CC BY
70
УДК 535.394
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДОВОГО СОСТАВА ИЗЛУЧЕНИЯ, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕГОСЯ В МНОГОМОДОВОМ ОПТИЧЕСКОМ ВОЛОКНЕ
12 3
М.В. Большаков , М.А. Комарова , Н.Д. Кундикова
Предлагается метод определения медового состава излучения, распространяющегося в оптическом волокне со ступенчатым профилем показателя преломления, в основе которого лежит разложение комплексного светового поля по неортогональным модам. Расчет комплексных коэффициентов мод излучения оптического волокна проведен для экспериментальных данных.
Ключевые слова: оптическое волокно, моды оптического волокна.
Использование многомодовых волокон в оптических линиях передачи (по сравнению с маломодовыми волокнами) имеют большие преимущества, так как позволяют передавать большой объем информации, кроме того, распространение в волокне нескольких мод делает возможным параллельную передачу данных. Особенно перспективно использование многомодовых волокон для пространственного модового мультиплексирования [1], параллельной передачи данных [2] и передачи изображения через волокно [3]. Важнейшим вопросом при разработке и исследовании многомодовых систем связи является разложение излучения, распространяющегося в оптическом волокне, по модам. Существуют множество методов определения модового состава излучения оптического волокна (например, [4-6]), но до настоящего момента нет метода экспериментального анализа модового состава излучения многомодовых волокон с произвольными параметрами.
В данной работе предлагается метод определения модового состава излучения, распространяющегося в оптическом волокне, в основе которого лежит разложение комплексного светового поля по неортогональным модам. Рассмотрим распространение света в оптическом волокне со ступенчатым профилем показателя преломления. В приближении слабонаправляющего волновода можно записать четыре поляризационные моды в поперечном сечении на длине г для любого значения орбитального момента т (т > 0) и радиального квантового числа N [7]:
М^* (х, У, г) = [со8(т^)ех - яп(тф)еу ] • ¥т^ (х, у) • е2рт^,
М® (х, у, г) = [^(тф + 8т(т^)еу ] • ¥т^ (х, у) • е2рт^,
М® (х, у, г) = ^(тф + ^(тф)еу ] • ¥т^N (х, у) • еа вя'N,
М& (х, у, г) = ^(тф - со8(т^)еу ] • ¥т^ (х, у) • еггРт^.
Здесь ех, еу - собственные вектора, ф = агС^(х/у), ¥т N (х, у) - функции Бесселя, в^N - постоянные распространения, определяющие скорость распространения мод.
Разложение произвольной функции по системе неортогональных функций является классической задачей функционального анализа [8]. Разложим электрическую составляющую светового поля Е(х,у), распространяющегося в оптическом волокне, представив в виде суперпозиции поляризационных мод М^,* (х, у):
Е(х, у) = £ XIСкт N М^ (х, у) (2)
к=1 т N
1 Большаков Максим Вячеславович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра оптики и спектроскопии, ЮжноУральский государственный университет.
2 Комарова Марианна Алексеевна - аспирант, кафедра оптики и спектроскопии, Южно-Уральский государственный университет. Б-шаН: [email protected].
3 Кундикова Наталия Дмитриевна - доктор физико-математических наук, профессор, декан физического факультета, отдел нелинейной оптики Института электрофизики РАН, кафедра оптики и спектроскопии, Южно-Уральский государственный университет.
E-mail: [email protected]
где постоянные Ск - комплексные коэффициенты при различных поляризационных модах. Для
удобства перейдем к сквозной нумерации мод: вместо индексов к,т,N введем индекс 1 = 0...(Ь — 1), где (Ь — 1) - полное количество мод, распространяющихся в оптическом волокне. Перепишем выражение (2):
Е( х, у) = £ С, М, (х, у), (3)
1
постоянные С, называются коэффициентами разложения функции светового поля Е(х, у) в базисе функций {М, (х,у)} . Базис {М, (х,у)} не удовлетворяет условию ортогональности
(М,(х,у),М.(х,у)) Ф 0 при 1 Ф у ; где функционал скалярного произведения определяется выражением
(а, Ь) = Л а(х, у)Ь(х, у)йхйу .
