Экспоненциально-полиномиальный базис в пространстве решений однородного уравнения свертки на классах ультрадифференцируемых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 4, С. 3-17

УДК 517.983+517.518.34

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО-ПОЛИНОМИАЛЬНЫЙ БАЗИС В ПРОСТРАНСТВЕ РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ СВЕРТКИ НА КЛАССАХ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Д. А. Абанина

Рассматривается однородное уравнение свертки в классах ультрадифференцируемых функций Бер-линга нормального типа на конечном интервале. Установлено, что в пространстве его решений имеется экспоненциально-полиномиальный базис.

Ключевые слова: ультрадифференцируемые функции, уравнение свертки, экспоненциально-полиномиальный базис.

1. Введение

Продолжая классические работы Л. Эйлера, многие математики (см., например, [5— 9, 11, 12, 14, 15]) занимались проблемой существования базиса ядра оператора свертки в различных пространствах аналитических и бесконечно дифференцируемых функций. В настоящей работе указанная задача решается для классов ультрадифференцируемых функций (УДФ) Берлинга нормального типа на конечном интервале.

Пусть ш : [0, то) ^ [0, то) — весовая функция, т. е. непрерывная неубывающая функция, обладающая свойствами:

(а) (Vр > 1) (3 С > 0) : ш(ж + у) ^ р(ш(ж) + ш(у)) + С (ж,у ^ 0); (а') ш(£) = о(£), £ ^ то; (7) 1п£ = о(ш(£)), £ ^ то; (¿) (ж):= ш(ех) выпукла на [0, то). Без ограничения общности будем предполагать, что ш(1) = 0. Положим ш(г) := ш(|г|), г € С. Далее, пусть (у) = 8ир{жу — (ж) : ж ^ 0}, у ^ 0, — сопряженная по Юнгу к функции . Пространство УДФ Берлинга нормального типа на заданном конечном интервале I = (—а, а) в Ж определяется следующим образом:

з&щ |х|<г е^^

= \ / е с°°(1) : (Уд е (0,1)) (V/ £ (0, а)) |/Ц,>г:= вир вир < оо

В своей естественной топологии Е1Ш)(1) является (РБ)-пространством (см. [3]).

С помощью преобразования Фурье — Лапласа функционалов ^ : (р ^ (р(г) := ^х(е-гхх), г € С, сопряженное пространство (Е^(I))^ с сильной топологией реализуется (см. [1, теорема 1]) в виде пространства целых функций

НШ ■= {/ £ Н(С) : (3 ? е (о, 1)) (3 I € (0, а)) ||/||ыл>, := вир <

© 2011 Абанина Д. А.

Пространство Н1^ г наделяется естественной индуктивной топологией и является в ней (БРВ)-пространством [3]. В соответствии с [2, предложение 1] множество всех непрерывных мультипликаторов пространства Н1^ ^ совпадает с

1}ы) = {»<= Я (С) : (\/е > 0) Ыш,е,е = вир

Пусть ^ — какой-нибудь нетривиальный мультипликатор из , а ^ := ^— соответствующий ему линейный непрерывный функционал на ). Оператор сверт-

ки Тм с характеристической функцией ^ в (I) определяется следующим образом:

(Т/)(ж):= (ж + у))у, / е (I), ж е /.

Он действует непрерывно в Е^ (I) и является сопряженным к непрерывно действующему в Н^) I оператору умножения : / ^ .

Как установлено в [2, теорема 1], для того чтобы уравнение свертки Т/ = д было разрешимо в Е^ (I) при любой правой части д е Е^ (I), необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция ^ удовлетворяла условию:

(БС) (Vе > 0)(У 6 > 0)(3го > 0) (Vг = ж + ¿у е С, |ж| ^ го, |у| < 6|ж|) найдется окружность Сг с радиусом Яг ^ 6ш(ж) + 6|у|, содержащая точку г внутри себя, для всех точек ( которой выполняется неравенство

1п ИС)1 ^ -е^(Яес) - е| 1т((1)

Кроме того (см. [2, теорема 1]), условие (БС) равносильно тому, что ^ — делитель Щи),г Эт0 означает, что если / е Н1{ш)1 и ^ е Я(С), то £ £ Щш),г

Рассмотрим в Е^ (I) однородное уравнение свертки Т/ = 0. Здесь и всюду в дальнейшем предполагается, даже если специально не оговаривается, что ^ удовлетворяет условию (БС). Стандартным образом, используя степенное разложение экспоненты е-г\х _ в Е^-Д/) (см. [1, лемма 3]) и непрерывность оператора получа-

ем, что при всех А е С и I е Н0 справедливо представление

Т((-¿ж)1 е-*Лх) (у) = £ С/^(А)Ну)г-'е-*Лу.

