителем вирр ^ С тБп, т > 0. Пусть

Вп (т) =1п1(—Ар(0)).

Функции ^ являются положительно определенными функциями вида

р(х) = 7(х)=/ /(у)в-гху

где / — преобразование Фурье функции / ^ 0, ^>(0) = /(0) = 1. В вероятностном смысле функция / является плотностью распределения, а величина г

| х |2 / (х) ^х

-Др(0)=/ |x|2f(x),

J Rn

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №13-01-00045), Министерства образования и науки РФ (госзадание №5414ГЗ) и Фонда Дмитрия Зимина «Династия».

имеет смысл дисперсии. Поэтому задача Бомана эквивалентна следующей экстремальной задаче:

Б„(т) = м / |ж|2/(х) же, / € Вп(т),

где Вп(т) — класс неотрицательных функций / € C(Мп), |х|2/ € Ь1(Мп), таких что 8ирр / С тВп и /(0) = 1. Отметим, что функции / можно отождествить с целыми функциями экспоненциального сферического типа ^ т [2, 3].

В одномерном случае Н. БоИшап [4] доказал, что

в 1 ([ 1 (п '2

где

>i([-T,r]) = -(/i)''(0) = (Т) ,

л / ч 4т ( cos(rx/2) )2 ^ .г

fi(x)=4^(т-ШО ем-^».

4т ( cos(rx/2) )2 п3 v 1 — (tx/п)2 ,

В многомерном случае задачу Бомана решили W. Ehm, T. Gneiting и D. Richards [1]. Они доказали, что для n € N и т > 0

зга(т ) = -A/„(o) = {2qr)

f (x) = 22-2nTn i ja(T|X|/2) у e ) fn(x) = W2r(n/2)qa I 1 - (т|x|/(2q«))^ € Bn(T

где ja(t) = Г(а + 1)(t/2)-aJa(t) — нормированная функция Бесселя, 0 < < qa,i < qa,2 < ... — положительные нули Ja(t), qa = qa>1, a = n/2 — 1 [2]. При n = 1 имеем j-1/2(t) = cost и q-1/2 = n/2.

Отметим, что при решении экстремальных задач теории приближений функции fn, fn использовались в работах [5, 6] еще до работы [1].

Для вычисления величины Вп(т) авторы [1] воспользовались следующими многомерными рассуждениями.

Во-первых, при поиске экстремума достаточно ограничиться радиальными функциями: f(x) = /o(|x|), x € Rn. Преобразование Фурье таких функций также радиально и выражается через интегральное преобразование Фурье-Ганкеля [2]: /(y) = f0(|y|), y € Rn,

fo (s) = wJ /0 (t) ja (st) t2a+1 dt, s € R+, ■Jo

где Wa = 2na+1r-1(a + 1).

Во-вторых, применялась теорема Рудина о представлении радиальной положительно определенной функции ^ с компактным носителем supp ^ С С тВп:

те

^ = ^ Uk * Uk, k=1

где ряд сходится равномерно, вирр«к С (т/2)Вп, выражение

« ^ «(ж) = и(у)«(у + ж) (у

Ум"

обозначает свертку функции и с собой.

В-третьих, использовалось неравенство Рэлея

/с |У«(ж)|2 (ж > А /с |и(ж)|2 (ж > 1

для первого (минимального) собственного значения А1 оператора Лапласа в центрально-симметричном теле С С Мп:

—Д« = Аи, ж € С, «|дС = 0.

Равенство достигается только на первой собственной функции «1. Для шара С = Вп имеем А1 = да, «1(ж) = ,ь(да|ж|).

Сформулируем задачу Бомана для радиальных функций в одномерной постановке:

г те

Бо«(т) = Ша ^2/о(^) ¿2а+1 (*, /с € Воа(т),

Jо

где В0а(т) — класс четных неотрицательных функций /0 € С (М), ¿2/0 € € (М+), таких, что вирр /0 С [0,т] и /0(0) = 1. Функции /0 можно

отождествить с целыми функциями экспоненциального типа ^ т [2]. При этом, очевидно, что /0 € ¿12а+1 (М+).

Для а = п/2 — 1 имеем Б0а(т) = Бп(т). Представляет интерес решить задачу Бомана Б0а(т) для произвольного а > —1/2, когда нет возможности опереться на многомерные рассуждения. Мы сделаем это при помощи квадратурных формул Бесселя. Похожие рассуждения были использованы автором в близких экстремальных задачах (см. [2, 3]). Определим дифференциальный оператор

1 ( ,2а+1 (

П = ^

для которого

П = ' Л +2о+1

Па = ¿2«+1 (И (Г

П«,?«^) = (1)

Оператор Пп/2-1 совпадает с радиальной частью оператора Лапласа Д. Теорема 1. Для а > —1/2

Б0а(т) = — А/0а(0)= ( 2,

V пт /

где единственная экстремальная функция

(,)= 2-4а-2т2а+2 ( ;а(т*/2) )2 €В (т) /0а(г) = п«+1Г(а + 1)д2 11 — (т*/(2да))2 ^ € °0а(Т

Доказательство. Нам потребуются два вспомогательных утверждения из [2, 3].

