CC BY
81
НАУКА и ОБРАЗОВАН И Е
Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
Экспериментальное определение сил резания при сверлении
на основе методов анализа размерностей и теории подобия
# 09, сентябрь 2013
DOI: 10.7463/0913.0598978
Гуськов А. М.
УДК 531/534, 531.7, 53.043, 53.08, 53.091, 672.6
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана gouskov [email protected]
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Модели динамики технологических систем обработки резанием включают в себя законы резания, являющиеся результатом обработки экспериментальных данных (например, [1-3]). Обычно законы для сил резания представляют в экспоненциальной форме вида [6, р. 555], например, для осевой силы при сверлении
F =C faL bHc, (1)
tce ce ^ ce ' 4 '
где Ftee измеряется в [Н], Ce ,a ,b, c - экспериментальные постоянные с неопределённой размерностью, f - подача в [мм / об], Lce длина режущей кромки, обычно
принимаемой равной удвоенному радиусу сверла, [мм], H твёрдость обрабатываемого материала по Бринелю, в [кг / мм]. Очевидно, что зависимости вида (1) являются аппроксимацией экспериментальных данных и могут использоваться только в указанной системе единиц. Никакого физического смысла такие зависимости не имеют. Основной вопрос, возникающий при анализе динамики технологических систем, состоит в следующем: каким образом следует изменить зависимости (1) для использования их в уравнениях динамики, являющихся инвариантными по отношению к выбору системы единиц измерения?
Теорема об однородности [7] позволяет положительно ответить на этот вопрос: всякое соотношение между наблюдаемыми величинами Д,...,An,F - размерными
переменными и постоянными - выражается однородной функцией, связывающей их величины
F = F[A1,..., ^), (2)
то есть
Р (о, А,,..., оД )=фр [А,,..., А ), (3)
где о,,...,оп ,ф, коэффициенты перехода от одной системы единиц измерения к другой Б — Б', удовлетворяющих соотношениям
[АI = А, [АБ'= А'- А' = огА,
(4)
[Р I = Р, [р I= РР =Ф Р.
Экспериментально определяемые величины имеют разброс, связанный с шумом измерений, то есть, постоянные а,Ьс в (1) не позволяют получить соотношения,
удовлетворяющие преобразованию однородности по размерностям (3). Поэтому экспериментально получаемые зависимости следует получать с помощью методов теории подобия и анализа размерностей [7] - такой подход позволяет всегда получать однородные по размерностям физические соотношения между переменными, входящими в безразмерные комплексы. Появление безразмерных комплексов в качестве аргументов устанавливает дополнительные связи между физическими величинами без проведения дополнительных экспериментов.
Анализ размерностей производится следующим образом. Определяется база
единиц измерения и = {и,,...,ит| . Размерность любого физического параметра Аг вычисляется как
т ,
А ] = Пи/". (5)
з=1
Тогда вектор размерности параметра Аг равен
^ = {^г,т }Т . (6)
В синтаксисе среды МЛТЬЛВ размерность (5) может быть представлена в виде
[А] = ргса(иТ (.- а:г)), а:г . (7)
Размерность некоторой физической величины Р будет иметь вид
и и но
Г 1 = П[А1 =ПП
Ч-
=1 I 3=1
= П ч
3 =1
Ез
(8)
Соответствующий вектор размерности ^ вычисляется как
dF = БаГ,
Б
(9)
, Б еКт хК", аГ = {а^...,ап} .
Если величина Г является безразмерным комплексом П, то ^ является нулевым вектором
аП = БаП = о еКт.
(10)
Одна из целей настоящей работы состоит в разработке методики экспериментального определения сил резания, действующих на инструмент при сверлении, в безразмерной форме, позволяющей сравнивать результаты, получаемые разными исследователями и использовать получаемые зависимости в физических моделях, включающих в себя силы резания, в инвариантной форме.
а
2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕЕСА СВЕРЛЕНИЯ Феноменологический подход к моделированию состоит, прежде всего, в перечислении всех существенных физических параметров, характеризующих явление. В случае сверления можно выделить четырнадцать параметров, приведённых в Таблице 1. Три из них являются безразмерными и служат критериями подобия, то есть " = 11:
Пг=Г, П№ =Н, П6=6 . (11)
В качестве основных, независимых единиц измерений выберем к£,т,Б,К;
количество базовых единиц равно т = 4. Определим вектор базовых единиц измерения (6) и :
Ч1 = к£, Ч2 = т, Ч3 = б, Ч4 = К . (12)
Таким образом, можно определить семь критериев подобия - обобщённых переменных, характеризующих явление сверления: (14), (3), (4), (7). Общее выражение критерия подобия имеет вид степенного одночлена [6]
П = (Я)а* (Ь)аь (А)аА (Ус )а- (сту (стд (рр (\)ах (с)а* (Г)аг (М)ам,
А (13)
П = П Аза 3. ( )
3=1
Векторы размерностей одиннадцати определяющих параметров (13) равны
'0' 0' 0' 0' 1' 1'
1 1 1 1 -1 -1
= 0 , а.ь 0 , а. л = 0 -, Ус -1 , а ' . ст -2 , а я -2
0 0 0 0 0 0
1' 1' 0' 1' 1'
-3 1 2 1 2
а ■ р 0 -3 , а. с = -2 , а. р = ■ -2 , а. м -2
0 -1 -1 0 0
Для того, чтобы выражение (13) было безразмерным, необходимо и достаточно равенство нулю показателей всех базовых единиц измерения (10). То есть, получаем следующие четыре линейных уравнения:
Б а = 0 Б
* я а.ь ал а.ус
а => ая аб ал СУС аст у
а. а. а. л а.с а. р
. СТя . р . л .с . р
: М
(15)
С^ п СХ \ СХ С^ п СХ д .г
ст Я р л с р М
В данном случае матрица Б имеет вид
Б
0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1
111 1 -1 -1 -3 1 2 1 2
0 0 0 -1 -2 -2 0 -3 -2 -2 -2
000 0 0 0 0 -1 -1 0 0
(16)
(17)
Строки матрицы Б соответствуют колонкам таблицы 1. Система (15) содержит четыре уравнения с одиннадцатью неизвестными а .