¿=о

Из этого вытекает, что если (А5) — нули функции ^ кратностей то экспоненциальные «мономы»

(-¿ж)1 е-*ЛаЖ, I = 0,...,кя - 1, 5 = 1,2,..., (2)

являются решениями рассматриваемого однородного уравнения, т. е. принадлежат кегТ^. Более того, указанная система функций будет полна в кегТ^, т. е., другими словами, кег Т^ допускает спектральный синтез. Данный факт стандартным образом получается с помощью критерия Банаха о полноте на основании того, что ^ — делитель Н{ш) I. Естественно возникает вопрос о существовании в кег Т^ базиса, состоящего из приведенных элементарных решений, а точнее, из их линейных комбинаций, поскольку, как установил А. Ф. Леонтьев в [6], элементарные решения необходимо группировать, чтобы обеспечить абсолютную сходимость соответствующих рядов. Ясно, что имеет смысл рассматривать лишь случай бесконечного числа нулей, когда кег Т^ бесконечномерно.

Основным результатом работы является

Теорема 1. Пусть целая функция принадлежит М1^, удовлетворяет условию (БС) и имеет бесконечное множество нулей Х\, А2,... с кратностями к\, к2, • • • Тогда в пространстве решений однородного уравнения свертки Т^/ = 0 в (I) имеется базис, состоящий из конечных линейных комбинаций элементарных решений (2).

Доказательство проводится по традиционной схеме. В Н^ 1 рассматривается замкнутый (благодаря условию (БС)) главный идеал J := ц,Н^ 1 и факторпространст-во Н^) I/J. Из общих результатов функционального анализа вытекает, что кег Т^ изоморфно (Н^ I/J)в. Основной этап доказательства — построение открытого покрытия (Ц)°=1 нулевого множества N^ функции вне которого |р| имеет подходящую оценку снизу. Покрытие (Ц)|=1 разбивает нули функции ^ и соответствующие им элементарные решения однородного уравнения свертки на конечные группы

{(—¿ж)1 е—ХаХ : I = 0,...,кя — 1, Ая € Ц}, = 1,2,...

Размерность линейной оболочки, натянутой на ^-ую группу, равна т, = ^ к б — количеству (с учетом кратностей) нулей функции содержащихся в и,. После этого (Н^ I^)в в два этапа реализуется в виде некоторого пространства последовательностей, на основании чего доказывается сформулированная теорема 1. Полученный результат позволит в дальнейшем установить существование линейного непрерывного правого обратного оператора к оператору свертки в пространствах (I), чему будет посвящена отдельная статья.

Из предшествующих результатов наиболее близкими являются результаты, представленные в работах [11, 12, 14], в которых рассматривались предельные случаи пространств УДФ — классы минимального и максимального типов. Специфика пространств нормального типа, гораздо более тонких по сравнению с классами минимального и максимального типов, проявляется в основном на этапе построения покрытия для множества Именно для классов нормального типа невозможно, как прежде в [11, 12], проводить рассуждения единообразно для всей плоскости. Суть предлагаемого в настоящей работе способа преодоления этой трудности состоит в том, что вблизи вещественной оси используется само условие (БС), а для остальных точек — классическое условие полной регулярности роста.

2. Покрытие нулевого множества характеристической функции

Пусть ^ — мультипликатор пространства Н ^ 1, удовлетворяющий условию сюръ-ективности (БС), т. е. порождающий разрешимое для любой правой части уравнение свертки. Пусть, далее, (Аб)^=1 — последовательность его нулей, |Аб| | то; кБ — кратность нуля Аб. Заметим, что из определения класса М^) всех мультипликаторов с учетом условия (а') на вес ш вытекает, что целая функция ^ имеет нулевой тип при порядке 1, а значит, является функцией вполне регулярного роста при этом порядке. Из этого следует, что имеется исключительное множество кружков Е, = {г € С : — | < Р,} нулевой линейной плотности (Ит^оо £ Рз = 0) такое) чт0

Иш 1П = 0.

При этом в силу [4, лемма 1] кружки Е, можно считать попарно не пересекающимися.

Для произвольного е > 0 введем в рассмотрение следующее открытое в С множество:

Ц = {г е С : 1п |р(г)| < -еш(И,ег) - е| 1шг|},

содержащее в себе нулевое множество функции р. Для дальнейшего нам необходимо оценить размеры связных компонент множества II£. С этой целью возьмем 6 € (0, и, пользуясь условием (БС), по е и 6 найдем соответствующее г0. Будем сразу предполагать го настолько большим, что

^ £ Р; < г ^ г0; (3)

Ю 1<г

1п |р(г)| е6 . . ,| I

з

Заметим сразу, что для всех г с |г| ^ г0 и 11ш г| > 6| Яе г|, не попадающих в исключительные кружки Е/,

, , , м е6 . . е6 /1|т , |т д |т , Ы\ц(г)\ > ^ + \1шг\ J =

так что эти г не принадлежат и£.

Всюду в дальнейшем для г е С используется обозначение ||г|| = шах{| Яег|, 11шг|}. Докажем следующую лемму.

Лемма 1. Пусть V — произвольная связная компонента множества и£, целиком лежащая вне квадрата ||г|| ^ г0. Если в V имеется точка г с 11ш г| ^ 6| И,е г|, то ) ^ 26ш(И,е г) + 26| 1ш г|. В противном случае ) ^ 8611ш г|, где г — произ-

вольная точка из V.

