CC BY
190
управление.// Известия ТулГУ. Серия “Вычислительная техника. Информатика.” Вып.5. 1999. С. 146-153.
5. Фатуев В.А. Построение оптимальных моделей динамики по экспериментальным данным: учеб. пособие. Тула: ТулГУ, 1993. 104 с.
6. Фатуев В.А., Маркова Т.Н. Математические модели объектов управления: учебное пособие. Тула: ТулГУ, 2002. 119 с.
7. Фатуев В.А.. Лазукин А.А. Анализ пригодности моделей линейных динамических систем для оптимального по быстродействию управления. // Известия ТулГУ. Серия “Вычислительная техника. Информатика.” Вып.5. Тула 1999. С. 169-175.
8. Фатуев В.А., Лазукин А.А. Оптимальное по быстродействию управление на основе неточных моделей динамики // 12-я Международная науч. конф.: тезисы докл. Новгород: Новгород, гос. ун-т, 1999. С. 139-141.
V.A. Fatuev, M.A. Safronova
MANAGEMENT OF DYNAMIC SYSTEMS WITH USE SITUATIONAL AND REGRESSION MODELS
Problems of identification and optimum management on speed by the dynamic systems, based on association situational and regression models are considered.
Key words: dynamic systems, identification, situational and regression models, optimum control.
Получено 20.01.12
УДК 517.8
В.А. Фатуев, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872) 36-97-83, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
В.А. Ковешников, канд. техн. наук, доц., 8-903-697-15-36, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ УНИВЕРСАЛЬНОГО АЛГОРИТМА СЛУЧАЙНО-ГЕНЕТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Рассматриваются результаты экспериментальных исследований случайногенетического алгоритма. В качества теста используются известные задачи коммивояжера со случайными точками, расположенными на прямой окружности и плоскости.
Ключевые слова: генетический алгоритм, задача коммивояжера, параметрическая оптимизация, неопределенность, тестовые функции.
В работе [1] формализован универсальный алгоритм случайногенетической оптимизации. При этом достигается высокая точность, схо-
димость, устойчивость решения непрерывных, целочисленных, дискретных и смешанных задач в рамках одного алгоритма.
Сравнительный анализ с известными оптимизационными алгоритмами свидетельствует о явном преимуществе данного случайногенетического алгоритма. Он эффективно решает все типы оптимизационных задач размерностью до 500-та переменных.
Разработанный алгоритм обеспечивает высокий уровень качества единовременно по всем перечисленным показателям; выигрывает практически по каждому из них, причем значительно, в сравнении с известными оптимизационными методами, решает все перечисленные типы задач.
Характерно еще и то, что он дает устойчивые оптимальные решения в условиях частичной определенности модели (когда при некоторых значениях параметров модель объекта не существует, либо процесс в этом состоянии еще не описан, либо модель не реализуема с вычислительной точки зрения - деление на ноль, отрицательное подкоренное выражение, не определенные тригонометрические функции типа аrссоs, аг^ и т.п.)
К настоящему времени подготовлены три тематических сайта на русском и английском языках [1], где подробно рассмотрены все типы задач, приводятся модели (тесты), соответствующие тексты программ, решения, дается сравнительный анализ, представлен раздел самостоятельного решения задач пользователей в различных технология и языках программирования :
Рассмотрено около 70-ти тестов, хорошо известных в теории параметрической оптимизации, это задачи: Griewangk, Schwefel, Askley, Helix, Леви, Растригина, Rosenbrock, Powel, Wood, Kowalik и др. [1, 2, 3, 4, 5, 6]. При этом они рассматривались на разных уровнях по числу управляемых переменных:
1 - 5 переменных;
2 - 15 переменных;
3 - 50 переменных;
4 - 100 переменных;
5 - 500 переменных;
Каждый уровень это, по существу, целая эпоха в оптимизации.
Одним из лучших тестов в классе дискретных оптимизационных задачи является задача коммивояжера.
Задача коммивояжера относится к классу трудно решаемых задач (NP- полные задачи), причем никакой алгоритм не гарантирует поиск оптимального решения, разве что полный перебор [7]. Как известно, количество вариантов составляет n! (для 40 пунктов это число равно 1,121576252666462*1076, для 100 пунктов - 9,332621544394418*10157). Вполне понятно, даже суперкомпьютер не способен просчитать эти варианты за сколько-нибудь обозримое время и даже100-1000 лет здесь ничтожно мало.