Это позволяет выбрать семь переменных вектора а в качестве независимых -а" (вектор 7x1) и, в качестве зависимых а' (вектор 4x1), и переписать (16) в виде
Б' а' = Б'' а'', Б'(4 х 4) ^ а' = 8 а'', 8 = (Б')-1 Б'', а'(4 х 1),Б''(4 х 7)),а''(7 х 1).
При этом имеется определённый произвол в выборе независимых переменных а'': необходимо проверить, чтобы выполнялось условие невырожденности системы уравнений (17) - det (Б') ^ 0. Например, это условие выполняется, если осуществить выбор в виде:
а' = | СУС ах См гТ, а'' = 1ая С СЛ Осту СстЯ Ср Сс ГТ. (18)
Таблица 1. Основные константы и переменные для сверления
Имя переменной Обо-значе- Размерность Показатели степени базовых еди-
ние ниц измерения
кё т 8 К
1 Радиус сверла я т 0 1 0 0
2 Толщина перемычки ь т 0 1 0 0
3 Угол заточки при вершине г 1 0 0 0 0
4 Число режущих кромок Л 1 0 0 0 0
5 Подача на оборот А т 0 1 0 0
6 Скорость резания Ус т / 8 0 1 -1 0
7 Предел текучести обрабатываемого материала аУ N / т2 1 -1 -2 0
8 Предел прочности обрабатываемого материала ак N / т2 1 -1 -2 0
9 Относительное удлинение при разрушении обрабатываемого материала 5 1 0 0 0 0
10 Плотность обрабатываемого материала Р к£ / т3 1 -3 0 0
11 Теплопроводность обрабатываемого материала X W / т /К 1 1 -3 -1
12 Теплоёмкость обрабатываемого материала с I / kg / К 0 2 -2 -1
13 Осевая сила резания ^ N 1 1 -2 0
14 Крутящий момент сил резания М ^т 1 2 -2 0
Список рассматриваемых существенных физических параметров не является исчерпывающим. При определённых условиях необходимо учитывать (характеризовать) явления адгезии между инструментом и обрабатываемым материалом, физические параметры прочности инструмента, и др.
Тогда, соответствующие матрицы равны ^ det(Б') = 11
Б'
0 1 -1 0
1 1 1
1 1 2
-3 -2 -2
-10 0
0 0
0 0
1 1
8 =
Б
0 0 0 1 1 1 0' 111 -1 -1 -3 2
0 0 0 -2 -2 0 -2
0 0 0 0 0 0 -1
0 0 0 2 -1'
0 0 0 0 -1
1 -3 -3 -3 2
-1 -1 -1
2 -1
Очевидно, что любая функциональная связь безразмерных параметров порождает безразмерную величину. Это позволяет выбрать в качестве базы безразмерные комплексы, получаемые от единичных векторов eг■ в арифметическом
пространстве а'' е К7:
а =
а'" 8(: , г)"
// - — -
а г ег
°тсг 0 0 0 0 0 2 -1
а,. Хг 0 0 0 0 0 0 -1
аЕг 1 1 1 -3 -3 -3 2
а Мг -1 -1 -1 2 2 2 -1
аЯг 1 0 0 0 0 0 0
а" Ьг 0 1 0 0 0 0 0
а Аг 0 0 1 0 0 0 0
а оуг 0 0 0 1 0 0 0
а о Яг 0 0 0 0 1 0 0
а рг 0 0 0 0 0 1 0
а сг 0 0 0 0 0 0 1
г = 1,...,7. (20)
Каждая колонка матрицы (14) даёт вектор аг-, образующий степени размерных параметров, образующих безразмерные комплексы, называемые критериями подобия (13):
Пг=V г (х)ахг г (м г (яГ ФГ (АГ К Г к г (рГ г (сГ,
г = 1, „.,7.
Таким образом, получаем семь критериев подобия:
(21)
т ГЬ ГА И2 оу
П1=И' П2=И' П3=И' П4='
(22)
И2 Од Ус2 И2 р Г2 с
П =-— П = —- П
5 ,-,3 ' 6 ,-,3 ' 7
г3 6 г v; х и
В приложении 1 представлен алгоритм определения всех возможных безразмерных комбинаций в синтаксе MATLAB. Всего генерируется 109 комбинаций по 7 безразмерных комплексов.
Из полученных комбинаций (22) и (11) формируются критерии подобия, удобные для обработки экспериментальных данных:
Пг=Г,П№ = N,П6=6,Пь = ^ = Ь, Па = —
П1 Я А П1ПN RN
По=^ = ^, Пг =-А, Пи = = М, (23)
О П5 О/ Г П12 П5 Оя Я И П13 П5 Оя Я к '
Пу„ = № =У0. £, Пх= 1 - Х
П4 ^о/ х П^^^^ П7 Яс^р
Оу
В частности, из безразмерных комплексов (23) можно сформировать критерий подобия Пекле Ре, играющего фундаментальную роль при исследовании термических задач:
Х N П
Ре=-=-N—. (24)
Р СУсА П3 П6 П7
Важно иметь в виду, что числа Пг, П6, ^, По, Пх характеризуют геометрические и физические свойства системы инструмент - обрабатываемый материал; числа ПА, Пу - условия резания; числа ПГ, ПИ определяют измеряемые переменные во время обработки резанием.
3. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ЗАКОНА РЕЗАНИЯ ПРИ СВЕРЛЕНИИ Искомые зависимости могут быть представлены в следующей общей неявной
форме
П_Р — (ПГ , П8 , П№, ПЬ , По, ПХ, ПА, ),
ПМ = !м (ПГ, П8 , П№, ПЬ, По, ПХ, ПА, ПУ0 |.
Очевидно, что зависимости (25) не зависят от системы единиц измерения. Важно выбрать вид критериев подобия таким образом, чтобы управляемые и определяемые величины были сформированы независимым образом. Измеряемыми величинами в данном контексте являются функции , /м (25). Форма (25) позволяет
автоматически удовлетворить однородности по размерностям в физических соотношениях. Выражения для силы и момента имеют вид
^ = о я Я2 ^ (Пг , П6, П№, Пь , По, Пх , Па, ),
(26)
М = Оя Я3!м (Пг,П6,П№,Пь,По,Пх,Па,).
Для сверл с симметричным расположением режущих кромок возможно выразить в явном виде влияние числа ПЫ = Ы:
П^ = N¡1 (Пг, П6, Пь , По, Пх , Па, П^),
(27)
Пм = NfM (Пг,П6,Пь,По,Пх,Па,).
Зная, что для более пластичных материалов необходимо увеличить скорость резания, для получения подобных условий резания [8], возможно предположить, что
числа П6, П^ образуют единый комплекс видаП6^ = П6 аП^ :
П^ = ^/(Пг, П6^с , Пь , По, Пх , Па ),
(28)
Пм = Nf "(Пг, П6^ , Пь , По, Пх , Па ). В определённом диапазоне изменения скоростей резания их влияние на усилия резания пренебрежимо мало [6, 8] Конечно, эта гипотеза должна быть пересмотрена, если влияние скорости существенно. Важно отметить, что если мы ограничиваемся критериями Г, К, А, Я, о^, VC, F, М, что является довольно распространённым случаем, - с точки зрения теории подобия и анализа размерностей, скорость резания не может образовать безразмерного комплекса, и, как следствие, усилия резания не могут зависеть от скорости резания. Это является строгим результатом и влияет на разработку
плана эксперимента. Если наблюдается влияние скорости резания, то список параметров должен быть расширен!
Таким образом, можно упростить зависимости (22), опуская комплекс, содержащий УC:
Пг = N0!'(Пг,Пь,По,Пх,Па ),
Пи = NfИ'(Пг,Пь,По, Пх,Па ).
(29)
В большинстве исследований [6, 8] законы резания для Г и М представляют в степенной или полиномиальной форме от подачи и радиуса сверла и пренебрегают термодинамическими эффектами. Учитывая, что подача и радиус входят в этом случае
только в комплекс ПА (17), функции //'(•, •, •, •, ПА), /' (•, •, •, •, ПА) могут быть записаны в следующей явной форме:
9 г(пг , пь ,по , Пх))
Пр = NgF (Пг,Пь,По,Пх)Па
Пи = Ngи (Пг,Пь,По,Пх)П
(30)
И (Пг, пь ,по , Пх
или:
Пр = NgF (Пг,Пь,По,Пх
Па + ЧР (Пг,Пь,По,Пх
(31)
Пи = Ngи (Пг,ПЬ,По,ПХ)[ПА + Чи (П,ПЬ,ПО,Пх)
На практике формы (30) или (31) должны быть выбраны после изучения экспериментальных данных как наиболее подходящие для аппроксимации и природе явления. В определённых исследованиях полагают, что показатели qF, qM равны друг другу. Такое утверждение эквивалентно предположению, что осевые и окружные распределения сил вдоль режущих кромок подобны, что является достаточно сильным утверждением.
В случае получения законов резания для одного материала и для фиксированного типа инструмента критерии подобия |пг, Пь , По, Пх| не изменяются и
функции gF, чр, gИ, чи играют роль универсальных постоянных. Будем называть формы (30), (31) законами с двумя постоянными g,q :
= и (ПА;9Р лР), Пм^ = fм (ПА;9м Лм). (32)
Аналогично (30), (31) возможна трехконстантная (дробно - рациональная форма, которая в ряде случаев может быть адекватнее наблюдаемым данным [4]:
Па + ЧР (Пг,Пь,По,Пх)Па2
П^ =NgF (Пг,Пь,По,Пх , , ,
1 + rF (Пг,Пь,По,Пх)Па
/ хП + Чм (Пг,Пь,По,Пх)Па'
Пм = Ngм (Пг,П,По,Пх)-}-
У 1 1 + Гм (Пг,Пь,По,Пх)Па
(33)
м у1 -Т'^^Ы1А В этом случае будем иметь формулы, аналогичные (32)
П^N = и (ПА;gF,^^), Пм^ = м (па;9м,?м,Гм). (34)
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ q} ДЛЯ ДВУХКОНСТАНТНЫХ
ЗАКОНОВ (32)
Чтобы продемонстрировать методику получения законов резания (30) или (31) было проведено три серии испытаний для трёх типов спиральных сверл с двумя режущими кромками (Ы = 2): «GURING», тип N [10], (рис. 1).
(а) (б) (в)
Рис. 1. Три типа заточки сверл: (а) «Классическое 118»; (б) «Крест 118» ; (в) «Крест
135»
1) DIN ЭЭ8 (HSS - сверло стандартное), заточка с конической задней гранью без уменьшения перемычки, угол при вершине 118° - «Классическое 118».
2) DIN ЭЭ8 (HSS - свело стандартное), заточка крестом с конической задней гранью, угол при вершине 118°, покрытие TiN - «Крест 118».
3) DIN Э45 (M42 - сверло повышенной жесткости, изготовлено из легированной стали CoMo), заточка крестом с конической задней гранью, угол при вершине 135° -«Крест 135».
