Экспоненциальная устойчивость линейных систем с распределенными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владимир Иванович Бойков

Сергей Владимирович Быстров —

Александр Игоревич Рябов

Ольга Карибековна Мансурова

канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

канд. техн. наук; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

канд. техн. наук; Национальный минерально-сырьевой университет „Горный", Санкт-Петербург; доцент; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой систем управления и информатики

Поступила в редакцию 13.12.12 г.

УДК 62-51

В. В. Григорьев, С. В. Быстров, И. М. Першин, А. К. Наумова, А. Н. Гурьянова

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ*

На основе частотных методов исследования систем с распределенными параметрами сформулирован модифицированный критерий Найквиста экспоненциальной устойчивости линейных систем.

Ключевые слова: экспоненциальная устойчивость, распределенные параметры, частотные методы.

Введение. Критерий устойчивости Найквиста [1, 2] относится к частотным критериям устойчивости линейных непрерывных систем с постоянными параметрами, он позволяет для систем с одним входом и выходом и единичной обратной связью по амплитудно-фазочастотным характеристикам (АФЧХ) разомкнутого контура устанавливать свойство асимптотической устойчивости замкнутой системы. Однако свойство асимптотической устойчивости не позволяет судить о скорости сходимости процессов системы к положению равновесия. Экспоненциальная устойчивость позволяет оценивать быстродействие системы по степени сходимости процессов к положению равновесия. Модификация критерия Найквиста дает возможность установить свойство экспоненциальной устойчивости для линейных непрерывных систем с постоянными параметрами и тем самым оценить их быстродействие. Модифицированный критерий Найквиста экспоненциальной устойчивости распространяется на линейные системы с распределенными параметрами.

Модификация критерия Найквиста для линейных непрерывных систем с постоянными параметрами. Рассмотрим линейную непрерывную систему, передаточная функция разомкнутого контура которой Ж(я) представляет отношение двух полиномов

ад

W (s) =

A(s)

Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009—2013 гг. (государственный контракт № 14.740.11.1080).

причем степень полинома Л(5) равна п, а В(5) — т(т < п). При этом передаточная функция замкнутой системы имеет вид

Ф( =-^-,

Л(э) + В( 5)

где Л(5)+В(5) — характеристический полином замкнутой системы. Введем вспомогательную передаточную функцию

Л(э) + В( 5) = £(5)

Ж,( 5) = 1 + Ж (5) =

Л( 5) Д( *)'

где 0(5) = Л(э) + В(э) — характеристический полином замкнутой системы, = Л(э) — характеристический полином разомкнутого контура. Замкнутая система экспоненциально устойчива, если все корни ее характеристического полинома лежат левее прямой, параллельной мнимой оси, сдвинутой на значение а (а — параметр экспоненциальной устойчивости, определяющий степень сходимости процессов к положению равновесия). Сведем задачу установления факта экспоненциальной устойчивости к классической задаче определения устойчивости, для чего введем конформное отображение вида

51 = 5 -а,

при этом характеристический полином замкнутой системы -0(5,) = Л (5,) - В (5,) должен иметь все корни характеристического полинома относительно переменной 5, в левой полуплоскости комплексной плоскости корней, и все корни должны иметь отрицательные вещественные части. Вспомогательная передаточная функция с учетом конформного отображения примет вид

ж,(5,) =

Перейдем к частотным передаточным функциям:

5, = .ш-а = ушь

при этом

дм)

Согласно принципу приращения аргумента, если разомкнутый контур имеет I корней, вещественная часть которых больше значения -а, а остальные п -1 корней имеют вещественные части, меньшие -а, то приращение аргумента / вспомогательной частотной передаточной функции должно быть равно

пп (п - 1)п I п

/ =----— + — = 1п.

2 2 2

Перейдя к АФЧХ разомкнутого контура, получим, что приращение аргумента /2 частотной передаточной функции разомкнутого контура

Ж (.ш,) =

Л(М)

относительно точки комплексной плоскости (-1, .=0) должно быть равно /2 = 1п .

Если разомкнутый контур экспоненциально устойчив с параметром а, то I = 0 и /2 = 0, т.е. АФЧХ модифицированной частотной передаточной функции разомкнутого контура

Ж(/Ю1) не должна охватывать точку (-1,7=0) комплексной плоскости, при этом линейная система будет экспоненциально устойчивой со степенью сходимости а.

Применение частотных методов к системам с распределенными параметрами. Для

пространствено-инвариантных распределенных систем [1—5] передаточная функция по каждой пространственной моде может быть представлена в виде:

W^s) = В^ф/А^), n, Y=1, 2, ..£=1, 2, ..., 4,

(1)

причем степень полиномов An,y^(s) и Bn,y^(s) равна бесконечности. Пространственно-инвариантную систему структурно можно представить в виде бесконечной совокупности условно сосредоточенных систем (по каждой пространственной моде), при этом доказано [1], что если каждый контур устойчив, то устойчива и вся система.