Некоторые авторы утверждают, что задача коммивояжера является лучшей для тестирования генетических алгоритмов [3,8]. Мы придерживаемся другой точки зрения - оптимизация (математическая) предполагает некоторую упорядоченность, взаимосвязь цели и принимаемых решений; задача коммивояжера с позиций оптимизации это состояние хаоса, где перебор неизбежен. Только специальные алгоритмы, эвристики в какой то мере эффективны. Так, например, модифицированный метод «ближайшего соседа» при равномерном расположении объектов является чрезвычайно эффективным [7,9].
В качестве тестов можно взять прямую, окружность, плоскость со случайно расположенными точками. В первых двух случаях ответ известен (расчет сводится к определению расстояния между двумя точками и определению длины окружности), для третьего теста можно получить оценку по методу «ближайшего соседа». Если визуализировать оптимальный маршрут, и он в действительности будет таковым, то полученные фигуры должны напоминать прямую и окружность соответственно, а плоскость можно контролировать по плотности и длине отдельных линий - составляющих маршрута движения. Впрочем, подобные суждения ассоциируются уже с элементами искусственного интеллекта.
Задача коммивояжера на плоскости. Объекты маршрута в количестве 100 штук расположены случайно в квадрате с границами в диапазоне -50 ^ 50. Задача решалась методом «ближайшего соседа» (БС), который специально разработан под данную задачу и универсальным оптимизационным методом - случайно-генетическим алгоритмом (СГА). Решение выполнялось как на максимум, так и на минимум, что позволило оценить диапазон качества принимаемых решений. Максимум по СГА составил 7802.255 единиц, по БС - 8004.537 единиц. При решении на минимум 957.954 единиц и 866.610 соответственно. То есть диапазон составил 8004.537 - 866.610 единиц в абсолютной шкале измерений и 823,7% в относительной шкале измерений ((8004.537 - 866.610)/ 866.610 = 8.237). Вполне понятно, что точное решение при такой размерности не известно, получить его просто не представляется возможным! Оценка отклонения по цели (на min) составило 10,54% ((957.954 - 866.610)/ 866.610 * 100%).
Координаты объектов, полученные датчиком равномерных случайных чисел в диапазоне -50 ^ 50, представлены на рис.1.
Исходная ситуация (Л=4681.997) при оптимизации на минимум данным алгоритмом представлена на рис.2. Данное состояние является исходным в работе случайно-генетического алгоритма. Оно определялось перебором 1000 случайных вариантов, среди которых были и явно худшие, например, соответствующие Л=6152.381.
Лучшему варианту по максимуму, найденному случайно-
л л
генетическим алгоритмом, соответствует 7802.255. Соответствующий маршрут движения представлен на рис.3.
Рис. 2. Исходная ситуация при оптимизации на минимум генетическим алгоритмом: S=4681.997 единиц (это значение получено методом случайного поиска на первом этапе оптимизации)
-60 -1 X
Рис. 3. Лучший вариант по максимуму, найденный случайно-генетическим алгоритмом: длина пути
S= 7802.255 единиц
Абсолютно лучший вариант по максимуму, найденный методом «ближайшего соседа», представлен на рис.4.
60 -|
-60 J X
Рис.4. Абсолютно лучший вариант по максимуму, найденный методом «ближайшего соседа»: длина пути S= 8004.537 единиц
Один из лучших вариантов по минимуму, найденный случайногенетическим алгоритмом, представлен на рис. 5.
Рис. 5. Один из лучших вариантов, найденный случайно-генетическим алгоритмом: длина пути S=970.171 (лучшему варианту соответствует S=957.954 единиц)
Абсолютно лучший вариант по минимуму, найденный методом «ближайшего соседа», представлен на рис.6.
Рис.6. Абсолютно лучший вариант, найденный методом «ближайшего соседа»: длина пути S=866.610 единиц
Задача коммивояжера на окружности. Объекты маршрута расположены случайно с центром в точке с координатами (0,0) на окружности радиуса 50 единиц. Вполне понятно, что оптимальный маршрут не превосходит 314,159 единиц. Многократные запуски исследуемого алгоритма дали следующие результаты: 448, 487, 514, 537, 568, 591 ... Оптимизация на максимум приводит к результатам близким к числу 9340. Время счета каждого варианта занимало от 0,5 часа до 2 часов. Увы, оптимальный вариант найти не удалось. Большее время счета привело бы только к улучшению результата, но, по всей видимости, это существенно не изменило бы общей картины. Эксперименты на данной задаче при 40 точках в шести случаях из 10 привели к точному оптимальному решению.