Распределение поля каждой моды М, (х,у) определяется из выражений (1). Суммарное световое поле Е(х, у) известно из эксперимента. Таким образом, коэффициенты разложения С, по
неортогональной системе функций определяются системой линейных уравнений
Ь—1
X С, (М,, М.) = (Е, М.), у = 0,...,( Ь — 1). (4)
1=0
Такая система получается в результате скалярного умножения (3) на систему базисных функций {М, (х, у)} . Матрица системы (4) состоит из попарных скалярных произведений базисных функций. Решая полученную систему, можно получить коэффициенты С,. Для расчета комплексных коэффициентов с, была написана программа в пакете МЛТЬЛБ. Для апробации модели определения модового состава излучения сначала была проведена серия расчетов с теоретически заданным распределением поля. Генерировался случайно заданный модовый состав излучения С, на входе в волокно, рассчитывалось распределение поля на выходе из волокна Е(х, у) . Распределение поля каждой моды М, (1) определяется параметрами волокна и длиной волны света. Составлялась система линейных уравнений (4), решением которой были комплексные коэффициенты С, = С± ехр(/Сф), здесь С± - амплитудные коэффициенты, Сф - фазовые коэффициенты. Проверка осуществлялась сравнением рассчитанных комплексных коэффициентов С1 с генерированными изначально. Тестовые расчеты проведены для волокна со следующими параметрами: показатель преломления сердцевины псо = 1,47, числовая апертура Na = 0,11, радиус сердцевины волокна г = 6 мкм, длина волокна г = 20 см, длина волны света Л = 0,633 мкм. В оптическом волокне с данными параметрами для данной длины волны света распространяются семь поляризационных мод М, (х,у).
В результате тестирования обнаружено, что для т > 0 погрешность определения коэффициентов составляет 0,001 %, однако для т = 0 коэффициенты отличались от заданных. Данные результаты можно объяснить тем, что для т = 0 распределение поля М^* является аксиально
симметричным и находятся несколько наборов модовых коэффициентов, удовлетворяющих условию. Таким образом, модовые коэффициенты для т = 0 являются вырожденными. Полученные распределения интенсивностей с рассчитанными коэффициентами полностью идентичны распределениям интенсивности с заданными коэффициентами, среднеквадратичное отклонение распределений интенсивности порядка 10-12. Таким образом, была решена задача определения модового состава излучения по теоретическому распределению поля на выходе из волокна. Погрешность метода составила
0,001 %.
В эксперименте информацию о комплексном световом поле, распространяющемся в оптическом волокне, невозможно получить прямыми из-
мерениями. Данная информация может быть получена с помощью алгоритма Гершберга-Сэкстона [9], который позволяет восстанавливать поле по двум распределениям интенсивностей в ближнем и дальнем полях. Для получения информации о комплексном световом поле регистрировалось распределение интенсивности на выходе из волокна в ближней и дальней зоне. Схема экспериментальной установки представлена на рис. 1.
Излучение Не-№ лазера с длиной волны Л = 0,633 мкм, ослабленное фильтром, проходило через экран с диафрагмой и фокусировалось на торец оптического волокна тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием / = 2 см. Для экспериментальных исследований использовалось оптическое волокно с диаметром сердцевины 9 мкм и длиной 50 см. После прохождения через волокно свет попадал на активный элемент ПЗС камеры с размером чувствительной области 5,2х3,9 мм. Таким образом, регистрировалось распределение интенсивности в дальнем поле. Для получения распределения интенсивности в ближнем поле между выходным торцом волокна и активным элементом ПЗС камеры устанавливался 40-кратный объектив с числовой апертурой
0,65. Зарегистрированные распределения интенсивности на выходе из волокна в ближнем и дальнем полях представлены на рис. 2.