Обрабатываемый материал - сталь XC 48, or = 5GG -1G6 [Pa]. Эксперименты проводились в лаборатории института ENSAM в Экс-ан-Провансе, во Франции. Частично результаты данных исследований были доложены на ЗМ International Conference on Metal Cutting and High Speed Machining, Metz, France, 2GG1 [5]. Усилия резания - F, M - измерялись с помощью платформы «KISTLER», типа 9272, SN
514679 в [N] и [N.m] соответственно. Станок: «Atelier GSP», типа 205 RB. Усилия F и M измерялись в стационарной фазе резания как средние величины на интервале времени в 1с.
Для всех трёх случаев рассматривались две аппроксимации экспериментальных данных в виде законов с двумя постоянными pG), (З1):
П F = NgF Па qf, nM=Ngm nAqM
П F = Ng, (П + qP b nM=NgM (Па+qM
(З5)
(Зб)
Каждое испытание Е характеризовалось задаваемой парой чисел {А, m;К, m| (Конечно, скорость резания также фиксировалась, но, согласно принятой гипотезе (23), её влиянием пренебрегалось.) и парой измеряемых значений {к, ^ М., N • m|, г = 1,.... Для определения постоянных g, q предварительно результаты пересчитывались в соответствующие безразмерные комплексы {А , Я , К , М., N, стд| ^ {П^ , П^, Пмг|:
П
M
M
N N а„ R2' N N а„ R 3"' Па
A
R
R
NR
: i = 1,...
(З7)
Целевой функцией является среднеквадратичное отклонение от множества
экспериментальных точек на плоскости E = |E., i = 1, n
(ПА'
nF|M до множества,
определяемого соответствующей функцией аппроксимации (рис. 2):
/ \ 1 \П Л I \ 2 / \ 1 \П Л I \ 2
af ,qF)= -Еdi (dp,ь) , Ам (дм,Чм)=J-Еdi (дм,Чм) . (38)
\ n i=1 м n i=1
В формулах (38) через d
обозначено расстояние от точки до
E, f (п ; g, q)
множества точек, формирующих линию:
dt = min distance(e. ,|ПА , f (ПА ;g,q)j) . (39)
Коэффициенты g, q определяются из условия минимума целевых функций (38):
{gF,qFj=argminAF(x,y), |gM,qMj=argminДм(x,y). (40)
Линия, аппроксимирующая экспериментальные данные
Ei
d .......Г"
*V Л
L
Ei
Рис. 2. Геометрический смысл аргумента целевой функции
Минимальные значения целевых функций принимаются за меру соответствия между аппроксимацией и экспериментальными данными -
SF = Шп ДF (х,у), вм = Шп дм (х,у). (41)
X ,у \ ! х ,у \ /
Меньшим значениям sF, sм соответствует лучшая аппроксимация. При численной реализации (40) минимум ищется методом симплексов. Для определения расстояний (38) задаётся интервал изменения аргумента ПА : I = |па |0<ПА <1.1max (пАг)|.
Значения функции f (ПА ; д, д) вычисляются на дискретном множестве с малым шагом
АПА = max |ПА е IМ1000.
Ниже изображены результаты вычислений для трёх серий испытаний. Результаты измерений приведены в Приложении 2.
На рис. 3 и 4 представлены экспериментальные данные и аппроксимации в соответствии с двухкоснстантным линейным законом (36) двухконстантным показательным законом (35) для сверла «Классическое 118». Соответствующие зависимости имеют вид
Для линейного закона
К = 3,5946 N стд Я2 (а/(Я^ + 0,0066), М = 3,0608 N оя Я3 (/(я^ + 0,0035) = 0,0109, вм = 0,0181
и для показательного закона
/ ,, 0.7356 , ц 0.8762
К = 1,9526 NояЯ2 (А(д^) , М = 2,2962 N ояЯ3 (А/ (Я^) = 0,0100, вм = 0,0181
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2
Рис. 3. Результаты обработки результатов для сверла «Классическое 118» для закона
(36)
Рис. 4. - Результаты обработки результатов для сверла «Классическое 118» для закона
(35)
Приближения в обоих случаях аппроксимируют экспериментальные данные примерно одинаково, однако показательный закон лучше приближает зависимость осевой силы: вр = 0,0100 < вр = 0,0109 .
На рис. 5, 6 и 7, 8 представлены аналогичные результаты для сверл «Крест 118» и «Крест 135».