Пусть ^ — произвольная четная целая функция экспоненциального типа ^ 2т, такая, что í2a+1^> £ L1(R+), а > -1.

1. Для функции ^ справедлива квадратурная формула Гаусса-Бесселя

[ * = Е тЗО+2К^), Yak = 2( Jifa),

где ряд сходится абсолютно. При этом для любого е > 0 существуют функции типа 2т + е, для которых квадратурная формула неверна.

2. Пусть

7'2 (t)

¥>(í) = j^r Vi(í),

"2m (í)

где Ü2m — четный многочлен степени 2m ^ 0, нули которого являются подмножеством нулей ja(Tí) и имеют кратность ^ 2. Тогда ^ч — четный многочлен степени 2m — 2 при m ^ 1 и = 0 при m = 0.

Вернемся к доказательству теоремы. Пусть /о £ Воа(т). Тогда /о — неотрицательная четная целая функция экспоненциального типа ^ т,

/0,í f0 £ Ll2a + 1

/0(0) = wJ /о (í) í2a+1 dí = 1. о

К функциям /о и t2/o можно применить квадратурную формулу Бесселя:

/1 = Wa I /о(*) í2a+1 dt = W«^ (^TÍfáa+2 Тт1)=1' /2 = Wa I í2/0(í) í2a+1 dí = А(

Поскольку /о ^ 0 и возрастают с ростом k, то

/2 ^ W4TT^J ¿1 (т/2)2а+2 /Ч^ = 1TT2J 71 = 1•

Эта оценка будет точной тогда и только тогда, когда функция t2/о имеет нули в узлах 2qafc/т при k ^ 2, причем кратности 2 в силу неотрицательности /о. Таким образом,

/t) = ( ;'а(^/2) ^ 2

= (т—ШЬ)

.1 - (т£/(2да))2,

Отсюда и из утверждения п. 2 следует, что ^>1 — четный многочлен степени ^ 2. Это возможно только для многочлена = а2.

Таким образом, единственной экстремальной функцией будет функция

ja(Tt/2) \2

/0(í) = С( 1 -j(erí/(29e))0 '

где константа С выбирается из условия /о(0) = 1. Ее можно вычислить из равенства

те

_ Yak f f _ Ya1 f f 2g

1 - ^ (t/2)2a+2 f4 T/2 J Wa (T/2)2a+2 f4 T

Здесь Yai _ 2qaa(Ja(ga))-2,

-Г(а + 1)(qa/2)-aJaЫ )2 _ C 22a-1r2(a +

- 2/ga / Yai

Таким образом,

. 2na+1 Yai 22a-1r2(a + 1)g2 2-4a-2T 2a+2

1 — -7T "7--¡TT C - , C —

Г(а + 1) (t/2)2a+2 Ya1 na+1r(a + 1)g2 '

Отсюда приходим к функции /0a. Для доказательства равенства

/•те ^

wJ t2/o(t) t2a+1 dt _ -Dafo(0) 0

достаточно воспользоваться свойством (1) и определением преобразования Фурье-Ганкеля /о.

Нетрудно проверить, что при а = n/2 — 1, n € N, мы получим результаты W. Ehm, T. Gneiting и D. Richards. Теорема доказана.

Список литературы

1. Ehm W., Gneiting T., Richards D. Convolution roots of radial positive definite functions with compact support // Trans. Amer. Math. Soc. 2004. V. 356. P. 4655-4685.

2. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений. 2 изд. Тула: Гриф и К, 2005.

3. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи теории функций и теории приближений: диса ... д-ра физ.-мат. наук. Екатеринбург, 2006. 200 с.

4. Bohman H. Approximate Fourier analysis of distribution functions // Ark. Mat. 1960. V. 4. P. 99-157.

5. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона // Матем. заметки. 1976. Т. 20. №3. С. 439—444.

6. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Ьр // Матем. заметки. 1994. Т. 56. №2. С. 15-40.

Горбачев Дмитрий Викторович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Extremal Bohman's problem for Fourier—Hankel transform

D.V. Gorbachev

Abstract. We solve the extremal Bohman problem for nonnegative functions with compact support of the Fourier-Hankel transform. We use Bessel quadrature formulas. As a consequence, we give a new solution of n-dimensional Bohman problem for nonnegative entire functions of exponential spherical type obtained by W. Ehm, T. Gneiting and D. Richards.

Keywords: Fourier-Hankel transform, Bohman extremal problem, Bessel quadrature formulae.

Gorbachev Dmitry ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 03.11.2014