Согласно работе [2], передаточная функция разомкнутой системы должна удовлетворять условиям, представленным в виде отношения аналитически целых функций:

1) lim

S—^ Wn

2) внутри контура интегрирования передаточная функция должна быть мероморфной.

Для определения возможности применения критерия Найквиста к каждому контуру системы управления необходимо провести анализ передаточной функции каждого из контуров.

Пример 1. Исследуем передаточную функцию процесса распространения тепла в цилиндрическом стержне.

Рассмотрим особенности применения частотного критерия Найквиста при анализе устойчивости в каждом контуре системы управления процессом распространения тепла в цилиндре конечных размеров, управляющее воздействие на который распределено по границе.

Согласно работам [1, 3], передаточная функция объекта по n-й моде входного воздействия может быть представлена в виде отношения функций Бесселя:

(R, s)

Wo,n (s) =

J

0,n

Jo (R s)

n=1,2, ...,

где Я, Я — заданные числа, — функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Представляя функцию в виде /од^), п=1, 2, ..., рассмотрим поведение функции

на контуре интегрирования бесконечно большого радиуса. Функция J0n](jz) при бесконечно больших значениях аргумента 2, согласно [4, 5], может быть представлена в виде следующего соотношения:

Jo,n (jz) =

1

(

(2nz )

1/2

exp(z)

1 + -

1

1-32

1! 8 z

2!(8 z )

Л

- +...

|argz| <-2, П = 1,® .

Найдем предел

lim W0 n (s) = lim

s^-x

s^x

i \V2

, * V/2 eXPK)

1 1-32

1+-+ -

1!8 z

f * Y

- +...

n 2!

8 z n

V J

2n z n

V J

1 1-32

1 +-+ -

1!8 zn

2!K)

■ + ...

, П = 1, ®,

(2)

значения аргументов функции могут быть найдены из следующих соотношений:

* Í s V/2 *

s2 — + у2

Zn =

V a

n

R , Zn =

s 2 —

V ai J

n

V/2

R, Az

f * Л R- R

V J

s 2 —+

V ai

12

Vn =n-, n= 1,,

xL

x L — заданное число. Преобразовав (2), получим

lim Wo,n (5) =

= lim

' i i • 32

i +-+ ■

Í V/2 Í

R

- • exp

V R J

Í VV2 / 's 2 '

—+Vn V ai J

((- r)

i!8 z

n 2

!(8 Z n)

■ +...

i i • 32

i +-+ ■

i!8 Zn 2!(8zn)

■ + ...

n = i, (3)

Так как условия физической реализуемости предполагают R < R , то

lim Won(s) = 0, п = 1,•

S^<X>

Предположим, что передаточная функция регулятора по п-й моде входного воздействия равна Kn (Kn — заданные числа; п=1, 2, ...).

В этом случае характеристический полином разомкнутой системы п-го контура имеет

вид:

J0,п (Jzn) = 0, П =1, • Рассмотрим отображение правой полуплоскости S на плоскость r=jzn. Положим

s = Mi (cos Ф1 + j sin ф1), (4)

где М1 — модуль комплексного числа s; ф1 — фаза комплексного числа s. Подставив (4) в (3), получим

Г / \ 2 "|1/2 -

jzn = j [М2 (C0S Ф1 + j sin Ф ))nj R , П = 1,Ю , (5)

где M2=M1/a1, a1 — заданное число. Преобразовав (5), придем к следующему результату:

JZn =

, ч 2 W2 -

М2 (cos ф1 + j sin ф1 ) + уп R, п = 1,•

Для удобства рассмотрения комплексных чисел jZn ( п = 1,) на комплексной плоскости Г (рис. 1) представим комплексное число jZn в наглядной форме

jzп = A exp (j^), п = h,

где

Ф2,п = Фз,п/2;

-М2 sin Ф1

Фз n = arctg

An= R

-M2 cos Ф! - уП ((2 sin Фl )2 + (( cos Фl - ^ )

(6) (7)

i/4

; n = i,•

(8)

При фl = п/ 2 значение Ф2 n, согласно (6), (7), определяется из следующего соотношения:

Найдем предел

1

Ф2,л = Т агс*§

1

( Х4 Л

-М2 (

, П = 1,ю •

Нш Ф2п = Иш — агС£

М1 ^ю М1 ^ю 2

-М

п 1— = -—, П = 1,ю •

Аналогично можно показать, что при ф1=-п/2 и М1 ^ ю значение ф2,п стремится к п/4.

