CC BY
40
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 251-258 = Науки о земле У ІК 622.016.22-111.1:622.28.001.24
Экспериментально-аналитический подход к расчету крепи вертикальных шахтных стволов
И.И. Савин
Аннотация. Рассматривается общий подход к расчету многослойных конструкций крепи вертикальных шахтных стволов по результатам измерения произвольных компонент напряженно-деформированного состояния крепи вертикального шахтного ствола.
Ключевые слова: метод расчета, крепь, многослойная крепь, напряженно-деформированное состояние, измерение, вертикальный шахтный ствол.
Для современных методов расчета, базирующихся на методах математической теории упругости, исходными данными для расчета являются величина главного расчетного напряжения Рь, коэффициент неравномерности распределения нагрузок £ и угол наклона главных осей начальных напряжений к вертикали и горизонтали а. В общем виде указанные величины имеют вид: Рь = ск*, £ = N‘¿/N1 (Мг и N2 — величины главных начальных напряжений, причем М\ > N2; а* — корректирующий множитель, учитывающий отставание возведения крепи от забоя и несовершенства расчетной схемы).
Качественная и количественная картина напряженно-деформированного состояния крепи в основном зависит от указанных выше величин. Однако, получение достоверной информации о характеристиках начального поля напряжений часто бывает затруднено. Так, если для гравитационного поля начальных напряжений установить указанные характеристики не представляет особого труда, то для расчета крепи в массиве, подверженном действию тектонических сил, соответствующие характеристики можно определить лишь в результате натурных измерений (метод разгрузки, метод компенсационной нагрузки, метод разности давлений, метод буровых скважин и др.). Однако даже в этом случае использование полученных результатов для расчета крепи с заданной надежностью часто не является приемлемым, поскольку для расчета крепи требуются некоторые обобщенные значения Рь, £ и а, характерные для окружающего выработку массива в целом, а не случайные их реализации в отдельных точках массива.
Среди методов получения информации о начальном поле напряжений в массиве пород вокруг строящихся выработок следует выделить группу экспериментально-аналитических методов. Наиболее перспективными представляются методы, базирующиеся па аналитическом решении плоской контактной задачи теории упругости для среды, моделирующей массив пород, ослабленной круглым отверстием, подкрепленным неоднородным (многослойным) кольцом, моделирующим крепь, имеющей начальные напряжения, обусловленные действием гравитационных или тектонических сил. Задача ставится, как обратная и состоит в определении характеристик начального поля напряжений (Pj, £ и à) по результатам измерения контактных напряжений, деформаций или смещений в произвольных точках крепи. Общий путь решения обратных задач для определения начального напряженного состояния массива пород предложен С.Н. Поповым [1, 2J.
Функциональную зависимость между наблюдаемой в натурном эксперименте величиной от параметров системы «крепь-массив» можно представить В ВИД0
5 = / (о’ж; Txy’i ; ^2; • • • ; ¿і) ; (1)
где s — наблюдаемая величина; ах = а*<ті°\ ау = а*(Ту°К тху = а*т-ху —
(0) (0) (0)
расчетные начальные напряжения; ах , ау , тху — вертикальные, горизонтальные и касательные начальные напряжения в ненарушенном массиве пород; 11, ¿2; • • • ; il ~ величины, характеризующие область исходных данных системы «крепь-массив».
Поскольку применяется упругая (липейно-деформируемая) модель, то связь между измеряемым компонентом напряженно-деформированного состояния крепи и параметрами системы «крепь-массив» можно представить в виде суммы
s = è/i(ib*2 ,...,*/)-Р;, (2)
І = 1
где Pj — компоненты начального поля напряжений или их линейно независимые комбинации; fj — функции, вид которых определяется математической моделью.
В пределах каждого отдельного эксперимента все параметры t-i, кроме угла в, определяющего угловую координату точки замера, являются фиксированными величинами.
Для реализации заявленной в проекте задачи необходимо К значений замеров произвольного компонента папряжеппо-деформироваппого состояния многослойной круглой крепи, причем К > 3. При К = 3 выражение (2) имеет решение в детерминистической постановке, когда количество независимых уравнений равно числу неизвестных. Так как никакой эксперимент не исключает возможности грубых погрешностей и промахов, то любые ошибки полностью входят в корпи системы, что определяет высокую вероятность искажения результатов расчета.
В такой постановке вопрос интерпретации результатов натурных измерений сводится к классической задаче регрессионного анализа: с помотцыо ЛИН6ИНОИ модели
»k = f\ (вк) v-x + h (вк) (Ту + /з (вк) Тху + ек (¿ = 1,2,..., К) (3)
(где ей — случайная ошибка) следует оцепить параметры Pj. То есть, по выборке неслучайного параметра в/, и случайной величины я/, нужно отыскать уравнение средней квадратической регрессии s па в.