< 1) Сначала рассмотрим случай, когда V содержит в себе точку г с 11ш г| ^ 6| Яе г|. При этом ||г|| = | Яе г| > Го, так что на основании (БС) существует окружность Сг, содержащая г внутри себя, для всех точек ( которой выполняется неравенство (1). Значит, С,г не пересекается с V, так что V целиком лежит внутри Сг. Поэтому Лаш^) < 2Дг < 26ш(Яе г) + 26| 1ш г|.

2) Разберем теперь ситуацию, когда 11ш г| > 6| Яе г| для всех г е V. Приведенные перед леммой рассуждения показывают, что тогда V целиком содержится в каком-то исключительном кружке Е/, так что ) ^ 2р/. Так как | + Р/ > г0, то из (3)

при г = + Р] получаем, что р^ < ¿2(Ю1 + Рз), откуда > р^. Если теперь г — произвольно выбранная точка из V, то

, , , > , 1 - 262 1 N ^ 101 - Рз > §2 Рз > Рг

Следовательно,

diaш(V) < 2рз < 462|г| < 462(| Яег| + 11шг|) < 86| 1шг|. >

Перейдем теперь к построению искомого открытого покрытия (Цнулей функции р. Для этого возьмем две числовые последовательности | 0 и | 0. Положим

и(к) = {г е С : 1п |р(г)| < -екш(Яег) - ек11шг|}, к е N.

Ясно, что N с и(1) С и(2) С ... Далее, в соответствии с (БС) для £к и ¿к найдем

подходящие Гк, Гк Т то. В дальнейшем нам понадобится предполагать Гк настолько большими, что

£кш(Яег) + £к11тг| > 2, |г| ^ Гк, (4)

ш(£) < £ ^ Гк, (5)

1п |р(г)| < £кш(И,ег) + £к11тг|, |г| > Гк — 2. (6) В силу (а) можно также считать выполненным неравенство

+ 2)+ 2 ^ 2ш(£), £ ^ п. (7)

Наконец, понятно, что Гк+1 можно при необходимости увеличить так, чтобы ни одна из компонент множества и(к+1), пересекающихся с ||г|| = Гк, не выходила за пределы множества ||г|| < Гк+1.

Выберем те связные компоненты множества и(1), которые пересекаются с квадратом ||г|| ^ г1 и содержат внутри себя нули функции Занумеруем их и1;..., и,1-1. Тем самым покрыты все нули в квадрате ||г|| ^ Г1 и даже, возможно, некоторые дополнительные нули.

Рассмотрим теперь компоненты множества и (2), пересекающиеся с г1 < ||г|| ^ г2 и имеющие внутри себя нули, не покрытые на предыдущем шаге. Возьмем находящиеся в них компоненты и « , содержащие указанные нули. Обозначим их и,,..., и,2-1. Они автоматически содержатся в области ||г|| > Г1. На данном шаге точно покрыты все нули в ||г|| ^ Г2 и, возможно, еще часть.

Проведем еще один этап построения. Выберем связные компоненты множества пересекающиеся с г2 < ||г|| ^ г3 и содержащие еще не покрытые нули функции Эти нули попадают в какие-то компоненты множества и 2) , которые не рассматривались на предыдущем шаге, а значит, во-первых, не пересекаются с и1;..., и,2-1, а во-вторых, целиком находятся в области ||г|| > Г2. Занумеруем их и,2,..., и,3-1.

Продолжая этот процесс далее, получим открытое покрытие (и, )?= множества обладающее следующими свойствами. Во-первых, при каждом к € N для ,к ^ , < ,к+1

1п |р(г)| < — £кш(И,ег) — £к11тг|, г € и,. (8)

Во-вторых, и, С {г € С : ||г|| > гк} при тех же , и к, а для diam (и,) имеют место следующие оценки:

а) Если в и, есть точка г, с 11т г, | ^ 5к | Яе г, |, то

diam (и,) ^ 2£кш(Яег,) + 2£к11тг,|; (9)

б) Если же в и, таких точек нет, то

diam (и,) ^ 8£к11тг,|, (10)

где г, — произвольно взятая точка из и,.

Обозначим т, := ^дз6и- кБ, , € N.

В следующей лемме для устанавливается оценка снизу в некоторой окрестности границы множества и,. Для ,к ^ , < ,к+1 (к € N) положим

сг -:= шш е-4екш(Ке2;)-4ек11ш2;1 _

Через (дUj)(aj) будем обозначать ^-окрестность границы дUj множества Uj, т. е. (дЦ,)(aj) = {г е С : ^(г, дUj) < aj}, где ^(г, дUj) — расстояние от г до дUj. Лемма 2. Пусть к е Н, jk ^ ^ < ^'к+ъ Тогда для всех г е (дUj)

1п |р(г)| ^ —3£кш(И,ег) — 3£к11тг|. (11)

< Зафиксируем к е Н, jk ^ j < и г е (дUj ). Найдем точку ( е дUj с |г — £| < Gj, а затем точку п, лежащую между г и £ и такую, что р(г) = )+р'(п)(г — С). Введем для краткости обозначение В := £кш(И,е ()+ £к 11т (|. Так как ( е д^, то | ^ гк, так что В > 2 на основании (4). Кроме того, )| ^ е-В.