Распределения интенсивности в ближнем и дальнем поле использовались для восстановления фазы комплексного светового поля в ближней зоне, т.е. на торце волокна, на основе алгоритма Гершберга-Сэкстона. Моделирование осуществлялось в пакете МЛТЬЛБ с использованием итерационной процедуры с быстрым преобразованием Фурье, восстановленное фазовое распределение представлено на рис. 3, б.
Погрешность метода составила 6,7* 10-15, погрешность рассчитывалась как среднеквадратичное отклонение между текущим амплитудным распределением и исходным экспериментальным распределением дальнего поля на конечной итерации.
Таким способом была получена информация о комплексном световом поле на выходном торце волокна. Задача определения модового состава излучения решалась разложением комплексного светового поля, распространяющегося в оптическом волокне, на выходном торце волокна по неортогональным модам. В целом экспериментальный метод определения модового состава излучения отличается от теоретического метода только тем, что в теоретическом методе известны заданные коэффициенты, с которыми впоследствии осуществляется сравнение. Для определения модового состава излучения по экспериментальному распределению поля на выходном торце волокна распределение поля раскладывалось по неортогональным модам и составлялась система линейных уравнений (4). В оптическом волокне с данными параметрами и длиной волны света распространяются четыре поляризационные моды М,. Решение системы линейных уравнений (4) позволило получить комплексные коэффициенты С1 при модах М1 (см. таблицу).
Амплитудные коэффициенты С+, Сд и фазовые коэффициенты С*, Су для каждой из пар т, N
т N С+ '-'а С+ С- С ~
0 1 0,0174 -2,7155 0,0174 2,3159
0 2 0,0096 -1,9498 0,0096 1,5688
1 1 0,8848 -0,4625 1,0000 -0,1677
2 1 0,0200 0,5680 0,0622 0,2955
Экспериментально измеренное и рассчитанное с вычисленными коэффициентами распределения интенсивности на выходном торце волокна представлены на рис. 3. Из рис. 3 видно, что наблюдается хорошее соответствие между экспериментально зарегистрированным и рассчитанным распределением интенсивности.
Таким образом, предложен и реализован метод, позволяющий определить модовый состав излучения, распространяющегося в многомодовом оптическом волокне, по известному распреде-
лению поля на выходном торце волокна. Получено хорошее соответствие между экспериментально зарегистрированными и рассчитанными распределениями интенсивности и фазы.
10 20 30 40 ■ 50 60
20 40 60
10 20 30 40 ' 50 60
10 20 30 40 50 60
J
10 20 30 40 50 60
Рис. 3. Распределения интенсивности и фазы: рассчитанное с вычисленными коэффициентами (а), экспериментально измеренное (б)
80
60
60
40
20
0
0
10
20
30
40
50
60
20 40
60
Литература
1. Saffman, M. Mode multiplexing and holographic demultiplexing communication channels on a multimode fiber / M. Saffman, D.Z. Anderson // Optics Letters. - 1991. - Vol. 16, № 5. - P. 300-302.
2. Stuart, H.R. Dispersive multiplexing in multimode optical fiber / H.R Stuart // Science. - 2000. -Vol. 289, № 5477. - P. 281-283.
3. Tai, A.M. Transmission of two-dimensional images though a single fiber by wavelength-time encoding / A.M. Tai, A.A. Friesem // Optics Letters. - 1983. - Vol. 8, № 1. - P. 57-59.
4. Complete modal decomposition for optical fibers using CGH-based correlation filters / T. Kaiser, D. Flamm, S. Schroter, M. Duparre // Optics Express. - 2009. - Vol. 17, № 11. - P. 9347-9356.