Фактически, задача сводится к отысканию таких значений ах, ау< тху, для которых абсолютные величины «ошибок»
£к = Sk - (/l (вк) <?Х + h (вк) °У + /з (вк) Тху) (¿ = 1,2,..., К) (4)
были бы малыми в совокупности.
Величины ах: ау, тху можно попытаться найти из условия
к
^ |е/.| = min. (5)
i;=i
Однако в такой постановке решаемая задача неудобна и громоздка в вычислительном отношении. Метод наименьших квадратов в данном случае состоит в определении ах: ау, тху из условия
к
0 = ^2 e'l = min. (6)
i;=i
Оценку неизвестных параметров можно также производить с точки зрения принципа максимального правдоподобия. Однако в данном случае необходимо знать распределение случайной величины S. Метод наименьших квадратов обладает определенными оптимальными свойствами, не зависящими от характера распределения: оценка с помощью данного метода является наиболее точной в классе линейных несмещенных оценок. Кроме того, если распределение ошибок подчиняется нормальному закону, оценки, полученные обоими методами, полностью совпадают.
С точки зрения метода наименьших квадратов решение несовместной системы уравнений (3) приводит к системе нормальных уравнений вида
з к к
£ Е fi (0*) и Pj = X) fi (0*) »k, (i = h 2. 3). (7)
j= 1 /¡=1 к= 1
Как видно, начальные расчетные напряжения ах, ау, тху определяются из (7) однозначно. После решения системы (7) определяются характеристики начального расчетного поля напряжений:
величина главного расчетного напряжения
Р‘=2
СГ,
\ 2 , о °у) +Т
х у
&Х + Су +
коэффициент неравномерности распределения нагрузок
(8)
(7х + (7у- \/{(7х-(7у) +т1у
°х + оу + \/(ах - (Ту)2 + т1у
(9)
угол наклона главных осей начальных напряжении к вертикали и горизонтали
а = - агс(;§
2 | сг3
2 г.
ху\
СГ,
(10)
При решении задач такого класса возникают трудности при определении функций fi (в}.). В том случае, если решение соответствующей прямой задачи получено в явном виде, то данные функции выражаются точно и однозначно через параметры системы крепь-массив. Для более сложных случаев, когда для решения прямой задачи используются численные методы, указанные функции могут быть получены из частных случаев численного решения соответствующей задачи, расчетная схема которых применительно к многослойной крепи выработок приведена на рис. 1.
Рис. 1. Расчетная схема частных задач, используемых для получения решения в обратной постановке
Метод обработки результатов натурных измерений напряжений, деформаций или напряжений в многослойной круглой крепи базируется на следующих основных положениях:
массив пород моделируется линейно-деформируемой, однородной, изотропной средой с круговым вырезом, подкрепленным в общем случае неоднородным (многослойным) кольцом;
массив пород находится в естественном напряженном состоянии, обусловленном действием гравитационных или тектонических сил;
принято, что крепь работает в режиме взаимовлияющей деформации при условии полного контакта с массивом пород, то есть при условии равенства векторов напряжений и смещений в точках контакта крепи и породы;
предполагается, что в результате отставания возведения крепи от забоя выработки и возможного неупругого деформирования пород качественный характер распределения напряжений и усилий в крепи не изменяется, количественно же это учитывается введением в начальные напряжения корректирующего множителя.
В качестве расчетной схемы используется схема расчета крепи по эквивалентным напряжениям (рис. 2).
Рис. 2. Схема расчета крепи по эквивалентным напряжениям: 1,2, п — 1 — слои крепи; п — массив пород
Система крепь-массив рассматривается как единое деформируемое многослойное кольцо, внешний слой которого моделирует массив пород, нагруженное на бесконечности нагрузками, эквивалентными снимаемым напряжениям. Эквивалентные напряжения имеют вид
реЧ = реЧ + реЧсо826|
(п)
где РдЧ и Р|Ч равномерная и неравномерная составляющие эквивалентных напряжений, МПа; 9 — угловая координата, град.
В общем виде составляющие эквивалентных напряжений определяются по формулам
Рпеч = а* N] . РГ? ч = а* N] ——, (12)
«0 + 1 2 к0 + Г
где «о = 3 — 4/^о — коэффициент вида напряженного состояния (щ — коэффициент Пуассона пород).
При определении компонентов напряженно-деформированного состояния крепи используется метод коэффициентов передачи нагрузок, предложенный
Н.С. Булычевым [3J. В том случае, если известны (измерены) К значений компонентов напряженно-деформированного состояния многослойной крепи р*к, условие равенства измеренных и расчетных величин приводит к переопределенной системе уравнений вида
р*к - {ak\x\ + ак2Х2 + акзхз) = ек (¿ = 1,2, ... , К) , (13)
где ак 1, о/¡2, акз ~ коэффициенты, зависящие от типа измеряемой величины и определяемые через геометрические и деформационные характеристики крепи; ей — ошибка ¿-го измерения.