0.14
0.12
* 0-1
в"
0.08
дг = 2.8088; =0.0054
д =4.0778; с, =0.0004
м. В)
0.06
-0.04
0.02
1 1 1 1 1 1 , 1 1 ж
1 1 / : +:/
...... 1 1 ^ ■ ^^ ^ 1
Л □е 1 1 Ш ■ I г _1 л. 1 1 5с ='0.004 ! Г I I
1 1
0.18
0.16
8.14
§
8.12
+
с 0.1
'—■
§
& 0.08
II 8.06
§
С 0.04
0.02
1 1 1 1 1 1 А
1 "Ф" 1 У' 1 1 Ж
------ Ж -----1----.¡г г - : г
* /ф :
+ Ж 1 и 1 0.004:
: : п^
0.01 0.02 0.03 0.04
0.01 0.02 0.03 0.04
Рис. 5. - Результаты обработки результатов для сверла «Крест 118»
0.14
0.12
0.1
gF = 1.4446; qF =0.7662
0.08
in
5 0.06
0.04
0.02
\ +
------ # ------
i /щ ------
*) ¥ ' j sFT 0.004 ------
|
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
g =4.1703; g= 1.0011
§ 0.06
0.04
0.02
1 1 1 1 1 1 J
: +: / 1 1 J
1 1 f 1 \f 1 л
------ \ Tt ----------
-----1 Ь/ -----
+ Jr 1 1 л
i :
0.01 0.02 0.03 0.04
0.01 0.02 0.03 0.04
Рис. 6. - Результаты обработки результатов для сверла «Крест 118»
Для линейного закона (сверло «Крест 118»») F = 2,8088 N oR R2 (л/(RN) + 0,0054), M = 4,0778 N oR R3 (л/(RN) + 0,0004)
sF = 0,004, sM = 0,004
(44)
и для показательного закона
F = 1,4446NoR R2 (Л(RN))0'7882 , M = 4,1703NoR Rs (л/(RN)
1.0011
sF = 0,004, sM = 0,004
(45)
gF =2.9522; qf
■■ 0.0067
g„ = 2.4112;? =0.0107
0.45 I 1 1 0.4
0.4 ----- 1 1 / 1 1 1 / 1 0.35
0.35 0.3
ц. е- + .;.¥.. 1л..Т----- § & + 0.3 0.25
С Ц. 0.25 ----- / ■ + wt "1"+"";----- с § 0.2
В) 0.2 ----- -Ш——т----- О)
а 0.15 0.1 * / i II а 0.15
ц. С J \ s 4 0.0137 ё с 0.1
1 1 1
0.05 ш* _i______1_____1____ 0.05
0 : : : 0
/ \
-+--/W-:----- *-/'---'____
tj sw:-0.013i|
-Ж*- - I I
0.05 0.1 0.15 0.2
0.05 0.1 0.15 0.2
Рис. 7. - Результаты обработки результатов для сверла «Крест 135»
0.45 0.4 0.35 0.3
с
ц_ 0.25 В)
; °
с "-15 0.1
0.05
3 = 1-9201; ц =0.7986 д = 1.0439; ц№ =0.6255
0.4
1 / \
______\Л...А / ■*■ ! г. Л. '____
кг ------У/----* */ * ! —----- ----;-----
У V = 0.0135?
ж*.}_____
0.35 0.3
с °-25
§
® 0.2
II
г
0.15
С
0.1
0.05
I 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 ------\-+--у Iе* /А
______ 1 г
1 я --#--'----Л}- Ж. 1 ^0.011?
Як .Ж-*-._____ I
Вг * 1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2
Рис. 8. - Результаты обработки результатов для сверла «Крест 118»
Для линейного закона («Крест 135»)
^ = 2,9522 NоЯ Я2 (а/+ 0,0067), м = 2,4112N оЯЯ3 ( А/(я^ + 0,0107) зр = 0,0137, вм = 0,0131
и показательного закона
/ ,, \ \ 0.7986 / ,, \ 0.6255
^ = 1,9201 N ояЯ2 А [ЯЫ)) , М = 1,0439 N ояЯ3 (А (ЯЫ) вр = 0,0135, вм = 0,0117
(46)
(47)
На следующих рисунках (рис. 9, 10) для сравнения приведены графики по зависимостям (42), ... (47). Результаты представлены в одном масштабе.
Рис. 9. - Результаты аппроксимации по линейным зависимостям (36) для сверл: 1 - «Классическое 118»; 2 - «Крест 118»; 3 - «Крест 135»
Рис. 10. - Результаты аппроксимации по степенным зависимостям (35): 1 - «Классическое 118»; 2 - «Крест 118»; 3 - «Крест 135».
Следует отметить близость полученных аппроксимаций в безразмерном -критериальном виде. Различия объясняются неодинаковой геометрией и состоянием поверхности инструментов, а также погрешностями измерений.
Наибольшая адекватность при аппроксимации достигнута для второй серии экспериментов = 0,004, вм = 0,004) рис. 5, 6.
Зависимости (42), ... (47) могут быть использованы в любой системе единиц измерения, и, как следствие, их можно применять в любых математических моделях.
Если воспользоваться традиционным представлением зависимостей для сил, то,
например, соотношения (47) примут вид ^стд = 500МРа, N = 2)
Г = 1104 Я1'2014 А0 7988 , а1т(Г) = N, &т(Я) = тт, &т(А) = тт,
(48)
М = 0.6767 Я2 3745 А0 8255 , а1т(М) = N. т, &т(Я) = тт, &т(А) = тт.
Естественно, что при этом теряется возможность использования (48) в математических однородных по размерностям моделях. Более того, при обработке экспериментальных данных зависимостями типа (48) увеличивается число
определяемых постоянных. В (48) три физические величины |г, Я, А| связываются тремя константами |1104; 1,2014; 0,798б|. В (47) соотношение для силы Г связывает
пять физических величин двумя константами |г,Я, А,N,стЯ|^ |дГ , Чр|. Неизбежные
погрешности в экспериментальных данных приводят к погрешностям в определении постоянных в регрессионных зависимостях, однако использование безразмерных критериев в качестве аргументов всегда даёт физически осмысленные соотношения.
5. ФИЗИЧЕСКИ ПОДОБНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Функциональные зависимости между критериями подобия описывают феноменологию изучаемых явлений. Преобразования физических параметров, при которых функциональные соотношения не меняют своих значений, описывают физически идентичные явления, называемые подобными. Такие преобразования соответствуют неизменным значениям критериев подобия
П . = гйет,; = 1,2,... (49)
Любая математическая модель реального явления не является полной. Поэтому говорить о подобии явлений, согласно (49), можно только в приближённом смысле.
При создании математической модели исследователь предполагает, что модель выхватывает наиболее существенные стороны явления. В то же время, даже обеспечение соотношений (40) для реальных ситуаций не всегда представляется возможным. Например, если существенным является критерий П6 (11) и мы хотим получить анало-
гичные феномены для материалов с различными значениями относительного удлинения при разрушении, то либо подобных явлений не существует, либо критерий П8
входит в комбинацию с другими безразмерными комплексами, образуя независимую функциональную переменную, для которой может быть выполнено условие (40).