Оценим (п)|. Имеем, что |р'(п)| < тах{|р(£)| : |£—п| < 1} < тах{|р(£)| : |£—С| < 2}. Так как для всех £ с |£ — (| ^ 2 выполняется неравенство |£| ^ |£ | — 2 ^ г к — 2, то в силу (6) и (7)

И£)| ^ е£кш(Ке11ш^ е£кш(1 КеС|+2)+ек(| 1тС|+2) ^ е2В. Значит, |р'(п)| ^ е2В. Таким образом,

ш\ > |/х(01 - Ьл'Шч > - е2Ве-*Б = е~в - е~2В > . Снова применяя оценку (7), которая обеспечивает зв з

— ^ - (еко;(| 11е,г| + 1) + ек(| 1тг| + 1)) ^ Зеко;(11е,г) + Зек| 1тг\1

получаем нужное неравенство (11). >

В заключение параграфа докажем две полезные технические леммы, которые будут использоваться в дальнейшем.

Лемма 3. Для любых положительных чисел д, I и £ найдется постоянная С > 0 такая, что при всех j е N и г е Uj

дш(Яег) + 1| 1тг| ^ (д + £)ш(И,еzj) + (I + £)| 1тzj| + С, (12)

дш(Яеzj) + 1| 1тzj| ^ (д + £)ш(И,ег) + (I + £)| 1тг| + С. (13)

< Установим сначала неравенство (12). Зафиксируем д, I и £. Поскольку, как извест-

о(а£)

но, Ита|! Итвир^оо ^у- = 1, а ¿к | 0, то существуют к £ N и С\ > 0 такие, что

дш((1 + 46-к)1) < (д+|)с^) + Сь ¿^0, (14)

£

< 2> (15) (I + д<г)(1 + 8<%) <1 + £. (16)

Пусть ] ^ ^. Найдем к ^ А такое, что jk ^ j < ^'к+ь Рассмотрим отдельно случаи а) и б) расположения множества Uj.

а) Если Uj позволяет выбрать точку Zj е Uj с 11т Zj | ^ <к | Яе Zj |, то для Шат (Uj) справедлива оценка (9), так что для произвольной точки г е Uj с учетом (5) имеем

| Яег| < | ЯеZj| + &ат (Uj) < (1 + 4<к)| ЯеZj|,

11т г| ^ 11тzj| + &ат (Uj) ^ 2<кш(И,е zj) + (1 + 2<к)| 1тzj|.

Следовательно, на основании (14)-(16)

дш(Ке х) + 1| 1т х| ^ (1 + 44) Ие х^-) + 1(24ш(Ие ) + (1 + 24)| 1т |)

< (д + | + 2/^) ш(Ке^) + /(1 + 2^)11т+ (Л

< (д + е)ш(Ие) + (1 + е)| 1т| + Сь

б) Пусть теперь 11т х| > 41 Ие х| для всех х £ Ц. Зафиксируем х £ Ц. Если ||х|| = | Ие х|, то | И,е х| > гк ив силу (5)

х) ^ | И,ех| < д411тх|.

А если ||х|| = 11тх|, то 11тх| > , так что снова на основании (5)

дш(Кех) ^ дш ( 1т) ^ 1т= д4| 1т

\4 ) 4

Таким образом, для всех х £ Ц

дш(И,ех) + 1| 1тх| ^ (1 + д4)| 1тх| ^ (1 + д4)(11тх^| + ))

< (1 + )(1 + 84)| 1тх| < (1 + е)| 1тх| .

Объединяя теперь случаи а) и б) и полагая С := С\ + тах{до;(11е х) + 1\ 1т : х £ 11], 1 ^ ] ^ получим неравенство (12).

Докажем неравенство (13). Заметим, что если множество Ц расположено как в пункте б), то точки х и х^ равноправны (обе — произвольные точки Ц), так что в (12) их можно просто поменять местами и получить (13). Соответственно, (13) нужно установить лишь для Ц из пункта а). В данном случае выберем к £ N и С1 > 0 так, чтобы

+ <(д + е)шЦ) + Съ (18)

<1 + е. (19)

к I

Для ] ^ ^'к находим к £ N такое, что ^ ^ ] < ^'к+ь Тогда аналогично (17)

| Иех^ | ^ | Иех| + а1ат (Ц) ^ | Иех| + 441 Иех^|, откуда (Кех^! ^ 1-4^ I Следовательно,

11т х^ | ^ 11т х| + diam (Ц) ^ 11т х| + 24ш(Ие х^) + 2411т х^ | ^ \1шх\+25кш(^1 Иех) +24|1т^|,

так что

Ее.)).