Используя метод наименьших квадратов система несовместных уравнений (13) приводится к системе трех нормальных уравнений вида (7), которая решается относительно трех неизвестных X \ , Ж2 и Жз, после чего с учетом выражений (12) определяются неизвестные характеристики расчетного начального поля напряжений à, Р(, и £.
Получаемые в результате расчета компоненты начального расчетного поля напряжений не зависят от свойств крепи, в которой производились измерения и могут быть использованы для расчета любых других конструкций крепи выработок, сооружаемых в сходных условиях при аналогичном способе возведения. В основу решения положено не буквальное воспроизведение измеренной эпюры нагрузок, а паилучшее приближение к пей в смысле наименьшего квадратичного отклонения. Такой подход позволяет выделить из данных натурных измерений наиболее существенные особенности работы крепи, минуя случайные, второстепенные результаты, обусловленные конкретными местными условиями измерений.
Изложенный метод позволяет производить обработку натурных измерений для случая, когда пункты измерения имеют не только различные угловые, по и радиальные координаты. В этом случае для каждого пункта измерения составляется свое особое уравнение, которое характеризуется своими коэффициентами передачи нагрузок, а искомые компоненты начального поля напряжений остаются одинаковыми. Данное решение является принципиально важным, поскольку в практике натурных измерений такие варианты находят очень широкое распространение (например, замена внутреннего, вышедшего из работоспособного состояния измерительного датчика, внешним, накладным датчиком).
Предложенный метод обработки результатов натурных измерений применим для совместной обработки результатов измерений различных компонентов напряженно-деформированного состояния крепи ствола.
Общий подход к решению поставленной задачи сводится к следующему.
В том случае, если в результате проведения комплексных исследований получены К значений произвольного компонента с^., напряженно-деформированного состояния в ¿1-м слое крепи в точках с угловыми координатами 0\(к) и L значений произвольного компонента с^2 в ¿2-м слое крепи в точках с угловыми координатами 02(і), составляется переопределенная система урав-НЄНИИ ВИДсІ
{/<;} = {с} - [АВ] х {X}, (14)
Г ГТП ^ Ні}
ак\ = а0,
«И = а2со8'2вцк), акз = а2 віті 2(9,(д.),
ЬП = ¿0;
Ьі2 = Ь2 сов 202(0; Ьп = 6-2 віп 202(0 •
1,2,..., К;
1,2,..., Л;
> Єї 1 а\\ «12 «13 Ґ г* 1 сі і
Є21 «21 (122 «23 г* 21
Є К1 Є12 Є22 > : [А В] = а К1 ¿>11 &21 <1К2 Ь\2 ь 22 а кз Ь\з Ь 23 ; {А } = і ; {С} = < с* СК1 г* 12 г* 22
Є Г/2 / _Ь[А Ьг/2 Ьі/з _ с* К -1.2
£к 1 и £12 -ошибки измерений соответствующих компонентов; X] = РдЧ; ж 2 = Р2Ч соз2(ж; ж'з = Р^вп^а; в\(к) и в2(1) — угловые координаты точек измерения; величины оо, а2, 6о и Ь2 описываются формулами в зависимости вида измеряемого компонента.
Следует отметить, что данный подход применим не только к расчету вертикальных шахтных стволов, по и для многослойной круглой крепи (обделок) выработок, наклоненных под произвольным углом к вертикали.
Список литературы
1. Попов С.Н. Об использовании численных и статистических методов при определении исходного напряженного состояния массива горных пород /7 Физикотехнические проблемы разработки полезных ископаемых. 1977. №8. С. 113-116.
2. Курленя М.В., Попов С.Н. Теоретические основы определения напряжений в горных породах. Новосибирск: Наука, 1983. 97 с.
3. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений. М.: Недра, 1982. 270 с.
Поступило 15.01.2009
Савин Игорь Ильич ([email protected]), д.т.п., профессор, кафедра гео-техпологий и строительства подземных сооружений, Тульский государственный университет.
Experimental-analytical approach to calculating lining of vertical mine shafts
1.1. Savin
Abstract. General approach to calculating multilayer lining constructions of vertical mine shafts with using free components of mode of deformation condition measurement results is considered.
Keywords: calculating method, lining, multilayer lining, mode of deformation, measurement, vertical mine shaft.
Savin Igor ([email protected]), doctor of technical sciences, professor, department of geotechnology and building of underground structure, Tula State University.