Примером такой ситуации является следующий результат. В [9] приводятся данные о влиянии скорости резания VC и механических свойств стали 100 Cr6 - or, oy, 5, -
на образование стружки при точении. Стружка в "пилообразной" форме появлялась в следующих условиях, (остальные параметры оставались неизменными)
1) VC = 16,67 [m /s], or = 1150 [MPa], oy= 1060 [MPa], 5 = 0,08.
2) VC = 1,667 [m /s], or = 1840 [MPa], oy= 1700 [MPa], 5 = 0,005.
Даже не зная конкретных законов, описывающих явление, из этих результатов можно извлечь весьма полезную информацию для приложений. Скорость резания входит в критерий подобия П. (23), в то же время, для обоих случаев критерий П имеет при-
VC a
мерно одинаковые значения:
= 1060 = 0,9217. п 2 = И00 = 0,9239;^П^ idem. (50)
1150 a2 1840
Анализируя данные, можно заметить, VcT ^ 5Т: для наблюдения одинаковых
феноменов в более пластичных материалах следует увеличить скорость резания. Таким
образом, можно сделать следующее предположение, вытекающее из формы критериев
подобия (23):
П.
П™ =—- = idem. (51)
о VC -рг a П8
Согласно гипотезе (51) можно установить соотношение
= 1 ^a = 0.916. (52)
П8 VC1 V C1 ay 2 [б2
П8 VC 2 V \ C 2 \ ay 1 i61
То есть, получаем закон для обеспечения подобных условий резания
П = VC
8 VC о 0.916
— = idem. (53)
a
y
Соотношение (53) в широком диапазоне можно обеспечить за счет выбора скорости резания.
Конечно, значение показателя а может быть уточнено. Однако, важным является сам факт возможности получения подобных результатов.
6. АНАЛИЗ И ПЕРСПЕКТИВЫ
Приложение к вибрационному сверлению. В случае переменной толщины снимаемого слоя при симметричном расположении режущих кромок каждая режущая кромка снимает слой Н [Ь). Соотношения (30) выражают закон резания в квазистатиче-
ской форме. Этот же закон можно применять до частот колебаний гс 103Ш . При этом толщину снимаемого слоя, приходящегося на одну режущую кромку, следует заменить на Н [Ь). То есть, для степенной аппроксимации имеем
РЛуп = °я Я2N дг
Н(Ь)
Я
Я р
; МАуп =ОяЯNдм
Н(Ь)
Я
Ям
Проделаем эквивалентное преобразование
Н(Ь) = А 'Н(Ь) N ^
Я N Я А V /
= Па ПН , П
Н(Ь) N А '
(54)
(55)
Таким образом, при вибрациях в законе резания следует провести замену ПА —— ПА ПН и, в частности, закон резания (45) принимает вид
р = ГП,Яр ; Му = МП,Ям
ауп Н ' ауп Н
(56)
Понятие жёсткости резания. При анализе вибраций технологической системы удобно ввести по определению коэффициенты жёсткости резания Кр , Км :
д Г
К
ауп
д Н
ЯрN 1
- Г, йгт Кр = N .т ,
Н = АШ
д М
К
ауп
М
дН
А
А
(57)
М, агтКМ = N.
Н = АN
Зависимости (57) позволяют выразить силу и момент через соответствующие жёсткости резания
А А Г = К„-, М = К
а также, переписать законы резания (56) в виде
М Ям N
(58)
kfa
F,
dyn N
П/i h
qi
Kt,A
My dyn N
П«"
h
q
M
Удельная сила резания [11]. Для упрощения оценки усилий резания при сверлении осевая сила и момент представляются в виде
Р = крЛ(2Я); М = кмА(2Я)2. (60)
Коэффициенты кр, км называются удельной силой резания. В случае степенного
закона резания можно получить явную форму для кр, км :
kF =^aF ПА, kM =^aM ПА. (б1)
п 1 ^ к =-
2 ар пл , км = 4 В случае, если q = 1, qм = 1 удельные силы резания (61) не зависят от подачи
что очень часто предполагается неявным образом.
Методика перехода от существующих экспериментальных зависимостей к зависимостям, удовлетворяющих принципу однородности размерностей. Следует различать две случая: 1) имеются экспериментальные данные Ei : (Ai [m], Ri [m]}, (Fi [N], M [N.m]}; 2) имеются зависимости вида (39). В обоих случаях необходимо иметь характеристику прочности обрабатываемого материала типа aR [Pa] чтобы сформировать безразмерные комплексы:
F M. А.
П- , ^ = , ПАг = ^ . (б2)
о D R о D R R.N
Ri Ri г
В первом случае обработка проводится так, как это показано в п°4 настоящей работы. Во втором случае информация о множестве экспериментальных точек, породивших соответствующую аппроксимацию, отсутствует. Основная идея предлагаемой методики состоит в том, что имеющаяся зависимость используется для генерации соответствующего множества "экспериментальных данных". При этом возможно добавление искусственно введенного «шума» в расчетные данные. После чего используется описанный выше метод.
Список литературы
1. Gouskov A., Brun-Picard D. Instabilité du perçage vibratoire // PRIMECA'96. Nantes, France, 1996. P. 31-38.
2. Brun-Picard D., Gouskov A., Lesage D., Vincenti J. Perçage vibratoire par tête autovibrante. Approche théorique et premières expérimentations // Deuxième séminaire
PPF. Maîtrise globale du procédé d'enlèvement de matière et techniques associées. Aixen -province, France, Jan. 1999. P. 11-22.
3. Gouskov A., Brun-Picard D. Dynamique du perçage vibratoire avec pré-serrage unilatéral // Troisième séminaire PPF. Maîtrise globale du procédé d'enlèvement de matière et techniques associées. Angers, France, Mai 1999. P. 56-68.