Тогда окончательно на основании (18) и (19) имеем

^(Ие + 1т | < (д + шНе г) + | 1т

< (9 + е)ш(Иех) + (1 + е)| 1тх| + С. Полагая С:= С + тах {дш(И,ех^) + 1| 1тх^| : 1 ^ ] ^ , получаем (13). >

Лемма 4. Имеют место соотношения

j mm'

lim у— = 0, lim 1—- = 0.

j—™ |zj I j—™ |zj |

< Как обычно, через nM(r) будем обозначать считающую функцию нулей целой функции р, т. е. nM(r) = |As|<r Поскольку р имеет нулевой тип при порядке 1, то = o(r) при r ^ то. Далее, в силу условия (а') на вес ш с учетом ш(1) = 0 найдется A > 1, при котором w(t) ^ At для всех t ^ 0. Если теперь подобрать к £ N так, чтобы A^ < 1, то для j ^ j получим

|zjI + diam (U) ^ |zj| + 24w(Rezj) + 8^| Imzj| ^ (1 + 10A4)|zj| ^ 111zj|.

Так как множества Uj попарно не пересекаются, причем в каждом Uj содержится хотя бы один нуль функции р, то j ^ n^(|zj| + diam (Uj)) ^ nM(111zj|) при j ^ j. Отсюда вытекает, что

j n„(11b I) n„(r)

lim sup -j—г ^ lim sup ——■—p— ^11 lim sup —— = 0.

j—™ |zj1 j—™ |zj1 r—r

Таким образом, первое соотношение доказано. Аналогично

га,-

Y^ < nM(|zj 1 + diam (Uj)) < nM(11|zj D> j ^ j.

так что выполнено и второе доказываемое равенство. >

3. Изоморфная реализация кег Т^

Данный параграф посвящен изоморфному описанию кег Т^, которое устанавливается в три этапа и позволяет в дальнейшем получить основной результат о существовании базиса в кег Тм.

Сначала в Н^) 1 рассмотрим замкнутый главный идеал, порожденный функцией р: 3 = рН(Ш);/ = {д е Я^ : д(1)(А5) = 0, г = 0,...,кя — 1, в = 1,2,... }

и соответствующее факторпространство Я1^ ^/3, которое, как и само Я1^ ^, относится к классу (БРВ)-пространств. Для [/] е Я^) 1 /3 положим

|||[/]|||-, 9, 1 = II/Щ ,, 1 = И II/ + ЛЩ,, 1, д е (0,1), г е (0,а).

Тогда фактортопология в Я1^ ^/3 — это топология индуктивного предела семейства банаховых пространств {[/] : | | | [/]|| | ш 1 < то}, д е (0,1), I е (0, а).

Из общей теории двойственности с учетом свойств (РБ) и (БРВ)-пространств стандартным образом вытекает

Лемма 5. Отображение Ф : кег Т^ ^ (Н^) //3', действующее по правилу (Ф/, [д]) = </,^-1(д)) , / е кегТм, [д] е Я^>7/3, устанавливает топологический изоморфизм между кег Т^ и (Я1^ ^ /3.

AS6U,

Перейдем теперь к изоморфной реализации факторпространства Н^ 1 /3 и, как следствие, его сильного сопряженного (Н^ 1 /3. Пусть (Ц,)?=1 — построенное в §2 покрытие нулевого множества функции р. Как обычно, через Н) будем обозначать пространство всех ограниченных аналитических в Ц, функций с нормой ||д||те,} = |д(х)|. Рассмотрим замкнутые подпространства этих пространств

3} = {д £ Н) : д«(Л5) = 0, 1 = 0,..., кя - 1, Ая £ Ц}

и соответствующие факторпространства X, := Н^(Ц})/3,, ^ £ N. По построению |р| отграничен от нуля в некоторой окрестности дЦ,, так что в X, класс [/], / £ Н), совпадает с {/ + рд : д £ Н)}. Норма класса [/] равна

= )nf ||f H~>j = \ II/ + HU,j = , suP |f (z) + MzMz)|-

f n[f] gen n(Uj) gnHn(Uj) z6Uj

Понятно, что все Xj конечномерны, причем dim Xj = mj, j G N 11=1 Xj

Обозначим X := П°=i Xj и введем в рассмотрение следующий весовой подкласс клас-

са X:

^ = [р= Ш)Т= 1 еХ : (3 ? G (0,1)) (3 I G (0, а)) ^ = sup < - } ■

Пространство k^ наделяется естественной индуктивной топологией и является в ней (БРВ)-пространством.