5. Complete modal decomposition for optical waveguides / O. Shapira, A.F. Abouraddy, J.D. Joannopoulos, Y. Fink // Physical Review Letters. - 2005. - Vol. 94, № 14. - P. 143902.
6. Большаков, M.B. Определение модового состава излучения, распространяющегося в маломодовом оптическом волокне / М.В. Большаков, М.А. Комарова, Н.Д. Кундикова // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2012. - Вып. 7. - № 34(293). - С. 138-141.
7. Bolshakov, M. Optical effects connected with coherent polarized light propagation through a step-index fiber / M. Bolshakov, A. Ershov, N. Kundikova // Fiber Optic Sensors: сб. науч. тр. - InTech, 2012. - P. 249-274.
8. Курант, P. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. - Т. 1. - 476 с.
9. Fienup, J.R. Phase retrieval algorithms: comparison / J.R. Fienap // Applied Optics. - 1982. -Vol. 21, № 15. - P. 2758-2769.
EXPERIMENTAL DETERMINATION OF MULTIMODE OPTICAL FIBER RADIATION MODE COMPOSITION
M.V. Bolshakov1, M.A. Komarova2, N.D. Kundikova3
We proposed the method of the optical fiber mode composition determination of the radiation propagating in a multimode optical fiber with a stepwise refractive index profile. The method is based on the field decomposition by non-orthogonal modes. Complex coefficients of optical fiber radiation modes were calculated for experimental data.
Keywords: optical fiber, optical fiber modes.
References
1. Saffman M., Anderson D.Z. Mode multiplexing and holographic demultiplexing communication channels on a multimode fiber. Optics Letters. 1991. Vol. 16, no. 5. pp. 300-302.
2. Stuart H.R. Dispersive multiplexing in multimode optical fiber. Science. 2000. Vol. 289, no.5477. pp. 281-283.
3. Tai A.M., Friesem A.A. Transmission of two-dimensional images though a single fiber by wavelength-time encoding. Optics Letters. 1983. Vol. 8, no. 1. pp. 57-59.
4. Kaiser T., Flamm D., Schroter S., Duparre M. Complete modal decomposition for optical fibers using CGH-based correlation filters. Optics Express. 2009. Vol. 17, no. 11. pp. 9347-9356.
5. Shapira O., Abouraddy A.F., Joannopoulos J.D., Fink Y. Complete modal decomposition for optical waveguides. Physical Review Letters. 2005. Vol. 94, no. 14. p. 143902.
6. Bolshakov M.V., Komarova M.A., Kundikova N.D. Opredelenie modovogo sostava izluchenia, rasprostraniaushegosia v malomodovom opticheskom volokne (Determination of the mode composition propagating in a few-mode optical fiber). Vestnik YuUrGU. Seriia «Matematika. Mekhanika. Fizika». 2012. Issue. 7. no. 34(293). pp. 138-141. (in Russ.).
7. Bolshakov M., Ershov A., Kundikova N. Optical effects connected with coherent polarized light propagation through a step-index fiber. In book: Fiber Optic Sensors. InTech, 2012. pp. 249-274.
8. Kurant R., Gil'bert D. Metody matematicheskoy fiziki (Methods of Mathematical Physics). Moscow, Leningrad: GITTL, 1951. Vol. 1. 476 p. (in Russ.).
9. Fienup J.R. Phase retrieval algorithms: comparison. Applied Optics. 1982. Vol. 21, no. 15. pp.2758-2769.
Поступила в редакцию 19 июня 2013 г.
1 Bolshakov Maxim Vyacheslavovich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Optics and Spectroscopy Department, South Ural State University.
2 Komarova Marianna Alekseevna is Post-graduate student, Optics and Spectroscopy Department, South Ural State University.
3 Kundikova Nataliya Dmitrievna is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Dean of Physics Faculty, Join Nonlinear Optics Laboratory of IEF RAS, Optics and Spectroscopy Department, South Ural State University.
E-mail: [email protected]