4. Brissaud D., Gouskov A., Paris H., Tichkiewitch S. A more realistic cutting force model at uncut chip thickness close to zero // Annals of the CIRP. 2007. Vol. 56. P. 415-418.
5. Gouskov A., Moisan A., Brun-Picard D., Moraru G. Application of the Dimensional
rd
Analysis to the Determination of Cutting Forces // 3 International Conference on Metal Cutting and High Speed Machining, Metz, France, 2001. Vol. 1. P. 35-42.
6. Stephenson D. A., Agapiou J. S. Metal Cutting Theory and Practice. New York, Basel, Hong Kong : Marcel Dekker, Inc., 1997. 898 p.
7. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977. 440 с.
8. Masounave J., Maugendre S., Scheed L. Prédiction des efforts de perçage des métaux // Matériaux & Techniques. 1998. № 9-10. P. 7-16.
9. Poulachon G., Moisan A.L. A contribution to the Study of the Cutting Mechanisms During High Speed Machining of Hardened Steel // Annals of CIRP. 1998. № 47/1. P. 73-76.
10. GURING, 93. Outillage de coupe de précision. 977 p.
11. Tanguy J.-C. Perçage au foret hélicoïdal. Guide de CETIM. CETIM, 1993. 139 p.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 4S211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Experimental determination of drilling cutting forces based on dimensional analysis and the similarity theory # 09, September 2013 DOI: 10.7463/0913.0598978 Gus'kov A.M.
Bauman Moscow State Technical University, 105005, Moscow, Russian Federation
gouskov [email protected]
This paper deals with the similarity theory and dimensional analysis for investigating cutting forces - particularly during drilling. Use of dimensionless groups allows one to obtain relations which are independent of unit systems, reduce the number of significant variables; it also helps to avoid influence of measurement bias on the dimension of physical relationships and ensure comparability of experimental results obtained under various conditions by different authors. Eleven dimensionless quantities for cutting process characteristics were proposed. Based on the experimental data for 3 types of drills, polynomial and power cutting laws for both axial force and torque were derived. Extension of those relationships to the case of vibrational drilling was considered; a method of applying existing relationships to obtaining of cutting laws in the form of dimensionless criteria was proposed.
Publications with keywords: similarity, dimensional analysis, cutting forces, cutting force law
Publications with words: similarity, dimensional analysis, cutting forces, cutting force law
References
12. Gouskov A., Brun-Picard D. Instabilité du perçage vibratoire. PRIMECA'96 (In French).. Nantes, France, 1996, pp. 31-38.
13. Brun-Picard D., Gouskov A., Lesage D., Vincenti J. Perçage vibratoire par tête autovibrante. Approche théorique et premières expérimentations. Deuxième séminaire PPF. Maîtrise globale du procédé d'enlèvement de matière et techniques associées (In French). Aixen -province, France, Jan. 1999, pp. 11-22.
14. Gouskov A., Brun-Picard D. Dynamique du perçage vibratoire avec pré-serrage unilatéral. Troisième séminaire PPF. Maîtrise globale du procédé d'enlèvement de matière et techniques associées (In French). Angers, France, Mai 1999, pp. 56-68.
15. Brissaud D., Gouskov A., Paris H., Tichkiewitch S. A more realistic cutting force model at uncut chip thickness close to zero. Annals of the CIRP, 2007, vol. 56, pp. 415-418.
16. Gouskov A., Moisan A., Brun-Picard D., Moraru G. Application of the Dimensional Analysis to the Determination of Cutting Forces. 3r International Conference on Metal Cutting and High Speed Machining, Metz, France, 2001, vol. 1, pp. 35-42.
17. Stephenson D. A., Agapiou J. S. Metal Cutting Theory and Practice. New York, Basel, Hong Kong, Marcel Dekker, Inc., 1997, 898 p.
18. Sedov L.I. Metody podobiya i razmernosti v mekhanike. Moscow, Nauka, 1977. 440 p. (English Translation: Sedov L.I. Similarity and Dimensional Methods in mechanics. Boca Baton Florida US, CRC Press Inc., 1993. 479 p.).
19. Masounave J., Maugendre S., Scheed L. Prédiction des efforts de perçage des métaux. Matériaux & Techniques, 1998, no. 9-10, pp. 7-16. (In French).
20. Poulachon G., Moisan A.L. A contribution to the Study of the Cutting Mechanisms During High Speed Machining of Hardened Steel. Annals of CIRP, 1998, no. 47/1, pp. 73-76.