Лемма 6. Отображение р : [/] G H^) j/J ^ ([/|ujОJ=1 устанавливает топологический изоморфизм между H1^ j/J и

< Инъективность отображения р очевидна. Далее, зафиксируем q G (0,1), l G (0, а) и возьмем е > 0 так, чтобы q + е < 1, l + е < а. В силу леммы 3 найдется C > 0, при котором выполнено неравенство (12). Для [/] G H1^ j/J имеем

111[/ |Uj ]||U ,j = inf ^ sup |/(z) + p(z)g(z)| < inf sup |/(z) + h(z)|

gnHn (Uj) znUj hnJ znUj

< |||[/]||U,г sup eq^(Rez)+i| Imz| < eC|||[/]|||a,q, гe(q+e)a,(Rezj)+(i+e)|Imzj znUj

откуда |р([/])|ш q+e i+e ^ eC|||[/]|Щ?> г. Это означает, что р действует непрерывно из HH ,j/J в '

Поскольку для (БРВ)-пространств справедлива теорема об открытом отображении, остается проверить лишь сюръекивность р. Зафиксируем ^ = ([^j])°=1 G Тогда

имеются q G (0,1) и l G (0, а), при которых q г < то. Функции G H^(Uj), представителей классов [^j], будем считать такими, что ||^>jj = |||[^>j]|||теj. Тогда

(z)| < Мш , q, i eq^(Rezj)+г| Imzjz G Uj, j G N. (20)

Возьмем е > 0 так, чтобы q + 9е < 1, l + 9е < а. Найдем k G N такое, что е^ < е.

1) Для j G N введем в рассмотрение множества Vj = {z G Uj : d(z,dUj) ^ Oj}, где, как и выше, <Tj = min{e_4efca,^Rez')_4efc'Imz' : z G £/j}. В соответствии с леммой 2 для всех z G Uj \ Vj выполняется неравенство (11), из чего, во-первых, следует, что С Uj V', а во-вторых, что

ln |p(z)| ^ -3ew(Rez) - 3е| Imz|, z G Uj \ Vj, j ^ j. (21)

Как известно, существует бесконечно дифференцируемая в Ж2 функция д, обладающая свойствами

д(г) = 1 на У V,, яирр д С У Ц, 0 ^ д(г) ^ 1 в С.

При этом

Со

а,

где Со от не зависит. В силу выбора чисел aj найдется точка £ Uj такая, что а, = ехр(—4екш(Яе%) — 4ек11т|). Значит, при 2 ^ ^

||(,г) ^ с0е4еш(Ке^)+4е|1тЧ

Выбрав теперь в соответствии с леммой 3 константу С1 > 0, при которой

4еш(И,е г) + 4е| 1т < 5еш(И,е г,) + 5е| 1т г,| + С1, г £ Ц, 2 £ N окончательно получим, что

— (г) ^ Сое6"1 е5еш(Ке^)+5е11т^1 , (22)

2) Положим теперь

Функция Н будет бесконечно дифференцируема в Ж2, Н(г) = 0 при г £ и, (Ц \ V). Снова пользуясь леммой 3, найдем С2 > 0 такое, что для всех 2 £ N

(д + 5е)ш(Яе г,) + (1 + 5е)| 1тг,| < (д + 6е)ш(Кег) + (1 + 6е)| 1т+ С2, г £ Ц.

Тогда, объединяя (20)-(22) и полагая С := С0 е6"1 +с"2, заключаем, что при г £ Ц \ V,-,

|Н(г)| ^ Се(9+9е)ш(Кег)+(1+9е)|1т(23)

3) Находим теперь бесконечно дифференцируемую в Ж2 функцию V, являющуюся решением <9-задачи |§ = к. При этом §§ = 0, г £ Vj, j £ N, так что V аналитична в каждой из областей V,.

В качестве искомой функции / возьмем /(г) = ^(г)р(г) + Ф(г)д(г), г £ С. Тогда Щ= = 0 в С, т. е. / £ Н(С). Более того, из (23) стандартным образом вытекает, что / £ Н^) 1. При этом в областях V', 2 £ N функция / совпадает с ^(г)р(г) + (г), так

что / (1)(А5) = (АД 1 = 0,..., — 1, А5 £ V. Это означает, что [/] = [^] в X,, 2 £ N, т. е. р([/]) = р. >

Следствие. Отображение

Я : Ф £ (Н^дМ)' ^ Ф ◦ Р-1 устанавливает топологический изоморфизм между (Н^) 7//)^ и .

Завершая настоящий параграф, получим изоморфное описание (кс)в. Пусть X € Н) — сопряженное к банахову пространству X, с сопряженной нормой

IV||С =^пр (М)| : [р] € X,, |||[р]||С < 1} .

Само Xj является банаховым пространством размерности т,. Положим теперь X' :=

г

,=1" Ч

Пу=1 Xj и рассмотрим в X' весовой подкласс

Ас = {V = (V,-)с=1 € X' : (Vд € (0,1)) (VI € (0,а))

И= ^р| | | V,-| | | С,, е^(Ке^)+г| 1т^1 < то}.

Понятно, что Ас относится к классу (РБ)-пространств.

Наконец, определим еще следующие естественные отображения:

в, :[р, ] € X, ^ (0,..., 0, [р, ], 0,...) € кс,

, : V, € X, ^ (0,..., 0, V,, 0,...) € Ас.

з

Лемма 7. Отображение Б : V € (кс)' ^ (V о в,)СС=1 устанавливает топологический изоморфизм между (кс)^ и Ас.