Если оптимизацию не выполнять, то маршрут движения подобен тому, что изображено на рис.7 (длина пути составляет 5322.8 единиц).
60
-60 J X
Рис. 7. Беспорядочные движения, которые происходят не по окружности, ( «компьютер не видит окружности»)
Далее приводится визуализация решений данной задачи при 100 точках, соответствующих результату 448, 487 и 514 единиц (рис. 8, 9, 10 соответственно). Результату около 314 единиц соответствовала бы окружность (на дисплее компьютера - эллипс).
л
Рис.8. Данному маршруту соответствует путь S = 448 единиц
Рис.9. Данному маршруту соответствует путь S = 487 единиц
X
Рис.10. Данному маршруту соответствует путь S = 514 единиц
Как показали исследования, решение задачи коммивояжера для различных схем расположения объектов и большой вариантности процесса перемещения свидетельствует о возможности получения устойчивых решений, отличающихся от оптимального на 10-15 процентов в пределах
0,5-2 часов работы компьютера. Данное обстоятельство позволяет утверждать, что данный подход является также эффективным и в классе дискретных оптимизационных задач.
Список литературы
1. Комплекс оптимизационных программ [Электронный ресурс] /
В.А. Ковешников, Д.И. Троицкий. [и др.] Режим доступа: http://www.genoptim.narod.ru/, http://www.genoptim.narod.ru/RUS,
http://www.genoptim.narod.ru/ENG.
2. Абакаров А.Ш. Статистическое исследование одного алгоритма глобальной оптимизации // Труды ФОРА. 2004. №9. С. 56-68.
3. Батищев Д.И. Оптимизация многоэкстремальных функций с помощью генетических алгоритмов // Высокие технологии в технике, медицине и образовании. Воронеж: Изд-во ВГТУ, 1997. Ч. 3. С. 23-34.
4. Baeck T. Evolutionary Algorithms in Theory and Practice // New York: Oxford University Press. 1996. P. 138-159.
5. Clement R.P. Genetic Algorithms and Bus-Driver Scheduling // Presented at the 6th International Conference for Computer-Aided Transport Scheduling, Lisbon, Portugal. 1993. P. 25-37.
6. More J.J. Testing Unconstrained Optimization Software // ACM Trans. Meth. Software. 1981. P. 17-41.
7. Гэри М. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982. 304 с.
8. Симанков В.С. Генетические алгоритмы и поиск оптимальных решений // Автоматизация и современные технологии. 2003. № 6. С. 39-45.
9. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб: Питер, 2001. 304 с.
10. Романовский И.В. Дискретный анализ. СПб.: Невский диалект, 1999. 254 с.
V.A. Fatuev, V.A. Kovehnikov
PILOT STUDIES OF UNIVERSAL ALGORITHM SLUCHAYNO-GENETICHESKOY OF OPTIMIZATION
Results of pilot studies casually - genetic algorithm are considered. In qualities of dough known tasks of the direct-sales representative with the casual points located on a direct circle and the plane are used.
Key words: genetic algorithm, task of the direct-sales representative, parametrical optimization, uncertainty, test functions.
Получено 20.01.12
УДК 681.513
В.И. Ловчаков, д-р техн. наук, проф., 8(909)262-05-82, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
А.М. Сапожников, асп., 8(920) 270-94-28, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
СИНТЕЗ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Для линейных объектов высокого (n) порядка разрабатывается метод синтеза замкнутых систем управления, квазиоптимальных по критерию быстродействия. Данный метод основан на замене решения задачи быстродействия решением соответствующей задачи аналитического конструирования оптимального регулятора для рассматриваемого объекта по заданному определенным образом критерию качества, являющимся аналогом функционала обобщенной работы А.А. Красовского. Решение последней задачи найдено аналитически методом прогнозирующей модели.
Ключевые слова: система управления, фазовое пространство, критерий быстродействия, задача аналитического конструирования оптимального регулятора (АКОР), функция Беллмана-Ляпунова.
1. Постановка задачи исследования
Определение оптимального по быстродействию управления в форме обратной связи для объектов высокого порядка представляет собой сложную и далеко не решенную в проблему [1]. Для этих задач оптимального управления характерно, что их аналитическое решение с помощью класси-