1ш(£) £ 'ф1 ^ Яе(^)

/ ^

X

Рис. 1

На рис. 1 показано отображение правой полуплоскости £ на плоскость Г. Получаемое отображение представлено в виде секторов Л1 и Л2; М^ = ^К •

Исследования, проведенные в работе [5], показывают, что функции (п), П = 1, ю,

в секторах Л1 и Л2 не имеют нулей, следовательно, функция Jo ^ (К, в) не имеет нулей, лежащих в правой полуплоскости Это отражает известное свойство устойчивости тепловых

* _

процессов. Исследуя функцию Jor[ (К, в), п = 1, ю, можно показать, что она также не имеет

нулей, лежащих в правой полуплоскости Представленная методика позволяет судить о нулях и полюсах передаточной функции по каждому контуру управления одномерным температурным полем.

Рассмотрим отображение области [О, в} в область [О,(О)}. Для этого представим выражение (6) с использованием обобщенной координаты О [1, 3]:

>(О) = Л(^)ехр (7Ф2 (О)), О = Он

,ю .

где

Фз = агС£

Ф2 = Фз/2; -М 2 эт ф1

-М2 соз ф1 - О

Л(О) = К

2 2 ((2 эт ф1) + ((2 соэ ф1 - О)

14

О = Он, ю .

(9) (10)

(11)

При ф1=п/2 значение ф2, согласно (9), (10), определяется из следующего соотношения:

1 . (-М2Л

Ф2 = 2агс1§

-О

о = он , ю .

Найдем предел

1 f-M1 ^ п ^ --

lim ф2 = lim -arctg —— I =--, G = GH,да .

2 y-aG ) 4

Аналогично можно показать, что при ф1= -п/2 и М^да значение ф2 стремится к п/4. На рис. 2 представлено отображение области {G, s} в область {G, jz(G)}. Это отображение

Исследования, проведенные в работах [1, 3], показывают, что рассматриваемая функция в областях Л1 и Л2 не имеет нулей, следовательно, функция п (72п ), П = 1,, записанная с использованием обобщенной координаты в виде Jo (О, Я, 5), не имеет нулей, лежащих в области [О, 5). Это отражает известное свойство устойчивости тепловых процессов. Аналогич-

*

но можно показать, что функция Jo (О, Я, 5), О = Он, да, также не имеет нулей, лежащих в

правой полуплоскости

Полученные результаты для передаточной функции, записанной с использованием обобщенной координаты, показывают, что передаточная функция не имеет нулей и полюсов, лежащих в правой полуплоскости 5, является мероморфной и на контуре интегрирования бесконечно большого радиуса не имеет особенностей. Следовательно, критерий Найквиста применим к оценке устойчивости рассматриваемых систем управления. Введя конформное отображение вида

51 = 5 -а,

проведем аналогичную процедуру с передаточной функцией вида

^¿(51) = Д^О/А^Ы; п, У = 1, 2, ...; £ = 1, 2, ..., 4.

Если разомкнутый контур экспоненциально устойчив с параметром а, то АФЧХ модифицированной частотной передаточной функции разомкнутого контура W1]Y^(51) не должна охватывать точку (-1,7=0) комплексной плоскости, при этом линейная система будет экспоненциально устойчивой со степенью сходимости а.

Разомкнутый контур будет экспоненциально устойчив с параметром а, если пространственный годограф модифицированной частотной передаточной функции разомкнутого кон-

тура W(G,si) не будет охватывать линию (-1, j=0,G). При этом на системы с распределенными параметрами можно распространить оценки качества процессов [6].

список литературы

1. Григорьев В. В., Быстров С. В., Першин И. М. Синтез распределенных регуляторов: Учеб. пособие. СПб: Изд-во СПбГУ ИТМО, 2011. 200 с.

2. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Особые линейные и нелинейные системы. М.: Энергия, 1981. 303 с.

3. Першин И. М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами. Пятигорск: Изд-во „РИО КМВ", 2007. 243 с.

4. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967. 599 с.

5. Янке П., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968. 344 с.

6. Быстров С. В., Григорьв В. В., Рабыш Е. Ю., Мансурова О. К. Анализ качества переходных процессов в непрерывных и дискретных системах на основе условий качественной экспоненциальной устойчивости // Мехатроника, Автоматизация, Управление. 2012. № 9. С. 32—36.

Сведения об авторах

Валерий Владимирович Григорьев — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

Сергей Владимирович Быстров — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

Иван Митрофанович Першин — д-р техн. наук, профессор; Пятигорский институт Северо-Кавказ-

ского федерального университета, кафедра управления в технических и биомедицинских системах; заведующий кафедрой; E-mail: [email protected]

Алла Константиновна Наумова — Санкт-Петербургский государственный политехнический университет; заведующая сектором учебного отдела департамента образовательной деятельности; E-mail: [email protected] Алёна Николаевна Гурьянова — магистрант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский

университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

систем управления и информатики 13.12.12 г.