< В силу свойств веса ш и достаточно быстрого стремления ^ | к то (см. лемму 4) получаем, что 1п] = о(7ш(И,е )+7| 1т |) при ] ^ то для произвольного 7 > 0. Из этого легко следует, что для любого р = ([р,])СС=1 € кс ряд ^С=1 ([^]) сходится абсолютно к р в кс. А тогда

с

V(р) = ^> о в,)([^]), V € (кс)', ,=1

откуда вытекает инъективность отображения Б.

Сюръективность Б получается из тех же соображений. Достаточно для (V,)?=! € Ас положить

v(р):=£Vj(р]), р = (рj G k~.

j=i

Наконец, поскольку сильная топология в (kзадается набором преднорм Й",„« =sup {jv(p)j : р G k~, М",„« < 1}, q G (0,1), l G (0,a),

и так как для любого v G (k^)' выполнено

jSVjl,^ =supeq"(Re)+1|Im1 sup { j(v о Sj)([pj])j : p] G Xj, j j j [pjjjjj^ < 1}

= sup {j v(p) j : p G k~, pШЛ,1 < 1} = И

то S взаимно непрерывно. > Из лемм 5-7 вытекает

Теорема 2. Отображение L := S о R о Ф есть топологический изоморфизм ker на Л~.

4. Доказательство основного результата

Итак, построенное в § 2 покрытие (Ujмножества N разбило нули функции р и соответствующие им элементарные решения однородного уравнения свертки на группы. Введем в рассмотрение линейные оболочки этих групп решений:

Ej := span{(—ix)1e-iAsx : l = 0,..., - 1, As G Uj }, j G N.

Множество Ej является подпространством размерности mj в ker T^.

Лемма 8. Для отображения L из теоремы 2 справедливы равенства L(Ej) = tj(Xj), j G N.

< Отображение ¿^s : [g] ^ g(1)(As), s G N, l = 0,..., — 1, является линейным непрерывным функционалом на j /J. Для тех s G N, при которых As G Uj, можно рассмотреть «сужение» ¿^s |xj этого отображения на пространство Xj. Непосредственно проверяется, что в пространстве при каждом j G N для s G N с As G Uj и l = 0,..., — 1 выполняется равенство L((—ix)1 e-iAsx) = tj о ¿^s X. Из этого следует, что L(Ej) С tj (Xj). Учитывая еще, что dim L(Ej) = dim Ej = mj и dim tj (Xj) = dim Xj = mj, заключаем, что имеет место равенство L(Ej) = tj (Xj). >

Лемма 9. В пространстве имеется абсолютный базис вида

{tj (jp): p = 1,...,mj, j G N}, (24)

где {Vj,p : p = 1,..., mj} — некоторый базис в Xj, j G N.

< Зафиксируем j G N. В соответствии с леммой Ауэрбаха (см. [13, 10.5]) в Xj и Xj можно выбрать базисы {[^>j,p] : p = 1,..., mj} и {Vj,p : p = 1,..., mj} такие, что

1 1 1 [j 1 1 1 = 1, 1 1 1 j 1 1 1 Uj = 1, p =1,...,mj; /[ ] \- ¿ i1, p =m,

\[Vj,pb Vj,m/ = ¿pm = \ .

0, p = m.

При этом разложение произвольного элемента Vj G Xj по базису {Vj,p : p = 1,... ,mj} имеет вид

mj

Vj = ^ ([^j,P],Vjj p=1

В пространстве теперь для произвольного элемента v = (Vj)j=1 рассмотрим ряд

те mj

/tj (vj,P). (25)

j=1 P=1

Возьмем произвольные q G (0,1) и l G (0, а). Пусть e > 0 таково, что q + e < 1, l + e < a. Для всех j G N и p = 1,..., mj

ljVjP)U,i = eqw(Re )+1|Im 4 (26)

Далее, в силу свойства (7) веса ш найдется С > 0 такое, что еш(Бе ^) + е| 1т ^| ^

31п(1 + |) — С при всех ] е N. В свою очередь, из леммы 4 вытекает, что А := 1 (1Н%|)8 < оо. Поэтому

те /

I . ^^>| ■ ^ К^Цг

¿=1 р=1

те

-/ „ eq^(Re )+« Im 1 /

^ Иш,?+е,!+е )+(«+e)I Im^ | ^ Ав \UL,q+£,l+£-

j=1 e

Таким образом, ряд (25) сходится абсолютно в Понятно, что его сумма совпадает с v. Ясно также, что разложение элемента v по системе (24) обязательно имеет вид (25), а значит, оно единственно. >

В качестве следствия теперь легко получается основной результат работы. Сформулируем его несколько более точно, чем во введении.

Теорема 3. Пусть ц G M1^ удовлетворяет условию (SC). В пространстве решений однородного уравнения свертки Т/ = 0 имеется абсолютный базис

j : p = l,...,mj, j G N}, (27)

состоящий из элементов ej,p (p = l,... , mj) подпространств Ej, натянутых на элементарные решения (—ix)1 e-iAsx (l = 0,..., ks — 1, As G Uj) этого уравнения.