21. GURING, 93. Outillage de coupe de précision (In French). 977 p. Non published.
22. Tanguy J.-C. Perçage au foret hélicoïdal. Guide de CETIM (In French). CETIM, 1993. 139 p.
АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ (MATLAB)
format rat
nd=4; np=11;
% R b A VC sy sR ro l c F M % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 - номера параметров % матрица размерностей параметров [уравнение (16)] : D=[0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1; 1 1 1 1 -1 -1 -3 1 2 1 2; 0 0 0 -1 -2 -2 0 -3 -2 -2 -2; 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0];
% формат арифметики рациональных чисел
% число базовых единиц измерения % число размерных параметров
p0=(1:np);P=[];R=[]; for i=1:np-nd+1 for j=i+1:np-nd+2 for k=j+1:np-nd+3 for l=k+1:np-nd+4 p=[i j k l]; if det(D(:,p))~=0
P=[P;p];r=p0;r(p)=[];R=[R;r];
end
end
end end end
[a,b]=size(P); for j=1:a
D1 = D(:,P(j,:));D2=-D(:,R(j,:));S=inv(D1)*D2; DimMatr=[S;eye(np-nd, np-nd)]; [Y,I]=sort([P(j,:)';R(j,:y]); DimMatr=DimMatr(I,:) % показатели степеней параметров, образующих П pause end
Пример расчёта (одна из матриц)
DimMatr =
-1 -1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1
■1/2 0 1/2
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0
-2 -3 0 0
0 0
-1 1/2
1 0
0 у 2
0 -1
1 0 0
-1 -1 0 0
0 0 0 1 0
R b A V,
Р \ c F M
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
« Классическое 118° » « Крест 118° » с покрытием « Крест 135° »
й Л Ус м й А Ус м й А Ус м
[шш] [шшЛ] [шЛ] [кЫ] [Ыш] [шш] [шшЛ] [шЛ] [кЫ] [Ыш] [шш] [шшЛ] [шЛ] [кЫ] [Ыш]
4.4 0.045 0.207 0.192 1.598 5.9 0.045 0.386 0.257 0.760 4 0.045 0.261 0.234 0.400
4.4 0.064 0.207 0.222 0.626 5.9 0.045 0.386 0.358 1.266 4 0.064 0.261 0.321 0.668
4.4 0.125 0.207 0.351 1.104 5.9 0.045 0.386 0.363 1.255 4 0.090 0.261 0.423 0.919
4.4 0.250 0.207 1.248 2.037 5.9 0.064 0.386 0.682 2.036 4 0.125 0.261 0.647 1.175
4.4 0.500 0.207 1.565 1.444 5.9 0.064 0.386 0.673 2.071 4 0.250 0.261 1.266 1.974
4.4 0.125 0.288 0.760 1.206 5.9 0.064 0.386 0.672 1.993 4 0.500 0.261 1.236 1.929
4.4 0.125 0.414 0.772 0.919 5.9 0.125 0.386 0.539 1.795 4 0.045 0.377 0.255 0.374
4.8 0.045 0.314 0.365 0.686 5.9 0.125 0.386 0.534 1.709 4 0.064 0.377 0.333 0.616
4.8 0.064 0.314 0.477 0.809 5.9 0.125 0.386 0.549 1.756 4 0.090 0.377 0.428 0.822
4.8 0.125 0.314 0.465 1.241 5.9 0.125 0.556 0.512 1.739 4 0.125 0.377 0.678 1.132
4.8 0.250 0.314 1.238 3.377 5.9 0.125 0.556 0.520 1.760 4 0.250 0.377 1.228 1.791
4.8 0.500 0.314 2.210 3.962 5.9 0.125 0.556 0.520 1.752 4 0.500 0.377 1.303 1.864
4.8 0.125 0.452 1.379 2.281 4 0.045 0.377 0.181 0.359 4.5 0.045 0.294 0.218 0.482
6.9 0.045 0.451 0.518 1.004 4 0.045 0.377 0.185 0.360 4.5 0.064 0.294 0.286 0.736
6.9 0.045 0.451 0.538 1.027 4 0.045 0.377 0.188 0.371 4.5 0.090 0.294 0.364 0.970
6.9 0.045 0.451 0.546 1.019 4 0.064 0.377 0.236 0.518 4.5 0.125 0.294 0.526 1.333
6.9 0.064 0.451 0.668 1.377 4 0.064 0.377 0.236 0.514 4.5 0.250 0.294 1.037 2.387
6.9 0.064 0.451 0.663 1.431 4 0.064 0.377 0.231 0.489 4.5 0.500 0.294 1.312 2.881
6.9 0.064 0.451 0.689 1.431 4 0.125 0.377 0.393 0.911 4.5 0.045 0.424 0.207 0.557
6.9 0.125 0.451 1.187 2.733 4 0.125 0.377 0.380 0.894 4.5 0.064 0.424 0.317 0.809
6.9 0.125 0.451 1.189 2.802 4 0.125 0.377 0.391 0.902 4.5 0.090 0.424 0.373 0.863
6.9 0.125 0.451 1.180 2.805 4.5 0.045 0.424 0.217 0.424 4.5 0.125 0.424 0.306 0.613
4.5 0.045 0.424 0.212 0.444 4.5 0.250 0.424 1.201 2.339
4.5 0.045 0.424 0.214 0.433 4.5 0.500 0.424 1.228 2.459
4.5 0.125 0.424 0.414 1.093 5 0.045 0.471 0.236 0.562
4.5 0.125 0.424 0.407 1.092 5 0.064 0.471 0.321 0.832
4.5 0.125 0.424 0.409 1.110 5 0.090 0.471 0.423 1.117
5 0.045 0.471 0.214 0.487 5 0.125 0.471 0.645 1.525
5 0.045 0.471 0.223 0.511 5 0.250 0.471 1.514 3.602
5 0.045 0.471 0.228 0.513 5 0.500 0.471 1.225 3.538
5 0.125 0.471 0.462 1.281 5.5 0.045 0.518 0.292 0.690
5 0.125 0.471 0.457 1.325 5.5 0.064 0.518 0.398 1.038
5.9 0.045 0.556 0.263 0.695 5.5 0.090 0.518 0.502 1.316
5.9 0.045 0.556 0.272 0.732 5.5 0.125 0.518 0.809 1.862
5.9 0.045 0.556 0.275 0.748 6 0.045 0.565 0.308 0.755
5.9 0.125 0.556 0.538 1.724 6 0.064 0.565 0.430 1.136
5.9 0.125 0.556 0.539 1.709 6 0.090 0.565 0.564 1.497
5.9 0.125 0.556 0.532 1.735 6 0.125 0.565 0.857 2.104
6.8 0.045 0.445 0.366 1.019
6.8 0.045 0.445 0.365 1.032
6.8 0.045 0.445 0.372 0.991
6.8 0.064 0.445 0.469 1.467
6.8 0.064 0.445 0.472 1.436
6.8 0.064 0.445 0.474 1.461
6.8 0.125 0.445 0.869 2.667
6.8 0.125 0.445 0.831 2.633
6.8 0.125 0.445 0.852 2.709