< Положим ej,p := L-1(tj (vj,p)), p =1,...,mj, j G N, где {j (vj,p) : p = 1,...,mj, j G N} — абсолютный базис в из леммы 6. В силу леммы 8 тогда ej,p G Ej, p = 1,..., mj, j G N. Поскольку L — топологический изоморфизм ker TM на то (27) — абсолютный базис в ker TM. >

В заключение работы заметим, что полученные результаты позволяют отождествить ker T^ с некоторым пространством степенных рядов конечного типа, что может быть полезно в различных вопросах (по поводу пространств степенных рядов см. [10]). Пусть mj, j G N, те же, что и выше, а m0 := 0. Зафиксируем j G N. Для k такого, что Xj=o m« < k ^ Xj=o m« положим ak := w(Re Zj) + | Im Zj|. Рассмотрим пространство степенных рядов конечного типа, порожденных последовательностью a = (a&)£=i:

Л(а) = k = (6)feli е CN : (Vn G N) ||eiU = sup < 00).

Теорема 4. Пространства ker TM и Л(а) изоморфны.

< Из тех же соображений, которые использовались в конце доказательства леммы 9, вытекает, что единичные орты (ek) образуют абсолютный базис пространства Л(а). При этом для Y,Со m« < k ^ ^j=0 mi

= е"^ = (28)

Установим взаимно одназначное соответствие Q между абсолютным базисом j : р = 1,... , ^ е N1 пространства Ате и абсолютным базисом {ек : к е N1 пространства Л(а), положив для ^ е N и р = 1,..., т^-

Топология в может быть задана набором норм

~/ / 1

I ' \ш,1——,а— — ) по^2:а-->0

п> п / га=гао V П

Из (26) и (28) вытекает, что

\\ЯЫ»3,р))\\п = Ы"з,р)\ш1-к а— —

пп

при всех п. Значит, отображение Q взаимно непрерывно, т. е. Q — топологический изоморфизм на Л(а). Соответственно, Ь о Q — топологический изоморфизм кег на Л(а). >

Литература

1. Абанин А. В., Филипьев И. А. Аналитическая реализация пространств, сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн.—2006.—Т. 47, № 3.—С. 485-500.

2. Абанина Д. А. Разрешимость уравнений свертки в пространствах ультрадифференцируемых функций Берлинга нормального типа на интервале // Сиб. мат. журн.—2011.—(Принята к печати).

3. Жаринов В. В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS // Успехи мат. наук.— 1979.—Т. 34, № 4.—С. 97—131.

4. Красичков-Терновский И. Ф. Одна геометрическая лемма, полезная в теории целых функций, и теоремы типа Левинсона // Мат. заметки.—1978.—Т. 24, № 4.—С. 531-546.

5. Кривошеев А. С. Базис Шаудера в пространстве решений однородного уравнения свертки // Мат. заметки.—1995.—Т. 57, вып. 1.—С. 57-71.

6. Леонтьев А. Ф. Дифференциально-разностные уравнения // Мат. сб.—1949.—Т. 24.—С. 347-374.

7. Напалков В. В. О базисе в пространстве решений уравнения свертки // Мат. заметки.—1988.— Т. 43, вып. 1.—С. 44-55.

8. Berenstein C. A., Taylor B. A. A new look at interpolation theory for entire functions of one variable // Adv. in Math.—1979.—Vol. 33.—P. 109-143.

9. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables.—New York: Wiley Interscience, 1970.— 506 p.

10. Meise R. Sequence space representation for (DFN)-algebras of entire functions modulo closed ideals // J. Reine Angew. Math.—1985.—Vol. 363.—P. 59-95.

11. Meise R., Schwerdtfeger K., Taylor B. A. On kernels of slowly decreasing convolution operators // Doga Tr. J. Math.—1986.—Vol. 10, № 1.—P. 176-197.

12. Meise R., Taylor B. A., Vogt D. Equivalence of slowly decreasing conditions and local Fourier expansions // Indiana Univ. Math. J.—1987.—Vol. 36, № 4.—P. 729-756.

13. Meise R., Vogt D. Introduction to functional analysis.—Oxford: Univ. Press, 1997.—437 p.

14. Meyer T. Surjectivity of convolution operators on spaces of ultradifferentialble functions of Roumieu type // Studia Math.—1997.—Vol. 125, № 2.—P. 101-129.

15. Schwartz L. Théorie générale des fonctions moyenne-périodiques // Ann. of Math.—1947.—Vol. 48.— P. 857-929.

Статья поступила 7 июля 2011 г. Абанина Дарья Александровна

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, научный сотрудник лаб. комплексного анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22; Южный федеральный университет, доцент кафедры математического анализа РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: [email protected]

EXPONENTIAL-POLYNOMIAL BASIS FOR NULL SPACES OF CONVOLUTION OPERATORS IN CLASSES OF ULTRADIFFERENTIABLE FUNCTIONS

Abanina D. A.

We consider a homogeneous convolution equation in the Beurling class of ultradifferentiable functions of mean type on the interval. It is obtained that in the space of its solutions there is an exponential-polynomial basis.

Key words: ultradifferentiable functions, convolution equation, exponential-polynomial basis.